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2025年全国青少年数学思维展示活动（YCMC）迎春之星省级初赛八年级试题
一、选择题。（每题3分，共45分）
1．如图，某小区有块长为，宽为的长方形空地，现要在中间修建一个长为，宽为的花坛，则图中空白部分的面积为（　　）。
A． B． C．10 D．
【答案】A
【知识点】二次根式的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意得，长方形空地的面积为
花坛的面积为
∴图中空白部分的面积为
故答案为：A.
【分析】分别求出长方形空地的面积和花坛的面积，再相减即可.
2．有下列说法：
①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；②无论k取何实数，多项式总能分解成两个一次因式积的形式；③若，则t可以取的值有2个；④关于x，y的方程组，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，其中当a每取一个值时，就有一个方程，而这些方程总有一个公共解，则这个公共解是，其中正确的有（　　）。
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】因式分解﹣公式法；零指数幂；有理数的乘方法则；加减消元法解二元一次方程组；平行公理
【解析】【解答】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项正确；
②当k为负值时，多项式 不能分解成两个一次因式积的形式，故本选项不正确；
③当 时，故本选项正确；
④新方程为(a-1)x+(a+2)y=2a-5，
∵a每取一个值时，就有一个方程，而这些方程总有一个公共解，
∴当(a=1时，y=-1，
当a=-2时，x=3
所以公共解是，故本选项正确；
综上正确的说法是3个，
故答案为：C.
【分析】利用平行公理对①判断，利用平方差公式的特点对②分析，③通过0指数、底数为1，底数为-1对代数式进行分类讨论得结果，④抓住a取每一个值方程的解都相同，求出x、y的值.
3．若关于x的不等式组有解，且关于x的分式方程的解为非负数，设满足条件的整数a为；则的值为（　　）。
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】C
【知识点】去分母法解分式方程；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：不等式组整理得：，
由不等式组有解，得到-5≤x解得：a>-5，
分式方程去分母得：ax-x+2=-3x，
解得：
∵关于x的分式方程 的解为非负数，
解得
当a=-1时，x=1l(不合题意舍去)
∵a为整数，
则满足题意的整数a的值的和是|-2-3-4+0+1|=8.
故答案为：C.
【分析】不等式组整理后，由题意确定出a的范围，分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，检验即可.
4．如图，在平面直角坐标系中，若直线y1=-x+a与直线y2=bx-4相交于点P，则下列结论错误的是（　　）。
A．方程组的解是
B．方程的解是
C．不等式和不等式的解集相反
D．不等式组的解集是
【答案】C
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与一元一次方程的关系；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数与二元一次方程（组）的关系；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：
解：A、由题意可知方程组的解是 无法求出方程组 的解，故A符合题意.
B、由图可知直线 与直线 -4的交点P的坐标为(1，-3)，
∴方程-x+a=bx-4的解是x=1，故B正确，不符合题意；
C、不等式-x+a<-3的解集为x>1，不等式bx-4>-3的解集为x>1，
∴不等式-x+a<-3和不等式bx-4>-3的解集相同，故C错误，符合题意；
D、把(1，-3)代入y1=-x+a得a=-2，则y1=-x-2与x轴的交点坐标为(-2，0)
不等式bx-4<-x+a<0的解集是-2故答案为：C.
【分析】根据一次函数与一元一次方程，一次函数与二元一次方程，一次函数与一元一次不等式，分析判断即可.
5．如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠D=30°，过点A作AE⊥BC于点E，若现将△ABE沿直线AE翻折至△AFE的位置，设AF与CD交于点G，则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；8字型相似模型；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵ABCD是菱形，
∴ AB=AD=BC=CD=4，∠B=∠D=30°，
在 中，
根据折叠性质可得
∵AD∥CF，
故答案为：D.
【分析】先利用 直角三角形的性质，求出BE，再根据折叠性质求得BF，从而得到CF长，最后根据 即可得出AG与FG的比值.
6．如图，当太阳光线与地面成60°的角时，测得空中热气球在地面上的影长是12m，则热气球的直径是（　　）。
A．6m B．12m C．6m D．6m
【答案】C
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：如图，
热气球的直径
故答案为：C.
【分析】根据题意画出图形，根据正弦的定义解答即可.
7．如图，△ABC与△DEF位似，其位似中心为点O，且D为AO的中点，则△DEF的面积比△ABC的面积少（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】相似三角形的性质-对应面积；位似图形的性质
【解析】【解答】解：解： 与 位似，
与 的面积比
与的面积比为1：4，
故答案为：A.
【分析】根据位似图形的概念得到 F，根据相似三角形的性质解答即可.
8．五个人站成一排，每个人戴一顶不同的帽子，编号为1、2、3、4、5.每个人只能看到前面的人的帽子，小王一顶都看不到，小孔只看到4号帽子：小田没有看到3号帽子，但看到了1号帽子；小严看到了有3顶帽子，但没有看到3号帽子：小韦看到了3号帽子和2号帽子，那么小严戴（　　）号帽子。
A．1 B．5 C．3 D．2
【答案】C
【知识点】逻辑推理
【解析】【解答】解：解：根据分析，首先从“小王一顶都看不到”判断出小王排在第一位的位置上；
然后从“小孔只看到4号帽子”判断出小孔排在第二的位置上；
接着从“小严看到了有3顶帽子”判断出小严在第四的位置上；
结合小田没看到3，小韦看到3对比可知小田在第三位，小韦在第五位；
由于第二位的小孔只看到4，所以小王的帽子编号为4；
由第三位的小田看到1，可知第二位的小孔的帽子编号为1；
因为第四位的小严没看到3，而第五位的小韦看到了3和2，
所以小田帽子编号为2，小严帽子编号为3，小韦帽子编号为5.
故答案是：C.
【分析】按题意，从“小王一顶都看不到”判断出小王排在第一位的位置上；然后从“小孔只看到4号帽子”判断出小孔排在第二的位置上；接着从“小严看到了有3顶帽子”判断出小严在第四的位置上；再结合五个人说的话，可以判断小严戴几号帽子.
9．6张不同的卡片上分别写有数字3，3，6，6，9，9，从中取出3张，则这3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是（　　）。
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形三边关系；概率公式
【解析】【解答】解：从6张卡片取3张，共有20种取法，要使得三个数字可以构成三角形的三边长，只可能是：
(3， 6， 6)，(6， 6， 9)，(3， 9， 9)，(6， 9， 9)
由于不同的卡片上所写数字有重复
∴取出的3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的情况共有4×2=8种
∴这3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是
故答案为：B.
【分析】求出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得.
10．往429个盒子里装棋子，不管怎么装都至少有5个盒子里的棋子数相同，不装算0个，那么每个盒子最多能装的棋子数是（　　）。
A．108 B．105 C．107 D．106
【答案】D
【知识点】抽屉原理
【解析】【解答】解：根据题意得，装有0，1，2，…，106个棋子的盒子各有4个，共107×4=428(个)盒子，
∴再增加一个盒子，只能装，0~106个棋子，
∴至少有5个盒子里的棋子数相同，即每个盒子最多能装的棋子数是 106.
故答案为：D.
【分析】根据题意可得装有0，1，2，…，106个棋子的盒子各有4个，共107×4=416个盒子，再增加一个盒子，只能装0~106个棋子，则至少有5个盒子里的棋子数相同，即可解答.
11．矩形ABCD中，AD=，AB=2，E、F分别为矩形外的两点，BE=DF=，AF=CE=，则EF=（　　）。
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；矩形的性质；相似三角形的判定-AA；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：延长FD交EC的延长线于点M，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=， BC=AD=，∠BCD=∠ADC=90°，
∵AF=， DF=，
∴△ADF是直角三角形， ∠AFD =90°，
同理可证△CBE是直角三角形，
∴∠ADF =∠CBE， ∠DAF =∠BCE， ∠ADF+∠DAF=90°， ∠CBE+∠BCE=90°，
∴∠ADF+∠BCE=90°
又∵∠ADF+∠CDM =90°， ∠MCD+∠BCE =90°，
，
在中，
故答案为：D
【分析】延长FD交EC的延长线于点M，可证明是直角三角形，证明. 得出对应边成比例求出CM=2DF=，DM=2AF=，得出MF=DF+DM=，ME=CE+CM=，在 中，由勾股定理即可求出EF的长.
12．已知p，g均为质数，且满足5p2+3q=59，则以2p+1，2q-7p，q边长的三角形是（　　）。
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理；质数与合数；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：由于 p，q均为质数，且满足 59，则p，q中有一个是偶质数，
因此p=2，q=13.
故2p+1=5，2q-7p=12，
因为52+122=132，
所以此三角形是直角三角形，
故答案为：B.
【分析】先根据质数求出p=2，q=13，即可求出 2p+1，2q-7p，q 的值，根据勾股定理的逆定理判断即可.
13．如果a，b均为自然数，a除以7余2，b除以7余5，当a3>3b时，a3-3b除以7的余数是（　　）。
A．1 B．3 C．4 D．0
【答案】D
【知识点】整式的混合运算；同余定理；因式分解的应用-判断整除
【解析】【解答】解：设a=7m+2，b=7n+5，其中m，n为非负整数，则
a3-3b
=(7m+2)3-3(7n+5)
=343m3+189m2+56m+8-21m-15
=343m3+189m2+35m-7
=7(49m3+27m2+5m-1)
∴ a3-3b除以7的余数是0，
故答案为：D.
【分析】设a=7m+2，b=7n+5，然后代入a3-3b求得7(49m3+27m2+5m-1)，然后得到余数解答即可.
14．已知a，b满足（a+1）2-（b-3）+|c-4|=0，则a+b+c的值等于（　　）。
A．3 B．4 C．6 D．7
【答案】C
【知识点】偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：根据题意，得，
解得a=-1，b=3，c=4，
所以a+b+c=-1+3+4=6.
故答案为：C.
【分析】根据完全平方和算术平方根以及绝对值都是非负数，列出方程求解即可.
15．已知在整数n的所有约数中，最小的十个正约数分别为1、2、3、4、6、8、12、16、24、36，则n与800的最大公约数为（　　）
A．8 B．16 C．32 D．36
【答案】B
【知识点】最大公因数与最小公倍数
【解析】【解答】解：1、2、3、4、6、8、12、16、24、36最小公倍数是144，
144与800的最大公因数是48，
∴n与800的最大公因子是16.
故答案为：B.
【分析】根据有理数的乘法，求出所有因数的最小公倍数，然后求出与800的最大公因数，即为最大公因数.
二、填空题。（共15分）
16．如图，已知反比例函数（k为常数，）的图象经过点A，过A点作AB轴，垂足为B，点C为y轴上的一点，若的面积为，则k的值为　 　。
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的一点一垂线型
【解析】【解答】解：设A (a， b) ， 则OB=-a，AB=b，
即：
故答案为：.
【分析】反比例函数中k的值与点A的坐标有关，设出点A的坐标，表示出三角形的面积，进而求出k的值.
17．在平行四边形中，点P从起点B出发，沿，逆时针方向向终点D匀速运动，设点P所走过的路程为x，则线段，与平行四边形的边所围成的图形面积为y，表示y与x的函数关系的图象大致如图，则边上的高是　 　．
【答案】4
【知识点】平行四边形的性质；动点问题的函数图象；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：由图像得，
，，，
∴，
解得：，
故答案为：4．
【分析】由图象可得，，，再根据平行四边形面积建立方程，解方程即可求出答案.
18．若化简的结果为，则满足条件的x取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：∵.
∴即
故答案为：
【分析】先根据二次根式化简，然后根据去绝对值计算得到x的取值范围解答即可.
19．已知的半径为4，B，C是上两定点，点A是上一动点，且，的平分线交于点D，过点D作BC的平行线交AB的延长线于点F.下列说法中正确的是　 　.
①AD的最大值是8；②点D为上一定点；③的最大值是；④DF与相切；⑤若为锐角三角形，则。
【答案】①②③④⑤
【知识点】切线的判定；圆-动点问题；相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：①当A在优弧BC的中点时，
AD为直径，值最大，最大值为8，故①正确.
的平分线交⊙O于点D，
∵B， C是⊙O上两定点，
∴点D为BC上一定点，故②正确.
③∵B， C是⊙O上两定点，
∴BC的长度不变，
则当 时， 的高最大，设AD与BC交于点H， 连接OB， OC，
故③正确.
④连接OD，
∵OD为⊙O的半径，
∴DF为圆的切线，故④正确.
⑤如图， OD与BC交于点Q，
当 时，AC为直径，
∴四边形BQDF为矩形，
如图，连接BD， AB为直径，
为等边三角形，
同理可得，
，
∴若 为锐角三角形，则 ，故⑤正确.
∴正确的有①②⑤.
故答案为： ①②③④⑤.
【分析】①由圆周角定理可知，当A在优弧BC的中点时，AD为最大值，即可得出结论，
②由 的平分线交⊙O于点D， ，可得 再由B，C是⊙O上两定点即可得出结论，
③当 时， 最大，再由勾股定理求出高，即可求出面积得出结论，
④连接OD，根据平行线的性质和切线的定义，得出DF与⊙O相切，即可得出结论，
⑤分别求出 时， 时， 即可得出 为锐角三角形的范围.
20．设a，b是一元二次方程的两根，则的值为　 　.
【答案】16
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵a，b 是一元二次方程 的两根，
=4a(a+1)+4b+4(b+1)
=4(a+1)+4a+8b+4
=8(a+b)+8=16.
故答案为：16.
【分析】根据根与系数的关系得到将其整体代入式子化简解答即可.
三、计算题。（共15分）
21．
（1）；
（2）.
【答案】（1）解：原式=-13-5-15+39=6
（2）解：原式=
=0
【知识点】有理数的加、减混合运算；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】（1）根据有理数的加减即可求出答案.
（2）根据有理数的混合运算，结合有理数的乘方即可求出答案.
22．已知：，，求的平方根；
【答案】解：，，
，
，
则，
的平方根为．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的混合运算；开平方（求平方根）
【解析】【分析】根据分式的乘法，加法可得xy，x+y，根据完全平方公式化简代数式，再整体代入，结合平方根定义即可求出答案.
23．阅读理解：因式分解有多种方法，除了提公因式法，公式法，十字相乘法等，还有分组分解法，拆项法，配方法等.一般情况下，我们需要综合运用多种方法才能解决问题。
例如：分解因式.步骤：
解：原式第1步：拆项法，将拆成和；
第2步：分组分解法，通过添括号进行分组；
第3步：提公因式法和十字相乘法（局部）；
第4步：提公因式法（整体）；
第5步：十字相乘法：最后结果分解彻底。
（1）请你试一试分解因式。
（2）请你试一试在实数范围内分解因式。
【答案】（1）解：
=x(x+1)(x-1)-6(x-1)
=(x-1)(x+3)(x-2)
（2）解：

【知识点】因式分解﹣十字相乘法；因式分解-分组分解法；因式分解-平方差公式；因式分解﹣添（拆）项法；因式分解（奥数）
【解析】【分析】 (1) 通过拆项法将-7x拆成-x和-6x，然后利用分组法和提公因式法进行因式分解；
(2)先利用十字相乘法对 进行因式分解，再利用平方差公式继续分解.
24．已知，求的值。
【答案】解：，
∴a+1=0或a2+a+1=0，
解得a=-1，
∴，
【知识点】高次方程；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】先对 进行因式分解，求出a的值，再将a的值代入 进行计算.
25．已知实数x，y满足，，求的值。
【答案】解： 由条件 整理得
即
将x+y=3代入上式得
解得xy=1或xy=3(舍去).
则
所以
【知识点】分式的混合运算；因式分解法解一元二次方程；求代数式的值-整体代入求值；整式条件求值
【解析】【分析】先由条件整理求出xy=1，然后把 化为，然后整体代入x+y和xy的值解答即可.
四、解答题。（共25分）
26．新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做积等三角形
（1）初步尝试：如图1，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=8，P为AC上一点，当AP=　 　时，△ABP与△CBP为积等三角形；
（2）理解运用：如图2，△ABD与△ACD为积等三角形，若AB=2，AC=5，且线段AD的长度为正整数，求AD的长。
【答案】（1）3
（2）解：如图，延长AD至E，使DE=AD，连接CE，
∵△ABD与△ACD为积等三角形，
∴BD=CD
∵AB//EC
∴∠BAD=∠E，
∵∠ADB=∠EDC
∴△ADB≌△EDC(AAS)
∴AD=DE，AB=EC=2.
∵AC=5
∴5-2∴3<2AD<7，
∴
∵AD为正整数，
∴AD=2或3
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-AAS；倍长中线构造全等模型；全等三角形中对应边的关系；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图中，在AC上截取AP=3，
在Rt△ABC中，∠C=90°，
∵AP=PC=3
∴S△PAB=S△PBC，
∵△ABP与△PBC不全等
∴△ABP与△CBP为积等三角形，当AP=3时，△ABP与△CBP为积等三角形；
故答案为：3.
【分析】(1)求出AC=6，根据新定义“积等三角形”可得出答案；
(2)延长AD至E，使DE=AD，连接CE，证明△ADB≌△EDC(AAS)， 得出AD=DE，AB=EC=2，根据三角形三边关系可得出答案.
27．如图，在中，求证：
（1）若AD为的平分线，则；
（2）设D为BC上的一点，连接AD，若，则AD为的平分线。
【答案】（1）证明：如图，过D作DM⊥AC于M，DN⊥AB于N，
∵AD是△ABC 的角平分线，
∴DM＝DN，
；
（2）证明：
又，
，
又，
平分 ， 即 AD 为 的平分线.
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）过D作DM⊥AC于M，DN⊥AB于N，然后根据角平分线的性质得到DM＝DN，然后根据三角形的面积公式推理证明即可；
（2）过D作DM⊥AC于M，DN⊥AB于N，根据三角形的面积公式得到DM=DN，然后根据角平分线的判定定理得到结论即可.
28．求时，的最小值。
【答案】解：因为x>0，
所以 ，
当且仅当 即x=时等号成立。
所以 的最小值为13.
【知识点】分式的混合运算；基本不等式
【解析】【分析】先将函数 化简为，然后利用基本不等式求解最小值。
29．如图，在平面直角坐标系中，已知A（7，0），B（0，-7），点C为x轴负半轴上一点，AD⊥AB，∠1=∠2。
（1）求∠BCD+∠BAD的度数；
（2）如图，若点C的坐标为（-3，0），求点D的坐标；
（3）如图②，在（2）的条件下，过点D作DE⊥y轴于点E，DF⊥x轴于点F，点M为线段DF上一点，若第一象限内存在点N（n，2n-3），使△EMN为等腰直角三角形，请求出所有符合条件的N点坐标。
【答案】（1）解：如图1中， 设CD与y轴交于点E.
∵AD⊥AB，
∴∠BAD=90°，
∵∠1+∠BCO=90°， ∠1=∠2，
∴∠BCO+∠2=90°，
∴∠BCD=90°，
∴∠BCD+∠BAD=180°，
（2）解：如图1中，
∵A(7， - 7)， B(0， - 7)，
∴直线AB的解析式为y=x-7，
∵AD⊥AB，
∴直线AD的解析式为y=-x+7，
∵C(-3， 0)， B(0， - 7)，
∴直线BC的解析式为
∵CD⊥BC，
∴直线CD的解析式为
由 ，解得
∴点D的坐标为(4，3).
（3）解：①如图2中， 作NG⊥OE于G， GN的延长线交DF于H.
∵△NEM是等腰直角三角形，
∴EN=MN， ∠ENM=∠EGN=∠MHN=90°，
∴∠GEN+∠ENG=∠MNH+∠ENG=90°，
∴∠GEN=∠MNH，
∴△ENG≌△NMH，
∴EG=NH，
∵N(n， 2n-3)， D(4， 3)，
∴HN=EG=3-(2n-3)=6-2n
∵GH=4，
∴n+6-2n=4，
∴n=2，
∴N(2， 1).②如图3中，作I 于G， 于H.
由 得GE=HM=4，
∴N(5，7)，此时点M不在线段DF上，不符合题意舍弃.
③如图4中，作于G，GN的延长线交DF于H.
由 得EG=NH=4-n，
④如图5中，作 于G， 于H.
由 得EG=MH=n-4，MG=NH=4
综上所述，满足条件的点N的坐标为(2，1)或 或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)如图1中，设CD与y轴交于点E.根据四边形内角和定理，只要证明 即可解决问题.
(2)如图1中，求出直线AB、BC的解析式，再求出直线AD、CD的解析式，利用方程组求交点D坐标.
(3)分四种情形，利用全等三角形的性质，列出方程分别求解即可.
1 / 12025年全国青少年数学思维展示活动（YCMC）迎春之星省级初赛八年级试题
一、选择题。（每题3分，共45分）
1．如图，某小区有块长为，宽为的长方形空地，现要在中间修建一个长为，宽为的花坛，则图中空白部分的面积为（　　）。
A． B． C．10 D．
2．有下列说法：
①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；②无论k取何实数，多项式总能分解成两个一次因式积的形式；③若，则t可以取的值有2个；④关于x，y的方程组，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，其中当a每取一个值时，就有一个方程，而这些方程总有一个公共解，则这个公共解是，其中正确的有（　　）。
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．若关于x的不等式组有解，且关于x的分式方程的解为非负数，设满足条件的整数a为；则的值为（　　）。
A．10 B．9 C．8 D．7
4．如图，在平面直角坐标系中，若直线y1=-x+a与直线y2=bx-4相交于点P，则下列结论错误的是（　　）。
A．方程组的解是
B．方程的解是
C．不等式和不等式的解集相反
D．不等式组的解集是
5．如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠D=30°，过点A作AE⊥BC于点E，若现将△ABE沿直线AE翻折至△AFE的位置，设AF与CD交于点G，则等于（　　）
A． B． C． D．
6．如图，当太阳光线与地面成60°的角时，测得空中热气球在地面上的影长是12m，则热气球的直径是（　　）。
A．6m B．12m C．6m D．6m
7．如图，△ABC与△DEF位似，其位似中心为点O，且D为AO的中点，则△DEF的面积比△ABC的面积少（　　）
A． B． C． D．
8．五个人站成一排，每个人戴一顶不同的帽子，编号为1、2、3、4、5.每个人只能看到前面的人的帽子，小王一顶都看不到，小孔只看到4号帽子：小田没有看到3号帽子，但看到了1号帽子；小严看到了有3顶帽子，但没有看到3号帽子：小韦看到了3号帽子和2号帽子，那么小严戴（　　）号帽子。
A．1 B．5 C．3 D．2
9．6张不同的卡片上分别写有数字3，3，6，6，9，9，从中取出3张，则这3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是（　　）。
A． B． C． D．
10．往429个盒子里装棋子，不管怎么装都至少有5个盒子里的棋子数相同，不装算0个，那么每个盒子最多能装的棋子数是（　　）。
A．108 B．105 C．107 D．106
11．矩形ABCD中，AD=，AB=2，E、F分别为矩形外的两点，BE=DF=，AF=CE=，则EF=（　　）。
A． B． C． D．
12．已知p，g均为质数，且满足5p2+3q=59，则以2p+1，2q-7p，q边长的三角形是（　　）。
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
13．如果a，b均为自然数，a除以7余2，b除以7余5，当a3>3b时，a3-3b除以7的余数是（　　）。
A．1 B．3 C．4 D．0
14．已知a，b满足（a+1）2-（b-3）+|c-4|=0，则a+b+c的值等于（　　）。
A．3 B．4 C．6 D．7
15．已知在整数n的所有约数中，最小的十个正约数分别为1、2、3、4、6、8、12、16、24、36，则n与800的最大公约数为（　　）
A．8 B．16 C．32 D．36
二、填空题。（共15分）
16．如图，已知反比例函数（k为常数，）的图象经过点A，过A点作AB轴，垂足为B，点C为y轴上的一点，若的面积为，则k的值为　 　。
17．在平行四边形中，点P从起点B出发，沿，逆时针方向向终点D匀速运动，设点P所走过的路程为x，则线段，与平行四边形的边所围成的图形面积为y，表示y与x的函数关系的图象大致如图，则边上的高是　 　．
18．若化简的结果为，则满足条件的x取值范围是　 　.
19．已知的半径为4，B，C是上两定点，点A是上一动点，且，的平分线交于点D，过点D作BC的平行线交AB的延长线于点F.下列说法中正确的是　 　.
①AD的最大值是8；②点D为上一定点；③的最大值是；④DF与相切；⑤若为锐角三角形，则。
20．设a，b是一元二次方程的两根，则的值为　 　.
三、计算题。（共15分）
21．
（1）；
（2）.
22．已知：，，求的平方根；
23．阅读理解：因式分解有多种方法，除了提公因式法，公式法，十字相乘法等，还有分组分解法，拆项法，配方法等.一般情况下，我们需要综合运用多种方法才能解决问题。
例如：分解因式.步骤：
解：原式第1步：拆项法，将拆成和；
第2步：分组分解法，通过添括号进行分组；
第3步：提公因式法和十字相乘法（局部）；
第4步：提公因式法（整体）；
第5步：十字相乘法：最后结果分解彻底。
（1）请你试一试分解因式。
（2）请你试一试在实数范围内分解因式。
24．已知，求的值。
25．已知实数x，y满足，，求的值。
四、解答题。（共25分）
26．新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做积等三角形
（1）初步尝试：如图1，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=8，P为AC上一点，当AP=　 　时，△ABP与△CBP为积等三角形；
（2）理解运用：如图2，△ABD与△ACD为积等三角形，若AB=2，AC=5，且线段AD的长度为正整数，求AD的长。
27．如图，在中，求证：
（1）若AD为的平分线，则；
（2）设D为BC上的一点，连接AD，若，则AD为的平分线。
28．求时，的最小值。
29．如图，在平面直角坐标系中，已知A（7，0），B（0，-7），点C为x轴负半轴上一点，AD⊥AB，∠1=∠2。
（1）求∠BCD+∠BAD的度数；
（2）如图，若点C的坐标为（-3，0），求点D的坐标；
（3）如图②，在（2）的条件下，过点D作DE⊥y轴于点E，DF⊥x轴于点F，点M为线段DF上一点，若第一象限内存在点N（n，2n-3），使△EMN为等腰直角三角形，请求出所有符合条件的N点坐标。
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二次根式的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意得，长方形空地的面积为
花坛的面积为
∴图中空白部分的面积为
故答案为：A.
【分析】分别求出长方形空地的面积和花坛的面积，再相减即可.
2．【答案】C
【知识点】因式分解﹣公式法；零指数幂；有理数的乘方法则；加减消元法解二元一次方程组；平行公理
【解析】【解答】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项正确；
②当k为负值时，多项式 不能分解成两个一次因式积的形式，故本选项不正确；
③当 时，故本选项正确；
④新方程为(a-1)x+(a+2)y=2a-5，
∵a每取一个值时，就有一个方程，而这些方程总有一个公共解，
∴当(a=1时，y=-1，
当a=-2时，x=3
所以公共解是，故本选项正确；
综上正确的说法是3个，
故答案为：C.
【分析】利用平行公理对①判断，利用平方差公式的特点对②分析，③通过0指数、底数为1，底数为-1对代数式进行分类讨论得结果，④抓住a取每一个值方程的解都相同，求出x、y的值.
3．【答案】C
【知识点】去分母法解分式方程；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：不等式组整理得：，
由不等式组有解，得到-5≤x解得：a>-5，
分式方程去分母得：ax-x+2=-3x，
解得：
∵关于x的分式方程 的解为非负数，
解得
当a=-1时，x=1l(不合题意舍去)
∵a为整数，
则满足题意的整数a的值的和是|-2-3-4+0+1|=8.
故答案为：C.
【分析】不等式组整理后，由题意确定出a的范围，分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，检验即可.
4．【答案】C
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与一元一次方程的关系；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数与二元一次方程（组）的关系；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：
解：A、由题意可知方程组的解是 无法求出方程组 的解，故A符合题意.
B、由图可知直线 与直线 -4的交点P的坐标为(1，-3)，
∴方程-x+a=bx-4的解是x=1，故B正确，不符合题意；
C、不等式-x+a<-3的解集为x>1，不等式bx-4>-3的解集为x>1，
∴不等式-x+a<-3和不等式bx-4>-3的解集相同，故C错误，符合题意；
D、把(1，-3)代入y1=-x+a得a=-2，则y1=-x-2与x轴的交点坐标为(-2，0)
不等式bx-4<-x+a<0的解集是-2故答案为：C.
【分析】根据一次函数与一元一次方程，一次函数与二元一次方程，一次函数与一元一次不等式，分析判断即可.
5．【答案】D
【知识点】菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；8字型相似模型；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵ABCD是菱形，
∴ AB=AD=BC=CD=4，∠B=∠D=30°，
在 中，
根据折叠性质可得
∵AD∥CF，
故答案为：D.
【分析】先利用 直角三角形的性质，求出BE，再根据折叠性质求得BF，从而得到CF长，最后根据 即可得出AG与FG的比值.
6．【答案】C
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：如图，
热气球的直径
故答案为：C.
【分析】根据题意画出图形，根据正弦的定义解答即可.
7．【答案】A
【知识点】相似三角形的性质-对应面积；位似图形的性质
【解析】【解答】解：解： 与 位似，
与 的面积比
与的面积比为1：4，
故答案为：A.
【分析】根据位似图形的概念得到 F，根据相似三角形的性质解答即可.
8．【答案】C
【知识点】逻辑推理
【解析】【解答】解：解：根据分析，首先从“小王一顶都看不到”判断出小王排在第一位的位置上；
然后从“小孔只看到4号帽子”判断出小孔排在第二的位置上；
接着从“小严看到了有3顶帽子”判断出小严在第四的位置上；
结合小田没看到3，小韦看到3对比可知小田在第三位，小韦在第五位；
由于第二位的小孔只看到4，所以小王的帽子编号为4；
由第三位的小田看到1，可知第二位的小孔的帽子编号为1；
因为第四位的小严没看到3，而第五位的小韦看到了3和2，
所以小田帽子编号为2，小严帽子编号为3，小韦帽子编号为5.
故答案是：C.
【分析】按题意，从“小王一顶都看不到”判断出小王排在第一位的位置上；然后从“小孔只看到4号帽子”判断出小孔排在第二的位置上；接着从“小严看到了有3顶帽子”判断出小严在第四的位置上；再结合五个人说的话，可以判断小严戴几号帽子.
9．【答案】B
【知识点】三角形三边关系；概率公式
【解析】【解答】解：从6张卡片取3张，共有20种取法，要使得三个数字可以构成三角形的三边长，只可能是：
(3， 6， 6)，(6， 6， 9)，(3， 9， 9)，(6， 9， 9)
由于不同的卡片上所写数字有重复
∴取出的3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的情况共有4×2=8种
∴这3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是
故答案为：B.
【分析】求出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得.
10．【答案】D
【知识点】抽屉原理
【解析】【解答】解：根据题意得，装有0，1，2，…，106个棋子的盒子各有4个，共107×4=428(个)盒子，
∴再增加一个盒子，只能装，0~106个棋子，
∴至少有5个盒子里的棋子数相同，即每个盒子最多能装的棋子数是 106.
故答案为：D.
【分析】根据题意可得装有0，1，2，…，106个棋子的盒子各有4个，共107×4=416个盒子，再增加一个盒子，只能装0~106个棋子，则至少有5个盒子里的棋子数相同，即可解答.
11．【答案】D
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；矩形的性质；相似三角形的判定-AA；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：延长FD交EC的延长线于点M，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=， BC=AD=，∠BCD=∠ADC=90°，
∵AF=， DF=，
∴△ADF是直角三角形， ∠AFD =90°，
同理可证△CBE是直角三角形，
∴∠ADF =∠CBE， ∠DAF =∠BCE， ∠ADF+∠DAF=90°， ∠CBE+∠BCE=90°，
∴∠ADF+∠BCE=90°
又∵∠ADF+∠CDM =90°， ∠MCD+∠BCE =90°，
，
在中，
故答案为：D
【分析】延长FD交EC的延长线于点M，可证明是直角三角形，证明. 得出对应边成比例求出CM=2DF=，DM=2AF=，得出MF=DF+DM=，ME=CE+CM=，在 中，由勾股定理即可求出EF的长.
12．【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理；质数与合数；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：由于 p，q均为质数，且满足 59，则p，q中有一个是偶质数，
因此p=2，q=13.
故2p+1=5，2q-7p=12，
因为52+122=132，
所以此三角形是直角三角形，
故答案为：B.
【分析】先根据质数求出p=2，q=13，即可求出 2p+1，2q-7p，q 的值，根据勾股定理的逆定理判断即可.
13．【答案】D
【知识点】整式的混合运算；同余定理；因式分解的应用-判断整除
【解析】【解答】解：设a=7m+2，b=7n+5，其中m，n为非负整数，则
a3-3b
=(7m+2)3-3(7n+5)
=343m3+189m2+56m+8-21m-15
=343m3+189m2+35m-7
=7(49m3+27m2+5m-1)
∴ a3-3b除以7的余数是0，
故答案为：D.
【分析】设a=7m+2，b=7n+5，然后代入a3-3b求得7(49m3+27m2+5m-1)，然后得到余数解答即可.
14．【答案】C
【知识点】偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：根据题意，得，
解得a=-1，b=3，c=4，
所以a+b+c=-1+3+4=6.
故答案为：C.
【分析】根据完全平方和算术平方根以及绝对值都是非负数，列出方程求解即可.
15．【答案】B
【知识点】最大公因数与最小公倍数
【解析】【解答】解：1、2、3、4、6、8、12、16、24、36最小公倍数是144，
144与800的最大公因数是48，
∴n与800的最大公因子是16.
故答案为：B.
【分析】根据有理数的乘法，求出所有因数的最小公倍数，然后求出与800的最大公因数，即为最大公因数.
16．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的一点一垂线型
【解析】【解答】解：设A (a， b) ， 则OB=-a，AB=b，
即：
故答案为：.
【分析】反比例函数中k的值与点A的坐标有关，设出点A的坐标，表示出三角形的面积，进而求出k的值.
17．【答案】4
【知识点】平行四边形的性质；动点问题的函数图象；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：由图像得，
，，，
∴，
解得：，
故答案为：4．
【分析】由图象可得，，，再根据平行四边形面积建立方程，解方程即可求出答案.
18．【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：∵.
∴即
故答案为：
【分析】先根据二次根式化简，然后根据去绝对值计算得到x的取值范围解答即可.
19．【答案】①②③④⑤
【知识点】切线的判定；圆-动点问题；相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：①当A在优弧BC的中点时，
AD为直径，值最大，最大值为8，故①正确.
的平分线交⊙O于点D，
∵B， C是⊙O上两定点，
∴点D为BC上一定点，故②正确.
③∵B， C是⊙O上两定点，
∴BC的长度不变，
则当 时， 的高最大，设AD与BC交于点H， 连接OB， OC，
故③正确.
④连接OD，
∵OD为⊙O的半径，
∴DF为圆的切线，故④正确.
⑤如图， OD与BC交于点Q，
当 时，AC为直径，
∴四边形BQDF为矩形，
如图，连接BD， AB为直径，
为等边三角形，
同理可得，
，
∴若 为锐角三角形，则 ，故⑤正确.
∴正确的有①②⑤.
故答案为： ①②③④⑤.
【分析】①由圆周角定理可知，当A在优弧BC的中点时，AD为最大值，即可得出结论，
②由 的平分线交⊙O于点D， ，可得 再由B，C是⊙O上两定点即可得出结论，
③当 时， 最大，再由勾股定理求出高，即可求出面积得出结论，
④连接OD，根据平行线的性质和切线的定义，得出DF与⊙O相切，即可得出结论，
⑤分别求出 时， 时， 即可得出 为锐角三角形的范围.
20．【答案】16
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵a，b 是一元二次方程 的两根，
=4a(a+1)+4b+4(b+1)
=4(a+1)+4a+8b+4
=8(a+b)+8=16.
故答案为：16.
【分析】根据根与系数的关系得到将其整体代入式子化简解答即可.
21．【答案】（1）解：原式=-13-5-15+39=6
（2）解：原式=
=0
【知识点】有理数的加、减混合运算；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】（1）根据有理数的加减即可求出答案.
（2）根据有理数的混合运算，结合有理数的乘方即可求出答案.
22．【答案】解：，，
，
，
则，
的平方根为．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的混合运算；开平方（求平方根）
【解析】【分析】根据分式的乘法，加法可得xy，x+y，根据完全平方公式化简代数式，再整体代入，结合平方根定义即可求出答案.
23．【答案】（1）解：
=x(x+1)(x-1)-6(x-1)
=(x-1)(x+3)(x-2)
（2）解：

【知识点】因式分解﹣十字相乘法；因式分解-分组分解法；因式分解-平方差公式；因式分解﹣添（拆）项法；因式分解（奥数）
【解析】【分析】 (1) 通过拆项法将-7x拆成-x和-6x，然后利用分组法和提公因式法进行因式分解；
(2)先利用十字相乘法对 进行因式分解，再利用平方差公式继续分解.
24．【答案】解：，
∴a+1=0或a2+a+1=0，
解得a=-1，
∴，
【知识点】高次方程；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】先对 进行因式分解，求出a的值，再将a的值代入 进行计算.
25．【答案】解： 由条件 整理得
即
将x+y=3代入上式得
解得xy=1或xy=3(舍去).
则
所以
【知识点】分式的混合运算；因式分解法解一元二次方程；求代数式的值-整体代入求值；整式条件求值
【解析】【分析】先由条件整理求出xy=1，然后把 化为，然后整体代入x+y和xy的值解答即可.
26．【答案】（1）3
（2）解：如图，延长AD至E，使DE=AD，连接CE，
∵△ABD与△ACD为积等三角形，
∴BD=CD
∵AB//EC
∴∠BAD=∠E，
∵∠ADB=∠EDC
∴△ADB≌△EDC(AAS)
∴AD=DE，AB=EC=2.
∵AC=5
∴5-2∴3<2AD<7，
∴
∵AD为正整数，
∴AD=2或3
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-AAS；倍长中线构造全等模型；全等三角形中对应边的关系；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图中，在AC上截取AP=3，
在Rt△ABC中，∠C=90°，
∵AP=PC=3
∴S△PAB=S△PBC，
∵△ABP与△PBC不全等
∴△ABP与△CBP为积等三角形，当AP=3时，△ABP与△CBP为积等三角形；
故答案为：3.
【分析】(1)求出AC=6，根据新定义“积等三角形”可得出答案；
(2)延长AD至E，使DE=AD，连接CE，证明△ADB≌△EDC(AAS)， 得出AD=DE，AB=EC=2，根据三角形三边关系可得出答案.
27．【答案】（1）证明：如图，过D作DM⊥AC于M，DN⊥AB于N，
∵AD是△ABC 的角平分线，
∴DM＝DN，
；
（2）证明：
又，
，
又，
平分 ， 即 AD 为 的平分线.
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）过D作DM⊥AC于M，DN⊥AB于N，然后根据角平分线的性质得到DM＝DN，然后根据三角形的面积公式推理证明即可；
（2）过D作DM⊥AC于M，DN⊥AB于N，根据三角形的面积公式得到DM=DN，然后根据角平分线的判定定理得到结论即可.
28．【答案】解：因为x>0，
所以 ，
当且仅当 即x=时等号成立。
所以 的最小值为13.
【知识点】分式的混合运算；基本不等式
【解析】【分析】先将函数 化简为，然后利用基本不等式求解最小值。
29．【答案】（1）解：如图1中， 设CD与y轴交于点E.
∵AD⊥AB，
∴∠BAD=90°，
∵∠1+∠BCO=90°， ∠1=∠2，
∴∠BCO+∠2=90°，
∴∠BCD=90°，
∴∠BCD+∠BAD=180°，
（2）解：如图1中，
∵A(7， - 7)， B(0， - 7)，
∴直线AB的解析式为y=x-7，
∵AD⊥AB，
∴直线AD的解析式为y=-x+7，
∵C(-3， 0)， B(0， - 7)，
∴直线BC的解析式为
∵CD⊥BC，
∴直线CD的解析式为
由 ，解得
∴点D的坐标为(4，3).
（3）解：①如图2中， 作NG⊥OE于G， GN的延长线交DF于H.
∵△NEM是等腰直角三角形，
∴EN=MN， ∠ENM=∠EGN=∠MHN=90°，
∴∠GEN+∠ENG=∠MNH+∠ENG=90°，
∴∠GEN=∠MNH，
∴△ENG≌△NMH，
∴EG=NH，
∵N(n， 2n-3)， D(4， 3)，
∴HN=EG=3-(2n-3)=6-2n
∵GH=4，
∴n+6-2n=4，
∴n=2，
∴N(2， 1).②如图3中，作I 于G， 于H.
由 得GE=HM=4，
∴N(5，7)，此时点M不在线段DF上，不符合题意舍弃.
③如图4中，作于G，GN的延长线交DF于H.
由 得EG=NH=4-n，
④如图5中，作 于G， 于H.
由 得EG=MH=n-4，MG=NH=4
综上所述，满足条件的点N的坐标为(2，1)或 或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)如图1中，设CD与y轴交于点E.根据四边形内角和定理，只要证明 即可解决问题.
(2)如图1中，求出直线AB、BC的解析式，再求出直线AD、CD的解析式，利用方程组求交点D坐标.
(3)分四种情形，利用全等三角形的性质，列出方程分别求解即可.
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