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浙江省宁波市第七中学教育集团2025-2026学年八年级下学期数学期中质量评估卷
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列二次根式是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：，被开方数含能开得尽方的因数，
∴ A不是最简二次根式．
，被开方数含分母，
∴ B不是最简二次根式．
，被开方数含能开得尽方的因数，
∴ C不是最简二次根式．
满足最简二次根式的两个条件，
∴ D是最简二次根式．
故答案为：D.
【分析】根据最简二次根式的定义“被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式的二次根式是最简二次根式”逐项判断即可得到答案．
2．下列图案是一些新能源车企的车标，其中不是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：因为图A是中心对称图形，所以不符合题意；
因为图B是中心对称图形，所以不符合题意；
因为图C是中心对称图形，所以不符合题意；
因为图D不是中心对称图形，所以符合题意．
故答案为：D.
【分析】根据中心对称图形的的定义“将一个图形绕某一点旋转后能与本身重合，这样的图形叫做中心对称图形”逐项判断即可．
3．下列方程属于一元二次方程的是（　　）
A．2x+y=3 B．2-x=x C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、中含有两个未知数，是二元一次方程，不符合要求，
B、 整理后未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合要求，
C、中只含一个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，满足一元二次方程的定义，
D、、分母含有未知数，是分式方程，不符合要求．
故答案为：C.
【分析】根据一元二次方程的定义“只含有一个未知数，未知数的最高次数为2次的整式方程”判断选解答即可．
4．八年级某班甲、乙、丙、丁四位同学准备选一人参加学校“跳绳”比赛.经过三轮测试，他们的平均成绩都是每分钟200个，离差平方和分别是你认为哪一位同学的成绩最稳定（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】B
【知识点】分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：∵四位同学平均成绩相同，测试次数均为3次，方差公式为，其中n为测试次数，
∴n相同，方差大小与离差平方和的大小一致.
又∵ ，
∴乙的方差最小，
∴乙的成绩最稳定．
故答案为：B.
【分析】四位同学测试次数相同，即方差与离差平方和成正比，再根据方差小的成绩稳定解答即可．
5．如图，已知AB∥CD，下列结论中不能说明ABCD是平行四边形的是（　　）
A．AD=BC B．AD∥BC C．AB=CD D．AO=CO
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：当时，四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，所以A符合题意；
当时，四边形是平行四边形，所以B不符合题意；
当时，四边形是平行四边形，所以C不符合题意；
当时，可得，由，可知，可得，则四边形是平行四边形，所以D不符合题意．
故答案为：A.
【分析】根据平行四边形的判定定理逐项判断解答即可．
6．学校打算在一块长100米、宽80米的矩形空地上建造两条宽度相同且相互垂直的道路，其余地方用来种草皮。已知种草皮的面积要达到7644平方米，求道路的宽度.若设道路宽为x米，则可列出方程为（　　）
A．100×80-100x-80x=7644 B．（100-x）（80-x）=7644
C． D．100x×80x=356
【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意可得，．
故答案为：B.
【分析】设道路宽为x米，根据平移得到剩余部分组成的矩形的面积为7644平方米，据此列方程解答即可.
7．用反证法证明命题“三角形中最多有一个角是钝角”时，下列假设正确的是（　　）
A．三角形中至少有两个角是钝角 B．三角形中没有一个角是钝角
C．三角形中三个角都是钝角 D．三角形中至少有一个角是钝角
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；反证法
【解析】【解答】解：根据反证法的步骤，则可假设三角形中至少有两个角是钝角.
故答案为：A.
【分析】根据三角形的内角和等于180°并结合各选项可求解.
8．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是（　　）
A．2.5 B． C． D．2
【答案】B
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，连接AC、CF，
∵正方形ABCD和正方形CEFG中，BC=1，CE=3，
∴AC= ，CF=3 ，
∠ACD=∠GCF=45°，
∴∠ACF=90°，
由勾股定理得，AF= = =2 ，
∵H是AF的中点，
∴CH= AF= ×2 = ．
故选：B．
【分析】连接AC、CF，根据正方形性质求出AC、CF，∠ACD=∠GCF=45°，再求出∠ACF=90°，然后利用勾股定理列式求出AF，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
9．已知关于x的方程下列说法正确的是（　　）
A．k=-3时，方程有两个相等的实数解
B．k=3时，方程有一个实数解
C．k=0时，方程无实数解
D．k≠0时，方程总有两个不相等的实数解
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：分情况讨论：
当时，原方程化为，解得，有一个实数解，因此选项C错误．
当时，原方程是一元二次方程，计算根的判别式：
因此 当时， ，方程有两个相等的实数解，选项A正确．
当时， ，方程有两个不相等的实数解，因此选项B错误．
当时，，方程有两个相等的实数解，因此选项D错误．
故答案为：A.
【分析】分和两种情况：时方程为一元一次方程，求出x的值，时利用一元二次方程根的判别式判断根的情况，解答即可．
10．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若 ， ，则该矩形的面积为（　　）
A．20 B．24 C． D．
【答案】B
【知识点】几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解 ；设小正方形的边长为x，则矩形的一边长为（a+x），另一边为（b+x），根据题意得 ：2（ax+x2+bx）=（a+x）（b+x），化简得 ：ax+x2+bx-ab=0，又∵ a = 3 ， b = 4 ，∴x2＋7x=12；∴该矩形的面积为=（a+x）（b+x）=（3+x）（4+x）=x2＋7x+12=24.
故答案为：B。
【分析】设小正方形的边长为x，则矩形的一边长为（a+x），另一边为（b+x），根据矩形的面积的即等于两个三角形的面积之和，也等于长乘以宽，列出方程，化简再代入a，b的值，得出x2＋7x=12，再根据矩形的面积公式，整体代入即可。
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11．若二次根式 有意义，则 x 的取值范围是　 　．
【答案】x≤3
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵二次根式 有意义，
∴3﹣x≥0，
解得：x≤3．
故答案为：x≤3．
【分析】二次根式有意义，则被开方数≥0，建立不等式求解即可。
12．若一组数据3，4，4，x，5，5，7，8的平均数是5，则这组数据的中位数为　 　.
【答案】4.5
【知识点】平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解： 一组数据3，4，4，x，5，5，7，8的平均数是5，
，
解得，
这组数据从小到大排列为3，4，4，4， 5，5，7，8，
这组数据的中位数为．
故答案为：4.5.
【分析】根据平均数的计算公式求出的值，然后根据中位数的定义解答即可．
13．一个多边形的内角和等于它的外角和的两倍，这个多边形有　 　条边.
【答案】6
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为，
由题意得： ，
解得
即这个多边形是六边形．
故答案为：6.
【分析】根据多边形的内角和和外角和公式列方程求出n的值解答即可．
14．若一元二次方程的两根之差为4，则c的值是　 　.
【答案】-3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设一元二次方程的两根为，，
根据根与系数的关系可得，，
由题意得，
两边平方得
由完全平方公式变形得，
把，代入得 ，
即 ，
解得．
故答案为：-3.
【分析】设方程的两根为，，根据根与系数的关系得到，，然后根据两根之差，利用完全公式的变形得到，求出c的值解答即可．
15．如图，在四边形ABDC中，△EDC是由△ABC绕顶点C，逆时针旋转40°所得，顶点A恰好转到AB边上一点E的位置，则∠1+∠2等于　 　.
【答案】110°
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图，
∵是由绕顶点逆时针旋转所得，
∴，，，，
∵，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
故答案为：110°．
【分析】根据旋转的性质得到，然后根据等边对等角和三角形的内角和定理求出的度数，进而求出的度数，解答即可．
16．如图，在菱形纸片ABCD中，AB=4，∠DAB=60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，连结AE交FG于点O，点F，G分别在边AB，AD上，则的值为　 　.
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：作，交延长线于，连接，如图，
∵四边形为菱形，
∴，，，
∴，为等边三角形，
∴，
∴，
∴，，
∵点为的中点，
∴，，
在中，，
∵，
∴，
设，
∵菱形纸片翻折，使点落在的中点处，折痕为，连接交于点，点分别在边上，
∴，垂直平分，，
在中，，解得，
在，，，
在中，，
∴，
在中，，
∴．
故答案为：.
【分析】作，交延长线于，根据菱形的性质得到，为等边三角形，即可得到，根据30°的直角三角形的性质和勾股定理得到，设，在利用勾股定理求出x的值，然后求出AE和OF长，求出比值解答即可．
三、解答题（17、18、19每题6分，20题7分，21题8分，22题9分，23题10分，共52分）
17．计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式
=0
（2）解：原式=5-8
=-3
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先根据二次根式的性质化简，然后合并同类二次根式即可；
（2）根据平方差公式计算即可.
18．解方程：
（1）
（2）3x（x-2）=2x-4
【答案】（1）解：
整理，得，
由，
∴，
∴，
则 ；

（2）解：3x（x-2）-（2x-4）=0
（x-2）（3x-2）=0
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）先确定，再求出，然后代入求根公式计算即可；
（2）先移项，然后提取公因式(x-2)，利用因式分解法解一元二次方程即可．
19．如图，在平面直角坐标系xOy中，的顶点坐标分别为A（1，1），B（4，0），C（4，4）。按下列要求作图：
（1）在图中，将绕点B按逆时针方向旋转得到
（2）在图中，找出所有符合条件的D点，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形.
【答案】（1）
（2）
【知识点】平行四边形的判定；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质得到点A，C的对应点，然后依次连接得到即可；
（2）根据平行四边形的性质作图即可.
20．为提高学生体育与健康素养，增强体质健康管理的意识和能力，学校组织八年级甲班、乙班、丙班、丁班四班同学参加“跳绳”比赛.并将调查结果进行整理，绘制了箱线图（如图）.
根据以上信息，解答下列问题：
（1）这四个班学生中，哪个班的成绩最稳定
（2）这四个班学生中，哪个班成绩的中位数最大 跳的次数最多的同学在哪个班
（3）你觉得哪个班的同学表现的最出色 请说明理由.
【答案】（1）解：这四个班学生中，乙班的成绩最稳定，
因为乙班的数据最集中，且最大值与最小值的差值最小，说明数据波动小，故成绩最稳定；
（2）解：由箱线图可得，丙班的中位数最大，由箱线图可得甲班的最大值最大，因此跳的次数最多的同学在甲班；
（3）解：乙班同学表现最出色，理由如下：
因为乙班成绩最稳定，且中位数不低，学生成绩整体均衡，无明显两极分化等．
【知识点】箱线图
【解析】【分析】（1）由箱线图找出极差小的班级解答即可；
（2）根据箱线图比较中位数和最大值解答即可；
（3）比较四个班的极差、中位数，四分位数选择即可．
21．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E为BC的中点，EF⊥CD于点F，点G为CD上一点，连接OG，OE，且OG∥EF.
（1）求证：四边形OEFG为矩形；
（2）若求矩形OEFG的面积.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD.
∵点E为边BC的中点，
∴OE是△BCD的中位线，
∴OE∥CD.
∵OG∥EF，
∴四边形OEFG是平行四边形.
∵EF⊥CD，
∴∠EFG=90°
∴平行四边形OEFG为矩形
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ODG=∠ABD=45°.
由（1）可知，四边形OEFG为矩形，
∴∠OGF=90°，
∴∠OGD=90°；
∴△ODC是等腰直角三角形，
∴DG=OG.
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；矩形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质，得到是的中位线，即可得到，进而得到四边形是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形得到结论即可；
（2）根据平行四边形和矩形的性质可得是等腰直角三角形，根据勾股定理求出，，即可得到，然后根据三角形的中位线定理解答即可．
22．某水果店购进一批优质芒果，进价为10元/千克，市场调查发现当售价为30元/千克时，每天可售出40千克，售价每降低0.5元，每天可多售出1千克.设售价为x元/件，解决以下问题：
（1）当天该芒果的销售量为　 　千克.（用x的代数式表示）.
（2）若水果店该天获利750元，求这天芒果的售价.
（3）该水果店的日盈利能力达到1000元 请说明理由.
【答案】（1）（100-2x）
（2）解：由题意得，每千克利润为（x-10）元，销售量为（100-2x）千克，则（x-10）（100-2x）=750，
整理得
解得
所以这天芒果的售价为25元或35元。
（3）解：假设日盈利能达到1000元，则（x-10）（100-2x）=1000，
整理得
判别式：
方程无实数根，
所以该水果店的日盈利不能达到1000元。
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】（1）解：当天该芒果的销售量为（千克），
故答案为：．
【分析】（1）根据“ 售价每降低0.5元，每天可多售出1千克 ”列代数式即可；
（2）根据“销售芒果获得的利润等于每千克的销售利润×日销售量”列关于x的一元二次方程，求出x的值解答即可；
（3）利用“销售芒果获得的利润等于每千克的销售利润×日销售量”列关于x的一元二次方程，得到判别式值判断方程根的情况解答即可．
23．综合与探究
问题情境：数学课上，同学们以矩形为基本图形，探索图形变化中产生的数学问题.已知矩形ABCD中，AD>AB.点E是平面内的一个动点，且BE=AD，∠CBE的平分线交射线CD于点F，连接EF，过点E作CD的平行线交直线BF于点G，连接CG.
（1）初步思考：如图1，点E在矩形ABCD内部，猜想四边形EGCF的形状，并证明你的结论；
（2）深入探究：如图2，已知AB=3，当点E落在AD边上，且恰好是AD的中点时，求此时GF的长；
（3）保持（2）中矩形ABCD的形状大小不变，继续改变点E的位置.若请直接写出所有满足条件的CF的长.
【答案】（1）解：四边形EGCF是菱形，证明如下：
∵四边形ABCD为矩形，BE=AD，
∴AD=BC=BE，
∵BF平分∠CBE，
∴∠EBF=∠CBF，
∵BF=BF，
∴△EBF≌△CBF（SAS），
∴EF=CF，∠EFB=∠CFB，
同理EG=CG，
∵EG∥CD，
∴∠EGF=∠CFB，
∴∠EGF=∠EFB，
∴EG=EF=CF=CG，
∴四边形EGCF是菱形
（2）如图，延长EG交BC于点H，连接CE，
∵四边形ABCD为矩形，
∴BC⊥CD，AD∥BC，AD=BC，AB=CD=3，
∵EG∥CD，
∴EG⊥AD，EG⊥BC，
∴四边形CDEH为矩形，
∴DE=CH，EH=CD=3，
∵点E是AD的中点，
即EH垂直平分BC，
∴BC=BE=CE，
∴△BCE为等边三角形，
由（1）得：四边形EGCF是菱形，
∴∠FEG=2∠CEG=60°，EG=EF，
∴△EGF为等边三角形，
∴FG=EF，
在Rt△DEF中，
解得：FG=2；
（3）或4
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（3）连接CE交BF于点P，
由（1）得：四边形EGCF是菱形，由（2）得：
∴CE⊥FG，PG=PF，
如图，当点F在CD边上时，设PG=PF=a，则FG=2a，
∴BG=3a，BF=5a，
∴BP=4a，
∴且
即：且，
解得：
如图，当点F在CD的延长线上时，设PG=PF=b，则FG=2b，FC=CG，
且
即：且，
解得：
综上所述，CF的长为或4

【分析】（1）根据矩形的性质和角平分线的定义，利用SAS得到，即可得到，，同理可得，进而得到，证明结论；
（2）延长交于点H，连接，即可得到四边形为矩形，进而可得，，然后利用垂直平分线的性质得到为、为等边三角形，可得，在中，根据勾股定理计算即可；
（3）连接交于点P，由（1）可知四边形是菱形，由（2）得：，然后分两种情况：当点F在边上时，设PG=PF=a，则FG=2a，根据勾股定理得到且，代入数值求出a的值，再根据勾股定理解答即可；当点F在的延长线上时，设PG=PF=b，则FG=2b，同理求出CF长即可．
四、附加题（本题有3个小题，共10分）
24．若a是实数，且则m的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：，
，
整理得，
此方程为关于a的方程，a是实数，即方程有解，
当，即时，为一元二次方程，
，
解得且；
当，即时，为一元一次方程，解得．
综上，m的取值范围为．
故答案为：．
【分析】先整理得到方程，再分和两种情况根据计算方程有解时m的取值范围即可．
25．如图，在矩形纸片ABCD中，已知AD=24，AB=10，E是BC边上的一点，沿AE折叠纸片，使点B落在点B'处，连结CB'，当△CEB'为直角三角形时，BE的长为　 　.
【答案】或10
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；矩形翻折模型；分类讨论
【解析】【解答】解：当为直角三角形时，有两种情况：
①当点落在矩形内部时，如图．
连接，
在Rt中，，
，
沿折叠，使点B落在点处，
，
当为直角三角形时，只能得到，
点 共线，
，
，
设，则，
在Rt中，
，
解得．
②当点落在边上时，如图：
此时为正方形．
．
故答案为：或10．
综上，m的取值范围为．
故答案为：．
【分析】当为直角三角形时，有两种情况：当点落在矩形内部时，连接AC，先根据勾股定理得出，根据折叠的性质可得点 共线，在Rt中利用勾股定理列方程，求出BE长即可；当点落在边上时，此时为正方形，求出BE长解答即可．
26．如图，在边长为1的正方形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，EB=3AE.有一只蚂蚁从E点出发，经过F，G，H，最后回到E点，则蚂蚁所走的最少路程是　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；将军饮马模型-两线一点（两动一定）
【解析】【解答】解：如图所示，分别作点E关于直线的对称点，作点关于直线CD的对称点，连接交于点，连接交AD于点，连接交于点，连接，
则，
∵，
当E、F、G、H分别在点时，路程最小为．
故答案为：.
【分析】 分别作点E关于直线的对称点，作点关于直线CD的对称点，连接交于点，连接交AD于点，连接交于点，连接 ，即可得到点E1，H'，G'，E3共线时，蚂蚁所走路程最小，根据勾股定理解答即可．
1 / 1浙江省宁波市第七中学教育集团2025-2026学年八年级下学期数学期中质量评估卷
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列二次根式是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列图案是一些新能源车企的车标，其中不是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．下列方程属于一元二次方程的是（　　）
A．2x+y=3 B．2-x=x C． D．
4．八年级某班甲、乙、丙、丁四位同学准备选一人参加学校“跳绳”比赛.经过三轮测试，他们的平均成绩都是每分钟200个，离差平方和分别是你认为哪一位同学的成绩最稳定（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
5．如图，已知AB∥CD，下列结论中不能说明ABCD是平行四边形的是（　　）
A．AD=BC B．AD∥BC C．AB=CD D．AO=CO
6．学校打算在一块长100米、宽80米的矩形空地上建造两条宽度相同且相互垂直的道路，其余地方用来种草皮。已知种草皮的面积要达到7644平方米，求道路的宽度.若设道路宽为x米，则可列出方程为（　　）
A．100×80-100x-80x=7644 B．（100-x）（80-x）=7644
C． D．100x×80x=356
7．用反证法证明命题“三角形中最多有一个角是钝角”时，下列假设正确的是（　　）
A．三角形中至少有两个角是钝角 B．三角形中没有一个角是钝角
C．三角形中三个角都是钝角 D．三角形中至少有一个角是钝角
8．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是（　　）
A．2.5 B． C． D．2
9．已知关于x的方程下列说法正确的是（　　）
A．k=-3时，方程有两个相等的实数解
B．k=3时，方程有一个实数解
C．k=0时，方程无实数解
D．k≠0时，方程总有两个不相等的实数解
10．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若 ， ，则该矩形的面积为（　　）
A．20 B．24 C． D．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11．若二次根式 有意义，则 x 的取值范围是　 　．
12．若一组数据3，4，4，x，5，5，7，8的平均数是5，则这组数据的中位数为　 　.
13．一个多边形的内角和等于它的外角和的两倍，这个多边形有　 　条边.
14．若一元二次方程的两根之差为4，则c的值是　 　.
15．如图，在四边形ABDC中，△EDC是由△ABC绕顶点C，逆时针旋转40°所得，顶点A恰好转到AB边上一点E的位置，则∠1+∠2等于　 　.
16．如图，在菱形纸片ABCD中，AB=4，∠DAB=60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，连结AE交FG于点O，点F，G分别在边AB，AD上，则的值为　 　.
三、解答题（17、18、19每题6分，20题7分，21题8分，22题9分，23题10分，共52分）
17．计算：
（1）
（2）
18．解方程：
（1）
（2）3x（x-2）=2x-4
19．如图，在平面直角坐标系xOy中，的顶点坐标分别为A（1，1），B（4，0），C（4，4）。按下列要求作图：
（1）在图中，将绕点B按逆时针方向旋转得到
（2）在图中，找出所有符合条件的D点，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形.
20．为提高学生体育与健康素养，增强体质健康管理的意识和能力，学校组织八年级甲班、乙班、丙班、丁班四班同学参加“跳绳”比赛.并将调查结果进行整理，绘制了箱线图（如图）.
根据以上信息，解答下列问题：
（1）这四个班学生中，哪个班的成绩最稳定
（2）这四个班学生中，哪个班成绩的中位数最大 跳的次数最多的同学在哪个班
（3）你觉得哪个班的同学表现的最出色 请说明理由.
21．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E为BC的中点，EF⊥CD于点F，点G为CD上一点，连接OG，OE，且OG∥EF.
（1）求证：四边形OEFG为矩形；
（2）若求矩形OEFG的面积.
22．某水果店购进一批优质芒果，进价为10元/千克，市场调查发现当售价为30元/千克时，每天可售出40千克，售价每降低0.5元，每天可多售出1千克.设售价为x元/件，解决以下问题：
（1）当天该芒果的销售量为　 　千克.（用x的代数式表示）.
（2）若水果店该天获利750元，求这天芒果的售价.
（3）该水果店的日盈利能力达到1000元 请说明理由.
23．综合与探究
问题情境：数学课上，同学们以矩形为基本图形，探索图形变化中产生的数学问题.已知矩形ABCD中，AD>AB.点E是平面内的一个动点，且BE=AD，∠CBE的平分线交射线CD于点F，连接EF，过点E作CD的平行线交直线BF于点G，连接CG.
（1）初步思考：如图1，点E在矩形ABCD内部，猜想四边形EGCF的形状，并证明你的结论；
（2）深入探究：如图2，已知AB=3，当点E落在AD边上，且恰好是AD的中点时，求此时GF的长；
（3）保持（2）中矩形ABCD的形状大小不变，继续改变点E的位置.若请直接写出所有满足条件的CF的长.
四、附加题（本题有3个小题，共10分）
24．若a是实数，且则m的取值范围是　 　.
25．如图，在矩形纸片ABCD中，已知AD=24，AB=10，E是BC边上的一点，沿AE折叠纸片，使点B落在点B'处，连结CB'，当△CEB'为直角三角形时，BE的长为　 　.
26．如图，在边长为1的正方形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，EB=3AE.有一只蚂蚁从E点出发，经过F，G，H，最后回到E点，则蚂蚁所走的最少路程是　 　.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：，被开方数含能开得尽方的因数，
∴ A不是最简二次根式．
，被开方数含分母，
∴ B不是最简二次根式．
，被开方数含能开得尽方的因数，
∴ C不是最简二次根式．
满足最简二次根式的两个条件，
∴ D是最简二次根式．
故答案为：D.
【分析】根据最简二次根式的定义“被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式的二次根式是最简二次根式”逐项判断即可得到答案．
2．【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：因为图A是中心对称图形，所以不符合题意；
因为图B是中心对称图形，所以不符合题意；
因为图C是中心对称图形，所以不符合题意；
因为图D不是中心对称图形，所以符合题意．
故答案为：D.
【分析】根据中心对称图形的的定义“将一个图形绕某一点旋转后能与本身重合，这样的图形叫做中心对称图形”逐项判断即可．
3．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、中含有两个未知数，是二元一次方程，不符合要求，
B、 整理后未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合要求，
C、中只含一个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，满足一元二次方程的定义，
D、、分母含有未知数，是分式方程，不符合要求．
故答案为：C.
【分析】根据一元二次方程的定义“只含有一个未知数，未知数的最高次数为2次的整式方程”判断选解答即可．
4．【答案】B
【知识点】分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：∵四位同学平均成绩相同，测试次数均为3次，方差公式为，其中n为测试次数，
∴n相同，方差大小与离差平方和的大小一致.
又∵ ，
∴乙的方差最小，
∴乙的成绩最稳定．
故答案为：B.
【分析】四位同学测试次数相同，即方差与离差平方和成正比，再根据方差小的成绩稳定解答即可．
5．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：当时，四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，所以A符合题意；
当时，四边形是平行四边形，所以B不符合题意；
当时，四边形是平行四边形，所以C不符合题意；
当时，可得，由，可知，可得，则四边形是平行四边形，所以D不符合题意．
故答案为：A.
【分析】根据平行四边形的判定定理逐项判断解答即可．
6．【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意可得，．
故答案为：B.
【分析】设道路宽为x米，根据平移得到剩余部分组成的矩形的面积为7644平方米，据此列方程解答即可.
7．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；反证法
【解析】【解答】解：根据反证法的步骤，则可假设三角形中至少有两个角是钝角.
故答案为：A.
【分析】根据三角形的内角和等于180°并结合各选项可求解.
8．【答案】B
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，连接AC、CF，
∵正方形ABCD和正方形CEFG中，BC=1，CE=3，
∴AC= ，CF=3 ，
∠ACD=∠GCF=45°，
∴∠ACF=90°，
由勾股定理得，AF= = =2 ，
∵H是AF的中点，
∴CH= AF= ×2 = ．
故选：B．
【分析】连接AC、CF，根据正方形性质求出AC、CF，∠ACD=∠GCF=45°，再求出∠ACF=90°，然后利用勾股定理列式求出AF，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
9．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：分情况讨论：
当时，原方程化为，解得，有一个实数解，因此选项C错误．
当时，原方程是一元二次方程，计算根的判别式：
因此 当时， ，方程有两个相等的实数解，选项A正确．
当时， ，方程有两个不相等的实数解，因此选项B错误．
当时，，方程有两个相等的实数解，因此选项D错误．
故答案为：A.
【分析】分和两种情况：时方程为一元一次方程，求出x的值，时利用一元二次方程根的判别式判断根的情况，解答即可．
10．【答案】B
【知识点】几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解 ；设小正方形的边长为x，则矩形的一边长为（a+x），另一边为（b+x），根据题意得 ：2（ax+x2+bx）=（a+x）（b+x），化简得 ：ax+x2+bx-ab=0，又∵ a = 3 ， b = 4 ，∴x2＋7x=12；∴该矩形的面积为=（a+x）（b+x）=（3+x）（4+x）=x2＋7x+12=24.
故答案为：B。
【分析】设小正方形的边长为x，则矩形的一边长为（a+x），另一边为（b+x），根据矩形的面积的即等于两个三角形的面积之和，也等于长乘以宽，列出方程，化简再代入a，b的值，得出x2＋7x=12，再根据矩形的面积公式，整体代入即可。
11．【答案】x≤3
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵二次根式 有意义，
∴3﹣x≥0，
解得：x≤3．
故答案为：x≤3．
【分析】二次根式有意义，则被开方数≥0，建立不等式求解即可。
12．【答案】4.5
【知识点】平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解： 一组数据3，4，4，x，5，5，7，8的平均数是5，
，
解得，
这组数据从小到大排列为3，4，4，4， 5，5，7，8，
这组数据的中位数为．
故答案为：4.5.
【分析】根据平均数的计算公式求出的值，然后根据中位数的定义解答即可．
13．【答案】6
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为，
由题意得： ，
解得
即这个多边形是六边形．
故答案为：6.
【分析】根据多边形的内角和和外角和公式列方程求出n的值解答即可．
14．【答案】-3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设一元二次方程的两根为，，
根据根与系数的关系可得，，
由题意得，
两边平方得
由完全平方公式变形得，
把，代入得 ，
即 ，
解得．
故答案为：-3.
【分析】设方程的两根为，，根据根与系数的关系得到，，然后根据两根之差，利用完全公式的变形得到，求出c的值解答即可．
15．【答案】110°
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图，
∵是由绕顶点逆时针旋转所得，
∴，，，，
∵，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
故答案为：110°．
【分析】根据旋转的性质得到，然后根据等边对等角和三角形的内角和定理求出的度数，进而求出的度数，解答即可．
16．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：作，交延长线于，连接，如图，
∵四边形为菱形，
∴，，，
∴，为等边三角形，
∴，
∴，
∴，，
∵点为的中点，
∴，，
在中，，
∵，
∴，
设，
∵菱形纸片翻折，使点落在的中点处，折痕为，连接交于点，点分别在边上，
∴，垂直平分，，
在中，，解得，
在，，，
在中，，
∴，
在中，，
∴．
故答案为：.
【分析】作，交延长线于，根据菱形的性质得到，为等边三角形，即可得到，根据30°的直角三角形的性质和勾股定理得到，设，在利用勾股定理求出x的值，然后求出AE和OF长，求出比值解答即可．
17．【答案】（1）解：原式
=0
（2）解：原式=5-8
=-3
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先根据二次根式的性质化简，然后合并同类二次根式即可；
（2）根据平方差公式计算即可.
18．【答案】（1）解：
整理，得，
由，
∴，
∴，
则 ；

（2）解：3x（x-2）-（2x-4）=0
（x-2）（3x-2）=0
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）先确定，再求出，然后代入求根公式计算即可；
（2）先移项，然后提取公因式(x-2)，利用因式分解法解一元二次方程即可．
19．【答案】（1）
（2）
【知识点】平行四边形的判定；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质得到点A，C的对应点，然后依次连接得到即可；
（2）根据平行四边形的性质作图即可.
20．【答案】（1）解：这四个班学生中，乙班的成绩最稳定，
因为乙班的数据最集中，且最大值与最小值的差值最小，说明数据波动小，故成绩最稳定；
（2）解：由箱线图可得，丙班的中位数最大，由箱线图可得甲班的最大值最大，因此跳的次数最多的同学在甲班；
（3）解：乙班同学表现最出色，理由如下：
因为乙班成绩最稳定，且中位数不低，学生成绩整体均衡，无明显两极分化等．
【知识点】箱线图
【解析】【分析】（1）由箱线图找出极差小的班级解答即可；
（2）根据箱线图比较中位数和最大值解答即可；
（3）比较四个班的极差、中位数，四分位数选择即可．
21．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD.
∵点E为边BC的中点，
∴OE是△BCD的中位线，
∴OE∥CD.
∵OG∥EF，
∴四边形OEFG是平行四边形.
∵EF⊥CD，
∴∠EFG=90°
∴平行四边形OEFG为矩形
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ODG=∠ABD=45°.
由（1）可知，四边形OEFG为矩形，
∴∠OGF=90°，
∴∠OGD=90°；
∴△ODC是等腰直角三角形，
∴DG=OG.
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；矩形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质，得到是的中位线，即可得到，进而得到四边形是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形得到结论即可；
（2）根据平行四边形和矩形的性质可得是等腰直角三角形，根据勾股定理求出，，即可得到，然后根据三角形的中位线定理解答即可．
22．【答案】（1）（100-2x）
（2）解：由题意得，每千克利润为（x-10）元，销售量为（100-2x）千克，则（x-10）（100-2x）=750，
整理得
解得
所以这天芒果的售价为25元或35元。
（3）解：假设日盈利能达到1000元，则（x-10）（100-2x）=1000，
整理得
判别式：
方程无实数根，
所以该水果店的日盈利不能达到1000元。
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】（1）解：当天该芒果的销售量为（千克），
故答案为：．
【分析】（1）根据“ 售价每降低0.5元，每天可多售出1千克 ”列代数式即可；
（2）根据“销售芒果获得的利润等于每千克的销售利润×日销售量”列关于x的一元二次方程，求出x的值解答即可；
（3）利用“销售芒果获得的利润等于每千克的销售利润×日销售量”列关于x的一元二次方程，得到判别式值判断方程根的情况解答即可．
23．【答案】（1）解：四边形EGCF是菱形，证明如下：
∵四边形ABCD为矩形，BE=AD，
∴AD=BC=BE，
∵BF平分∠CBE，
∴∠EBF=∠CBF，
∵BF=BF，
∴△EBF≌△CBF（SAS），
∴EF=CF，∠EFB=∠CFB，
同理EG=CG，
∵EG∥CD，
∴∠EGF=∠CFB，
∴∠EGF=∠EFB，
∴EG=EF=CF=CG，
∴四边形EGCF是菱形
（2）如图，延长EG交BC于点H，连接CE，
∵四边形ABCD为矩形，
∴BC⊥CD，AD∥BC，AD=BC，AB=CD=3，
∵EG∥CD，
∴EG⊥AD，EG⊥BC，
∴四边形CDEH为矩形，
∴DE=CH，EH=CD=3，
∵点E是AD的中点，
即EH垂直平分BC，
∴BC=BE=CE，
∴△BCE为等边三角形，
由（1）得：四边形EGCF是菱形，
∴∠FEG=2∠CEG=60°，EG=EF，
∴△EGF为等边三角形，
∴FG=EF，
在Rt△DEF中，
解得：FG=2；
（3）或4
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（3）连接CE交BF于点P，
由（1）得：四边形EGCF是菱形，由（2）得：
∴CE⊥FG，PG=PF，
如图，当点F在CD边上时，设PG=PF=a，则FG=2a，
∴BG=3a，BF=5a，
∴BP=4a，
∴且
即：且，
解得：
如图，当点F在CD的延长线上时，设PG=PF=b，则FG=2b，FC=CG，
且
即：且，
解得：
综上所述，CF的长为或4

【分析】（1）根据矩形的性质和角平分线的定义，利用SAS得到，即可得到，，同理可得，进而得到，证明结论；
（2）延长交于点H，连接，即可得到四边形为矩形，进而可得，，然后利用垂直平分线的性质得到为、为等边三角形，可得，在中，根据勾股定理计算即可；
（3）连接交于点P，由（1）可知四边形是菱形，由（2）得：，然后分两种情况：当点F在边上时，设PG=PF=a，则FG=2a，根据勾股定理得到且，代入数值求出a的值，再根据勾股定理解答即可；当点F在的延长线上时，设PG=PF=b，则FG=2b，同理求出CF长即可．
24．【答案】
【知识点】根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：，
，
整理得，
此方程为关于a的方程，a是实数，即方程有解，
当，即时，为一元二次方程，
，
解得且；
当，即时，为一元一次方程，解得．
综上，m的取值范围为．
故答案为：．
【分析】先整理得到方程，再分和两种情况根据计算方程有解时m的取值范围即可．
25．【答案】或10
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；矩形翻折模型；分类讨论
【解析】【解答】解：当为直角三角形时，有两种情况：
①当点落在矩形内部时，如图．
连接，
在Rt中，，
，
沿折叠，使点B落在点处，
，
当为直角三角形时，只能得到，
点 共线，
，
，
设，则，
在Rt中，
，
解得．
②当点落在边上时，如图：
此时为正方形．
．
故答案为：或10．
综上，m的取值范围为．
故答案为：．
【分析】当为直角三角形时，有两种情况：当点落在矩形内部时，连接AC，先根据勾股定理得出，根据折叠的性质可得点 共线，在Rt中利用勾股定理列方程，求出BE长即可；当点落在边上时，此时为正方形，求出BE长解答即可．
26．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；将军饮马模型-两线一点（两动一定）
【解析】【解答】解：如图所示，分别作点E关于直线的对称点，作点关于直线CD的对称点，连接交于点，连接交AD于点，连接交于点，连接，
则，
∵，
当E、F、G、H分别在点时，路程最小为．
故答案为：.
【分析】 分别作点E关于直线的对称点，作点关于直线CD的对称点，连接交于点，连接交AD于点，连接交于点，连接 ，即可得到点E1，H'，G'，E3共线时，蚂蚁所走路程最小，根据勾股定理解答即可．
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