小升初图形的认识与测量--长方体和正方体 (专题练) -2025-2026学年人教版数学六年级下册

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小升初图形的认识与测量--长方体和正方体 (专题练) -2025-2026学年人教版数学六年级下册

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小升初图形的认识与测量--长方体和正方体 (专题练)
2025-2026学年人教版数学六年级下册
一、选择题
1.中秋节张叔叔打算用木条制作一个棱长为m的正方体灯笼框架,制作这个框架需要木条( )m。(不考虑损耗)
A. B. C. D.
2.如图,有一个正方体纸盒,在它的三个侧面分别画有三角形、正方形和圆,现用一把剪刀沿着它的棱剪开成一个平面图形,则展开图是( )。
A. B.
C. D.
3.小军要做一个棱长是5cm的正方体盒子,他选择哪种尺寸的纸画展开图比较合适?( )
A.A0纸(841mm×1189mm) B.A5纸(148mm×210mm)
C.A4纸(210mm×297mm) D.A6纸(105mm×148mm)
4.把一个棱长为a的正方体石墩放在草坪上,下列说法错误的是( )。
A.我们最多能同时看到石墩的3个面 B.石墩的占地面积是
C.石墩的棱长总和为12a D.石墩露在外面的总面积为
5.相传孔明灯是由三国时期的诸葛亮所发明,古代多用于军事,如今则多用于祈福。优优在手工课上准备了孔明灯框架,并把它的5个面糊上阻燃纸(底面不糊阻燃纸)。求至少需要多少平方厘米的阻燃纸,可以列式为( )。
A.18×18×30 B.18×30×2+18×18×2
C.18×30×4+18×18×2D.18×30×4+18×18
6.李明将三个正方体木块黏合成一个模型(如下图),它们的棱长分别是1分米、2分米、3分米。这个模型的表面积是( )。
A.84平方分米 B.80平方分米 C.74平方分米 D.70平方分米
7.研究展开图时,陈老师让同学们把准备好的正方体或长方体沿某些棱剪开,展开成平面图形。小庄同学不小心多剪了一条棱,把一个长方体纸盒剪成了图①、②两部分,已知图③是小庄剪开图①的某些数据,那么这个长方体纸盒的体积是( )立方厘米。
A.8 B.16 C.12 D.21
8.制作长方体收纳盒,用木条搭建框架,塑料板封装各面。所需木条长度,是求收纳盒的( );所需塑料板面积,是求收纳盒的( );收纳盒所占空间大小,是求收纳盒的( );收纳盒可容纳物体的大小,是求收纳盒的( )。
A.体积;容积;表面积;棱长总和 B.容积;表面积;棱长总和;体积
C.表面积;棱长总和;体积;容积 D.棱长总和;表面积;体积;容积
9.一种香皂的包装盒如图所示,把这种香皂装在一个长80cm、宽48cm、高30cm的纸箱里,这个纸箱里最多能放( )盒香皂。
A.336 B.352 C.368 D.384
二、填空题
10.如图所示,小明用橡皮泥团和长度相等的小木棒搭成一个立体图形。如果要把它变成正方体,那么还需要( )个这样的橡皮泥团和( )根这样的小木棒。
11.一个长方体长、宽、高分别为8分米、7分米、6分米,如果把它截成两个相同的小长方体,表面积最少增加( )平方分米,最多增加( )平方分米。
12.一个正方体的棱长扩大到原来的3倍,它的表面积扩大到原来的( )倍,体积扩大到原来的( )倍;一个长方体木块截去2厘米高后,剩余部分是一个正方体,表面积减少了48平方厘米,原长方体的体积是( )立方厘米;用一根铁丝刚好围成一个棱长总和为60厘米的正方体框架,若用这根铁丝围成一个长7厘米、宽5厘米的长方体,则长方体的高是( )厘米。
13.一个用厚度均匀的木板制作的长方体收纳盒,从外面量,长30厘米,宽24厘米,高16厘米;从里面量长24厘米,宽18厘米,高10厘米。这个收纳盒所占的空间是( )立方厘米,容积是( )立方厘米。
三、作图题
14.下图中骰子沿着某个方向滚动一次,可以到下一个方格里,并在方格中留下点的印记,依次滚动,一次一面,当滚动到图中所示位置时,方格中留下的印记是什么样子的?请你画一画。
四、解答题
15.有5种不同规格的纸板(如下图),每种纸板的数量都足够多,同学们要从中选择一些纸板围成一个长方体或一个正方体。
(1)下面是小阳围成的长方体,他是用( )块( )纸板,( )块( )纸板和( )块( )纸板围成的。
(2)小亮想围成一个正方体,他应该选择哪种纸板?每种各几块?写出所有可能。
16.小宝宝刚学会走路,为了安全,张阿姨打算给长方体的茶几各边装上防撞条(底部的四边不装),如图所示,张阿姨至少需要买多长的防撞条?
17.杭州某小学买来一些足球模型作为运动会奖品,奖品要按如图方式包装好。捆扎每个正方体礼品盒需要76厘米的丝带,其中打结部分是16厘米,正方体礼品盒棱长总和是多少厘米?
18.用一根20厘米长的铁丝做一个棱长是整厘米数的长方体框架,可以做成两种形状不同的长方体,请在表格中分别写出它们的长、宽、高。
长/cm 宽/cm 高/cm
第一种
第二种
(1)完成上面表格。
(2)淘气想把这个长方体框架的6个面都贴上彩纸,算一算,选择哪一种用的彩纸最少?最少用多少平方厘米的彩纸?
19.今年春晚舞台上有一个巨大的长方体LED显示屏(如图),长20米、宽0.5米、高15米。为了保证显示屏的散热和安装需要,工作人员要给这个显示屏除了与舞台接触的底面的其他五个面都安装散热装置,请问安装散热装置的面积是多少平方米?
20.一种香皂的包装盒是长方体。要用包装纸包装两个香皂盒,为了节省材料,想把两个香皂盒包装在一起(包装纸重叠处忽略不计)。三位同学分别设计了不同的包装方法。
21.在人工智能材料研发实验中,研究人员发现一种新型复合材料制成的长方体模型,该长方体模型正好可以锯成三个大小相等的小正方体模型。在切割过程中,它们的表面积之和比原来的长方体的表面积增加了36平方厘米。已知这种新型复合材料每平方厘米的成本为5元,若要制成这样的长方体模型,材料成本是多少元?
22.学校手工社团开展活动,王老师提供了一块长7厘米、宽6厘米、高5厘米的长方体塑料块,让同学们尝试将其削成一个最大的正方体,在这个过程中削掉了多少立方厘米的塑料块?
23.石雕,指用各种可雕、可刻的石头,创造出具有一定空间的可视、可触的艺术形象,是国家级非物质文化遗产之一。张师傅用一块棱长6分米的正方体石料制作石雕,如果1立方分米的石料重2.5千克,这块石料重多少千克?
24.笑笑家有一个长方体鱼缸(如图),里面的水深。
(1)这时鱼缸里面的水的体积是多少立方厘米?
(2)由于空间摆放问题,笑笑的爸爸对鱼缸进行改造,原鱼缸的尺寸不变,把鱼缸改成直立的鱼缸(如图)。如果把原来鱼缸里的水倒入改造后的鱼缸里,此时水与鱼缸接触面的面积是多少平方厘米?
25.一年一度的白马山小学“书香班级”评选开始啦,五(2)班的孩子们设计做成一个无盖的纸盒来收集大家的阅读手抄报,需要用到一块长35厘米、宽30厘米的硬纸壳。从四个角各切掉一个边长为5厘米的正方形,这个纸盒的容积是多少?这个纸盒的表面积是多少?
26.连通器在生活中的应用很广泛,如茶壶,洗手间,下水道等都属于连通器。如图1。
聪聪用甲、乙两个长方体容器和一个细管道自制了一个连通器,如图2,甲容器是一个底面为正方形的长方体容器,底面边长是3分米,管道关闭时,给甲容器倒入45升水。乙容器是个长方体,底面的长宽分别是9分米,3分米,高是6分米。给乙容器倒入135升水,打开管道让水自由流动,等水静止后,两个容器中水的高度是相同的。那么此时甲容器内水的高度是多少分米?
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 A C C D D C C D D
1.A
【分析】正方体有 12 条棱,且所有棱的长度相等。求制作框架需要木条的长度,就是求正方体的棱长总和。根据正方体的棱长总和=棱长×12,列式计算即可。
【详解】 (m)
答:制作这个框架需要木条 m。
2.C
【分析】根据正方体的平面展开图的特征以及正方体纸盒上的图案的位置关系,在正方体纸盒中,三角形、正方形和圆形所在的面是相邻的,即展开图中这三个图形所在的面不能相对,据此分析解答。
【详解】A.折叠后三角形所在的面和正方形所在的面是相对的,原正方体中这两个面是相邻的,所以此选项错误;
B.折叠后三角形所在的面和正方形所在的面是相对的,原正方体中这两个面是相邻的,所以此选项错误;
C.折叠后三角形、正方形和圆形所在的面是相邻的,而且三个面的位置关系和原正方体一致,所以此选项正确;
D.折叠后正方形的面朝上时,三角形所在的面在圆形所在的面的左侧,原正方体中三角形所在的面在圆形所在的面的右侧,所以此选项错误。
故答案为:C
【点睛】本题考查正方体展开图的空间想象能力,解题的关键是根据正方体的特征,分析三个特殊面的相对位置关系是否与原正方体纸盒相符。
3.C
【分析】正方体的展开图有11种,其中1-4-1型有6种,2-3-1型有3种,2-2-2型有1种,3-3型有1种,比较这四种展开图所需要的尺寸即可选择。
【详解】每种类型画一种为例:(图中单位均为cm)
根据1cm=10mm可知,展开图长200mm、宽150mm或者长250mm、宽100mm。
A. 841mm×1189mm尺寸过大,不符合题意;
B. 148mm×210mm两者尺寸均不满足,不符合题意;
C. 210mm×297mm两种尺寸均满足,符合题意;
D. 105mm×148mm两者尺寸均不满足,不符合题意。
故答案为:C
4.D
【分析】从不同角度观察正方体,看正方体的顶点位置,可以看到左面右面以及上面;正方体的占地面积:即底面的面积,计算公式为(a为棱长);正方体的棱长总和:正方体有12条相等的棱,总和公式为;当物体放置在地面上时,与地面接触的面不计入露在外面的面积,根据正方体的表面积=棱长×棱长×6,去掉底面,就是5个面的面积。
【详解】A.从不同角度观察正方体,最多能看到3个面,说法正确;
B.正方体的底面积为,说法正确;
C.正方体有条棱,所以棱长和为,说法正确;
D.石墩露在外面的有五个面,所以总面积是,底面不应该算。说法错误。
说法错误的是石墩露在外面的总面积为6a2。
5.D
【分析】除了底面外,孔明灯的其他面都要糊上阻燃纸,也就是要求上面、左面、右面、前面、后面的面积和,一共五个面,据此可得孔明灯的表面积=长×宽+长×高×2+宽×高×2;据此解答。
【详解】18×30×2+18×30×2+18×18
=18×30×(2+2)+18×18
=18×30×4+18×18
=2160+324
=2484(平方厘米)
求至少需要多少平方厘米的阻燃纸,可以列式为18×30×2+18×30×2+18×18或18×30×4+18×18。
6.C
【分析】这个模型的表面积=上面两个正方体木块的侧面积(前后左右)之和+下面正方体的表面积。根据正方体的表面积=棱长×棱长×6,正方形的面积=边长×边长,代入数据计算即可。
【详解】1×1×4+2×2×4+3×3×6
=4+16+54
=74(平方分米)
这个模型的表面积是74平方分米。
故答案为:C
7.C
【分析】由图中可知长+宽=7(厘米),长+宽+高=8(厘米),由此等量代换可知高=8-7=1(厘米),又因为宽+高=4,由此可算出长、宽各是多少,长方体体积=长×宽×高代入计算即可。
【详解】长+宽=7(厘米)
长+宽+高=8(厘米)
所以高=8-7=1(厘米)
宽=4-1=3(厘米)
长=7-3=4(厘米)
体积=4×3×1
=12×1
=12(立方厘米)
这个长方体纸盒的体积是12立方厘米。
故答案为:C
8.D
【分析】棱长总和:长方体12条棱的长度之和。
表面积:长方体6个面的总面积。
体积:物体所占空间的大小。
容积:容器内部所能容纳物体的体积。
【详解】长方体框架由12条棱组成,所需木条长度,是求收纳盒的棱长总和。
塑料板封装各个面,求的是6个面的总面积,是求收纳盒的表面积。
物体占据空间的大小是体积的定义。收纳盒所占空间大小,是求收纳盒的体积。
收纳盒可容纳物体的大小,是求收纳盒的容积。
9.D
【分析】要计算纸箱最多能放多少盒香皂,需要分别计算纸箱的长、宽、高方向各能容纳多少个香皂的长、宽、高,再将三个方向的数量相乘。
【详解】80÷10=8(盒)
48÷6=8(盒)
30÷5=6(盒)
8×8×6=384(盒)
这个纸箱里最多能放384盒香皂。
10. 3 4
【分析】橡皮泥团相当于正方体的顶点、小木棒相当于正方体的棱长。一个正方体由8个顶点、12条棱,所以要把它变为正方体,还需要(8-5)个橡皮泥团,(12-8)根小木棒。
【详解】8-5=3(个)
12-8=4(根)
所以如果要把它变成正方体,那么还需要3个这样的橡皮泥团和4根这样的小木棒。
11. 84 112
【分析】表面积增加最少,增加长方体两个面积最小的面的面积;表面积增加最多,增加面积最大两个面的面积。
【详解】6×7×2=84(平方分米)
8×7×2=112(平方分米)
12. 9 27 288 3
【分析】正方体的棱长扩大到原来的3倍,求表面积和体积扩大到原来的几倍。可以将原来正方体的棱长设为a,根据正方体的表面积=棱长×棱长×6,正方体体积=棱长×棱长×棱长,计算出原来的与现在的表面积和体积,再用现在的表面积除以原来的表面积,用现在的体积除以原来的体积解答。
如图,一个长方体木块截去2厘米后,表面积减少,减少的是侧面的四个小长方形的面积,且剩余部分是一个正方体,则四个小长方形的面积相等,即每个小长方形的面积为平方厘米。根据长方形的长等于面积除以宽,用厘米求出小形方形的长。则剩余的正方体的棱长也为6厘米,所以原来长方体的长为6厘米,宽为6厘米,高为厘米,根据长方体体积=长×宽×高进行计算。
长方体的棱长总和=(长+宽+高)×4,则长方体的高=棱长总和÷4-长-宽。围成正方体的铁丝再围成一个长方体,说明正方体的棱长总和等于长方体的棱长总和,用正方体棱长总和除以4求出长方体长、宽、高的和,再减去长和宽就可以得到高。
【详解】设原来正方体的棱长为,则现在正方体的棱长为3。
原来的表面积:
现在的表面积:
正方体的表面积扩大到原来的9倍。
原来的体积:
现在的体积:
正方体的体积扩大到原来的27倍。
(平方厘米)
(厘米)
(厘米)
(立方厘米)
原长方体的体积是288立方厘米。
(厘米)
长方体的高是3厘米。
13.
11520
4320
【分析】收纳盒所占的空间是指其整体体积,需使用从外面测量的尺寸计算;容积是指内部能容纳的体积,需使用从里面测量的尺寸计算。已知长方体收纳盒从外面量,长30厘米,宽24厘米,高16厘米;从里面量长24厘米,宽18厘米,高10厘米,根据“长方体体积(容积)=长×宽×高”分别求出这个收纳盒所占的空间和容积。
【详解】30×24×16
=720×16
=11520(立方厘米)
24×18×10
=432×10
=4320(立方厘米)
因此,这个收纳盒所占的空间是11520立方厘米,容积是4320立方厘米。
14.见详解
【分析】根据题图可知,图中的骰子1和6相对,2和5相对,3和4相对;第一次滚动后方格中留下的点数是6,第二次后留下的点数是4,第三次后留下的点数是1,然后向右滚动一次后留下的点数是2,再向右滚动一次后留下的点数是6,据此画图。
【详解】根据分析,画图如下:
【点睛】本题的关键在于找到骰子相对的面上的点数,再根据骰子的滚动情况,分析方格中的印记。
15.(1)2,D;2,B;2,A
(2)选择C纸板6块或E纸板6块
【分析】(1)要确定围成长方体所用的纸板,需先明确长方体的长、宽、高,再看对应面的形状。长方体的长是6厘米、宽是4厘米、高是5厘米。据此找出前、后面,左、右面,上、下面对应的纸板解答。
前面和后面:长6厘米、高5厘米,对应D纸板,共2块;左面和右面:宽4厘米、高5厘米,对应B纸板,共2块;上面和下面长6厘米、宽4厘米,对应A纸板,共2块。
(2)正方体的六个面是完全相同的正方形,据此找出边长相等的正方形有几种即可解答。
【详解】(1)前面和后面:长6厘米、高5厘米,对应D纸板,共2块;左面和右面:宽4厘米、高5厘米,对应B纸板,共2块;上面和下面长6厘米、宽4厘米,对应A纸板,共2块。
所以他是用2块D纸板,2块B纸板,2块A纸板围成的。
(2)若选择C纸板(边长为4厘米的正方形)需要6块,可围成棱长为4厘米的正方体。
若选择E纸板(边长为6厘米的正方形)需要6块,可围成棱长为6厘米的正方体。
其它的都不是正方形,不能围成一个正方体。
答:小亮想围成一个正方体,他应该选择C纸板6块或E纸板6块。
16.68分米
【分析】长方体茶几有12条棱,底部四边不装,因此需要安装的棱为:2条长、2条宽、4条高,将这些棱的长度相加即为防撞条的长度。
【详解】18×2+6×2+5×4
=36+12+20
=48+20
=68(分米)
答:张阿姨至少需要买68分米长的防撞条。
17.90厘米
【分析】用总长度减去打结部分的长度算出捆扎正方体(不含打结部分)的丝带长度。用捆扎的丝带长度除以丝带经过正方体棱长的数量,算出正方体的棱长。再根据正方体的棱长总和=棱长×12解决。
【详解】76-16=60(厘米)
60÷8=7.5(厘米)
7.5×12=90(厘米)
答:正方体礼品盒棱长总和是90厘米。
18.(1)2;2;1
3;1;1
(2)第二种;14平方厘米
【分析】(1)长方体的棱长总和等于铁丝的长度20厘米;根据长方体的棱长总和=(长+宽+高)×4,可知长方体的长、宽、高的和=棱长总和÷4,要求长、宽、高均为整厘米数,为避免重复,满足长≥宽≥高,据此确定两种长方体框架的长、宽、高,填表即可。
(2)根据长方体的表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2,求出两种长方体的表面积,再比较,选择表面积最小的长方体即可。
【详解】(1)20÷4=5(厘米)
5=2+2+1=3+1+1
即第一种长是2厘米、宽是2厘米、高是1厘米;第二种长是3厘米、宽是1厘米、高是1厘米。
填表如下:
长/cm 宽/cm 高/cm
第一种 2 2 1
第二种 3 1 1
(2)第一种长方体的表面积:
(2×2+2×1+2×1)×2
=(4+2+2)×2
=8×2
=16(平方厘米)
第二种长方体的表面积:
(3×1+3×1+1×1)×2
=(3+3+1)×2
=7×2
=14(平方厘米)
14<16
答:选择第二种长方体用的彩纸最少,最少用14平方厘米的彩纸。
19.625平方米
【分析】根据题意,安装散热装置的面积是这个长方体上面和四周的面积之和。上面的面积=长×宽,前后两个面的面积=长×高×2,左右两个面的面积=宽×高×2。
【详解】20×0.5+20×15×2+0.5×15×2
=10+600+15
=625(平方米)
答:安装散热装置的面积是625平方米。
20.259平方厘米
【分析】单独一块香皂包装时的长方体盒子有六个面,前后面、左右面、上下面分别相等。第一种包装法节约的70平方厘米是上、下面的面积(2个长×宽);第二种包装法节约的49平方厘米是左、右面的面积(2个宽×高);第三种包装法节约的140平方厘米是前、后面的面积(2个长×高)。长方体表面积等于前后面、左右面、及上下面六个面的面积和,据此计算香皂盒的表面积即可。
【详解】70+140+49
=210+49
=259(平方厘米)
答:一个香皂盒的表面积是259平方厘米。
21.630元
【分析】把一个长方体锯成三个大小相等的小正方体,需要锯2次。每锯1次增加2个正方形的面,那么锯2次就增加了2×2=4个正方形的面。已知切割后表面积之和比原来的长方体的表面积增加了36平方厘米,这增加的36平方厘米就是4个正方形面的面积之和。那么一个正方形面的面积是36÷4=9平方厘米。长方体由三个小正方体拼成,其表面积相当于14个小正方体的面(3×6-4=14,三个小正方体共3×6=18个面,拼接减少4个面),所以长方体表面积为9×14=126(平方厘米)。每平方厘米成本5元,用126乘5即可解答。
【详解】2×2=4(个)
36÷4=9(平方厘米)
3×6=18(个)
18-4=14(个)
9×14=126(平方厘米)
126×5=630(元)
答:材料成本是630元。
22.85立方厘米
【分析】要从长方体中削出一个最大的正方体,正方体的棱长必须等于长方体长、宽、高中最短的那条棱的长度。题目中已知长方体的长、宽、高分别为7厘米、6厘米、5厘米,最短棱长为5厘米,因此最大正方体的棱长为5厘米。削掉的塑料块体积等于原长方体体积减去正方体体积。根据长方体体积=长×宽×高;正方体体积=棱长×棱长×棱长进行计算。
【详解】
(立方厘米)
(立方厘米)
(立方厘米)
答:在这个过程中削掉了85立方厘米的塑料块。
23.540千克
【分析】解答这道题需明确:正方体体积=棱长×棱长×棱长,物体的总重量=单位体积的重量×物体的体积。这道题已知正方体的棱长为6分米,需先利用正方体的体积公式求出正方体石料的体积,再利用1立方分米石料的重量乘石料体积计算即可。据此解答。
【详解】根据分析:
求正方体的体积:
(立方分米)
求石料的重量:
(千克)
答:这块石料重540千克。
24.(1)6400立方厘米
(2)2120平方厘米
【分析】(1)图中标注的单位是dm,题干中表示水深的单位是cm,所以要先统一单位,再用长方体体积公式:计算即可。
(2)首先要确定改造后水与鱼缸接触的面,只有5个面:。第一步:算出改造后直立鱼缸的底面积与水深。底面长是2dm,宽是1dm,底面积:。通过题意可以得出,水的体积没变,
因此新水深就等于:。然后计算水与鱼缸接触面()的面积。
【详解】(1)鱼缸尺寸:长4dm=40cm,宽1dm=10cm,水深16cm。
(立方厘米)
答:鱼缸里面的水的体积是6400立方厘米。
(2)改造后鱼缸的底面:长为2dm=20cm,宽为1dm=10cm,平方厘米。
因为水的体积不变,所以新水深:
(厘米)
计算改造后水与鱼缸接触面()的面积:
底面面积:(平方厘米)
两个的侧面:(平方厘米)
两个的侧面:(平方厘米)
水与鱼缸的总接触面面积:(平方厘米)
答:水与鱼缸接触面的面积是2120平方厘米。
25.2500立方厘米,950平方厘米
【分析】四个角各切掉边长5厘米的正方形,所以纸盒的长是35-5×2,宽是30-5×2,高是5厘米,再用长方体的体积公式求出它的容积。
用长方形原面积减去切掉的四个小正方形的面积即可得到纸盒的表面积。
【详解】纸盒的长:
35-5×2
=35-10
=25(厘米)
纸盒的宽:
30-5×2
=30-10
=20(厘米)
高:5厘米
25×20×5
=500×5
=2500(立方厘米)
35×30=1050(平方厘米)
5×5×4=100(平方厘米)
1050-100=950(平方厘米)
答:这个纸盒的容积是2500立方厘米,表面积是950平方厘米。
26.
5分米
【分析】甲、乙容器底部连通,静止时液面高度相同,所以可将两个容器视为一个整体来计算水面高度。先将两个容器中的水相加求出总水量,将升换算为立方分米(1升=1立方分米);然后分别算出甲、乙两个长方体容器的底面积(正方形面积=边长×边长,长方形面积=长×宽),再相加得到连通后水的总底面积;最后用总水量除以总底面积,即可得到最终的液面高度,也就是甲容器内水的高度。
【详解】
(分米)
答:此时甲容器内水的高度是5分米。
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