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湖南岳阳市临湘市2025-2026学年下学期期中练习题 九年级 数学
一、单选题
1．中国古代数学著作《九章算术》就最早提到了负数，的相反数是（ ）
A．2026 B． C． D．
2．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．是一款先进的人工智能助手，可提供高效、精准的信息检索和智能对话服务．其活跃用户数在上线21天后达到了3370万．将3370万用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．一家鞋店在某种运动鞋进货的过程中，商家关注的是卖出的这种运动鞋尺码组成的一组数据的（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
5．如图，直线a，b被直线c所截，若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在平行四边形中，E是线段上一点，连接与相交于点F，若，则（ ）
A． B． C． D．
7．若，则一次函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，以点C为圆心，CB长为半径作弧，交AB于点D；再分别以点B和点D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线CE交AB于点F，则AF的长为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
9．如图，建筑物上有一旗杆，从与相距的D处观测旗杆顶部A的仰角为，观测旗杆底部B的仰角为，则旗杆的高度是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知二次函数与轴的一个交点为，其对称轴为直线，其部分图象如图，有下列个结论：①；②；③；④直线经过点，则关于的不等式的解集是．其中正确结论的个数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．因式分解___________
12．若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为___________．
13．若向如图的正方形游戏板投掷一次飞镖，掷向每一点的机会都均等，飞镖落在阴影部分的概率是______．
14．如图，四边形内接于，为的直径，点C为的中点，若，则的度数为______°．
15．如图，一次函数的图象与坐标轴分别交于点B、C，反比例函数的图象经过点A，是等腰直角三角形，，，则k的值为________．
16．如下图，直线过点，且与轴交于点，点是轴上的一个动点，则的周长的最小值是______．
三、解答题
17．计算：．
18．先化简，再求值：，其中．
19．计算：
(1)解方程：．
(2)解不等式组：，并求出它的所有整数解的和．
20．2025年9月3日，中国举行了举世瞩目的“九三大阅兵”活动．为掌握同学们对阅兵活动相关知识的了解情况，某校分别从九年级（1）班和（2）班中各随机抽取20名学生进行了知识竞赛．共20题，答对一题得5分，满分100分，成绩达到95分及以上为优秀（包括95分）．该校数学兴趣小组对调查结果进行了整理、描述和分析．
九（1）班和九（2）班所抽取学生竞赛成绩统计表
班级 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 优秀率
九（1）班 89.5 85
九（2）班 89.5 90
根据以上信息，回答下列问题．
(1)请补全条形统计图；
(2)填空：______，______；
(3)结合以上数据，请你从不同角度对这次竞赛成绩的结果进行分析（至少写两条）．
21．如图，内接于，，的切线与延长线交于点 D， 点E 是上一点，， 连接并延长交于点 F．
(1)求证：是 的切线；
(2)若， 求的长．
22．如图，时代，万物互联、互联网、大数据、人工智能与各行业应用深度融合，为了保证信号通畅，某通信公司在某山上建设基站．已知斜坡的坡度为（即），点处的通讯塔垂直于水平地面，在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，斜坡路段长米．
(1)填空：______；
(2)点处到水平地面的距离为______米；
(3)求通讯塔的高度（结果保留根号）．（参考数据：）
23．如图，点E是边长为2的正方形边上一动点，连接，将射线绕点B顺时针旋转交边于点F，过点E作，垂足为点H，连接交于G，在点E从点A运动到点D运动过程中．
(1)直接写出的度数为_______ °；
(2)连接，
①的比值是否为定值，是定值求出该比值，不是定值请说明理由；
②当时，直接写出的长；
(3)在点E运动过程中，的面积记为，的面积记为，求出的最大值．
24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B，且点A在点B的左侧，与y轴交于点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图1，直线与x轴交于点D，与y轴交于点E，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，设射线AP与直线交于点N，求的最大值，及此时点P的坐标；
(3)如图2，连接，将原抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，使平移后的新抛物线经过点B，新抛物线与x轴的另一交点为点M，在新抛物线上存在一点T，使得．请直接写出新抛物线的函数表达式及点T的坐标．
参考答案
1．A
2．D
3．C
4．C
5．B
6．C
7．D
8．B
9．D
10．B
11．．
12．
13．/
14．70
15．
16．
17．
18．解：
，
把代入得：原式．
19．（1）解：方程两边同时乘，得，
去括号，得，
解得：，
检验：把代入，
分式方程的解为．
（2）解：
解不等式①，；
解不等式②，
此不等式组的解集为，
整数解为：
整数解的和：．
20．（1）解：九（1）班成绩优秀的人数为（人），
则成绩为分的人数为（人），
∴成绩为分的人数为（人），
补全条形图如下：
（2）解：九（1）班成绩从小到大排列，成绩为第名和第名的成绩分别为分，分，
则中位数，
九（2）班成绩中，分所占比例最高，即成绩为分的人数最多，
故众数，
故答案为：，；
（3）解：从平均数来看，两个班的成绩一样；
从中位数来看，，则九（1）班的成绩没有九（2）班的成绩好；
从众数来看，，则九（1）班的成绩没有九（2）班的成绩好；
从优秀率来看，，则九（2）班的成绩没有九（1）班的成绩好．（答案不唯一，合理即可）
21．（1）证明：如图，连接，则，
∴，，
∵是的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为正方形，
∴，
∴，
∴是的切线；
（2）解：∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理得： ，
，
．
22（1）解：∵在处测得塔顶的仰角为，
∴；
（2）解：作，如图所示：
∵
∴
∴
∵米
∴米；
（3）解：作于点，作于点，
，即，
则米，
米，
设，则，，
由题意知，
，
，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
，
，米，
米，
米，
米，
答：通讯塔的高度米．
23．（1）四边形是正方形，
，
，绕点B顺时针旋转交边于点F，
，，
，
四点共圆，
，
故答案为：45；
（2）①的比值是定值，
如图，连接，
四边形是正方形，是对角线，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
②如图，过点E作，
，
，
，
，
由（1）得，且，
点三点共线，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
设，则，
解得：，
；
（3）如图，过点H作，延长交于点N，
设，
可得四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
，
，
，
当时，有最大值，为．
24．（1）解：∵抛物线，经过点，，
∴，
解得
故抛物线的解析式为．
（2）解：过点P作交直线于点Q．
设点，则点．
∵直线与轴交于点D，
∴，
∴，
∵，
∴，
．
∵，且，
∴时，的值最大，最大值为．
把代入，得．
∴点P的坐标为．
（3）解：∵直线与轴交于点D，与轴交于点E，
∴，
∴，
∴沿着方向平移是一个先向下，再向右平移同样的单位长度的平移变换，设平移的距离为n个单位长度，
由，
∴设，把点代入得：，
解得（舍去）或，
∴，
令，，
解得或，
故点，
∵，，
∴，
设点，
当在轴上方时，过点T作于点G，则：，
∴，
即，
解得：或（舍去），
∴；
当在轴下方时，同理可得，
即，
解得：或（舍去），
∴，
综上，点T的坐标为或．

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