资源简介

浙江宁波市鄞州实验中学等校2025-2026学年八年级下学期数学期中测试卷
1．下列二次根式中，属于最简二次根式的是 （　　）
A． B． C． D．
2．解一元二次方程，配方后正确的是（　　）
A． B． C． D．
3． 3个旅游团游客年龄的方差分别是：导游小方喜欢带游客年龄相近的团队，则他应该选择（　　）
A．甲团 B．乙团
C．丙团 D．哪一个都可以
4．如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC.若AB=12，AC=10，则BD的长是（　　）
A．13 B．20 C．26 D．30
5．下列计算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．用反证法证明命题“三角形中必有一个角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中（　　）
A．有一个内角大于60° B．有一个内角小于60°
C．每一个内角都大于60° D．每一个内角都小于60°
7．已知α，β是一元二次方程的两个实数根，则α+β-αβ的值是（　　）
A．3 B．1 C．-1 D．-3
8．某中学需要购进100个某品牌的足球，经调查，该品牌足球2023年的单价为200元，2025年的单价为162元，2023年到2025年该品牌足球单价平均每年降低的百分率是（　　）。
A．30% B．20% C．19% D．10%
9．如图，△ABC中，∠C=90°，∠ABC=x°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转y°（0<180）得到△AB'C'。当BB'//AC时，x与y之间的数量关系为（　　）.
A．x=y B．x+y=90° C．2x=y D．2x+y=180°
10．如图，E、F分别是平行四边形ABCD的边AB，CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q.若，则阴影部分的面积为（　　）
A．a+b B． C．c-2a-b D．
11．当时，二次根式的值为　 　.
12．一组数据为1，1，2，2，4，则这组数据的离差平方和是　 　.
13．对于实数a，b，定义运算“※”如下：a※b=（a+b）（a-b）+ab，例如，3※2=（3+2）×（3-2）+3×2=11。若（x+2）※（x-1）=-11，则x的值为　 　
14．图①是我国古代建筑中的一种窗格。其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消融，寒冬已过，大地回春。冰裂纹图案形状无一定规则，图②是从图①冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=　 　度。
15．一张长12cm、宽10cm的长方形铁皮如图所示，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的长方形，剩余部分（阴影部分）可制成底面面积是的长方体铁盒，则剪去的正方形的边长为　 　cm
16．如图①，E为 ABCD边上的一个动点，沿A→B→C→D的路径移动到点D停止。设点E经过的路径长为x，△ADE的面积为y，y与x之间的函数图象如图②所示。若∠C=60°，则 ABCD的面积是　 　，
17．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC的中点，连结DE，点F在DE上，连结FB，FC，若FB⊥FC，BC=6，DF=1，则AC的长为　 　.
18．如图，在 ABCD中，AB=6，BC=8，∠ABC=120°，点E是AD上一点，将△ABE沿BE折叠得到△A'BE，连接A'C，EC.下列纳论：①当点A'落在BC边上时，；②当点R为AD中点时，；③当A'B=A'C时，；④最小值为，其中所有正确结论的序号是　 　
19．计算：
（1）
（2）
20．解方程：
（1）
（2）；
21．某银行理财经营团队A对其2025年上半年负责经营的12项理财产品的收益率（%）进行统计，数据如下（已按从小到大的顺序排列）：
2.10，3.15，3.18，3.19，3.50，x1，3.93，4.00，4.44，x2，4.47，4.89。
团队A产品收益率的相关数据（%）
团队 m25 m50 m75 x1 x2 收益率的平均值
A 　 3.925 4.450 　 　 3.769
请根据以上信息解答下列问题：
（1）计算m25，x1，x2的值，并填入表格。
团队 m25 m50 m75 x1 x2 收益率的平均值
A 　 　 3.925 4.450 　 　 　 　 3.769
（2）根据统计数据绘制了A团队负责经营的理财产品收益率的箱线图，写出两条你从中得到的信息。
22．如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，DB，CE交于点F，
（1）求证：四边形AFCD为平行四边形；
（2）若∠EFB=90°，EF=2，DF=5，求BC的长.
23．随着科技的不断进步，人工智能AI正逐渐渗透到我们的生活和工作.从家庭助手到自动驾驶汽车，再到智能医疗，AI的应用前景广阔且充满无限可能.某人工智能科技体验馆在十一假期间为学生们制订了丰富多彩的体验活动，团体票收费标准为：如果人数不超过10人，人均费用为240元；如果人数超过10人，每增加1人，人均费用降低5元，但人均旅游费用不得低于170元.
（1）若有14人参加旅游，则人均费用是　 　元；
（2）某兴趣小组的学生们去参加体验活动，团体票的费用共3600元，求参加活动的学生人数.
24．在 ABCD中，点E'在BC边上且BE'=4，将BE'绕点B逆时针旋转α°得到BE（0<α<180）.
（1）如图1，当∠EBA=90°时，求S△BCE；
（2）如图2，在旋转过程中，连接CE，取CE中点F，作射线BF交直线AD于点G.求线段BF的取值范围；
（3）如图3，当∠EBA=90°时，点S为线段BE上一动点，过点E作EM⊥射线AS于点M，N为AM中点，直接写出BN的最大值与最小值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、是最简二次根式，故选项A正确；
B、，故不是最简二次根式，故选项B错误；
C、，故不是最简二次根式，故选项C错误；
D、，故不是最简二次根式，故选项D错误．
故答案为：A．
【分析】本题考查了最简二次根式的知识．最简二次根式必须满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式，据此逐个判断得出答案.
2．【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
移项，得
两边都加上（-2）2，得
∴，
故答案为：A.
【分析】配方法解一元二次方程．
3．【答案】A
【知识点】分析数据的波动程度
【解析】【解答】解∶∵，，
∴，
导游小方应该选择甲团，
故答案为：A.
【分析】根据方差越小，波动越小，数据越稳定解答即可．
4．【答案】C
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形， ，
∴，，
∵，，
∴在中，，
∴．
故答案为：26.
【分析】根据平行四边形的性质得，，然后根据勾股定理求出，解答即可．
5．【答案】B
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的乘法
【解析】【解答】解：A： ，∴ A错误；
B： ，∴ B正确；
C：，∴ C错误；
D：，∴ D错误．
故答案为：B.
【分析】根据二次根式的加法法则、乘法公式运算解答即可.
6．【答案】C
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：由题意，应假设这个三角形中每一个内角都大于；
故答案为：C.
【分析】反证法的第一步是假设结论的反面成立，据此解答即可．
7．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵α，β是方程x2+x﹣2=0的两个实数根，
∴α+β=﹣1，αβ=﹣2，
∴α+β﹣αβ=﹣1-（-2）=-1+2=1，
故答案为：B ．
【分析】根据根与系数的关系得α+β=﹣1，αβ=﹣2，然后整体代入计算即可．
8．【答案】D
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设该品牌足球单价平均每年降低的百分率为x，
列方程得，
解得，或x=-1.9（舍去）
∴该品牌足球单价平均每年降低的百分率是．
故答案为：D.
【分析】设 该品牌足球单价平均每年降低的百分率为x，根据“ 足球2023年的单价为200元，2025年的单价为162元 ”列方程求出x的值解答即可．
9．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质；两直线平行，内错角相等；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：由旋转得，，，
中，，，
，
，
，
在中，，
整理得，．
故答案为：C．
【分析】根据旋转可得，，即可根据等边对等角得到，再根据两直线平行，内错角相等得到∠ABB'=∠CAB=∠AB'B=(90-x)°，再利用三角形的内角和定理解答即可．
10．【答案】D
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；几何图形的面积计算-割补法；等积变换
【解析】【解答】解：连接，过点E作于点M，
∵，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴的边上的高与的边上的高相等，
∴，
∴，
同理：，
∴，
∵，，
∴，
故阴影部分的面积为．
故答案为：D.
【分析】连接，过点E作于点M，由三角形的面积公式得到，即可得到，进而得到，，即可得到四边形的面积就是，据此解答即可．
11．【答案】3
【知识点】求二次根式的值
【解析】【解答】解：当x=4时，.
故答案为：3.
【分析】将x=4代入代数式，化简即可.
12．【答案】6
【知识点】离差平方和
【解析】【解答】解：∵这组数据的平均数是(1+1+2+2+4)÷5=2，
∴ 离差平方和为
故答案为：6.
【分析】先求出平均数，然后根据离差平方和的定义解答即可.
13．【答案】-3或-4
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
∵，
∴，
∴，
∴，
解得或，
即的值为或．
故答案为：或．
【分析】根据新定义的运算法则得到关于x的方程，解方程求出x的值即可．
14．【答案】360
【知识点】多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：由多边形的外角和等于360°可知，
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°，
故答案为：360°．
【分析】根据多边形的外角和等于360°解答即可．
15．【答案】2
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设底面长为a，宽为b，正方形边长为x，
由题意得：，
解得a=10－2x，b=6－x，代入ab=24中得： (10－2x)(6－x)=24，
整理得：2x2－11x+18=0．
解得x=2或x=9(舍去)．
故答案为：2．
【分析】 设底面长为a，宽为b，正方形边长为x， 根据题意列三元方程组，然后得到关于x的方程 (10－2x)(6－x)=24，求出x的值解答即可．
16．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的面积；动点问题的函数图象；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：由函数图象可知，第一阶段x的值从0先变化到6，点E在AB上运动，面积逐渐变大，
∴AB=6=CD，
由函数图象可知，第二阶段x的值从6先变化到10，点E在BC上运动，面积保持不变，
∴BC=10－6=4，
如图，作BM⊥CD于点M，则∠BMC=90°，
∵∠C=60°，
∴∠CBM=30°，
∴CM=BC=2，
∴BM=，
∴□的面积是CD×BM=6×2=12，
故答案为：12.
【分析】根据图象得到AB=CD=6，BC=4，作BM⊥CD于点M，得到∠CBM=30°，根据30°的直角三角形的性质求得CM=BC=2，根据勾股定理求出BM的长，根据平行四边形的面积公式计算即可．
17．【答案】8
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵，点E是的中点，
∴，
∵点D，E分别是边，的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴．
故答案为：8．
【分析】根据直角三角形斜边中线的性质得到，利用三角形中位线的性质可得，然后根据线段的和差解答即可．
18．【答案】②③④
【知识点】两点之间线段最短；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：①当点落在边上时，如图，
四边形是平行四边形，
，
由折叠可知，
，
，
，，
∴，，
在中，，
是等边三角形，则，
过点作于点，
，
在中，根据勾股定理可得，，
，
在中，，所以①错误；
②当点E为中点时，，
如图，过点C作交延长线于点G，
四边形是平行四边形，
，，
，
∴∠GCD=30°，
∴DG=3，，
，
在中，，故②正确；
③当时，，
四边形是平行四边形，
，
设，则，，
，故③正确；
④由折叠知，在以B为圆心，半径的圆弧上，如图，过点作交于点H，
由两点之间线段最短知，三点共线时，最短，
∴，
∴，
∴，
∴，
所以④正确；
故答案为：②③④.
【分析】利用平行四边形的性质和折叠的性质得到是等边三角形，作边上的垂线，根据勾股定理求出EF和CE长判断①； 过点C作交延长线于点G，根据30°角的直角三角形的性质和勾股定理求出DG和CG长判断②；由平行四边形的性质可得，设，根据角的和差求出∠ABA'-∠A'CD的值判断③；根据折叠可得在以B为圆心，长为半径的圆上，利用两点之间，线段最短得到三点共线时，最短， 然后根据勾股定理求出DA'判断④解答即可．
19．【答案】（1）解：
；

（2）解：
．

【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先化简二次根式、运算二次根式的乘法，然后运算差解答即可；
（2）先根据平方差、完全平方公式运算，然后合并同类二次根式即可．
20．【答案】（1）解：
∴
∴
解得：，.
（2）解：
∵，
∴
解得：，.
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）先两边同时除以5，再利用直接开平方法解方程即可；
（2）先计算b2-4ac的值，然后代入求根公式计算即可.
21．【答案】（1）3.185；3.92；4.46
（2）①收益率最低为2.10%，最高为4.89%。
②收益率的中位数是3.925%。
③有一半产品的收益率在3.185%到4.450%之间。
【知识点】箱线图；四分位数
【解析】【解答】解：（1）下四分位数；
中位数，
∴；
上四分位数，
∴；
填表如下：
团队 收益率的平均值
A 3.185 3.925 4.450 3.92 4.46 3.769
故答案为：3.185；3.92；4.46.
【分析】（1）根据四分位数的定义计算即可；
（2）根据箱线图的特征解答即可．
22．【答案】（1）证明：∵E是AB的中点，DF=BF，
∴EF是△ABD的中位线，
∴EF∥AD，即CF∥AD.
又∵AF∥DC，
∴ 四边形AFCD为平行四边形.
（2）解：∵，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴
∵，
∴
∵，
∴.
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据三角形中位线可得，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得到结论即可；
（2）根据平行四边形的性质得到，，然后根据勾股定理解答即可．
23．【答案】（1）220
（2）解：设参加活动的学生人数为x人，
根据题意，得x[240-5（x-10）]=3600，
整理，得
解得
当x=18时，240-5×（18-10）=200>170，符合题意；
当x=40时，240-5×（40-10）=90<170，不符合题意，舍去，
所以参加活动的学生人数为18人.
答：参加活动的学生人数为18人.
【知识点】有理数混合运算的实际应用；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）根据题意，若有14人参加旅游时，
人均费用为：元．
故答案为：220；
【分析】（1）根据题意列式计算即可；
（2）设参加活动的学生人数为x人，根据“人均费用×人数=费用”列关于x的一元二次方程，求出x的值并检验解答即可．
24．【答案】（1）如图1，过点E作EH⊥BC交CB的延长线于点H，
∴∠EHC=90°，
∵∠ABC=60°，∠EBA=90°，
∴∠EBH=180°-∠EBA-∠ABC=180°-90°-60°=30°，
∵点E'在BC边上且，BE'=4，将BE/绕点B逆时针旋转a°得到BE，
又∵BC=6，

（2）如图2，在线段FG上截取FK=BF，连接EK，CK，
∵EF=FC，BF=FK，
∴四边形BCKE是平行四边形，
∴BE=CK=4，
在△BCK中，BC-CK∴6-4∴1（3）BN的最大值：，最小值
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；旋转的性质；等腰直角三角形；三角形的中位线定理
【解析】【解答】（3）解：如图3，连接AE，取AE的中点P，PA的中点Q，连接BP，NP，NQ，BQ，
∵∠ABE=90°，AB=BE=4，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∵点P是AE的中点，
∴BP⊥AE，且
∵N是AM的中点，P是AE的中点，
∴PN是△AEM的中位线，
∴PN∥EM，
∴∠ANP=∠AME=90°，
∵点Q是AP的中点，
在Rt△BPQ中，，
当B，Q，N三点共线时，BN的最小值，
当点S与点E重合时，BN的最大值
故答案为：，
【分析】（1）过点作交的延长线于点，根得到，根据根据30°的直角三角形的性质得到，然后根据三角形的面积公式计算即可；
（2）在线段上截取，连接、，即可得到是平行四边形，进而可得，然后根据三角形三边关系解答即可；
（3）连接，取的中点，的中点，连接、、、，即可得到是等腰直角三角形，根据勾股定理求出，再由点是的中点求出，根据勾股定理求出，当、、三点共线时求出BN的最小值，当点与点重合时求出PN的最大值即可．
1 / 1浙江宁波市鄞州实验中学等校2025-2026学年八年级下学期数学期中测试卷
1．下列二次根式中，属于最简二次根式的是 （　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、是最简二次根式，故选项A正确；
B、，故不是最简二次根式，故选项B错误；
C、，故不是最简二次根式，故选项C错误；
D、，故不是最简二次根式，故选项D错误．
故答案为：A．
【分析】本题考查了最简二次根式的知识．最简二次根式必须满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式，据此逐个判断得出答案.
2．解一元二次方程，配方后正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
移项，得
两边都加上（-2）2，得
∴，
故答案为：A.
【分析】配方法解一元二次方程．
3． 3个旅游团游客年龄的方差分别是：导游小方喜欢带游客年龄相近的团队，则他应该选择（　　）
A．甲团 B．乙团
C．丙团 D．哪一个都可以
【答案】A
【知识点】分析数据的波动程度
【解析】【解答】解∶∵，，
∴，
导游小方应该选择甲团，
故答案为：A.
【分析】根据方差越小，波动越小，数据越稳定解答即可．
4．如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC.若AB=12，AC=10，则BD的长是（　　）
A．13 B．20 C．26 D．30
【答案】C
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形， ，
∴，，
∵，，
∴在中，，
∴．
故答案为：26.
【分析】根据平行四边形的性质得，，然后根据勾股定理求出，解答即可．
5．下列计算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的乘法
【解析】【解答】解：A： ，∴ A错误；
B： ，∴ B正确；
C：，∴ C错误；
D：，∴ D错误．
故答案为：B.
【分析】根据二次根式的加法法则、乘法公式运算解答即可.
6．用反证法证明命题“三角形中必有一个角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中（　　）
A．有一个内角大于60° B．有一个内角小于60°
C．每一个内角都大于60° D．每一个内角都小于60°
【答案】C
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：由题意，应假设这个三角形中每一个内角都大于；
故答案为：C.
【分析】反证法的第一步是假设结论的反面成立，据此解答即可．
7．已知α，β是一元二次方程的两个实数根，则α+β-αβ的值是（　　）
A．3 B．1 C．-1 D．-3
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵α，β是方程x2+x﹣2=0的两个实数根，
∴α+β=﹣1，αβ=﹣2，
∴α+β﹣αβ=﹣1-（-2）=-1+2=1，
故答案为：B ．
【分析】根据根与系数的关系得α+β=﹣1，αβ=﹣2，然后整体代入计算即可．
8．某中学需要购进100个某品牌的足球，经调查，该品牌足球2023年的单价为200元，2025年的单价为162元，2023年到2025年该品牌足球单价平均每年降低的百分率是（　　）。
A．30% B．20% C．19% D．10%
【答案】D
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设该品牌足球单价平均每年降低的百分率为x，
列方程得，
解得，或x=-1.9（舍去）
∴该品牌足球单价平均每年降低的百分率是．
故答案为：D.
【分析】设 该品牌足球单价平均每年降低的百分率为x，根据“ 足球2023年的单价为200元，2025年的单价为162元 ”列方程求出x的值解答即可．
9．如图，△ABC中，∠C=90°，∠ABC=x°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转y°（0<180）得到△AB'C'。当BB'//AC时，x与y之间的数量关系为（　　）.
A．x=y B．x+y=90° C．2x=y D．2x+y=180°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质；两直线平行，内错角相等；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：由旋转得，，，
中，，，
，
，
，
在中，，
整理得，．
故答案为：C．
【分析】根据旋转可得，，即可根据等边对等角得到，再根据两直线平行，内错角相等得到∠ABB'=∠CAB=∠AB'B=(90-x)°，再利用三角形的内角和定理解答即可．
10．如图，E、F分别是平行四边形ABCD的边AB，CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q.若，则阴影部分的面积为（　　）
A．a+b B． C．c-2a-b D．
【答案】D
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；几何图形的面积计算-割补法；等积变换
【解析】【解答】解：连接，过点E作于点M，
∵，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴的边上的高与的边上的高相等，
∴，
∴，
同理：，
∴，
∵，，
∴，
故阴影部分的面积为．
故答案为：D.
【分析】连接，过点E作于点M，由三角形的面积公式得到，即可得到，进而得到，，即可得到四边形的面积就是，据此解答即可．
11．当时，二次根式的值为　 　.
【答案】3
【知识点】求二次根式的值
【解析】【解答】解：当x=4时，.
故答案为：3.
【分析】将x=4代入代数式，化简即可.
12．一组数据为1，1，2，2，4，则这组数据的离差平方和是　 　.
【答案】6
【知识点】离差平方和
【解析】【解答】解：∵这组数据的平均数是(1+1+2+2+4)÷5=2，
∴ 离差平方和为
故答案为：6.
【分析】先求出平均数，然后根据离差平方和的定义解答即可.
13．对于实数a，b，定义运算“※”如下：a※b=（a+b）（a-b）+ab，例如，3※2=（3+2）×（3-2）+3×2=11。若（x+2）※（x-1）=-11，则x的值为　 　
【答案】-3或-4
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
∵，
∴，
∴，
∴，
解得或，
即的值为或．
故答案为：或．
【分析】根据新定义的运算法则得到关于x的方程，解方程求出x的值即可．
14．图①是我国古代建筑中的一种窗格。其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消融，寒冬已过，大地回春。冰裂纹图案形状无一定规则，图②是从图①冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=　 　度。
【答案】360
【知识点】多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：由多边形的外角和等于360°可知，
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°，
故答案为：360°．
【分析】根据多边形的外角和等于360°解答即可．
15．一张长12cm、宽10cm的长方形铁皮如图所示，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的长方形，剩余部分（阴影部分）可制成底面面积是的长方体铁盒，则剪去的正方形的边长为　 　cm
【答案】2
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设底面长为a，宽为b，正方形边长为x，
由题意得：，
解得a=10－2x，b=6－x，代入ab=24中得： (10－2x)(6－x)=24，
整理得：2x2－11x+18=0．
解得x=2或x=9(舍去)．
故答案为：2．
【分析】 设底面长为a，宽为b，正方形边长为x， 根据题意列三元方程组，然后得到关于x的方程 (10－2x)(6－x)=24，求出x的值解答即可．
16．如图①，E为 ABCD边上的一个动点，沿A→B→C→D的路径移动到点D停止。设点E经过的路径长为x，△ADE的面积为y，y与x之间的函数图象如图②所示。若∠C=60°，则 ABCD的面积是　 　，
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的面积；动点问题的函数图象；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：由函数图象可知，第一阶段x的值从0先变化到6，点E在AB上运动，面积逐渐变大，
∴AB=6=CD，
由函数图象可知，第二阶段x的值从6先变化到10，点E在BC上运动，面积保持不变，
∴BC=10－6=4，
如图，作BM⊥CD于点M，则∠BMC=90°，
∵∠C=60°，
∴∠CBM=30°，
∴CM=BC=2，
∴BM=，
∴□的面积是CD×BM=6×2=12，
故答案为：12.
【分析】根据图象得到AB=CD=6，BC=4，作BM⊥CD于点M，得到∠CBM=30°，根据30°的直角三角形的性质求得CM=BC=2，根据勾股定理求出BM的长，根据平行四边形的面积公式计算即可．
17．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC的中点，连结DE，点F在DE上，连结FB，FC，若FB⊥FC，BC=6，DF=1，则AC的长为　 　.
【答案】8
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵，点E是的中点，
∴，
∵点D，E分别是边，的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴．
故答案为：8．
【分析】根据直角三角形斜边中线的性质得到，利用三角形中位线的性质可得，然后根据线段的和差解答即可．
18．如图，在 ABCD中，AB=6，BC=8，∠ABC=120°，点E是AD上一点，将△ABE沿BE折叠得到△A'BE，连接A'C，EC.下列纳论：①当点A'落在BC边上时，；②当点R为AD中点时，；③当A'B=A'C时，；④最小值为，其中所有正确结论的序号是　 　
【答案】②③④
【知识点】两点之间线段最短；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：①当点落在边上时，如图，
四边形是平行四边形，
，
由折叠可知，
，
，
，，
∴，，
在中，，
是等边三角形，则，
过点作于点，
，
在中，根据勾股定理可得，，
，
在中，，所以①错误；
②当点E为中点时，，
如图，过点C作交延长线于点G，
四边形是平行四边形，
，，
，
∴∠GCD=30°，
∴DG=3，，
，
在中，，故②正确；
③当时，，
四边形是平行四边形，
，
设，则，，
，故③正确；
④由折叠知，在以B为圆心，半径的圆弧上，如图，过点作交于点H，
由两点之间线段最短知，三点共线时，最短，
∴，
∴，
∴，
∴，
所以④正确；
故答案为：②③④.
【分析】利用平行四边形的性质和折叠的性质得到是等边三角形，作边上的垂线，根据勾股定理求出EF和CE长判断①； 过点C作交延长线于点G，根据30°角的直角三角形的性质和勾股定理求出DG和CG长判断②；由平行四边形的性质可得，设，根据角的和差求出∠ABA'-∠A'CD的值判断③；根据折叠可得在以B为圆心，长为半径的圆上，利用两点之间，线段最短得到三点共线时，最短， 然后根据勾股定理求出DA'判断④解答即可．
19．计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
；

（2）解：
．

【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先化简二次根式、运算二次根式的乘法，然后运算差解答即可；
（2）先根据平方差、完全平方公式运算，然后合并同类二次根式即可．
20．解方程：
（1）
（2）；
【答案】（1）解：
∴
∴
解得：，.
（2）解：
∵，
∴
解得：，.
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）先两边同时除以5，再利用直接开平方法解方程即可；
（2）先计算b2-4ac的值，然后代入求根公式计算即可.
21．某银行理财经营团队A对其2025年上半年负责经营的12项理财产品的收益率（%）进行统计，数据如下（已按从小到大的顺序排列）：
2.10，3.15，3.18，3.19，3.50，x1，3.93，4.00，4.44，x2，4.47，4.89。
团队A产品收益率的相关数据（%）
团队 m25 m50 m75 x1 x2 收益率的平均值
A 　 3.925 4.450 　 　 3.769
请根据以上信息解答下列问题：
（1）计算m25，x1，x2的值，并填入表格。
团队 m25 m50 m75 x1 x2 收益率的平均值
A 　 　 3.925 4.450 　 　 　 　 3.769
（2）根据统计数据绘制了A团队负责经营的理财产品收益率的箱线图，写出两条你从中得到的信息。
【答案】（1）3.185；3.92；4.46
（2）①收益率最低为2.10%，最高为4.89%。
②收益率的中位数是3.925%。
③有一半产品的收益率在3.185%到4.450%之间。
【知识点】箱线图；四分位数
【解析】【解答】解：（1）下四分位数；
中位数，
∴；
上四分位数，
∴；
填表如下：
团队 收益率的平均值
A 3.185 3.925 4.450 3.92 4.46 3.769
故答案为：3.185；3.92；4.46.
【分析】（1）根据四分位数的定义计算即可；
（2）根据箱线图的特征解答即可．
22．如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，DB，CE交于点F，
（1）求证：四边形AFCD为平行四边形；
（2）若∠EFB=90°，EF=2，DF=5，求BC的长.
【答案】（1）证明：∵E是AB的中点，DF=BF，
∴EF是△ABD的中位线，
∴EF∥AD，即CF∥AD.
又∵AF∥DC，
∴ 四边形AFCD为平行四边形.
（2）解：∵，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴
∵，
∴
∵，
∴.
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据三角形中位线可得，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得到结论即可；
（2）根据平行四边形的性质得到，，然后根据勾股定理解答即可．
23．随着科技的不断进步，人工智能AI正逐渐渗透到我们的生活和工作.从家庭助手到自动驾驶汽车，再到智能医疗，AI的应用前景广阔且充满无限可能.某人工智能科技体验馆在十一假期间为学生们制订了丰富多彩的体验活动，团体票收费标准为：如果人数不超过10人，人均费用为240元；如果人数超过10人，每增加1人，人均费用降低5元，但人均旅游费用不得低于170元.
（1）若有14人参加旅游，则人均费用是　 　元；
（2）某兴趣小组的学生们去参加体验活动，团体票的费用共3600元，求参加活动的学生人数.
【答案】（1）220
（2）解：设参加活动的学生人数为x人，
根据题意，得x[240-5（x-10）]=3600，
整理，得
解得
当x=18时，240-5×（18-10）=200>170，符合题意；
当x=40时，240-5×（40-10）=90<170，不符合题意，舍去，
所以参加活动的学生人数为18人.
答：参加活动的学生人数为18人.
【知识点】有理数混合运算的实际应用；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）根据题意，若有14人参加旅游时，
人均费用为：元．
故答案为：220；
【分析】（1）根据题意列式计算即可；
（2）设参加活动的学生人数为x人，根据“人均费用×人数=费用”列关于x的一元二次方程，求出x的值并检验解答即可．
24．在 ABCD中，点E'在BC边上且BE'=4，将BE'绕点B逆时针旋转α°得到BE（0<α<180）.
（1）如图1，当∠EBA=90°时，求S△BCE；
（2）如图2，在旋转过程中，连接CE，取CE中点F，作射线BF交直线AD于点G.求线段BF的取值范围；
（3）如图3，当∠EBA=90°时，点S为线段BE上一动点，过点E作EM⊥射线AS于点M，N为AM中点，直接写出BN的最大值与最小值.
【答案】（1）如图1，过点E作EH⊥BC交CB的延长线于点H，
∴∠EHC=90°，
∵∠ABC=60°，∠EBA=90°，
∴∠EBH=180°-∠EBA-∠ABC=180°-90°-60°=30°，
∵点E'在BC边上且，BE'=4，将BE/绕点B逆时针旋转a°得到BE，
又∵BC=6，

（2）如图2，在线段FG上截取FK=BF，连接EK，CK，
∵EF=FC，BF=FK，
∴四边形BCKE是平行四边形，
∴BE=CK=4，
在△BCK中，BC-CK∴6-4∴1（3）BN的最大值：，最小值
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；旋转的性质；等腰直角三角形；三角形的中位线定理
【解析】【解答】（3）解：如图3，连接AE，取AE的中点P，PA的中点Q，连接BP，NP，NQ，BQ，
∵∠ABE=90°，AB=BE=4，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∵点P是AE的中点，
∴BP⊥AE，且
∵N是AM的中点，P是AE的中点，
∴PN是△AEM的中位线，
∴PN∥EM，
∴∠ANP=∠AME=90°，
∵点Q是AP的中点，
在Rt△BPQ中，，
当B，Q，N三点共线时，BN的最小值，
当点S与点E重合时，BN的最大值
故答案为：，
【分析】（1）过点作交的延长线于点，根得到，根据根据30°的直角三角形的性质得到，然后根据三角形的面积公式计算即可；
（2）在线段上截取，连接、，即可得到是平行四边形，进而可得，然后根据三角形三边关系解答即可；
（3）连接，取的中点，的中点，连接、、、，即可得到是等腰直角三角形，根据勾股定理求出，再由点是的中点求出，根据勾股定理求出，当、、三点共线时求出BN的最小值，当点与点重合时求出PN的最大值即可．
1 / 1

展开更多......

收起↑