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二元一次方程组 章末检测试题 2025-2026学年
下学期初中数学人教版（2024）七年级下册
一、单选题
1．二元一次方程有无数多个解，下列四组值中是该方程解的是（ ）
A． B． C． D．
2．由方程组可得出x与y之间的关系是（ ）
A． B． C． D．
3．若，则的倒数是（ ）
A．2 B． C． D．
4．方程组的解为，则被遮盖的两个数分别为（ ）
A．9， B．9，1 C．7， D．5，1
5．某车间有26名工人，每人每天可以生产800个螺钉或1000个螺母，1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套．设安排x名工人生产螺钉，y名工人生产螺母，则下面所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，直线AB与CD相交于点O，且，比大，设，，则可得到的方程组为（ ）
A． B．
C． D．
7．《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺，设木长为x尺，绳子长为y尺，则下列符合题意的方程组是（ ）
A． B．
C． D．
8．在平面直角坐标系中，坐标是整数的点称作格点，第一象限的格点满足，则满足条件的点有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．已知关于x，y的方程组，则以下结论不成立的是（ ）
A．不论k取何数，的值始终不变 B．存在实数k，使得
C．当时，D．当，方程组的解也是方程的解
10．为迎接亚洲冬季运动会，某校开展了以亚冬会为主题的演讲活动，计划拿出180元钱全部用于购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励表现突出的学生，已知甲种奖品每件15元，乙种奖品每件10元，则购买方案有（ ）
A．5种 B．6种 C．7种 D．8种
二、填空题
11．已知方程，用含有的式子表示，则____________．
12．已知，满足方程组则的值为_________．
13．若是关于，的二元一次方程，则的值为_________．
14．若实数，满足，则的值为_________．
15．以如图①所示的长方形和正方形纸板分别为侧面或底面，制作成如图②所示的竖式和横式两种无盖纸盒．现在仓库里有100张正方形纸板和250张长方形纸板，如果制作这两种纸盒若干个，恰好使仓库里的纸板用完，那么竖式和横式纸盒一共可制作_________个．
16．若方程组有正整数解，则整数的值为__________．
三、解答题
17．解下列方程组：
(1)；
(2)
18．小云和小华进行解二元一次方程组的比赛，先由两个人各说一个关于x，y的二元一次方程，组成方程组，再看谁解得快．有一局，小云说了方程，小华说了方程，两个同学在解的时候都发现不能像之前那样得到一组公共解，这个问题激发了两位同学的兴趣，并分别进行了研究，两个人的研究过程如下：
小云的研究：由①得，，
把③代入②得，，
化简得
通过研究，他发现无论y取何值，这个等式都不成立，故而原方程组无解．
小华的研究：由②得，，不可能同时等于2和2.5，故这个方程和①不可能同时成立，也就是这两个方程没有公共解，故而原方程组无解．
经过交流，他们理解了对方的方法，并经过进一步思考，提出了一个新问题：
在关于x，y的二元一次方程组中，a，b为何值时，这个方程组无解，a，b为何值时，这个方程组有无数组解．
请同学们回答他们提出的问题，并说明理由．
解：当a________，b________时，这个方程组无解；当a________，b________时，这个方程组有无数组解
理由如下：
19．有大小两种货车，3辆大货车与4辆小货车一次可以运货18吨，2辆大货车与6辆小货车一次可以运货17吨．
(1)请问1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货多少吨？
(2)目前有33吨货物需要运输，货运公司拟安排大小货车共计10辆，全部货物一次运完．其中每辆大货车一次运货花费130元，每辆小货车一次运货花费100元，请问货运公司应如何安排车辆最节省费用？最省费用是多少？
20．【阅读理解】数学课上，何老师在讲解教材第125页“温过而知新”第5题“如果关于x，y的二元一次方程组解为，那么关于x，y的二元一次方程组的解是什么？”时，小超和小字同学的做法如下：
（1）小超：先把代入第一个方程组中求出a，b；再把a，b的值代入第二个方程组中求出它的解．请你按照小超的思路写出详细的解题过程．
（2）小字：通过观察可以发现把第一个方程组中的未知数x换成，未知数y换成就是第二个方程组了，因此可知第二个方程组中的的值就等于第一个方程组中的x的值，第二个方程组中的的值就等于第一个方程组中的y的值，所以，再求出它们的解就是第二个方程组的解．
【解决问题】何老师对两位同学的讲解进行点评和表扬，并指出“小宇”同学的思路体现了数学中“整体思想”、“代换思想”、“转化思想”的运用．
请你参考小超或小宇同学的做法，解决下面的问题：
①若方程组的解是，则方程组的解是（ ）
A. B. C. D.
②已知关于x，y的方程组的解是，求关于x，y的方程组的解．（其中、、、都为常数）
21．某商场购进甲、乙两种纪念品，若购进甲种纪念品1件、乙种纪念品2件，需170元，若购进甲种纪念品2件、乙种纪念品1件，需295元．
(1)甲、乙两种纪念品每件各需要多少元？
(2)根据需求，商场决定购进甲、乙两种纪念品共100件，且购进两种纪念品的总费用不超过5250元，则最多购进甲种纪念品多少件？
22．有、两种型号呼吸机，若购买6台型呼吸机和2台型呼吸机共需12万元．若购买3台型呼吸机和5台型呼吸机共需万元．求、两种型号呼吸机每台分别多少万元？
23．我市某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图甲，（单位：）
（1）列出方程（组），求出图甲中a与b的值；
（2）在试生产阶段，若将30张标准板材用裁法一裁剪，4张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图乙的竖式与横式两种礼品盒．
①两种裁法共产生A型板材________张，B型板材_______张；
②已知①中的A型板材和B型板材恰好做成竖式有盖礼品盒x个，横式无盖礼品盒的y个，求x、y的值．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B C C C A B A D A
1．D
【解析】略
2．B
【解析】略
3．C
【解析】略
4．C
【解析】略
5．C
【解析】略
6．A
【解析】略
7．B
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
设木长尺，绳子长为尺，由题意：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺．即可列出二元一次方程组．
【详解】解：设木长尺，绳子长为尺.
∵ 引绳度之，余绳尺，
∴.
∵ 屈绳量之，不足一尺，即对折后量木，木剩余尺，
∴ 对折绳子长度比木长小尺，
∴．
因此，方程组为，
故选：B．
8．A
【解析】略
9．D
【解析】略
10．A
【详解】设购买x件甲种奖品，y件乙种奖品，根据题意，得，
．又x，y均为正整数，或或或或
共有5种购买方案．故选A．
11．
【分析】本题考查二元一次方程的解，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键．
将看作已知数，求出即可．
【详解】解： 得到 ，
故答案为：．
12．
【解析】略
13．1
【解析】略
14．7
【解析】略
15．70
【详解】设分别制作竖式和横式两种无盖纸盒个，个．
根据题意，得解得
（个），竖式和横式纸盒一共可制作70个．
16．或或0
【详解】由②，得，代入①，得，整理，得．
是整数，是整数．
是正整数，是正整数，且是4的因数，
的值为1或2或4，则的值为或或0．
17．(1)；
(2)．
【分析】（1）用代入消元法解方程即可
（2）先利用加减消元消去z，再利用加减消元算出x、y的值，最后带入即可求得z的值．
【详解】（1）解：，
①代入②得，
解得，
把代入①得，
解得，
∴方程组的解为；
（2）解：，
③①得：④，
②④得：，
将代入②得，
将，代入①中得：，
∴此方程的解为．
【点睛】本题考查二元一次方程组和三元一次方程组的解法，掌握消元法是解题关键．
18．，，，，理由见详解
【分析】本题考查了解二元一次方程组，先整理得，再结合题干条件，则当时，则这个方程组无解；当时，则这个方程组有无数组解．即可作答．
【详解】解：依题意，，
得，
当的时，则这个方程组无解；
当的时，则这个方程组有无数组解．
故答案为：，，，．
19．(1)1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货4吨和1.5吨；
(2)安排8辆大车2辆小车，最节省费用，最省费用是1240元．
【分析】（1）设1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货x吨和y吨，根据“3辆大货车与4辆小货车一次可以运货18吨、2辆大货车与6辆小货车一次可以运货17吨”列方程组求解可得；
（2）因运输33吨且用10辆车一次运完，故10辆车所运货不低于10吨，且因为大货车运费高于小货车，故用大货车少费用就小进行安排即可．
【详解】（1）解：设1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货x吨和y吨，根据题意可得：
，解得：，
答：1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货4吨和1.5吨；
（2）解：设货运公司拟安排大货车m辆，则安排小货车（10-m）辆，
根据题意可得：4m+1.5（10-m）≥33，
解得：m≥7.2，
为整数，则的最小值是8，
10辆大车1300元，合计1300元，
9辆大车1170元，1辆小车100元，合计1270元，
8辆大车1040元，2辆小车200元，合计1240元，
所以安排8辆大车2辆小车，最节省费用，最省费用是1240元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解．
20．①D；②
【分析】本题考查了二元一次方程组的解、整式的加减以及解二元一次方程组，
①仿照例题，通过观察可以发现把第一个方程组中的未知数x换成，未知数y换成就是第二个方程组了，因此可知第二个方程组中的的值就等于第一个方程组中的x的值，第二个方程组中的的值就等于第一个方程组中的y的值，所以，再求出它们的解就是第二个方程组的解．
②将方程变形为，同①的方法即可求解．
【详解】解：①依题意，
解得：
故选：D．
②即
∵的解是
∴
解得：
21．(1)140元；15元
(2)30件
【分析】（1）设甲种纪念品每件需要x元，乙种纪念品每件需要y元，根据等量关系购进甲种纪念品1件、乙种纪念品2件，需170元，若购进甲种纪念品2件、乙种纪念品1件，需295元
列方程组，然后解方程组即可；
（2）设购进甲种纪念品m件，则甲种购进费用为140m元，乙种纪念品件，费用为元，根据不等关系购进两种纪念品的总资金不超过5250元，列不等式，解不等式即可．
【详解】（1）解：设甲种纪念品每件需要x元，乙种纪念品每件需要y元，
根据题意，得，
解得，
答：甲种纪念品每件需要140元，乙种纪念品每件需要15元，
（2）解：设购进甲种纪念品m件，则甲种购进费用为140m元，乙种纪念品为件，购进费用为15(100-m)元
根据题意，得140m+≤5250，
解得m≤30，
答：最多购进甲种纪念品30件．
【点睛】本题考查列二元一次方程组解应用题，列不等式解应用题，掌握二元一次方程组解应用题方法与步骤，列不等式解应用题方法，抓住等量关系与不等关系，列出方程组与不等式是解题关键．
22．A型号呼吸机每台万元，B型号呼吸机每台万元
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设A型号呼吸机每台x万元，B型号呼吸机每台y万元，根据购买6台型呼吸机和2台型呼吸机共需12万元．若购买3台型呼吸机和5台型呼吸机共需万元建立方程组求解即可．
【详解】解：设A型号呼吸机每台x万元，B型号呼吸机每台y万元，
由题意得，
解得，
答：A型号呼吸机每台万元，B型号呼吸机每台万元．
23．（1）a=60，b=40；（2）①64，38；②x=7，y=12
【分析】（1）由图示利用板材的长列出关于a、b的二元一次方程组求解；
（2）①根据已知和图示计算出两种裁法共产生A型板材和B型板材的张数；
②根据竖式与横式礼品盒所需要的A、B两种型号板材的张数列出关于x、y的二元一次方程组，然后求解即可．
【详解】解：（1）由题意得：，
解得：，
答：图甲中与的值分别为：60、40；
（2）①由图示裁法一产生型板材为：，裁法二产生型板材为：，
所以两种裁法共产生型板材为（张，
由图示裁法一产生型板材为：，裁法二产生型板材为，，
所以两种裁法共产生型板材为（张，
故答案为：64，38；
②根据题意竖式有盖礼品盒的个，横式无盖礼品盒的个，
则型板材需要个，型板材需要个，
所以，
解得．
【点睛】本题考查的知识点是二元一次方程组的应用，关键是根据已知先列出二元一次方程组求出a、b的值，根据图示列出算式以及关于x、y的二元一次方程组．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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