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10.4 三元一次方程组的解法 跟踪练 2025-2026学年
下学期初中数学人教版（2024）七年级下册
一、单选题
1．下列方程组中，是三元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
2．解三元一次方程组，若先消去z，组成关于x、y的方程组，则应对方程组进行的变形是（　　）
A． B．
C． D．
3．下列四组数值中，是方程组的解的是（ ）
A． B． C． D．
4．某校购买体育器材，第一次购买篮球7个，排球5个，足球3个，共花费450元，第二次又购买同样的篮球3个，排球2个，足球1个，共花费175元，则购买同样的篮球、排球、足球各1个，共需花费（ ）
A．100元 B．105元 C．110元 D．125元
5．童威购买7块橡皮、5个作业本、1支圆珠笔共花费20元；购买10块橡皮、7个作业本、1支圆珠笔共花费26元；若购买11个橡皮、8个作业本、2支圆珠笔则要花费（ ）元
A．31 B．32 C．34 D．36
二、填空题
6．三元一次方程组的解为________．
7．[传统文化]《孙子算经》中有这么一个问题：今有甲乙丙三人持钱．甲语乙、丙：“各将公等所持钱半以益我，钱成九十．”乙复语甲、丙：“各将公等所持钱，半以益我，钱成七十．”丙复语甲、乙：“各将公等所持钱，半以益我，钱成五十六．”若设甲、乙手中的钱数分别为x，y，则根据乙说的话，丙手中的钱数可以表示为______．
8．买3本练习本，2支笔，7块橡皮共用了27元，买同样的练习本5本，同样的笔4支，同样的橡皮9块共用了43元，如果买同样的练习本、笔、橡皮各5本、5支、5块，总共需要 ___________元．
9．有7个完全相同的小球，3个完全相同的盒子，他们都不加以区别，若将这7个小球分别放入这3个盒子中，允许有盒子空着不放，则不同放法有______种．
10．明明和丽丽去书店买书，若已知明明买了两本书共花费元，丽丽买了本书共花费，则B书比C书贵_______元；若又知两本书的总价钱恰好等于A书的价钱，则三本书的总价钱为_______．
三、解答题
11．解下列方程组：
(1)
(2)解方程组
12．某班级组织活动购买小奖品，若购买20支铅笔、3块橡皮、2本笔记本，共需要32元，若购买39支铅笔、5块橡皮、3本笔记本共需58元，则购买10支铅笔，10块橡皮，10本笔记本共需多少元？
13．小明从家到学校的路程是，其中有一段上坡路，一段平路和一段下坡路．如果保持上坡路每小时行，平路每小时行，下坡路每小时行，那么小明从家到学校要用，从学校到家要用．小明从家到学校的上坡路，平路，下坡路分别是多少千米？
14．例3．林芳、向民、艳君三位同学去商店买文具用品，林芳说：“我买了4支水笔，2本笔记本，10本作文本共用了19元.”向民说：“我买了2支水笔，3本笔记本，10本练习本共用了20元，”艳君说：“我买了12本练习本，8本作文本共用了10元；作文本与练习本的价格是一样哦！”请根据以上内容，求出笔记本，水笔，练习本的价格．
15．小明从家到学校的路程为3.3千米，其中有一段上坡路，平路，和下坡路．如果保持上坡路每小时行3千米．平路每小时行4千米，下坡路每小时行5千米．那么小明从家到学校用一个小时，从学校到家要44分钟，求小明家到学校上坡路、平路、下坡路各是多少千米？
16．某单位职工参加市工会组织的健身操比赛进行队列，已知6人一列少2人，5人一列多2人，4人一列不多不少，请问这个单位参加健身操比赛的职工至少有多少人？
参考答案
题号 1 2 3 4 5
答案 D C D A C
1．D
【分析】本题考查了三元一次方程组，根据三元一次方程组的定义：含有3个未知数，且未知数的最高次数为1次的整式方程组叫做三元一次方程组，逐一判断是解题关键．
【详解】解：对于A选项，第二个方程中未知数x的次数是2，
故A选项中方程组不是三元一次方程组；
对于B选项，第一个方程中分母含有未知数，
故B选项中方程组不是三元一次方程组；
对于C选项，第二个方程中每个未知数的次数都是1，但对于整个方程而言，次数是3，
故C选项中的方程组不是三元一次方程组；
对于D选项，方程组中含有三个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，
故D选项中的方程组是三元一次方程组．
故选：D．
2．C
【分析】由题意知，得，，，即，然后判断作答即可．
【详解】解：由题意知，得，，，
∴消去z，组成关于x、y的方程组为，
故选：C．
【点睛】本题考查了解三元一次方程组．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
3．D
【分析】本题考查的是三元一次方程组的解，解题的关键是利用加减消元法进行求解．
方程组利用加减消元法求解即可．
【详解】
得：
得：
把代入中
，
把，代入得：
，
方程组的解为，
故选：D．
4．A
【分析】本题考查了三元一次方程组的应用．设篮球的单价为元，排球的单价为元，足球的单价为元， 依题意得，，然后作答即可．
【详解】解：设篮球的单价为元，排球的单价为元，足球的单价为元， 依题意得，
，
由②得：，
由得：，
则购买同样的篮球、排球、足球各1个，共需花费元，
故选：A．
5．C
【分析】此题主要考查了方程组的应用．首先假设橡皮的单价是元，作业本的单价是元，圆珠笔的单价是元．购买橡皮11支，作业本8本，圆珠笔2支共需元．根据题意列出方程组，解方程组求出的值，即为所求结果．
【详解】解：设橡皮的单价是元，作业本的单价是元，圆珠笔的单价是元．购买橡皮11支，作业本8本，圆珠笔2支共需元．
则由题意得：，
由②①得④
由②①得⑤
由⑤④③得
故选：C．
6．
【分析】利用代入消元法和加减消元法求解即可．
【详解】，
把代入，得：，
，得：，
，
把代入得：，
把代入得：，
∴原方程组的解是．
故答案为．
【点睛】本题主要考查了三元一次方程组的解法，解题的基本思路是消元，通过加减消元和代入消元将三元一次方程组转化为二元一次方程组来求解．
7．
【分析】本题考查列三元一次方程，用含x、y的代数式表示丙，掌握列三元一次方程，用含x、y的代数式表示丙的方法是解题关键．设丙的钱数为z，根据乙语列方程，然后用含x、y的代数式表示z即可 ．
【详解】解：设丙的钱数为z，
根据乙语得：整理得，
故答案为：．
8．40
【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，设练习本一本元，笔一支元，橡皮一块元，先根据题意列出三元一次方程组，利用等式的性质得的值，最后求出的值即可得到答案．
【详解】解：设练习本一本元，笔一支元，橡皮一块元，
由题意，得，
②①，得．
．
（元．
故答案为：40．
9．8
【分析】首先假设出三个盒子里的球数，得出，，得出一个盒子的球数后，再进行分析推理．本题考查的是三元一次方程的应用，加法原理与乘法原理，根据题意得出的值，再根据的值进行分析是解决问题的关键．
【详解】解：设放在三个盒子里的球数分别为、、，球无区别，盒子无区别，故可令，依题意有，于是，，故只有取3、4、5、6、7共五个值．
①时，，则只取3、2，相应取1、2，故有2种放法；
②时，，则只取3、2，相应取0、1，故有2种放法；
③时，，则只取2、1，相应取1、0，故有2种放法；
④时，，则只取1，相应取0，故有1种放法；
⑤时，，则只取0，相应取0，故有1种放法．
综上所求，故有8种不同放法．
故答案为：8．
10．
【分析】本题考查三元一次方程组的应用，解题的关键是设出未知数，正确解读题意，找出等量关系列出方程组．设A、B、C书的单钱分别是元，根据题意可得：
；可求问题一；得：；将③代入④可得，据此即可求解问题二；
【详解】解：设A、B、C书的单钱分别是元，根据题意可得：
∴得：
∴B书比C书贵元；
得：；
将③代入④得：，
解得：；
∴
∴三本书的总价钱为元，
故答案为：①②
11．(1)
(2)
【分析】本题考查了二元一次方程组和三元一次方程组的解法，熟练掌握相应方程组的解法是解题的关键；
（1）根据加减消元法求解即可；
（2）先代入消元，再加减消元求解即可．
【详解】（1）解：由得，，
解得，
把代入得，，
解得，
原方程组的解为；
（2）解：把代入得，
联立方程组得，
由得，
解得，
把分别代入得，，
原方程组的解为．
12．购买10支铅笔，10块橡皮，10本笔记本共需60元．
【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，解题的关键是根据购买20支铅笔、3块橡皮、2本笔记本，共需要32元，若购买39支铅笔、5块橡皮、3本笔记本共需58元列出方程组．
【详解】解：设铅笔的单价是x元/支，橡皮的单价是y元/块，笔记本的单价是z元/本，
根据题意得：，
得，
∴．
答：购买10支铅笔，10块橡皮，10本笔记本共需60元．
13．上坡路是，平路是，下坡路是
【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，先设小明从家到学校的上坡路是，平路是，下坡路是．结合小明从家到学校的路程是，保持上坡路每小时行，平路每小时行，下坡路每小时行，那么小明从家到学校要用，从学校到家要用，进行列式，再解出，即可作答．
【详解】解：设小明从家到学校的上坡路是，平路是，下坡路是．
由题意，得，
解得，
故小明从家到学校的上坡路是，平路是，下坡路是．
14．笔记本每本的价格是4元，水笔每支1.5元，练习本每本0.5元.
【分析】设笔记本每本的价格是x元，水笔每支y元，练习本或作文本每本的价格为z元，根据林芳、向民、艳君三个人的话可以建立三个方程，从而构成三元一次方程组，求出其解即可.
【详解】设笔记本每本的价格是x元，水笔每支y元，练习本或作文本每本的价格为z元，
由题意得
解得
答：笔记本每本的价格是4元，水笔每支1.5元，练习本每本0.5元.
【点睛】本题考查了列三元一次方程组解实际问题的运用，三元一次方程组的解法的运用，解答时找准等量关系建立方程是关键．
15．上坡路2.25千米、平路0.8千米、下坡路0.25千米
【分析】本题中需要注意的一点是：去时的上坡和下坡路与回来时的上坡和下坡路正好相反，平路路程不变．题中的等量关系是：从家到学校的路程为3.3千米；去时上坡时间+下坡时间+平路时间=1小时；回时上坡时间+下坡时间+平路时间=44分，据此可列方程组求解．
【详解】解：设去时上坡路是x千米，平路是y千米，下坡路是z千米．依题意得：
，
解得．
答：上坡路2.25千米、平路0.8千米、下坡路0.25千米．
【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，本题有三个未知量，还需注意去时是上坡路回时是下坡路，回来时恰好相反，平路不变．
16．至少有52人．
【分析】本题主要考查代数式表示和方程组的应用，根据题意设这个单位参加健身操比赛的职工有y人，6人，5人，4人一列分别可以整排列，则，经过化简可得，结合c为正整数，令，进一步代入化简得，结合b为正整数，令，即可得，那么，即可求得其最小值．
【详解】解：设这个单位参加健身操比赛的职工有y人，6人，5人，4人一列分别可以整排列，则（是正整数）
所以，
由②得．
因为c为正整数，可令，所以③（m是正整数），将③代入①，得，所以．
因为b为正整数，可令，所以④（n为正整数），
将④代入③中，得，
所以（n为正整数）
所以，当时，y有最小值52，
故参加健身操比赛的职工至少有52人．
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