资源简介

宁夏回族自治区2026年初中学业水平考试数学模拟卷(二)
(考试时间：120分钟，满分：120分)
一、选择题(本题共8小题，每小题3分，共24分)
1．我国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．如果大风车顺时针旋转66°，记作＋66°，那么大风车逆时针旋转88°，记作(A)
A．－88° B．＋88° C．－22° D．＋22°
2．下列运算中结果正确的是(B)
A．4x－2x＝2 B．x2÷x2＝1 C．(x－3)2＝x2－9 D．(2x2)3＝6x6
3．如图，若将钟面上的12时作为正北方向，3时作为正东方向，则8时可以描述为(D)
A．北偏西60°方向 B．北偏西30°方向
C．南偏西30°方向 D．南偏西60°方向
4．如图所示的是某几何体的主视图和俯视图，则该几何体为(C)
A. B. C. D.
5．《九章算术》中有这样一道数学问题，原文如下：清明游园，共坐八船，大船满六，小船满四，三十八学子，满船坐观．请问客家，大小几船．若设有x只大船，则可列方程为(D)
A．4x＋6(x－8)＝38 B．4x＋6(8－x)＝38
C．4x＋6x＝38 D．6x＋4(8－x)＝38
6．下列叙述中错误的是(D)
A．平面直角坐标系的两条坐标轴是互相垂直的
B．高矮不同的两个人在同一盏路灯下同一时刻的影子有可能一样长
C．方程x2＝x的根是x1＝0，x2＝1
D．对角线相等且互相平分的四边形是菱形
7．如图，Rt△ABO中，∠AOB＝90°，点A在第一象限，点B在第二象限，且AO∶BO＝1∶2，若经过点A的反比例函数解析式为y＝，则经过点B的反比例函数解析式为(C)
A．y＝ B．y＝－ C．y＝－ D．y＝－
8．如图，学生甲在凉亭A处测得湖心岛C在其南偏西15°的方向上，又从A处向正东方向行驶300 m到达凉亭B处，测得湖心岛C在其南偏西60°的方向上，则凉亭B与湖心岛C之间的距离为(B)
A．150 m
B．(150＋150)m
C．(150＋100)m
D．(400－100)m
二、填空题(本题共8小题，每小题3分，共24分)
9．计算：5＋＝10.
10．如图，已知抛物线y2＝x2－x与直线y1＝x交于点O，A(3，2)，与x轴交于点B(2，0)．若y1>y2>0，则x的取值范围是211．因式分解：a2＋3a＝a(a＋3)．
12．一只不透明的袋子中装有若干个红球和8个白球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.4，则袋子中有红球12个．
13．如图，AB是⊙O的直径．C是的三等分点，D是的中点，且位于直径AB的两侧，连接OC，BC，AD，CD，则∠OCD的度数为15°.
14．在一场趣味数学游戏中，玩家输入两个数字m，n，游戏系统根据加密规则生成两个密文：m＋2n－p，2m＋n－p.若玩家收到的密文为16和13，已知m＋n＝10，则p的值是.
15．正五边形ABCDE和正三角形PCM按如图方式叠放在一起，B，P，C三点在同一直线上，PM经过点A，则∠EAM的度数为24°.
16.如图①，正方体的棱长为10 cm，正方体的顶点A处有一只小虫，它沿着正方体的表面爬行到点B处，如图②是正方体的部分侧面展开图，求小虫爬行的最短路线A1B1的长是10cm.
三、解答题(本题共10小题，其中17～22题每小题6分，23、24题每小题8分，25、26题每小题10分，共72分)
17．解方程组：
解：②×2，得4x＋6y＝2，③
③－①，得7y＝－7，解得y＝－1，
把y＝－1代入①，解得x＝2，∴方程组的解是
18．先化简，再求值：÷，其中x＝.
解：原式＝·＝－·＝－.
当x＝时，原式＝－＝－.
19．如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC于点D，E为AB中点．以点D为圆心，适当长为半径画弧，交DE于点M，交DB于点N，分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，过点E作EF∥BC交射线DP于点F，连接BF，AF.
(1)判断EF与ED的数量关系为EF＝DE；
(2)求证：四边形BDEF是菱形．
(2)证明：由(1)知，EF＝ED＝BD，EF∥BD，
∴四边形BDEF是平行四边形，
∵DE＝BD，∴四边形BDEF是菱形．
20.如果一个四位自然数abcd的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足ab－bc＝cd，那么称这个四位数为“递减数”．例如：四位数4 129，∵41－12＝29，∴4 129是“递减数”．
(1)判断四位数5 324是不是“递减数”；
(2)若一个“递减数”为a312，求这个“递减数”；
(3)若一个“递减数”的前三个数字组成的三位数abc与后三个数字组成的三位数bcd的和能被9整除，直接写出满足条件的递减数的最大值．
解：(1)∵53－32＝21≠24，∴5 324不是“递减数”．
(2)由题意得10a＋3－31＝12，解得a＝4.
答：这个“递减数”是4 312.
(3)由题意得10a＋b－(10b＋c)＝10c＋d.
∴10a－9b－11c＝d，
∴100a＋10b＋c＋100b＋10c＋d
＝100a＋10b＋c＋100b＋10c＋10a－9b－11c
＝110a＋101b
＝99(a＋b)＋11a＋2b，
∴是整数，
当a＝9时，此时b只能取0，不符合题意，舍去；
当a＝8时，b＝1，此时71－11c＝d，c取9或8或7时，均不符合题意，
只有c＝6时，d＝5.
故符合条件的递减数的最大值是8 165.
21.某校组织学生开展课外研学活动，现有甲、乙两种大客车可租，甲种客车每辆载客量45人，乙种客车每辆载客量30人，已知1辆甲种客车的租金是400元，1辆乙种客车的租金是280元．
(1)小王租用两种客车需付租金1 240元，则甲、乙两种客车各租了多少辆？
(2)学校本次共需租车8辆，原计划租用甲、乙两种客车各4辆，实际报名参加活动的师生有329人，按交通规则所有车辆不能超载，请通过计算说明原方案是否可行？请直接算出使本次活动不超载且最节省的租车费用．
解：(1)设甲客车租了x辆，乙客车租了y辆，由题意得
400x＋280y＝1 240，由x，y均为正整数，解得x＝1，y＝3.
答：甲客车租了1辆，乙客车租了3辆．
(2)根据题意可得4×30＋4×45＝300(人)＜329人，∴原方案不可行．
设租用甲客车a辆，则租用乙客车(8－a)辆，设租车费用为W元．根据题意，得
W＝400a＋280(8－a)＝120a＋2 240，W随a的增大而增大．
由45a＋30(8－a)≥329，解得a≥，
∵a是正整数，
∴a＝6时，W最小＝120×6＋2 240＝2 960(元)，此时8－a＝2.
答：原方案不可行，当租用甲客车6辆，乙客车2辆时，本次活动不超载且最节省的租车费用是2 960元．
22．如图，⊙P经过A，B，C三个格点，请仅用无刻度的直尺作图，
(1)画出圆心P；
(2)画弦BD，使BD平分∠ABC.
解：(1)如图所示，点P即为所求．
(2)如图所示，BD即为所求．
23．随着AI技术的发展，越来越多的人借助AI软件协助办公，极大地提高了工作效率．某公司为了解员工学习和使用AI软件情况，对部分员工每天学习和使用的累计时间t(单位：min，t为整数，且30≤t＜150)进行了统计调查．
【数据收集与整理】将调查得到的数据进行整理，分成A，B，C，D四组：
A组：30≤t＜60，B组：60≤t＜90，C组：90≤t＜120，D组：120≤t＜150.
【数据描述与分析】根据抽查统计的数据，绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据提供的信息，解答下列问题：
(1)这次抽样调查的人数是60人，并补全频数分布直方图；
(2)在扇形统计图中，A组所在扇形的圆心角度数是48°；
(3)该公司共有300人，请估计该公司平均每天学习和使用不少于90 min的人数；
(4)根据调查结果，请对“借助AI软件协助办公”的学习和使用情况进行评价或给出一条建议．
抽查的员工每天学习和使用时间频数分布直方图
　　
抽查的员工每天学习和使用时间扇形统计图
解：(1)这次抽样调查的人数为15÷25%＝60(人)，B组人数为60×20%＝12(人)，
补全频数分布直方图如图所示．
(3)×300＝200(人)，
∴估计该公司平均每天学习和使用不少于90 min的人数是200.
(4)建议员工每天学习和使用“借助AI软件协助办公”的时间为90～120 min，这样更能提高工作效率．(答案不唯一)
24．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，⊙O经过A，B两点，与斜边BC交于点E，连接AO并延长交⊙O于点D，交BC于点G，过点E作EF∥AD交AC于点F.
(1)求证：EF是⊙O的切线；
(2)若AO＝2，tan∠DAB＝，求CG的长．
(1)证明：连接OE，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠C＝∠B＝45°，
∴∠AOE＝2∠B＝90°，∵EF∥AD，∴∠OEF＝90°，
∵OE是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线．
(2)解：连接BD，∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，
∵tan∠DAB＝＝，∴设BD＝x，则AB＝3x，
∴AD＝＝x＝4，∴x＝4.
∴BD＝4，AB＝12，∴AC＝AB＝12，∴BC＝AB＝12，
∵∠CAB＋∠ABD＝180°，∴AC∥BD，∴△ACG∽△DBG，
∴＝，∴＝，∴CG＝9.
25.如图①，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A，B(3，0)两点，与y轴交于点C(0，－3)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)M是第四象限抛物线上一点，当四边形ABMC的面积最大时，求点M的坐标和四边形ABMC的最大面积；
(3)如图②，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是以BC为斜边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)把B，C两点坐标代入抛物线的解析式得解得
∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3.
(2)连接BC，过点M作x轴的垂线交BC于点N，令y＝x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3，
∴A(－1，0)，∴AB＝3－(－1)＝4，∵OC＝3，∴S△ABC＝AB·OC＝×4×3＝6，
∵B(3，0)，C(0，－3)，∴直线BC的解析式为y＝x－3，
设M(x，x2－2x－3), 则N(x，x－3)，
∵M在第四象限，∴MN＝x－3－(x2－2x－3)＝－x2＋3x，
S△MBC＝MN·OB＝－x2＋x＝－＋，当x＝时，S△MBC的最大值为，
∴当M为时，四边形ABMC的面积有最大值为.
(3)存在，在抛物线的对称轴上存在点P，使△PBC是以BC为斜边的直角三角形．取BC中点D，过点D作抛物线对称轴的垂线，垂足为Q，
在Rt△OBC中， 由勾股定理得BC＝3，由题意，当∠BPC＝90°时， PD＝BC＝，
易求D，抛物线的对称轴为直线x＝1，
设点P坐标为(1，n)，DQ＝－1＝，PQ＝，由PQ2＋DQ2＝PD2，得
＋＝2，解得n1＝，n2＝.
∴点P的坐标为1，或1，.
26.在 ABCD中，∠C＝45°，AD＝BD，P为边CD上的动点(点P不与点C、点D重合)，连接AP，过点P作PE⊥AP交直线BD于点E.
(1)观察发现：如图①，当P是边CD的中点时，PA＝PE，∠DAP＝∠E(选填“＞”“＝”或“＜”)，试说明理由；
(2)探究迁移：如图②，当P是边CD上任意点时，此时(1)中的结论还成立吗？数学小组对此进行了讨论，发现和第(1)问方法类似，请说明理由；
(3)拓展应用：在点P运动过程中，直接写出线段DE，DA，DP之间的数量关系．
① ②
解：(1)理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB，AD∥BC，
∵AD＝BD，∴BC＝BD，
∴∠BDC＝∠C＝45°，
∴△BDC是等腰直角三角形，
∵P为线段CD的中点，
∴DP＝BP，∠CPB＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠ADP＝∠PBE＝135°，∵EP⊥AP，∴∠APE＝∠DPB＝90°，
∴∠APD＝∠BPE，∴△ADP≌△EBP(ASA)，∴PA＝PE，∠DAP＝∠E.
(2)解：(1)中结论还成立，理由：过点P作PF⊥CD交DE于点F，
∵PF⊥CD，EP⊥AP，∴∠DPF＝∠APE＝90°，
∴∠DPA＝∠FPE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠C＝∠DAB＝45°，AB∥CD，
∵AD＝BD，∴∠DAB＝∠DBA＝∠C＝∠CDB＝45°，∴∠ADB＝∠DBC＝90°，
∴∠PFD＝45°，∴∠PFD＝∠PDF＝45°，∴PD＝PF，
∴∠PDA＝∠EFP＝135°，∴△ADP≌△EFP(ASA)，∴PA＝PE，∠DAP＝∠E.
(3)由(2)知，△ADP≌△EFP，∴AD＝EF，
∵PD＝PF，∠PFD＝∠PDF＝45°，∴△PDF是等腰直角三角形，
∴DF＝＝PD，
∵DE＝DF＋EF，∴DE＝DF＋DA，∴DE－DA＝DP.

展开更多......

收起↑