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宁夏回族自治区2026年初中学业水平考试数学模拟卷(一)
(考试时间：120分钟，满分：120分)
一、选择题(本题共8小题，每小题3分，共24分)
1．如图，若数轴上点A表示的数是＋2，则点B表示的数为(A)
A．－2 B．0 C．2 D．4
2．将直尺和三角板按如图所示的位置放置．若∠1＝40°，则∠2的度数是(B)
A．60° B．50° C．40° D．30°
3．下列计算中正确的是(D)
A．a2·a3＝a6 B．(－a3b)2＝－a6b2 C．a6÷a3＝a2 D．(a2)3＝a6
4．如图，一个圆柱体在正方体上沿虚线从左向右平移，平移过程中不变的是(B)
A．主视图 B．左视图
C．主视图和俯视图 D．俯视图
5．《孙子算经》中有一道题，原文：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何．”意思：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，则木长多少尺？若设绳子长x尺，木长y尺，可列方程组为(B)
A. B.
C. D.
6．下列判断中正确的是(B)
A．角是轴对称图形，对称轴是角平分线
B．在同一时刻的阳光下，小明影子比小强的影子长，但在同一路灯下，无法判断谁的影子长
C．若a是有理数，b是无理数，则a＋b是有理数
D．对角线相互垂直的四边形是菱形
7．如图，矩形OABC的对角线OB与反比例函数y＝(x>0)相交于点D，且＝，则矩形OABC的面积为(B)
A．50 B．25 C．15 D.
8．综合实践课上，某学校航模小组用无人机测量古树AB的高度．如图，点C处与古树底部A处在同一水平面上，且AC＝10 m，无人机从C处竖直上升到达D处，测得古树顶部B的俯角为45°，古树底部A的俯角为65°(参考数据：sin 65°≈0.906，cos 65°≈0.423，tan 65°≈2.145)，则古树AB的高度约为(A)
A．11.5 m B．12.5 m C．8.9 m D．9.6 m
二、填空题(本题共8小题，每小题3分，共24分)
9.－2的相反数是2－.
10．已知关于x，y的二元一次方程组的解为则关于x的一次函数y＝kx＋b，y＝mx＋n的交点坐标为(2，6)．
11．某地铁站的进站口共有3个检票闸机，若甲、乙两人各随机选择一个闸机检票进站，则甲、乙两人从相邻的闸机检票进站的概率是.
12．不等式组的解集是x<3.
13．已知点O是△ABC的内心，连接OA，OC，若△OCA的高OD＝3，则点O到边AB的距离为3.
14．某一游戏规则如下：将2，4，5，6，13，－6，－9，－11分别填入图中圆圈内，使横、竖以及内外两圆上的4个数字之和都相等，部分已填入，则图中c＋d－(a＋b)的值为－11.
15．足球的表面是由12块正五边形的黑皮和20块正六边形的白皮围成的，将足球上的一块黑皮和与它相邻的一块白皮展开放平如图所示，则∠AOB的度数为132°.
16．某同学发现家里的锅盖可以近似看作一个圆锥，测量得母线长为50 cm，高度为30 cm，通过计算，这个圆锥的侧面展开图的弧长为80πcm.
三、解答题(本题共10小题，其中17～22题每小题6分，23、24题每小题8分，25、26题每小题10分，共72分)
17．计算：()－1－2cos 30°＋|3－|.
解：原式＝2－2×＋2－3＝－1.
18．先化简，再求值：÷(＋x－2)，其中x＝－1.
解：原式＝÷＝·＝.
当x＝－1时，原式＝＝1.
19．如图，在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，用直尺和圆规进行如下操作：
①分别以B，D为圆心，以大于BD的长为半径画弧，两弧交于P，Q两点，PQ交AD于点E，连接BE；②以B为圆心，BE的长为半径画弧，交PQ于点C，连接CD.
根据操作解答下列问题：
(1)BE与AD的数量关系是BE＝AD；
(2)连接AC，若AC平分∠BAD，BC＝1，求AC的长．
解：(2)由作图可知，BE＝ED＝CD＝BC＝1，
∴四边形BEDC是菱形，∴BC∥AD，BE∥CD，∴∠ACB＝∠CAD，
∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠CAD，∴∠BAC＝∠ACB，
∴AB＝BC＝1，AD＝2，∵AB＝AE＝BE＝1，∴△ABE是等边三角形，∵CA平分∠BAD，
∴AC⊥BE，∵BE∥CD，∴AC⊥CD，∴∠ACD＝90°，∴AC＝＝.
20．若一个三位数，其百位数字减去十位数字的差等于十位数字减去个位数字的差，那么我们称这个三位数为“等差数”，例如246，321.
(1)在579，864，396，630这四个数中，不是“等差数”的是396；
(2)已知一个“等差数”的百位数字比十位数字小3，且其各位数字之和是15，求这个“等差数”；
(3)喜欢动脑筋的小芳在计算642－246与753－357的结果后，发现两个算式的结果均为396，于是，小芳猜想：将任意一个百位数字比十位数字大2的“等差数”的百位数字与个位数字对调后，得到的新“等差数”会比原来的“等差数”小396.请证明小芳的猜想是否正确．
解：(2)设这个“等差数”的十位数字为x，则百位数字为x－3，个位数字为x＋3，由题意，得
x＋(x－3)＋(x＋3)＝15，解得x＝5，∴x－3＝2，x＋3＝8，∴这个“等差数”为258.
(3)正确．证明：设“等差数”的十位数字为m，则百位数字为m＋2，个位数字为m－2.依题意可得
[100(m＋2)＋10m＋(m－2)]－[100(m－2)＋10m＋(m＋2)]
＝100m＋200＋10m＋m－2－100m＋200－10m－m－2＝396.
∴小芳的猜想正确．
21．某机器人模型店看准商机，购进了“灵巧”和“迅捷”两种机器人模型．已知“灵巧”模型的进价为每个25元，“迅捷”模型的进价为每个20元．
(1)小明购买这两种模型恰用钱95元，则“灵巧”和“迅捷”模型各购买了多少个？
(2)该机器人模型店计划购进两种模型共120个，且每个“灵巧”模型的售价为35元，每个“迅捷”模型的售价为27元．设购进“灵巧”模型a个，销售这批模型的利润为w元．若购进“灵巧”模型的数量不超过“迅捷”模型数量的，则购进“灵巧”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？
解：(1)设购进“灵巧”模型x个，“迅捷”模型y个，由题意得
25x＋20y＝95，
∵x，y均为正整数，
∴解得x＝3，y＝1.
答：小明购买“灵巧”模型3个，“迅捷”模型1个．
(2)由题意，得w＝(35－25)a＋(27－20)(120－a)＝3a＋840.
又∵a≤(120－a)，∴a≤30.
∵w＝3a＋840，k＝3＞0.
∴当a＝30时，wmax＝3×30＋840＝930(元)．
答：购进“灵巧”模型30个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润为930元．
22．如图，在6×6的正方形网格中，A，B，C，D均为小正方形的格点，请仅用无刻度的直尺作图(保留作图痕迹，描出必要的格点)．
(1)在图①中作出△ABC的外心D；
(2)图②中D是AB的中点，作出BC边上的点F(不与点B重合)，使得BD＝DF.
　　　　
① ②
解：(1)如图①，点D即为所求．
(2)如图②，点F即为所求．
23.【研究课题】膳食中维生素含量调查研究
【课题背景】维生素是人体代谢中必不可少的有机化合物．主要来源于新鲜蔬菜水果、全谷类、肉类和鱼类等食物．均衡饮食是摄取各类维生素的最佳方式．某小组研究某些蔬菜中维生素C的含量．
【数据调查与收集】该小组选取西兰花和苦瓜样品50份(每份均以100 g可食部分计)，分别研究其中维生素C的含量，整理数据并绘制了如图所示两种蔬菜样本维生素C含量的频数分布直方图(每组含最小值，不包含最大值)．
请认真阅读上述信息，回答下列问题：
(1)补全频数分布直方图；这批西兰花样品中维生素C含量的中位数出现在48～52组，苦瓜样品中维生素C含量的中位数出现在52～56组；
(2)将每组数据取中间值，即40～44组取42，44～48组取46，……，可按如下方法求出这批西兰花样品中维生素C每100 g的平均含量：(42×2＋46×13＋……＋66×1＋70×1)÷50＝51.28(mg/100 g)．请按照这一方法求这批苦瓜样品中维生素C每100 g的平均含量，结合两个统计量对两种蔬菜维生素C含量情况作出比较．
西兰花中维生素C含量频数分布直方图
　　
苦瓜中维生素C含量频数分布直方图
解：(1)补全图形如图所示．
(2)根据题意可得
×(42×3＋46×4＋50×9＋54×15＋58×11＋62×3＋66×4＋70×1)＝54.56(mg/100 g)，
∴这批苦瓜样品中维生素C每100 g的平均含量大于这批西兰花样品中维生素C每100 g的平均含量．
24.如图，AB是⊙O的直径，D，E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD＝BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE，DE，DF.
(1)求证：AB＝AC；
(2)设DE交AB于点G，若DF＝4，cos B＝，E是的中点，求EG·ED的值．
(1)证明：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，
又∵CD＝BD，
∴AD垂直平分BC，∴AB＝AC.
(2)解：连接OE，由条件可知∠CFD＝∠B，
∵AB＝AC，∴∠C＝∠B，∴∠C＝∠CFD，∴CD＝DF，
∴BD＝DF＝4，在Rt△ABD中，cos B＝＝，∴AB＝6，∴AO＝OE＝3，
∵E是的中点，AB是⊙O的直径，
∴∠AOE＝90°，∴AE2＝OA2＋OE2＝18，
∵E是的中点，∴∠ADE＝∠EAB，∴△AEG∽△DEA，
∴＝，∴EG·ED＝AE2＝18.
25.在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A(－4，0)，B(2，0)，与y轴交于点C(0，－4)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图①，如果把抛物线x轴下方的部分沿x轴翻折180°，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象．当平面内的直线y＝kx＋6与新图象有三个公共点时，求k的值；
(3)如图②，如果把直线AB沿y轴向上平移至经过点D，与抛物线的交点分别是E，F，直线BC交EF于点H，过点F作FG⊥CH于点G，若＝2，求点F的坐标．
　　
① ②
解：(1)抛物线的解析式为y＝x2＋x－4.
(2)抛物线沿x轴翻折后的部分函数解析式为y＝－x2－x＋4，
当k＞0，直线y＝kx＋6经过点A(－4，0)时，
－4k＋6＝0，解得k＝，此时函数与直线有三个交点；
当kx＋6＝－x2－x＋4有两个相同的实数根时，Δ＝(k＋1)2－4＝0，
解得k＝1或k＝－3(舍)；
当0＜k＜1时，直线y＝kx＋6与新图象只有2个公共点，不符合题意；
当1当k>时，直线y＝kx＋6与新图象有2个公共点，不符合题意；
∴当k＝1或时，直线y＝kx＋6与新图象有三个公共点；
当k＜0，kx＋6＝－x2－x＋4有一个解时，Δ＝(k＋1)2－4＝0，
解得k＝1(舍)或k＝－3，∵直线y＝－3x＋6经过点B(2，0)，
∴当k＜0时，直线y＝kx＋6与新图象只有2个公共点，不符合题意．
综上所述，当直线y＝kx＋6与新图象有三个公共点时，k＝1或.
(3)易求lBC：y＝2x－4，设D(0，t)，则H(2＋t，t)，∵EF∥AB，∴∠FHG＝∠OBC，
∵FG⊥CH，∴tan ∠FHG＝tan ∠OBC＝2，∴FG＝2HG，∴HG＝FH，
∵＝2，∴DF＝2FH，∴DF＝DH，
∵DH＝2＋t，∴DF＝t＋，∴F(t＋，t)，
当x2＋x－4＝t时，x＝t＋是方程的一个根，∴t2－4t－32＝0，
解得t＝－4(舍)或t＝8，∴F(4，8)．
26.如图，△ABC和△EDC都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDC＝90°，连接BE，F是BE的中点，连接AF.
(1)如图①，当点E在边AC上时，连接DF，AD，则∠AFD＝90°，＝；
(2)如图②，当点E在边BC上时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请证明该结论；若不成立，请说明理由；
(3)如图③，将图①中△EDC绕点C逆时针旋转α度(0°＜α＜360°)，若AB＝4，CD＝2.直接写出AF的最小值．
解：(2)(1)中的结论还成立，
证明：如图②，延长AF到点G，使 FG＝AF，连接GE，GD.
∵F是BE的中点，∴BF＝EF.∵∠AFB＝∠EFG，
∴△AFB≌△GFE(SAS)，∴GE＝AB，∠GEF＝∠B.
∵△ABC和△EDC都是等腰直角三角形，∴GE＝AB＝AC，∠GEF＝∠B＝45°，
∵∠CED＝45°，DE＝DC，∴∠GED＝90°，∴Rt△DEG≌Rt△DCA(HL)，
∴DG＝DA，∠GDE＝∠ADC，∴∠GDA＝∠EDC＝90°，∴△ADG是等腰直角三角形．
∵AF＝GF，∴∠AFD＝90°，DF＝AF，即△AFD是等腰直角三角形．
∴＝，∴(1)中结论仍然成立．
(3)延长BA到点P，使AP＝AB，连接PC，PE.则AF是△BEP的中位线．∴AF＝PE.
∵PC－CE≤PE≤PC＋CE.当P，C，E三点共线时，
PEmin＝PC－CE＝4－2＝2.∴AFmin＝×2＝.

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