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浙江省绍兴市2025-2026学年七年级下学期数学期中学业水平考试试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．如图所示的图案是一些汽车的车标，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列图形中，和是对顶角的是（　　）
A． B．
C． D．
3．下列方程中，是二元一次方程的是（　　）．
A． B． C． D．
4．解方程组 ，较简便的方法是（　　）
A．，消x B．，消x
C．，消y D．，消y
5．下列计算中，正确的是（　　）。
A． B． C． D．
6．和是同位角的是（　　）
A． B．
C． D．
7．若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（　　）
A． B． C． D．
8．我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳复量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条还剩余1尺．木条长多少尺？如果设木条长尺，绳子长尺，那么可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
9．将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，直角边与相交于点G，当时，的度数是（　　）
A． B． C． D．
10．如图a是长方形纸带，∠DEF＝23°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是（　　）
A．97° B．105° C．107° D．111°
二、填空题（每题3分，共18分）
11．已知，，则的值为　 　
12．已知，用含的代数式表示x为：　 　
13．若是关于的二元一次方程的一组解，则的值为　 　
14．如图，对于下列条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠C＝∠5；④∠A+∠ADC＝180°．其中一定能得到AD∥BC的条件是（填序号）　 　
15．如果关于、的方程组的解是二元一次方程的一个解，那么的值为　 　
16．若关于x，y的二元一次方程组的解是，则关于a，b的二元一次方程组的解是　 　
三、解答题（共72分）
17．解方程：
（1）；
（2）
18．已知代数式x2+bx+c，当x=1时，它的值是2，当x=-1时，它的值是8.求b，c的值.
19．我们规定： ，例如 ，请解决以下问题：
（1）试求 的值；
（2）想一想 与 相等吗？请说明理由.
20．如图，在方格纸中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三角形ABC的三个顶点均与小正方形的顶点重合．
（1）将三角形ABC先向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位，得到三角形DEF（点A与点D，点B与点E，点C与点F分别对应），请在方格纸中画出三角形DEF．
（2）求三角形DEF的面积.
21．已知如图，，．
（1）试判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若于点D，若平分，，求的度数．
22．换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变数称为元．所谓换元法，就是解题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元．
例如解方程组，令．
原方程组化为，解得，
把代入，，得，解得．
原方程组的解为．
（1）解方程组
（2）解方程组
23．某市无偿捐助新鲜蔬菜运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载）
车型 甲 乙 丙
汽车运载量（辆） 5 8 10
汽车运费（元辆） 400 500 600
（1）全部蔬菜可用甲型车辆，乙型车辆，丙型车　 　辆来运送；
（2）若全部蔬菜都用甲、乙两种车型来运送，需运费元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？
24．已知直线，点E、F分别在直线、上，连接，平分．
（1）如图1，连接，若平分．求的度数；
（2）如图2，连接，若，猜想和的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，点H为线段（端点除外）上的一个动点，过点H作的垂线交于M，连接，若平分，问的度数是否为定值？若是，求出的度数；若不是，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：A、此选项图案可以看作由“基本图案”经过平移得到，故此选项符合题意；
B、此选项图案可以看作由“基本图案”经过轴对称变化得到，故此选项不符合题意；
C、此选项图案可以看作由“基本图案”经过轴对称变化得到，故此选项不符合题意；
D、此选项图案可以看作由“基本图案”经过轴对称变化得到，故此选项不符合题意.
故答案为：A．
【分析】图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状、大小及方向，据此逐一判断得出答案.
2．【答案】A
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解： A．和符是对顶角，故A符合题意；
B． 和不是对顶角，故B不符合题意；
C．和不是对顶角，故C不符合题意；
D．和不是对顶角，故D不符合题意．
故答案为：A．
【分析】依据对顶角的定义“两边互为反向延长线的两角是对顶角”逐一进行判断即可．
3．【答案】B
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A、 只有一个未知数，为一元一次方程，故A不符合题意．
B、 有两个未知数，且未知数次数为1，故为二元一次方程，故B符合题意．
C、 中 的次数为2，故不是二元一次方程，故C不符合题意．
D、 是分式，故不是二元一次方程，故D不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据二元一次方程的定义对每个选项一一判断即可。
4．【答案】C
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意得，，消y，
，消x，
故选：C．
【分析】根据加减消元法解方程组即可求出答案.
5．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：、，本选项错误；
、，本选项错误；
、本选项不能合并，错误；
、，本选项正确，
故答案为：．
【分析】根据幂的乘方、同底数幂的乘法、合并同类项、积的乘方法则逐项判断解答即可.
6．【答案】B
【知识点】同位角的概念
【解析】【解答】解：A：是内错角，不符合题意；
B：是同位角，符合题意；
C：不是同位角，不符合题意；
D：不是同位角，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据同位角的定义“ 当两条直线被第三条直线（即截线）所截时，在两直线的同侧，并且在截线的同旁的两个角，称为同位角 ”逐项判断解题即可.
7．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据已知等式可得，即可得到，利用底数相同，指数相等解答即可．
8．【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设木条长x尺，绳子长y尺，
绳子剩余4.5尺，
，
将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，
，
可列方程组为．
故答案为：A．
【分析】设 木条长尺，绳子长尺 ，根据“ 一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条还剩余1尺 ”列出方程组解答．
9．【答案】C
【知识点】平行线的应用-三角尺问题；平行公理的推论；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：过点G作，
∵，
∴，
∴，，
在和中， ，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：C．
【分析】过点G作，即可得到HG∥EF∥BC，然后根据两直线平行，内错角相等得到，，根据角的和差求出∠EGB，即可根据邻补角的定义解答即可．
10．【答案】D
【知识点】平行线的应用-折叠问题；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：由长方形纸带可得，
图a中，
根据翻折的性质，可得到图b中，
，
，
，
根据翻折的性质，可得图c中，
，
故答案为：D．
【分析】根据两直线平行，内错角相等得到，然后根据翻折得到图b中，即可得到，进而得到图c的，根据角的和差解答即可．
11．【答案】20
【知识点】幂的乘方的逆运算
【解析】【解答】解：∵
∴，代入得：原式．
故答案为：20.
【分析】逆用同底数幂的乘法，然后整体代入计算即可.
12．【答案】x=4+2y
【知识点】解二元一次方程
【解析】【解答】解：，
移项得，，
故答案为：．
【分析】把y看作已知数，移项计算即可．
13．【答案】-2
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：把代入二元一次方程，
得，
解得．
故答案为：-2.
【分析】把代入方程得到2-a=4，求出a的值解答即可.
14．【答案】②③
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：，∴；
， ∴；
，∴；
，∴；
综上分析可知，一定能得到的条件有．
故答案为：②③.
【分析】根据平行线的判定定理逐一判断解答即可
15．【答案】1
【知识点】二元一次方程（组）的同解问题；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：，
得，
关于、的方程组的解是二元一次方程的一个解，
，
解得 ．
故答案为：1.
【分析】两方程相加得到，求出m的值即可.
16．【答案】a=2，b=3
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：由题意可得 ，
解得，
故答案为：.
【分析】根据两个二元一次方程组的结构特征，可得新方程组中，3b对应原方程组的，y，即可得到5a-b=7，3b=9，求出a，b的值即可．
17．【答案】（1）解：，
把①代入②，得 ，
解得，
把代入①，得，
∴方程组的解为；

（2）解：方程组化简，得，
①②得，，
解得，
把代入②，得，
解得，
∴方程组的解为．
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）将①代入②消去未知数x，求出y的值，然后把y的值代入①求出x的值解答即可；
（2）先整理方程，然后①②消去未知数x，求出y的值，然后把y的值代入②求出x的值解答即可.
18．【答案】解：∵代数式，当时，它的值是；当时，它的值是，
，
解得：
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】代入x，y的值得到关于和的二元一次方程组，解方程组求出b，c的值即可．
19．【答案】（1）解： =107×108=107+8=1015.
（2）解： =10a+b×10c=10a+b+c
=10a×10b+c=10a+b+c
∴ =
【知识点】同底数幂的乘法；定义新运算
【解析】【分析】（1）根据定义新运算，仿照示范得出7 8 =107×108，再根据同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加得出结果；
（2）根据定义新运算，仿照示范得出( a + b ) c =10a+b×10c，再根据同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加得出结果；同理得出
=10a×10b+c=10a+b+c，再比较它们的大小即可得出结论。
20．【答案】（1）解：如图，△DEF即为所求．
（2）如图，
＝2×4﹣×1×2﹣×1×4﹣×2×2
＝8﹣1﹣2﹣2
＝3
【知识点】作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）根据平移的性质得到点A，B，C的对应点D，E，F，依次连接得到△DEF，则③DEF即为所作；
（2）利用割补法求出△DEF的面积即可．
21．【答案】（1）解：．理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等得到，等量代换得到，然后根据同位角相等，两直线平行得到结论即可；
（2）根据两直线平行，同位角相等得到，根据角平分线的定义得到，然后根据直角三角形的两锐角互余解题即可．
22．【答案】（1）解：，
移项整理得，，
令，，
原方程组化为，
解得，
把代入，，
得，解得，
原方程组的解为
（2）解方程组，
移项整理得，，
令，，原方程组化为，
解得，
把代入，，
得，解得，
原方程组的解为
【知识点】解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组；整体思想
【解析】【分析】（1） 令， ，得到关于m，n的二元一次方程求出m，n的值，然后得到关于x，y的二元一次方程组，解方程组求出x，y的值．
（2）化简方程后，令，，得到关于m，n的二元一次方程求出m，n的值，然后解方程组求出x，y的值．
23．【答案】（1）5
（2）解：设分别需甲、乙两种车型辆，辆，
由题意得，
解得，
答：需甲车型辆，乙车型辆
【知识点】有理数混合运算的实际应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）丙型车需要辆，
故答案为：5；
【分析】（）根据剩余蔬菜的数量除以丙型汽车运载量解答即可；
（）设分别需甲、乙两种车型辆，辆，根据题意列方程组，求出x和y的值解答即可.
24．【答案】（1）解：∵EG、FG分别平分∠BEF和∠EFD，
∴∠BEF＝2∠FEG，∠EFD＝2∠EFG，
∵，
∴∠BEF＋∠EFD＝180°，
∴2∠FEG＋2∠GFE＝180°，
∴∠FEG＋∠GFE＝90°，
∵∠EGF＋∠FEG＋∠GFE＝180°，
∴∠EGF＝90°．
（2）解：猜想：∠EGF＋∠EHF＝180°，
理由如下：如图所示，过点G作，
∵，
∴，
∴设∠EGN＝∠BEG＝α，∠NGF＝∠GFD＝β，
∴∠EGF＝∠BEG＋∠GFD＝α＋β，
∵FG平分∠EFD，
∴∠EFG＝∠GFD＝β，
∵∠EHF＝180° ∠EFG ∠FEH＝180° α β，
∴∠EHF＝180° α β＝180° ∠EGF，
∴∠EGF＋∠EHF＝180°．
（3）解：∠MGF的度数是为定值，∠MGF＝45°，
理由如下：过点G作，
∵，
∴，
∴设∠MGN＝∠BMG＝α，∠NGF＝∠GFD＝β，
∴∠MGF＝∠BMG＋∠GFD＝α＋β，
∵FG平分∠EFD，
∴∠EFG＝∠GFD＝β，
∵，
∴∠MEF＝∠EFD＝2β，
∵MH⊥EF，
∴∠HME＝90° ∠MEF＝90° 2β，
∵MG平分∠BMH，
∴∠EMG＝∠GMH＝α＝∠HME，
∴∠EMG＝α＝∠HME＝（90° 2β）＝45° β，
∴∠MGF＝α＋β＝45° β＋β＝45°，∴∠MGF＝45°，
∴∠MGF的度数是为定值．
【知识点】角平分线的概念；平行线的应用-求角度；平行公理的推论
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠BEF=2∠FEG，∠EFD=2∠GFE，根据两直线平行，同旁内角互补得到∠BEF＋∠EFD=180°，求出∠FEG＋∠GFE＝90°，解答即可：
（2）过点G作，即可得到．设∠EGN=∠BEG=α，∠NGF=∠GFD=β．利用角平分线的定义得到∠EFG＝∠GFD＝β根据角的和差解答即可；
（3）过点 G作，即可得到．设∠MGN=∠BMG=α，∠NGF=∠GFD=β．即可得到∠MGF=α＋β．根据角平分线得到∠MEF=∠EFD=2β．即可得到∠HME=90° 2β．进而可得∠HME=90° 2β．探后推理得到∠HME=90° 2β．再根据角平分线求出∠EMG的度数解答即可．
1 / 1浙江省绍兴市2025-2026学年七年级下学期数学期中学业水平考试试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．如图所示的图案是一些汽车的车标，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：A、此选项图案可以看作由“基本图案”经过平移得到，故此选项符合题意；
B、此选项图案可以看作由“基本图案”经过轴对称变化得到，故此选项不符合题意；
C、此选项图案可以看作由“基本图案”经过轴对称变化得到，故此选项不符合题意；
D、此选项图案可以看作由“基本图案”经过轴对称变化得到，故此选项不符合题意.
故答案为：A．
【分析】图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状、大小及方向，据此逐一判断得出答案.
2．下列图形中，和是对顶角的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解： A．和符是对顶角，故A符合题意；
B． 和不是对顶角，故B不符合题意；
C．和不是对顶角，故C不符合题意；
D．和不是对顶角，故D不符合题意．
故答案为：A．
【分析】依据对顶角的定义“两边互为反向延长线的两角是对顶角”逐一进行判断即可．
3．下列方程中，是二元一次方程的是（　　）．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A、 只有一个未知数，为一元一次方程，故A不符合题意．
B、 有两个未知数，且未知数次数为1，故为二元一次方程，故B符合题意．
C、 中 的次数为2，故不是二元一次方程，故C不符合题意．
D、 是分式，故不是二元一次方程，故D不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据二元一次方程的定义对每个选项一一判断即可。
4．解方程组 ，较简便的方法是（　　）
A．，消x B．，消x
C．，消y D．，消y
【答案】C
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意得，，消y，
，消x，
故选：C．
【分析】根据加减消元法解方程组即可求出答案.
5．下列计算中，正确的是（　　）。
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：、，本选项错误；
、，本选项错误；
、本选项不能合并，错误；
、，本选项正确，
故答案为：．
【分析】根据幂的乘方、同底数幂的乘法、合并同类项、积的乘方法则逐项判断解答即可.
6．和是同位角的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】同位角的概念
【解析】【解答】解：A：是内错角，不符合题意；
B：是同位角，符合题意；
C：不是同位角，不符合题意；
D：不是同位角，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据同位角的定义“ 当两条直线被第三条直线（即截线）所截时，在两直线的同侧，并且在截线的同旁的两个角，称为同位角 ”逐项判断解题即可.
7．若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据已知等式可得，即可得到，利用底数相同，指数相等解答即可．
8．我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳复量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条还剩余1尺．木条长多少尺？如果设木条长尺，绳子长尺，那么可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设木条长x尺，绳子长y尺，
绳子剩余4.5尺，
，
将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，
，
可列方程组为．
故答案为：A．
【分析】设 木条长尺，绳子长尺 ，根据“ 一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条还剩余1尺 ”列出方程组解答．
9．将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，直角边与相交于点G，当时，的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的应用-三角尺问题；平行公理的推论；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：过点G作，
∵，
∴，
∴，，
在和中， ，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：C．
【分析】过点G作，即可得到HG∥EF∥BC，然后根据两直线平行，内错角相等得到，，根据角的和差求出∠EGB，即可根据邻补角的定义解答即可．
10．如图a是长方形纸带，∠DEF＝23°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是（　　）
A．97° B．105° C．107° D．111°
【答案】D
【知识点】平行线的应用-折叠问题；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：由长方形纸带可得，
图a中，
根据翻折的性质，可得到图b中，
，
，
，
根据翻折的性质，可得图c中，
，
故答案为：D．
【分析】根据两直线平行，内错角相等得到，然后根据翻折得到图b中，即可得到，进而得到图c的，根据角的和差解答即可．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．已知，，则的值为　 　
【答案】20
【知识点】幂的乘方的逆运算
【解析】【解答】解：∵
∴，代入得：原式．
故答案为：20.
【分析】逆用同底数幂的乘法，然后整体代入计算即可.
12．已知，用含的代数式表示x为：　 　
【答案】x=4+2y
【知识点】解二元一次方程
【解析】【解答】解：，
移项得，，
故答案为：．
【分析】把y看作已知数，移项计算即可．
13．若是关于的二元一次方程的一组解，则的值为　 　
【答案】-2
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：把代入二元一次方程，
得，
解得．
故答案为：-2.
【分析】把代入方程得到2-a=4，求出a的值解答即可.
14．如图，对于下列条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠C＝∠5；④∠A+∠ADC＝180°．其中一定能得到AD∥BC的条件是（填序号）　 　
【答案】②③
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：，∴；
， ∴；
，∴；
，∴；
综上分析可知，一定能得到的条件有．
故答案为：②③.
【分析】根据平行线的判定定理逐一判断解答即可
15．如果关于、的方程组的解是二元一次方程的一个解，那么的值为　 　
【答案】1
【知识点】二元一次方程（组）的同解问题；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：，
得，
关于、的方程组的解是二元一次方程的一个解，
，
解得 ．
故答案为：1.
【分析】两方程相加得到，求出m的值即可.
16．若关于x，y的二元一次方程组的解是，则关于a，b的二元一次方程组的解是　 　
【答案】a=2，b=3
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：由题意可得 ，
解得，
故答案为：.
【分析】根据两个二元一次方程组的结构特征，可得新方程组中，3b对应原方程组的，y，即可得到5a-b=7，3b=9，求出a，b的值即可．
三、解答题（共72分）
17．解方程：
（1）；
（2）
【答案】（1）解：，
把①代入②，得 ，
解得，
把代入①，得，
∴方程组的解为；

（2）解：方程组化简，得，
①②得，，
解得，
把代入②，得，
解得，
∴方程组的解为．
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）将①代入②消去未知数x，求出y的值，然后把y的值代入①求出x的值解答即可；
（2）先整理方程，然后①②消去未知数x，求出y的值，然后把y的值代入②求出x的值解答即可.
18．已知代数式x2+bx+c，当x=1时，它的值是2，当x=-1时，它的值是8.求b，c的值.
【答案】解：∵代数式，当时，它的值是；当时，它的值是，
，
解得：
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】代入x，y的值得到关于和的二元一次方程组，解方程组求出b，c的值即可．
19．我们规定： ，例如 ，请解决以下问题：
（1）试求 的值；
（2）想一想 与 相等吗？请说明理由.
【答案】（1）解： =107×108=107+8=1015.
（2）解： =10a+b×10c=10a+b+c
=10a×10b+c=10a+b+c
∴ =
【知识点】同底数幂的乘法；定义新运算
【解析】【分析】（1）根据定义新运算，仿照示范得出7 8 =107×108，再根据同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加得出结果；
（2）根据定义新运算，仿照示范得出( a + b ) c =10a+b×10c，再根据同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加得出结果；同理得出
=10a×10b+c=10a+b+c，再比较它们的大小即可得出结论。
20．如图，在方格纸中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三角形ABC的三个顶点均与小正方形的顶点重合．
（1）将三角形ABC先向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位，得到三角形DEF（点A与点D，点B与点E，点C与点F分别对应），请在方格纸中画出三角形DEF．
（2）求三角形DEF的面积.
【答案】（1）解：如图，△DEF即为所求．
（2）如图，
＝2×4﹣×1×2﹣×1×4﹣×2×2
＝8﹣1﹣2﹣2
＝3
【知识点】作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）根据平移的性质得到点A，B，C的对应点D，E，F，依次连接得到△DEF，则③DEF即为所作；
（2）利用割补法求出△DEF的面积即可．
21．已知如图，，．
（1）试判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若于点D，若平分，，求的度数．
【答案】（1）解：．理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等得到，等量代换得到，然后根据同位角相等，两直线平行得到结论即可；
（2）根据两直线平行，同位角相等得到，根据角平分线的定义得到，然后根据直角三角形的两锐角互余解题即可．
22．换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变数称为元．所谓换元法，就是解题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元．
例如解方程组，令．
原方程组化为，解得，
把代入，，得，解得．
原方程组的解为．
（1）解方程组
（2）解方程组
【答案】（1）解：，
移项整理得，，
令，，
原方程组化为，
解得，
把代入，，
得，解得，
原方程组的解为
（2）解方程组，
移项整理得，，
令，，原方程组化为，
解得，
把代入，，
得，解得，
原方程组的解为
【知识点】解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组；整体思想
【解析】【分析】（1） 令， ，得到关于m，n的二元一次方程求出m，n的值，然后得到关于x，y的二元一次方程组，解方程组求出x，y的值．
（2）化简方程后，令，，得到关于m，n的二元一次方程求出m，n的值，然后解方程组求出x，y的值．
23．某市无偿捐助新鲜蔬菜运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载）
车型 甲 乙 丙
汽车运载量（辆） 5 8 10
汽车运费（元辆） 400 500 600
（1）全部蔬菜可用甲型车辆，乙型车辆，丙型车　 　辆来运送；
（2）若全部蔬菜都用甲、乙两种车型来运送，需运费元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？
【答案】（1）5
（2）解：设分别需甲、乙两种车型辆，辆，
由题意得，
解得，
答：需甲车型辆，乙车型辆
【知识点】有理数混合运算的实际应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）丙型车需要辆，
故答案为：5；
【分析】（）根据剩余蔬菜的数量除以丙型汽车运载量解答即可；
（）设分别需甲、乙两种车型辆，辆，根据题意列方程组，求出x和y的值解答即可.
24．已知直线，点E、F分别在直线、上，连接，平分．
（1）如图1，连接，若平分．求的度数；
（2）如图2，连接，若，猜想和的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，点H为线段（端点除外）上的一个动点，过点H作的垂线交于M，连接，若平分，问的度数是否为定值？若是，求出的度数；若不是，请说明理由．
【答案】（1）解：∵EG、FG分别平分∠BEF和∠EFD，
∴∠BEF＝2∠FEG，∠EFD＝2∠EFG，
∵，
∴∠BEF＋∠EFD＝180°，
∴2∠FEG＋2∠GFE＝180°，
∴∠FEG＋∠GFE＝90°，
∵∠EGF＋∠FEG＋∠GFE＝180°，
∴∠EGF＝90°．
（2）解：猜想：∠EGF＋∠EHF＝180°，
理由如下：如图所示，过点G作，
∵，
∴，
∴设∠EGN＝∠BEG＝α，∠NGF＝∠GFD＝β，
∴∠EGF＝∠BEG＋∠GFD＝α＋β，
∵FG平分∠EFD，
∴∠EFG＝∠GFD＝β，
∵∠EHF＝180° ∠EFG ∠FEH＝180° α β，
∴∠EHF＝180° α β＝180° ∠EGF，
∴∠EGF＋∠EHF＝180°．
（3）解：∠MGF的度数是为定值，∠MGF＝45°，
理由如下：过点G作，
∵，
∴，
∴设∠MGN＝∠BMG＝α，∠NGF＝∠GFD＝β，
∴∠MGF＝∠BMG＋∠GFD＝α＋β，
∵FG平分∠EFD，
∴∠EFG＝∠GFD＝β，
∵，
∴∠MEF＝∠EFD＝2β，
∵MH⊥EF，
∴∠HME＝90° ∠MEF＝90° 2β，
∵MG平分∠BMH，
∴∠EMG＝∠GMH＝α＝∠HME，
∴∠EMG＝α＝∠HME＝（90° 2β）＝45° β，
∴∠MGF＝α＋β＝45° β＋β＝45°，∴∠MGF＝45°，
∴∠MGF的度数是为定值．
【知识点】角平分线的概念；平行线的应用-求角度；平行公理的推论
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠BEF=2∠FEG，∠EFD=2∠GFE，根据两直线平行，同旁内角互补得到∠BEF＋∠EFD=180°，求出∠FEG＋∠GFE＝90°，解答即可：
（2）过点G作，即可得到．设∠EGN=∠BEG=α，∠NGF=∠GFD=β．利用角平分线的定义得到∠EFG＝∠GFD＝β根据角的和差解答即可；
（3）过点 G作，即可得到．设∠MGN=∠BMG=α，∠NGF=∠GFD=β．即可得到∠MGF=α＋β．根据角平分线得到∠MEF=∠EFD=2β．即可得到∠HME=90° 2β．进而可得∠HME=90° 2β．探后推理得到∠HME=90° 2β．再根据角平分线求出∠EMG的度数解答即可．
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