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10.3 实际问题与二元一次方程组（第2课时-分配、工程、行程问题）
跟踪练 2025-2026学年下学期初中数学人教版（2024）七年级下册
一、单选题
1．2025年元旦期间，小华和家人到汾河公园景区游玩，湖边有大小两种游船，小华发现：2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客人．则1艘大船可以满载游客的人数为（ ）

A．15 B．16 C．17 D．18
2．某工厂有名工人，每个工人每天能加工6个型零件或者3个型零件，其中某产品每套由4个型零件和3个型零件配套组成，现将工人分成两组，每组分别加工一种零件，并要求每天加工的零件正好配套，现50天恰好完成1200套产品的生产任务，则的值为（ ）
A．30 B．40 C．50 D．60
3．某车间共30名工人，每人每天平均能生产8张桌子或16把椅子，要求1张桌子配4把椅子，为了使每天生产的桌子和椅子恰好配套，制作桌子和椅子的人数分别为（ ）
A．9人，21人 B．10人，20人 C．15人，15人 D．20人，10人
4．甲、乙两个工人按计划一个月应生产680个零件，结果甲超额完成计划的20%，乙超额完成计划的15%，两人一共多生产118个零件，则原计划甲、乙各生产零件数为（ ）
A．320，360 B．360，320 C．300，380 D．380，380
5．某工程队共有27人，每天每人可挖土4方，或运土5方，为使挖出的土及时运走，应分配挖土和运土的人分别是
A．12人，15人 B．14人，13人 C．15人，12人 D．13人，14人
6．某市准备对一段长120m的河道进行清淤疏通，若甲工程队先用4天单独完成其中一部分河道的疏通任务，则余下的任务由乙工程队单独完成需要9天；若甲工程队单独工作8天，则余下的任务由乙工程队单独完成需要3天；设甲工程队平均每天疏通河道x m，乙工程队平均每天疏通河道y m，则（x＋y）的值为( )
A．5 B．10 C．15 D．20
7．小刚去距县城远的旅游景点游玩，先乘汽车，后步行，全程共用了．已知汽车的速度为，步行的速度为，则小刚乘车的路程和步行的路程分别为（ ）
A． B． C． D．
8．甲，乙两船相距，相向而行，后相遇；同向而行，甲后追上乙．水流速度忽略不计，甲，乙两船的速度分别为（ ）
A． B．
C． D．
9．小明和小伟分别从两地同时出发，小明骑自行车，小伟步行，沿同一道路相向匀速而行，出发24分钟后两人相遇．相遇时小明比小伟多行进4.8千米，相遇后6分钟小明到达地．则两地间的距离为（ ）
A．8千米 B．12千米 C．6千米 D．9千米
二、填空题
10．某小组分若干本图书，若每人分1本，则余1本，若每人分2本，则少3本，那么图书共有________本.
11．一工坊用铁皮制作糖果盒，每张铁皮可制作盒身20个，或制作盒底30个，一个盒身与两个盒底配成一套糖果盒．现有35张铁皮，则用_________张铁皮做盒身，_________张铁皮做盒底，恰巧配套．
12．中国瓷器以其精湛的工艺和精美的图案享誉世界．某瓷器厂一车间有14名工人，每名工人每天可以加工10只茶壶或30只茶杯． 1只茶壶需要配4只茶杯，为使每天加工的茶壶和茶杯刚好配套，该车间应安排__________名工人加工茶壶．
13．甲、乙两队筑一条路，甲队每天筑千米，乙队每天筑千米，甲队筑5天和乙队筑4天共完成110千米，甲队筑3天的路正好是乙队筑2天的路，可列方程组________．
14．两组工人按计划本月应共生产680个零件，实际第一组超额、第二组超额完成了本月任务，因此比原计划多生产118个零件，则本月原计划第一组生产________个零件、第二组生产________个零件．
15．一铁路大桥长1800米，一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全离开桥共用分钟，整列火车完全在桥上的时间为分钟，则火车的速度为________米/秒．
16．某船顺流航行用了，逆流航行也用了，则水流的速度为_____，船在静水中的速度为______．
17．小刚去距县城的景点游玩，先乘车，后步行，全程共用了．已知汽车的速度为，小刚步行的速度为，则小刚乘车的路程为______，步行的路程为______．
三、解答题
18．丰富多彩的社团活动，点亮了校园的每一个角落，绽放出多元而独特的光彩．在这里，每一个社团都是一个梦想的摇篮，每一份热爱都找到了生长的土壤．太谷区初中某学校社团在开展手工制作活动中，美术老师要求用14张卡纸制作圆柱体包装盒，准备把这些卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面．已知每张卡纸可以裁出2个侧面，或者裁出3个底面，如果1个侧面和2个底面可以做成一个包装盒，这些卡纸最多可以做成多少个包装盒？
19．优秀文化是文创产品的灵魂．西安肉夹馍、天水麻辣烫本身就是“圈粉”需求的地方代表性特色美食，以其为原型和载体创新文创产品“绒馍馍”和“麻辣烫”，生动展示了本土美食的独特韵味．一盒“绒馍馍”234元，一锅“麻辣烫”108元，某网友一次购买相应规格的“绒馍馍”和“麻辣烫”共10盒（锅），两种产品均享受七五折的优惠，共花费1188元，则该网友购买“绒馍馍”多少盒，购买“麻辣烫”多少锅？
20．某城市义务绿化小队决定在植树节当天进行义务植树活动，现决定采购“女贞”和“小叶黄杨”两种类型的树苗共1000棵，已知一棵“女贞”树苗比一棵“小叶黄杨”树苗贵4元，100元可以购买5棵“女贞“和35棵“小叶黄杨”树苗．
(1)求“女贞”树苗和“小叶黄杨”树苗的单价；
(2)若要求购买“女贞”树苗的数量不少于“小叶黄杨”树苗数量的，则至少购买“女贞”树苗多少棵？
(3)在（2）的条件下，若购买树苗的预算不超过3010元，则一共有几种购买方案？哪一种最省钱？
21．安居小区业主安先生准备装修新居，装修公司派来甲工程队完成此项工程．由于工期过长，安先生要求装修公司再派乙工程队与甲队共同工作．已知甲工程队单独完成此项工程需要的天数恰好比乙工程队单独完成此项工程需要的天数的3倍少5天，并且甲工程队单独完成此项工程需要的天数与乙工程队单独完成此项工程需要的天数之和为55天．
(1)求甲、乙两队单独完成此项工程各需要多少天；
(2)若甲工程队工作10天后，与公司派来的乙工程队再合作多少天可完成此项工程的．
22．一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共元，若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做天可以完成，需付费用元，问：
(1)甲、乙两组工作一天，商店各应付多少钱？
(2)已知甲组单独完成需天，乙组单独完成需天，单独请哪个组，商店所需费用最少？
(3)若装修完后，商店每天可赢利元，你认为如何安排施工更有利于商店？请你帮助商店决策．（可用（1）（2）问的条件及结论）
23．小明骑自行车去某景区，出发时，他先以的速度走平路，而后又以的速度上坡到达景区，共用了；返回时，他先以的速度下坡，而后以的速度走过平路，回到原出发点，共用了，求从出发点到景区的路程．
24．一只小船从港口顺水航行到港口需8小时，而从港口逆水返回到港口需12小时．某日，该小船在早晨8点出发，由港口顺水航行到港口时，发现船上一个救生圈在途中掉入水中，于是立即返回寻找救生圈，4小时后找到救生圈．
(1)若港口到港口的航程为240千米，求水流速度是每小时多少千米？
(2)若救生圈从港口漂流到港口，需要多长时间？
(3)救生圈于何时掉入水中？
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 D B B A C D B D A
1．D
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：根据题意列出等量关系式．设1艘大船可以满载游客人，1艘小船可以满载游客人，由题意：2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客人，列出二元一次方程组，解方程组，即可求解，
【详解】解：设1艘大船可以满载游客人，1艘小船可以满载游客人，
依题意得：，
解得：，
即1艘大船可以满载游客的人数为人，
故选:．
2．B
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组．设安排x名工人加工型零件，则安排名工人加工B型零件，根据每天加工的零件正好配套，50天恰好完成1200套，列出出关于二元一次方程组，解之可得出m的值即可求出结论．
【详解】解：设安排x名工人加工A型零件，则安排名工人加工B型零件，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，
则工厂有40名工人，
故选：B．
3．B
【分析】本题考查二元一次方程的实际应用．根据题意找出数量关系列出方程是解题关键．
设需要安排x人来制作桌子，y人来制作椅子，根据共有30名工人，和每人每天平均能生产8张桌子或16把椅子，要求1张桌子配4把椅子，列出方程组，解方程组即可．
【详解】解：设需要安排x人来制作桌子，y人来制作椅子，由题意可得
解得
则需要安排10人来制作桌子，20人来制作椅子．
故选：B．
4．A
【分析】根据题意设原计划甲生产x个零件，乙生产y个零件，根据甲、乙两个工人，按计划本月应共生产680个零件，实际甲超额20%、乙超额15%，因此两人一共多生产118个零件列出方程组，求出方程组的解即可得到结果．
【详解】解：设原计划甲生产x个零件，乙生产y个零件，
根据题意得：，
解得：，即原计划甲生产320个零件，乙生产360个零件．
故选：A．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，根据题意设未知数并找出题中的等量关系是解答本题的关键．
5．C
【详解】设分配挖土x人，运土y人，
则，解得，
∴应分配挖土15人，运土12人．
故选：C．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，在做题时应先找到定量：工程队的人数，土的吨数．根据定量找等量关系，列出方程组求解．
6．D
【详解】设甲工程队平均每天疏通河道x m，乙工程队平均每天疏通河道y m，则
，解得：，则x+y=20.
故选D.
7．B
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意，正确列出二元一次方程组是解题的关键.
设小刚乘车的路程和步行的路程分别为、，根据题意列方程组，
解方程组即可得到答案.
【详解】解：设小刚乘车的路程和步行的路程分别为、，
根据题意列方程组得：，
解得：，
小刚乘车的路程和步行的路程分别为、，
故选：B.
8．D
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，涉及相遇问题和追及问题．需要理解“相向而行”和“同向而行”的含义．
在相遇问题中，两船的路程之和等于总路程．在追及问题中，快船的路程减去慢船的路程等于两船的初始距离，分别利用“路程速度时间”列出方程组．
【详解】解：设甲船的速度为，乙船的速度为，
根据题意，得，
解得：，
甲船的速度为，乙船的速度为，
故选：D．
9．A
【分析】本题考查二元一次方程组解应用题，设小明骑自行车的速度为千米/分，小伟步行的速度为千米/分，由等量关系列方程组求解即可得到答案，读懂题意，找准等量关系列方程组求解是解决问题的关键．
【详解】解：设小明骑自行车的速度为千米/分，小伟步行的速度为千米/分，
则，解得，
两地间的距离为（千米），
故选：A．
10．5
【分析】此题考查二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．
设人数为，图书为，根据每人分一本，则余一本，若每人分2本，则缺3本列出方程组解答即可．
【详解】解：设人数为，图书为，根据题意可得：，
解得：，
答：共有图书5本，
故答案为：5．
11． 15 20
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系．根据题意可知，本题中的相等关系是（1）盒身的个数盒底的个数；(2)制作盒身的白铁皮张数+制作盒底的白铁皮张数，列方程组求解即可．
【详解】解：设用x张制作盒身，y张制作盒底，
根据题意，得，
解得，
故答案为：15，20．
12．6
【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，根据题意找出合适的等量关系，列出方程组求解即可.
【详解】解：设名工人加工茶杯，名工人加工茶壶，
根据题意得：，
解得：，
故8名工人加工茶杯，6名工人加工茶壶．
故答案为：6．
13．
【分析】根据题意列出二元一次方程组即可；
【详解】由题意可得：；
故答案是．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，准确计算是解题的关键．
14． 320 360
【分析】本题考查了二元一次方程的应用，理解题意并正确列方程是解题关键．设原计划第一组生产个零件、第二组生产个零件，根据题意列二元一次方程求解即可．
【详解】解：设原计划第一组生产个零件、第二组生产个零件，
则，
解得：，
即原计划第一组生产个零件、第二组生产个零件，
故答案为：320；360．
15．20
【分析】由题意列出二元一次方程组求解即可．
【详解】设火车的速度是x米/秒，火车长为y米，根据题意得：
，解得：x=20，y=200．
故答案为： 20．
【点睛】此题考查了二元一次方程组应用题，解题的关键是根据题意找到题目中的等量关系列出方程．
16．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
设水流速度为，船在静水中的速度为，根据“顺流3小时航行，逆流3小时航行”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解∶设水流速度为，船在静水中的速度为，
依题意，得：
，
解得∶，
故答案为：，．
17． 27 1
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．设小刚乘车路程为千米，步行路程千米，根据题意可得等量关系：①步行路程＋乘车路程＝28千米；②汽车行驶千米时间＋步行千米的时间＝1小时，根据题意列出方程组即可．
【详解】解：设小刚乘车路程为千米，步行路程千米，
由题意得：，
解得：．
故答案为：27，1．
18．12个
【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，读懂题意、找出合适的等量关系、列出方程组是解答本题的关键．设用x张卡纸做侧面，用y张卡纸做底面，则做出侧面的数量为个，底面的数量为个，然后根据底面数量是侧面数量的2倍列出方程组求解即可．
【详解】解：设用张卡纸做侧面，用张卡纸做底面，
由题意得，
解得．
（个）或（个）
答：这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为12个．
19．该网友购买“绒馍馍”4盒，购买“麻辣烫”6锅
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确建立方程组是解题关键．设该网友购买“绒馍馍”盒，购买“麻辣烫”锅，根据题意建立方程组，解方程组即可得．
【详解】解：设该网友购买“绒馍馍”盒，购买“麻辣烫”锅，
由题意得：，
解得，
答：该网友购买“绒馍馍”4盒，购买“麻辣烫”6锅．
20．(1)女贞树苗的单价为6元，小叶黄杨树苗的单价为2元
(2)250棵
(3)一共有三种购买方案，最省钱的方案是购买女贞树苗250棵，购买“小叶黄杨”树苗750棵
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用等知识点，审清题意、正确列出二元一次方程组和不等式是解题的关键．
（1）设“女贞”树苗的单价为元，“小叶黄杨”树苗的单价为元，然后根据题意二元一次方程组求解即可；
（2）设购买“女贞”树苗棵，则购买“小叶黄杨”树苗棵．然后根据题意列不等式求解即可；
（3）由题意列不等式可得，再结合（2）的结论可得，即的取值可以是250、251、252，据此确定方案即可．
【详解】（1）解：设“女贞”树苗的单价为元，“小叶黄杨”树苗的单价为元，
根据题意，得，解得：
答：“女贞”树苗的单价为6元，“小叶黄杨”树苗的单价为2元．
（2）解：设购买“女贞”树苗棵，则购买“小叶黄杨”树苗棵．
由题意可得：，解得．
答：至少购买“女贞”树苗250棵．
（3）解：由题意：可列不等式，解得：．
由（2）可知，
．
为整数，
的取值可以是250，251，252，
有三种购买方案，
方案一：购买“女贞”树苗250棵，“小叶黄杨”树苗750棵，费用为（元）；
方案二：购买“女贞”树苗251棵，“小叶黄杨”树苗749棵，费用为（元）；
方案三：购买“女贞”树苗252棵，“小叶黄杨”树苗748棵，费用为（元）．
，
方案一最省钱．
答：一共有三种购买方案，最省钱的方案是购买“女贞”树苗250棵，购买“小叶黄杨”树苗750棵．
21．(1)甲队单独完成此项工程需要40天，乙队单独完成此项工程需要15天
(2)与公司派来的乙工程队再合作6天可完成此项工程
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用．解题的关键在于根据题意正确的列方程（组）．
（1）设甲队单独完成此项工程需要天，乙队单独完成此项工程需要天，根据题意列出方程组，解方程组，即可求解；
（2）设与公司派来的乙工程队再合作天可完成此项工程的，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：设甲队单独完成此项工程需要天，乙队单独完成此项工程需要天，
根据题意得
解得
答：甲队单独完成此项工程需要40天，乙队单独完成此项工程需要15天
（2）解：设与公司派来的乙工程队再合作天可完成此项工程的，
根据题意得，
解得，
答：与公司派来的乙工程队再合作6天可完成此项工程．
22．(1)甲、乙两组工作一天，商店各应付元和元
(2)单独请乙组需要的费用少
(3)甲、乙两组合作同时施工8天损失费用最少
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，有理数加法、乘法的实际应用．熟练掌握二元一次方程组的应用，有理数加法、乘法的实际应用是解题的关键．
（1）设甲组工作一天商店应付x元，乙组工作一天商店应付y元．依题意得， ，计算求解，然后作答即可；
（2）由题意知，单独请甲组需要的费用：（元），单独请乙组需要的费用：（元），由，判断作答即可；
（3）分别计算甲、乙单独完成时的损失，然后计算甲乙合作完成时的损失，最后比较大小并作答即可．
【详解】（1）解：设甲组工作一天商店应付x元，乙组工作一天商店应付y元．
依题意得， ，
解得 ，
答：甲、乙两组工作一天，商店各应付元和元；
（2）解：由题意知，单独请甲组需要的费用：（元），
单独请乙组需要的费用：（元），
∵，
∴单独请乙组需要的费用少；
（3）解：由题意知，甲组单独做天，需费用元，少赢利（元），相当于损失（元）；
乙组单独做天，需费用元，少赢利（元），相当于损失（元）；
甲乙两组合作同时施工8天，需费用元，少赢利（元），相当于损失（元）；
∵，
∴甲、乙两组合作同时施工8天损失费用最少．
23．9千米
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组．
设平路为x千米，坡路为y千米，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可解答．
【详解】解：设平路为x千米，坡路为y千米，
根据题意得：，
解得：，
则（千米），
答：从出发点到景区的路程是9千米．
24．(1)水流速度是每小时5千米；
(2)救生圈从A港口漂流到B港口所需时间为48小时；
(3)救生圈于上午12时掉入水中．
【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意；
（1）设小船在静水中的速度为x千米/小时，水流速度为y千米/小时，然后根据题意可列方程组为，可进行求解；
（2）设小船在静水中的速度为a千米/小时，水流速度为b千米/小时，A港口到B港口的距离为s千米，然后根据题意可列方程为，然后根据行船问题可进行求解；
（3）设救生圈在出发小时掉入水中，小船需8小时到B港口，则救生圈从掉入水中到被找到共在水中漂流了小时，然后根据题意可列方程为，进而问题可求解．
【详解】（1）解：设小船在静水中的速度为x千米/小时，水流速度为y千米/小时，
由题意得：
，
解得：，
答：水流速度是每小时5千米；
（2）解：设小船在静水中的速度为a千米/小时，水流速度为b千米/小时，A港口到B港口的距离为s千米，由题意得：
，
解得：，
∴救生圈按水流速度由A港口漂流到B港口需要的时间为（小时）；
答：救生圈从A港口漂流到B港口所需时间为48小时；
（3）解：设救生圈在出发小时掉入水中，小船需8小时到B港口，则救生圈从掉入水中到被找到共在水中漂流了小时，由题意得：
，
解得：，
∴；
答：救生圈于上午12时掉入水中．
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