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10.3 实际问题与二元一次方程组（第1课时-和差倍分问题） 跟踪练
2025-2026学年下学期初中数学人教版（2024）七年级下册
一、单选题
1．《九章算术》中记载了这样的问题：六鸡、七鸭共重24千克，鸡重鸭轻，互换其中一只，恰好一样重．问：每只鸡、鸭平均各重多少千克？设每只鸡平均重x千克，每只鸭平均重y千克，根据题意可列出方程组为（ ）
A． B．
C． D．
2．我国古代数学古典名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”其大意是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量，木条还剩余1尺；问木条多少尺？如果设木条长为尺，绳子长为尺，则下面所列方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．我国古代数学专著《九章算术》中有一道关于“分钱”的问题：甲、乙二人有钱若干，若甲给乙10钱，则甲的钱是乙的2倍；若乙给甲5钱，则乙的钱是甲的．若设甲原有钱，乙原有钱，则可列方程（　　）
A． B．
C． D．
4．古代数学题：“一些人共同买鸡，如果每人出9钱，则多了11钱；如果每人出6钱，则少了16钱，问人数和鸡的价格各是多少？”设人数为，鸡的价格为钱，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
5．甲是乙现在的年龄时，乙15岁；乙是甲现在的年龄时，甲30岁，那么（ ）
A．甲比乙大5岁 B．甲比乙大10岁
C．乙比甲大10岁 D．乙比甲大5岁
6．学生问老师：“您今年多大了”老师风趣地说：“我像你这么大的时候，你才出生，你到我这么大时，我已经36岁了，”那么老师和学生的年龄分别是（ ）
A．24、12 B．24、11 C．25、11 D．26、10
7．已知两数x，y之和是10，x比y的3倍大2，则下面所列方程组正确的是
A． B． C． D．
二、填空题
8．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中方程术是重要的数学成就．书中有一个方程问题：“五只雀，六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少？”答：每只雀有______________两，每只燕有___________两．
9．我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有黄金九枚，白银十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”译文为：现有一袋黄金9枚，一袋白银11枚，这两袋的重量恰好相等．若两袋中交换1枚黄金和1枚白银，则原来装黄金的袋子比原来装白银的袋子轻13两，问黄金和白银1枚各重几两．
答∶1枚黄金重________两；1枚白银重________两．
10．小强问他的数学老师今年多少岁了，数学老师说：“我像你这么大时，你才1岁．你到我这么大时，我就40岁了．”那么数学老师今年的岁数是____________岁．
11．小明问老师：“您今年多大？”老师风趣地说：“我像你这样大时你才出生，你到我这么大时我已经39岁了．”老师年龄为__________岁，小明年龄为__________岁．
12．阅读是人类进步的阶梯，现在的中小学生是祖国的未来，“用阅读点燃中国梦”，某校为更丰富读书内容，又新购进书册若干件，为让同学更早更快阅读，初二年级组织了86名同学搬书．为便于管理，把其中50名同学分成A、B两组，另外的36名同学分成C、D两组．A、C两组把书搬到甲地点，B、D两组把书搬到乙地点，A组搬书的人均件数比B组的人均件数多2件，C、D两组人均件数相同，且是B组搬书的人均件数的2.5倍，甲、乙两个地点的人均搬书件数相同，且比A组搬书的人均件数高25%，已知搬书的人均件数为整数．则这次该校又新购进书册共___件．
13．今年8月20日，重庆八中学子在第37届全国青少年信息学奥林匹克竞赛中再创佳绩，斩获一金四银，一学子入选国家集训队，为了解我校信息竞赛同学对其它竞赛科目的兴趣程度，老师对同学们做了一次“我最喜爱的竞赛科目”问卷调查（每位同学都填了调查表，且只选择数学、物理、化学、生物其中一个科目），其中选物理的人数比选生物的少8人；选数学的人数是选生物人数的整数倍；选生物与数学的人数之和是物理与化学的人数之和的5倍；选化学与数学的人数之和比选物理与生物的人数之和多24人，则喜欢数学共有__人．
14．如图所示，某工厂生产镂空的铝板雕花造型，造型由A（绣球花）、B（祥云）两种图案组合而成，因制作工艺不同，A、B两种图案成本不同，厂家提供了如下几种设计造型，造型1的成本64元，造型2的成本42元，则造型3的成本为______元；若王先生选定了一个造型1作为中心图形，6个造型2分别位于中心图形的四周，其余部分用个造型3填补空缺，若整个画面中，图案B个数不多于图案A数的2倍，且王先生的整体设计费用不超过500元，写出一个满足条件的值______．
三、解答题
15．《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘：三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子，问客人和盘子各有多少？”请你解答这个问题．
16．你看过《一千零一夜》吗？有个故事中有一个绝妙的谜语：有一群鸽子，飞过一棵高高的树，一部分鸽子落在树上，其他的停在树下，一只落在树上的鸽子对树下的鸽子说：“倘若你们当中有一只飞上来，你们的数目就是我们总数的；倘若我们中飞下去一只，我们的数目恰好和你们相同啦！”根据这段描述，请你算一算，有多少只鸽子在树上？多少只鸽子在树下？
17．聪聪在给妈妈过生日时发现自己的年龄与妈妈的年龄的十位数字与个位数字正好相反.同时，他还发现，过10年，妈妈岁数减1（岁）刚好是自己岁数加1（岁）的2倍；再过1年，他们两人的年龄又一次相反，且十位数字与个位数字的和为7，求聪聪和他妈妈现在的年龄.
18．某中学组织300位学生到铜鼓岭和航天发射基地开展研学活动（每位学生仅能选择其中一个地点），到铜鼓岭的人数比到航天发射基地的人数的2倍少3，到两地研学的人数各是多少？
19．列方程（组）解应用题
九年级（1）班团支部计划组织部分同学利用课余时间进行社会实践：销售鲜花.经市场调研，他们认为畅销的鲜花有两种：康乃馨和百合，并知道批发价为康乃馨每枝元.百合每枝4元；而市场销售价为康乃馨每枝2元，百合每枝5元．
(1)如果用元钱进货，售出全部鲜花之后所得利润为元，求两种鲜花各进货多少枝？
(2)团支部将这些鲜花平均分给甲、乙两个小组去销售，由于甲每小时售出的花是乙组的两倍，因此比乙组提前1小时售完，求甲组每小时售出多少花？
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 A A A B A A C
1．A
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设每只鸡平均重x千克，每只鸭平均重y千克，根据五只鸡、六只鸭共重20千克可得方程，根据互换其中一只，恰好一样重可得方程，据此列出方程组即可．
【详解】解：由题意得，，
故选：A．
2．A
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的二元一次方程组．
根据“一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺”可知：绳子=木条+4.5，再根据“将绳子对折再量木条，木条剩余1尺”可知：绳子=木条，据此列出二元一次方程组即可．
【详解】解：设木条长x尺，绳子长y尺，
那么可列方程组为：
，
故选：A．
3．A
【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，由甲给乙10钱，则甲的钱是乙的2倍，得；由乙给甲5钱，则乙的钱是甲的，得，据此列出相应的方程组即可．
【详解】解：设甲原有钱，乙原有钱，
依题意得，
故选：A．
4．B
【分析】本题考查了从实际问题抽象出二元一次方程组，根据如果每人出9钱，则多了11钱；如果每人出6钱，则少了16钱列方程组即可．
【详解】解：每人出9钱的情况得到，每人出6钱的情况得到，
所以方程组为，
故选B．
5．A
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设甲现在的年龄为岁，乙现在的年龄为岁，根据“甲是乙现在的年龄时，乙15岁；乙是甲现在的年龄时，甲30岁”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设甲现在的年龄为岁，乙现在的年龄为岁，
依题意，得：，
解得：．
甲现在的年龄为25岁，乙现在的年龄为20岁，
甲比乙大5岁
故选：A．
6．A
【分析】设老师现在的年龄是岁，学生现在的年龄是岁，抓住年龄差不变，根据此等量关系可列方程组求解．
【详解】解：设老师现在的年龄是岁，学生现在的年龄是岁，
由题意可得：，
解得：．
故老师现在的年龄是24岁，学生现在的年龄是12岁．
故选：A．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，关键是知道年龄差是不变的量从而可列方程求解．
7．C
【详解】解：由两数x，y之和是10可列式；
由x比y的3倍大2可列式．
故选C．
8． / /
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组．设每只雀有x两，每只燕有y两，根据五只雀、六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，列方程组求解即可．
【详解】解：设每只雀有x两，每只燕有y两，
由题意得，，整理得：，
解得：，
则每只雀有两，每只燕有两．
故答案为：，．
9．
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，理解题意，弄清熟练关系是解题关键．设1枚黄金重两，1枚白银重两，根据题意列出二元一次方程组并求解，即可获得答案．
【详解】解：设1枚黄金重两，1枚白银重两，
根据题意，可得，
解得，
即1枚黄金重两，1枚白银重两．
故答案为：；．
10．27
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用．设数学老师今年岁，小强今年岁，根据题意，列出方程组进行求解即可．
【详解】解：设数学老师今年岁，小强今年岁，由题意，得：
，解得：，
∴数学老师今年岁；
故答案为：27．
11． 26 13
【解析】略
12．860
【分析】可设组分得人，则组分得人，全部人均搬书件，则组人均搬书件，组人均搬书件，、两组人均搬书件，根据组搬书的件数组搬书的件数、两组搬书的件数一共搬书的件数，列出方程，再根据整数的性质即可求解．
【详解】解：设组分得人，则组分得人，全部人均搬书件，则组人均搬书件，组人均搬书件，、两组人均搬书件，依题意有，
，
整理得：，
则，
书的件数是正整数，
，是正整数，是5的倍数，
，是正整数，
，，
（件．
故一共有书860件．
故答案为：860．
【点睛】考查了二元一次方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
13．30
【分析】可设选物理的人数有人，则选生物的人数有人，选数学的人数有人，选化学的人数有人，根据选生物与数学的人数之和是物理与化学的人数之和的5倍；选化学与数学的人数之和比选物理与生物的人数之和多24人；可得方程组求得，再根据整数的性质求得，进一步求得喜欢数学共有的人数．
【详解】解：设选物理的人数有人，则选生物的人数有人，选数学的人数有人，选化学的人数有人，依题意有
，
②变形为：③，
①③得，
，均为正整数，
或或或或或，
当时，为整数，
，
喜欢数学共有（人）．
故答案为：30．
【点睛】本题考查了应用类问题，二元一次方程的正整数解、二元一次方程组等知识点，题目难度较大，根据方程组得到二元一次方程，是解决本题的关键．
14． 22 6（答案不唯一，6，7，8均可）
【分析】设A种图案成本每个x元，B种图案成本每个y元，根据造型1的成本64元，造型2的成本42元，列方程组，得出x、y的值，则由造型3的成本为元；再根据图案的个数不多于图案个数的2倍，且整体设计费用不超过500元，列不等式组，求得，然后由n为整数，得出n的值即可．
【详解】解：设A种图案成本每个x元，B种图案成本每个y元，根据题意，得
，解得：，
∴(元)，
即造型3的成本为22元；
故答案为：22；
根据题意得：，
解得：，
∵n为整数，
∴，7，8，
故答案为：6（答案不唯一，6，7，8均可）．
【点睛】本题考查二元一次方程组与一元一次不等式组的应用，理解题意，列出方程组与不等式组是解题的关键．
15．客人共有30位，盘子共有13个．
【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设共有x位客人，根据盘子的数量为定值，列出方程进行求解即可．
【详解】解：设共有x位客人．
依题意，得，解得，
所以．
答：客人共有30位，盘子共有13个．
16．有只鸽子在树上，有只鸽子在树下
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设有只鸽子在树上，有只鸽子在树下，根据题意列出方程组即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键．
【详解】解：设有只鸽子在树上，有只鸽子在树下，
由题意得，，
解得，
答：有只鸽子在树上，有只鸽子在树下．
17．聪聪现在的年龄为14岁，妈妈现在的年龄为41岁.
【分析】设聪聪的年龄为(10x+y)岁，妈妈的年龄为(10y+x)岁，根据“过10年，妈妈岁数减1(岁)刚好是自己岁数加1(岁)的2倍；再过1年，他们两人的年龄又一次相反，且十位数字与个位数字的和为7”，即可得出关于x，y的二元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】(1)设聪聪的年龄为(10x+y)岁，则妈妈的年龄为(10y+x)岁，
根据题意得： ，
解得： ．
答：聪聪今年14岁，妈妈今年41岁．
【点睛】此题考查二元一次方程组的应用，解题关键在于设聪聪的年龄为(10x+y)岁.
18．到铜鼓岭研学的人数为199人，到航天发射基地研学的人数为101人
【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，设到铜鼓岭研学的人数为x人，到航天发射基地研学的人数为y人，总人数为300位，到铜鼓岭的人数比到航天发射基地的人数的2倍少3，据此列方程组，解方程组即可得到答案．
【详解】解：设到铜鼓岭研学的人数为x人，到航天发射基地研学的人数为y人，
由题意，得，
解得，
答：到铜鼓岭研学的人数为199人，到航天发射基地研学的人数为101人．
19．(1)康乃馨进货枝，百合进货枝；
(2)甲组每小时售出枝花．
【分析】本题考查了二元一次方程组、分式方程的实际应用，正确理解题意是解题关键．
（1）设康乃馨进货枝，百合进货枝，根据题意得列方程组即可求解；
（2）设乙组每小时售出枝花，根据题意得：，即可求解；
【详解】（1）解：设康乃馨进货枝，百合进货枝，
根据题意得：，
解得：.
所以康乃馨进货枝，百合进货枝；
（2）解：设乙组每小时售出枝花，根据题意得：，
解得：.
检验：当时，，
所以是原分式方程的解. ．
所以甲组每小时售出枝花．
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