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广东省东莞市2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑．
1．若在实数范围内有意义，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：要使二次根式在实数范围内有意义，则被开方数必须满足．
解得，
因此的取值范围是．
故答案为：A．
【分析】二次根式有意义的条件：被开方数必须非负数即，解得不等式解集为．
2．某服装品牌店试销一种新款女装，试销期间销售情况如表：
衣服的尺码 S M L
销售量 3 12 8 4
下次该店主进货最多的尺码应为（　　）
A． B．M C．L D．
【答案】B
【知识点】统计表；众数
【解析】【解答】解：由表格可知，各尺码对应的销售量分别为：S售出3件，M售出12件，L售出8件，售出4件．比较各数值，M的销售量12件为最大．因此，下次进货最多的尺码应为M．
故答案为；B．
【分析】根据表格中的销售数据，找出数据中的众数为进货最多的尺码．
3．如图，一个圆锥的高，底面半径，则长为（　　）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】B
【知识点】圆锥的计算；求算术平方根；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：由题意可得：，
在中，，
∴的长为．
故答案为：B．
【分析】根据勾股定理列式计算，解得AB为．
4．为更好地学习贯彻第十四届全国人大会议的精神，学校举办了“牢记使命担当，奋进新时代”知识竞赛，某班参赛的5名同学的成绩（单位：分）分别为：85，84，82，90，88．则这组数据的中位数是（　　）
A．82 B．84 C．85 D．90
【答案】C
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将5名同学的成绩从小到大排列为：82，84，85，88，90．
数据个数为5（奇数），中位数为中间第3个数，即85．
故答案为：C．
【分析】将数据从小到大排列后，取中间位置的数即为中位数，则中位数为85．
5．如图，在中，，是斜边上的中线若，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：在中，，是斜边上的中线，
．
．
故选：．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质即可求出答案.
6．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的乘法；二次根式的除法
【解析】【解答】解：A.，与不是同类二次根式，无法直接合并，故本选项不符合题意；
B.，结果应为而非，故本选项不符合题意；
C.根据二次根式乘法法则，，故本选项符合题意；
D.，而，，两者不相等，故本选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】本题考查二次根式的运算，根据运算法则逐一验证各选项的正确性即可．
7．如图，已知点E、F、G．H分别是菱形ABCD各边的中点，则四边形EFGH是（　　）
A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．平行四边形
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定；菱形的性质；矩形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接AC、BD．AC交FG于L．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵DH=HA，DG=GC，
∴GH∥AC，
同法可得：，EF∥AC，
∴GH=EF，GH∥EF，
∴四边形EFGH是平行四边形，
同法可证：GF∥BD，
∴∠OLF=∠AOB=90°，
∵AC∥GH，
∴∠HGL=∠OLF=90°，
∴四边形EFGH是矩形．
故答案为：B．
【分析】菱形的性质：对角线互相垂直得AC⊥BD，由 点E、F、G．H分别是菱形ABCD各边的中点 ，根据三角形的中位线定理得 GH∥AC， ，EF∥AC， 即 GH=EF，GH∥EF，根据四边形的一组对边平行且相等是平行四边形，得四边形EFGH是平行四边形， 由 ∠HGL=∠OLF=90°， 则由根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，得 四边形EFGH是矩形 ；
8．如图，将两张对边平行的纸条交叉叠放在一起，得到四边形相交于点．下列结论不一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定
【解析】【解答】解：∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，故选项B，C，D不符合题意，
∵四边形不一定是菱形，
∴与不一定垂直，故选项A符合题意，
故答案为：A．
【分析】由题意，根据两组对边平行的四边形是平行四边形，得四边形是平行四边形， 则结论
成立，四边形不一定是菱形．
9．关于一次函数，下列结论正确的是（　　）
A．图象过点 B．当时，总有
C．图象不经过第四象限 D．随的增大而增大
【答案】B
【知识点】一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：选项A：将代入，得，故点不在图象上，错误．
选项B：当时，，则，恒成立，正确．
选项C：因，，图象经过第一、二、四象限，故经过第四象限，错误．
选项D：，故随的增大而减小，错误．
故答案为：B
【分析】当x=-1代入一次函数， 则y=3，由比例系数为-2，可知图象过二，四象限，与y轴的角度为（0，1）过第二象限， 当时，大于0，所以正确的结论为B项。
10．如图，已知正方形，以为边作等边三角形，则的度数为（　　）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质；正方形的性质；分类讨论
【解析】【解答】解：如图1，当在正方形外部时，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
如图2，当在正方形内部时，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：D．
【分析】如图1，当在正方形外部时，
由正方形的性质得，边相等，角为直角，，是等边三角形性质得，，则，在△ADE中，根据三角形内角和，得 =15°；
如图2，当在正方形内部时，
由正方形的性质得，边相等，角为直角，，是等边三角形性质得，，则，在△ADE中，根据三角形内角和，得 =75°；
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）请将下列各题正确答案填在答题卡相应的位置上．
11．计算：　 　．
【答案】2
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解∶ 2，
故答案为∶2．
【分析】本题根据二次根式的运算公式，即，将a替换成2求解即可．
12．请写出定理“两直线平行，同位角相等”的逆定理　 　．
【答案】同位角相等，两直线平行
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解：定理“两直线平行，同位角相等”的逆定理是同位角相等，两直线平行.
故答案为：同位角相等，两直线平行 ．
【分析】一个命题包括题设与结论两部分，一般用如果领起的就是题设，用那么领起的就是结论，如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论与题设，那么这两个命题就为互逆命题，把其中的一个命题作为原命题，另一个命题就是逆命题，据此找出题干所给命题的题设与结论，即可得到其逆命题.
13．已知点都在直线上，则　 　．（填“” “”或“”）
【答案】
【知识点】一次函数的性质；比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：∵直线中，，
∴对于，y随x增大而增大，
∵点，都在直线上，且，
∴，
故答案为：．
【分析】根据一次函数解析式，比例系数3大于0，则y随x增大而增大，所以-4小于2，则
14．中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧，小美家有如图1的中国结装饰，其主体部分可抽象成如图2所示的菱形，测得，则该菱形的面积为　 　．
【答案】24
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，
∴，
∴菱形的面积为，
故答案为：24 ．
【分析】根据菱形的性质对角线互相垂直，得，面积等于对角线乘积的一半为24.
15．如图1，点从的顶点出发，以的速度沿在三角形的边上运动．设运动的时间为，点与点之间的距离为，与的函数关系图象如图2所示，其中是曲线部分的最低点，则　 　．
【答案】21
【知识点】通过函数图象获取信息；动点问题的函数图象；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，
从图2看，，
从图2看，点为曲线部分的最低点，即的最小值为8，即，
在中，，
在中，，
故；
故答案为：21．
【分析】如图，过点作于点，
从图2看，，的最小值为8，即；在和中，勾股定理求出BH=6，CH=15，则BC=21．
三、解答题（一）（本大题共2小题，每小题5分，共10分）
16．计算：．
【答案】解：原式
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算
【解析】【分析】 先计算 二次根式的乘法，再和并同类项得 ．
17．如图，网格中每一个小正方形的边长为1．
（1）计算：若正方形面积与图中阴影部分面积相等，则正方形的边长为____________；
（2）实践操作：请你在网格中画出满足题（1）条件的正方形，并使点A，B，C，D均落在格点上．
【答案】（1）
（2）解：如图，正方形即为所求．
【知识点】正方形的判定；算术平方根的实际应用；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】（1）解：根据题意得：阴影部分的面积为5，
∴正方形的边长为；
【分析】（1）根据题意得阴影部分的面积为5，则边长为；
（2）取格点A，B，C，D，边长为2和1构造直角三角形，斜边为 ，使，．
（1）解：根据题意得：阴影部分的面积为5，
∴正方形的边长为；
（2）解：如图，正方形即为所求．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
18．已知：如图，在平行四边形中，点E，F分别在边，上，且．
（1）若，求的度数；
（2）求证：四边形是平行四边形．
【答案】（1）解；∵四边形为平行四边形，．
，
；
（2）解：四边形为平行四边形，，，
，
，
即，
四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质对角相等，得 = ；
（2）由四边形为平行四边形的性质对边相等且平行，得，，由，得，两组对边相等的四边形是平行四边形，得四边形是平行四边形．
（1）∵四边形为平行四边形，
．
，
；
（2）四边形为平行四边形，
，，
，
，
即，
四边形是平行四边形．
19．东莞是全国闻名的荔枝之乡，荔枝已成为东莞种植面积最大、品种最鲜明、区域优势最明显的水果．为了解①号、②号两个品种荔枝的年产量（株）情况，在某荔枝种植基地随机抽取①号、②号两个品种荔枝各20株进行调查，下面给出了部分信息：
抽取的①号、②号品种荔枝年产量的统计表：
品种 平均数 方差
①号 70 a
②号 27
（1）填空：___________，__________；
（2）根据图表中的数据，若只考虑荔枝的年产量，你认为果农应扩大几号品种荔枝的种植面积？为什么？
【答案】（1）7.1；70
（2）解：果农应扩大①号品种荔枝的种植面积，理由如下：
，
．
由此可知，①号、②号品种年平均产量相同，但①号品种的年产量比②号品种的稳定，
所以果农应扩大①号品种荔枝的种植面积．
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】（1）解：方差：
；
平均数：
．
故答案为：7.1；70；
【分析】（1）结合条形统计图数据，根据平均数、方差的计算方法计算平均数为70，方差为7.1；
（2）两个品种的平均数相等，比较甲的方差小于乙的方差，结论：果农应扩大①号品种荔枝的种植面积。
（1）解：
；
．
故答案为：7.1；70；
（2）解：果农应扩大①号品种荔枝的种植面积，理由如下：
，
．
由此可知，①号、②号品种年平均产量相同，但①号品种的年产量比②号品种的稳定，
所以果农应扩大①号品种荔枝的种植面积．
20．某数学兴趣小组开展测量旗杆高度的实践活动，得到以下测量素材（旗杆，绳子粗细忽略不计）：
【素材一】如图1，旗杆上的绳子垂到地面，并多出了2米；
【素材二】如图2，把绳子拉开拉直，让绳子下端刚好固定在地面点处，此时，旗杆底部点与点距离为6米．
（1）请你根据测量素材一和素材二，计算旗杆AB的高度；
（2）如图3，若小明举高手拉直绳子，此时绳子下端位置点到地面的距离为2米，这时小明距离旗杆多远？
【答案】（1）解：依题意，设旗杆高度为米，则绳子长为米．
在Rt中，，
即．
．
答：旗杆的高度为8米．
（2）解：如图，过点作于点．
．
，
四边形为矩形．
．
．
又，
在中，．
．
答：小明距离旗杆8米．
【知识点】矩形的判定与性质；勾股定理的实际应用-旗杆高度问题
【解析】【分析】（1）设旗杆高度为米，则绳子长为米，在Rt△ABC中，由勾股定理建立方程解得AB= 8米 ；
（2）如图，过点作于点．
三个角是直角的四边形是矩形，得四边形为矩形．则．在中，由勾股定理得DF=8，则BE=DF=8.
（1）解：依题意，设旗杆高度为米，则绳子长为米．
在Rt中，，
即．
．
答：旗杆的高度为8米．
（2）解：如图，过点作于点．
．
，
四边形为矩形．
．
．
又，
在中，．
．
答：小明距离旗杆8米．
五、解答题（三）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．数学实践小组为了研究向上整齐叠放的一摞碗的总高度（单位：）随着碗的数量（单位：个）的变化规律，从食堂取来一摞碗进行测量，下表是小组成员测量得到的数据：
1 2 3 4
9 11 13 15
（1）分别以碗的数量和一摞碗的总高度为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，请在平面直角坐标系中描出相应的点，并依次标上字母A，B，C，D；
（2）张华观察描出四个点的分布规律后，猜想这四个点都在同一条直线上．请你运用一次函数的知识验证张华的猜想；
（3）食堂摆放碗的餐具柜每一层的高度为，要使每一摞向上整齐叠放的碗都能顺利放进柜子，每一摞最多能叠放几个碗？
【答案】（1）解：如图所示，点A，B，C，D即为所求．
（2）解：设经过点，点的直线解析式为，得，解得，
直线的解析式为．
把代入中，得：，
点在直线上．
把代入中，得，
点在直线上．
综上所述，点A，B，C，D四点都在同一条直线上．
（3）解：依题意得：，
．
为整数，
的最大值为11．
答：每一摞最多叠放11个碗．
【知识点】一元一次不等式的应用；待定系数法求一次函数解析式；描点法画函数图象；用图象表示变量间的关系；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）在平面直角坐标系中描点；
（2）将点A，B代入解析式y=kx+b，利用待定系数法解得，解析式为y=2x+7，代入x=3，则y=13，代入x=4，则y=15，则点A，点B，点C，点D在直线AB上；
（3）根据题意可得，解得 ，x取整数，最大值为11，则最多叠放11个碗。
（1）解：如图所示，点A，B，C，D即为所求．
（2）解：设经过点，点的直线解析式为，得，解得，
直线的解析式为．
把代入中，得：，
点在直线上．
把代入中，得，
点在直线上．
综上所述，点A，B，C，D四点都在同一条直线上．
（3）解：依题意得：，
．
为整数，
的最大值为11．
答：每一摞最多叠放11个碗．
22．科代表小明发现有同学常出现类似“”的错误计算．小明深知不能简单强调“不是同类二次根式不能合并”，而是要同学们深刻理解与的大小关系才能解决这个问题．他与几位同学讨论后，选择了“从特殊到一般”“转化”数学思想作为问题解决的思路，具体如下：
【知识再现】一般地，已知两个正数和，如果，那么；反之，如果，那么．
【知识应用】（1）_____________，___________，（分别计算）
(填“>”“<”“=”“”或“”)
又，
填“>”“<”“=”“”或“”）
【猜想证明】（2）判断与的大小关系，并证明．
【拓展应用】（3）为了更好开展劳动教育，学校计划将农场用篱笆重新分区．将原来面积为10平方米的正方形地块的篱笆收集下来（不考虑损耗），这些篱笆_________（填“刚刚好”“尚不足”或“有富余”）围成两个面积和为10平方米的正方形地块．
【答案】（1）；>；
（2）解：
由题意得，，
∵
∴
∴
∵
∴
（3）尚不足．
【知识点】二次根式的混合运算；不等式的性质
【解析】【解答】解：（1）∵
∴
∵
∴
（2）
由题意得，，
∵
∴
∴
∵
∴
（3）由题意，∵原正方形的面积为10平方米，
∴边长为米，篱笆总长为米．
设两个小正方形的面积分别为x平方米和平方米，
∴小正方形的边长为米和米．
∵，
∴根据（2）的结论可得，．
∴．
∴这些篱笆尚不足围成两个面积和为10平方米的正方形地块．
【分析】（1）依据题意，根据所给算式利用完全平方公式计算，再比较大小；
（2）把与分别求平方，然后作差比较即可，；
（3）先求出篱笆总长为米，设两个小正方形的面积分别为x平方米和平方米，结合（2）的结论，．
23．《几何原本》中提供了一种证明勾股定理的方法．
已知：如图，中，．
求证：．
证明思路如下：
【步骤一】分别以为边长向外作正方形，连接．可证；
【步骤二】过点作，交于点，由，易得矩形与面积之间的数量关系，同理也可得正方形与面积之间的数量关系；
【步骤三】证明；
【步骤四】同理可证，．
所以，
又因为，
所以．
（1）请写出【步骤一】中证明的过程；
（2）请直接写出【步骤二】中矩形与，正方形与面积之间的数量关系；
（3）请写出【步骤三】中证明的过程．
【答案】（1）证明：四边形是正方形，
．
，即．
，
（SAS）
（2）
（3）解：由（1）得，，
，
在正方形中，，
．
由（2）得，，
．
【知识点】正方形的性质；几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定-SAS；平行线的应用-证明问题
【解析】【解答】（2）解：，且，
，，
；
同理可知，，，
．
故数量关系为：．
【分析】（1）由 根据正方形的性质：对边相等，角为直角，得，等角等量相加得，则 （SAS）．
（2）由平行线之间的距离相等，得三角形ACD与矩形ADMN，同底AD，等高DM，则矩形ADMN面积的是三角形ACD面积的2倍，同理 方形是面积的2倍；
（3）由（1）得，由（2）得，则矩形的面积正方形 是的面积即为b2．
（1）证明：四边形是正方形，
．
，即．
，
．
（2）解：，且，
，，
；
同理可知，，，
．
故数量关系为：．
（3）解：由（1）得，，
，
在正方形中，，
．
由（2）得，，
．
六、解答题（四）（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
24．如图1，在正方形中，，点为边上的动点（点与点不重合），把沿直线翻折，得到，延长交于点，连接．
（1）①求的度数：
②若点是的中点，求的长．
（2）如图2，过点作，与的延长线交于点，连接．求的最小值．
【答案】（1）解：①∵四边形是正方形，∴，
由折叠的性质可得，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即；
②∵四边形是正方形，
∴，
点是BC中点，，
．
由折叠的性质可得．
∵，
．
设，则，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴．
．
的长为．
（2）解：如图，连接，过点作交的延长线于点
．
．
，
．
．
又∵，
．
由（1）得，在中，，
．
．
．
．
．
．
在中，，
．
，
即当点在上运动时，点始终在的角平分线上．
当，即时，的值最小．
此时，．
．
在中，，即，
．
的最小值为．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）①由正方形的性质边相等，角为直角，得，由沿直线翻折，得到 根据折叠前后的两个三角形全等，得，则（HL），得，得，即；
②由正方形的性质得，则．由 折叠前后的两个三角形全等 ，得．由全等三角形的性质，得．设，则，，
在中，由勾股定理得，解得x=，即DF=；
（2）如图，连接，过点作交的延长线于点．
证明．得．证明(AAS)，得．则．则，则当点在上运动时，点始终在的角平分线上．故当，即时，的值最小为．
（1）解：①∵四边形是正方形，
∴，
由折叠的性质可得，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即；
②∵四边形是正方形，
∴，
点是BC中点，，
．
由折叠的性质可得．
∵，
．
设，则，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴．
．
的长为．
（2）解：如图，连接，过点作交的延长线于点．
．
．
，
．
．
又∵，
．
由（1）得，在中，，
．
．
．
．
．
．
在中，，
．
，
即当点在上运动时，点始终在的角平分线上．
当，即时，的值最小．
此时，．
．
在中，，即，
．
的最小值为．
25．如图1，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，直线与轴，轴分别交于点A，B．
（1）求和的值；
（2）如图2，点是轴上的动点，过点作垂直于轴的直线，分别与直线和交于D，E两点，过点作轴，交直线于点，以，为边作矩形．
①连接，当时，试判断的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由；
②当动点在轴上运动时，发现顶点始终落在一条直线上，请直接写出该直线的函数解析式．
【答案】（1）解：∵直线与直线交于点，∴，，
解得：，，
（2）解：①联立，解得：，
∴，
如图，∵，矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，到的距离为：，
∴，
同理：，到的距离为：，
∴，
∴，
∴是定值；
；②点在直线上．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；矩形的性质；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】（2）解：①联立，
解得：，
∴，
如图，∵，矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，到的距离为：，
∴，
同理：，到的距离为：，
∴，
∴，
∴是定值；
②由①得：，
∴，
由可得：，
由，
∴，
∴，
整理得：.
【分析】（1）将交点C(1，2)代入两个直线解析式，解得b=3，k=3；
（2）①联立解析式解得，x=1，y=2，即，如图，，
，，由轴，则点D，点F纵坐标相等DE=(3m-1)-(-m+3)=4m-4，3x-1=-m+3， 解得x=，所以
，DF=m-=则，，，则为定值 ；
②由①得：，可得，代入y=3m-1，y=3(4-3x)-1=-9x+11.
（1）解：∵直线与直线交于点，
∴，，
解得：，，
∴直线，直线；
（2）解：①联立，
解得：，
∴，
如图，∵，矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，到的距离为：，
∴，
同理：，到的距离为：，
∴，
∴，
∴是定值；
②由①得：，
∴，
由可得：，
由，
∴，
∴，
整理得：.
1 / 1广东省东莞市2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑．
1．若在实数范围内有意义，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
2．某服装品牌店试销一种新款女装，试销期间销售情况如表：
衣服的尺码 S M L
销售量 3 12 8 4
下次该店主进货最多的尺码应为（　　）
A． B．M C．L D．
3．如图，一个圆锥的高，底面半径，则长为（　　）
A．1 B． C．2 D．3
4．为更好地学习贯彻第十四届全国人大会议的精神，学校举办了“牢记使命担当，奋进新时代”知识竞赛，某班参赛的5名同学的成绩（单位：分）分别为：85，84，82，90，88．则这组数据的中位数是（　　）
A．82 B．84 C．85 D．90
5．如图，在中，，是斜边上的中线若，则的长为（　　）
A． B． C． D．
6．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，已知点E、F、G．H分别是菱形ABCD各边的中点，则四边形EFGH是（　　）
A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．平行四边形
8．如图，将两张对边平行的纸条交叉叠放在一起，得到四边形相交于点．下列结论不一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
9．关于一次函数，下列结论正确的是（　　）
A．图象过点 B．当时，总有
C．图象不经过第四象限 D．随的增大而增大
10．如图，已知正方形，以为边作等边三角形，则的度数为（　　）
A． B． C．或 D．或
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）请将下列各题正确答案填在答题卡相应的位置上．
11．计算：　 　．
12．请写出定理“两直线平行，同位角相等”的逆定理　 　．
13．已知点都在直线上，则　 　．（填“” “”或“”）
14．中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧，小美家有如图1的中国结装饰，其主体部分可抽象成如图2所示的菱形，测得，则该菱形的面积为　 　．
15．如图1，点从的顶点出发，以的速度沿在三角形的边上运动．设运动的时间为，点与点之间的距离为，与的函数关系图象如图2所示，其中是曲线部分的最低点，则　 　．
三、解答题（一）（本大题共2小题，每小题5分，共10分）
16．计算：．
17．如图，网格中每一个小正方形的边长为1．
（1）计算：若正方形面积与图中阴影部分面积相等，则正方形的边长为____________；
（2）实践操作：请你在网格中画出满足题（1）条件的正方形，并使点A，B，C，D均落在格点上．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
18．已知：如图，在平行四边形中，点E，F分别在边，上，且．
（1）若，求的度数；
（2）求证：四边形是平行四边形．
19．东莞是全国闻名的荔枝之乡，荔枝已成为东莞种植面积最大、品种最鲜明、区域优势最明显的水果．为了解①号、②号两个品种荔枝的年产量（株）情况，在某荔枝种植基地随机抽取①号、②号两个品种荔枝各20株进行调查，下面给出了部分信息：
抽取的①号、②号品种荔枝年产量的统计表：
品种 平均数 方差
①号 70 a
②号 27
（1）填空：___________，__________；
（2）根据图表中的数据，若只考虑荔枝的年产量，你认为果农应扩大几号品种荔枝的种植面积？为什么？
20．某数学兴趣小组开展测量旗杆高度的实践活动，得到以下测量素材（旗杆，绳子粗细忽略不计）：
【素材一】如图1，旗杆上的绳子垂到地面，并多出了2米；
【素材二】如图2，把绳子拉开拉直，让绳子下端刚好固定在地面点处，此时，旗杆底部点与点距离为6米．
（1）请你根据测量素材一和素材二，计算旗杆AB的高度；
（2）如图3，若小明举高手拉直绳子，此时绳子下端位置点到地面的距离为2米，这时小明距离旗杆多远？
五、解答题（三）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．数学实践小组为了研究向上整齐叠放的一摞碗的总高度（单位：）随着碗的数量（单位：个）的变化规律，从食堂取来一摞碗进行测量，下表是小组成员测量得到的数据：
1 2 3 4
9 11 13 15
（1）分别以碗的数量和一摞碗的总高度为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，请在平面直角坐标系中描出相应的点，并依次标上字母A，B，C，D；
（2）张华观察描出四个点的分布规律后，猜想这四个点都在同一条直线上．请你运用一次函数的知识验证张华的猜想；
（3）食堂摆放碗的餐具柜每一层的高度为，要使每一摞向上整齐叠放的碗都能顺利放进柜子，每一摞最多能叠放几个碗？
22．科代表小明发现有同学常出现类似“”的错误计算．小明深知不能简单强调“不是同类二次根式不能合并”，而是要同学们深刻理解与的大小关系才能解决这个问题．他与几位同学讨论后，选择了“从特殊到一般”“转化”数学思想作为问题解决的思路，具体如下：
【知识再现】一般地，已知两个正数和，如果，那么；反之，如果，那么．
【知识应用】（1）_____________，___________，（分别计算）
(填“>”“<”“=”“”或“”)
又，
填“>”“<”“=”“”或“”）
【猜想证明】（2）判断与的大小关系，并证明．
【拓展应用】（3）为了更好开展劳动教育，学校计划将农场用篱笆重新分区．将原来面积为10平方米的正方形地块的篱笆收集下来（不考虑损耗），这些篱笆_________（填“刚刚好”“尚不足”或“有富余”）围成两个面积和为10平方米的正方形地块．
23．《几何原本》中提供了一种证明勾股定理的方法．
已知：如图，中，．
求证：．
证明思路如下：
【步骤一】分别以为边长向外作正方形，连接．可证；
【步骤二】过点作，交于点，由，易得矩形与面积之间的数量关系，同理也可得正方形与面积之间的数量关系；
【步骤三】证明；
【步骤四】同理可证，．
所以，
又因为，
所以．
（1）请写出【步骤一】中证明的过程；
（2）请直接写出【步骤二】中矩形与，正方形与面积之间的数量关系；
（3）请写出【步骤三】中证明的过程．
六、解答题（四）（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
24．如图1，在正方形中，，点为边上的动点（点与点不重合），把沿直线翻折，得到，延长交于点，连接．
（1）①求的度数：
②若点是的中点，求的长．
（2）如图2，过点作，与的延长线交于点，连接．求的最小值．
25．如图1，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，直线与轴，轴分别交于点A，B．
（1）求和的值；
（2）如图2，点是轴上的动点，过点作垂直于轴的直线，分别与直线和交于D，E两点，过点作轴，交直线于点，以，为边作矩形．
①连接，当时，试判断的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由；
②当动点在轴上运动时，发现顶点始终落在一条直线上，请直接写出该直线的函数解析式．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：要使二次根式在实数范围内有意义，则被开方数必须满足．
解得，
因此的取值范围是．
故答案为：A．
【分析】二次根式有意义的条件：被开方数必须非负数即，解得不等式解集为．
2．【答案】B
【知识点】统计表；众数
【解析】【解答】解：由表格可知，各尺码对应的销售量分别为：S售出3件，M售出12件，L售出8件，售出4件．比较各数值，M的销售量12件为最大．因此，下次进货最多的尺码应为M．
故答案为；B．
【分析】根据表格中的销售数据，找出数据中的众数为进货最多的尺码．
3．【答案】B
【知识点】圆锥的计算；求算术平方根；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：由题意可得：，
在中，，
∴的长为．
故答案为：B．
【分析】根据勾股定理列式计算，解得AB为．
4．【答案】C
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将5名同学的成绩从小到大排列为：82，84，85，88，90．
数据个数为5（奇数），中位数为中间第3个数，即85．
故答案为：C．
【分析】将数据从小到大排列后，取中间位置的数即为中位数，则中位数为85．
5．【答案】D
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：在中，，是斜边上的中线，
．
．
故选：．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质即可求出答案.
6．【答案】C
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的乘法；二次根式的除法
【解析】【解答】解：A.，与不是同类二次根式，无法直接合并，故本选项不符合题意；
B.，结果应为而非，故本选项不符合题意；
C.根据二次根式乘法法则，，故本选项符合题意；
D.，而，，两者不相等，故本选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】本题考查二次根式的运算，根据运算法则逐一验证各选项的正确性即可．
7．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定；菱形的性质；矩形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接AC、BD．AC交FG于L．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵DH=HA，DG=GC，
∴GH∥AC，
同法可得：，EF∥AC，
∴GH=EF，GH∥EF，
∴四边形EFGH是平行四边形，
同法可证：GF∥BD，
∴∠OLF=∠AOB=90°，
∵AC∥GH，
∴∠HGL=∠OLF=90°，
∴四边形EFGH是矩形．
故答案为：B．
【分析】菱形的性质：对角线互相垂直得AC⊥BD，由 点E、F、G．H分别是菱形ABCD各边的中点 ，根据三角形的中位线定理得 GH∥AC， ，EF∥AC， 即 GH=EF，GH∥EF，根据四边形的一组对边平行且相等是平行四边形，得四边形EFGH是平行四边形， 由 ∠HGL=∠OLF=90°， 则由根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，得 四边形EFGH是矩形 ；
8．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定
【解析】【解答】解：∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，故选项B，C，D不符合题意，
∵四边形不一定是菱形，
∴与不一定垂直，故选项A符合题意，
故答案为：A．
【分析】由题意，根据两组对边平行的四边形是平行四边形，得四边形是平行四边形， 则结论
成立，四边形不一定是菱形．
9．【答案】B
【知识点】一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：选项A：将代入，得，故点不在图象上，错误．
选项B：当时，，则，恒成立，正确．
选项C：因，，图象经过第一、二、四象限，故经过第四象限，错误．
选项D：，故随的增大而减小，错误．
故答案为：B
【分析】当x=-1代入一次函数， 则y=3，由比例系数为-2，可知图象过二，四象限，与y轴的角度为（0，1）过第二象限， 当时，大于0，所以正确的结论为B项。
10．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质；正方形的性质；分类讨论
【解析】【解答】解：如图1，当在正方形外部时，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
如图2，当在正方形内部时，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：D．
【分析】如图1，当在正方形外部时，
由正方形的性质得，边相等，角为直角，，是等边三角形性质得，，则，在△ADE中，根据三角形内角和，得 =15°；
如图2，当在正方形内部时，
由正方形的性质得，边相等，角为直角，，是等边三角形性质得，，则，在△ADE中，根据三角形内角和，得 =75°；
11．【答案】2
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解∶ 2，
故答案为∶2．
【分析】本题根据二次根式的运算公式，即，将a替换成2求解即可．
12．【答案】同位角相等，两直线平行
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解：定理“两直线平行，同位角相等”的逆定理是同位角相等，两直线平行.
故答案为：同位角相等，两直线平行 ．
【分析】一个命题包括题设与结论两部分，一般用如果领起的就是题设，用那么领起的就是结论，如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论与题设，那么这两个命题就为互逆命题，把其中的一个命题作为原命题，另一个命题就是逆命题，据此找出题干所给命题的题设与结论，即可得到其逆命题.
13．【答案】
【知识点】一次函数的性质；比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：∵直线中，，
∴对于，y随x增大而增大，
∵点，都在直线上，且，
∴，
故答案为：．
【分析】根据一次函数解析式，比例系数3大于0，则y随x增大而增大，所以-4小于2，则
14．【答案】24
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，
∴，
∴菱形的面积为，
故答案为：24 ．
【分析】根据菱形的性质对角线互相垂直，得，面积等于对角线乘积的一半为24.
15．【答案】21
【知识点】通过函数图象获取信息；动点问题的函数图象；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，
从图2看，，
从图2看，点为曲线部分的最低点，即的最小值为8，即，
在中，，
在中，，
故；
故答案为：21．
【分析】如图，过点作于点，
从图2看，，的最小值为8，即；在和中，勾股定理求出BH=6，CH=15，则BC=21．
16．【答案】解：原式
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算
【解析】【分析】 先计算 二次根式的乘法，再和并同类项得 ．
17．【答案】（1）
（2）解：如图，正方形即为所求．
【知识点】正方形的判定；算术平方根的实际应用；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】（1）解：根据题意得：阴影部分的面积为5，
∴正方形的边长为；
【分析】（1）根据题意得阴影部分的面积为5，则边长为；
（2）取格点A，B，C，D，边长为2和1构造直角三角形，斜边为 ，使，．
（1）解：根据题意得：阴影部分的面积为5，
∴正方形的边长为；
（2）解：如图，正方形即为所求．
18．【答案】（1）解；∵四边形为平行四边形，．
，
；
（2）解：四边形为平行四边形，，，
，
，
即，
四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质对角相等，得 = ；
（2）由四边形为平行四边形的性质对边相等且平行，得，，由，得，两组对边相等的四边形是平行四边形，得四边形是平行四边形．
（1）∵四边形为平行四边形，
．
，
；
（2）四边形为平行四边形，
，，
，
，
即，
四边形是平行四边形．
19．【答案】（1）7.1；70
（2）解：果农应扩大①号品种荔枝的种植面积，理由如下：
，
．
由此可知，①号、②号品种年平均产量相同，但①号品种的年产量比②号品种的稳定，
所以果农应扩大①号品种荔枝的种植面积．
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】（1）解：方差：
；
平均数：
．
故答案为：7.1；70；
【分析】（1）结合条形统计图数据，根据平均数、方差的计算方法计算平均数为70，方差为7.1；
（2）两个品种的平均数相等，比较甲的方差小于乙的方差，结论：果农应扩大①号品种荔枝的种植面积。
（1）解：
；
．
故答案为：7.1；70；
（2）解：果农应扩大①号品种荔枝的种植面积，理由如下：
，
．
由此可知，①号、②号品种年平均产量相同，但①号品种的年产量比②号品种的稳定，
所以果农应扩大①号品种荔枝的种植面积．
20．【答案】（1）解：依题意，设旗杆高度为米，则绳子长为米．
在Rt中，，
即．
．
答：旗杆的高度为8米．
（2）解：如图，过点作于点．
．
，
四边形为矩形．
．
．
又，
在中，．
．
答：小明距离旗杆8米．
【知识点】矩形的判定与性质；勾股定理的实际应用-旗杆高度问题
【解析】【分析】（1）设旗杆高度为米，则绳子长为米，在Rt△ABC中，由勾股定理建立方程解得AB= 8米 ；
（2）如图，过点作于点．
三个角是直角的四边形是矩形，得四边形为矩形．则．在中，由勾股定理得DF=8，则BE=DF=8.
（1）解：依题意，设旗杆高度为米，则绳子长为米．
在Rt中，，
即．
．
答：旗杆的高度为8米．
（2）解：如图，过点作于点．
．
，
四边形为矩形．
．
．
又，
在中，．
．
答：小明距离旗杆8米．
21．【答案】（1）解：如图所示，点A，B，C，D即为所求．
（2）解：设经过点，点的直线解析式为，得，解得，
直线的解析式为．
把代入中，得：，
点在直线上．
把代入中，得，
点在直线上．
综上所述，点A，B，C，D四点都在同一条直线上．
（3）解：依题意得：，
．
为整数，
的最大值为11．
答：每一摞最多叠放11个碗．
【知识点】一元一次不等式的应用；待定系数法求一次函数解析式；描点法画函数图象；用图象表示变量间的关系；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）在平面直角坐标系中描点；
（2）将点A，B代入解析式y=kx+b，利用待定系数法解得，解析式为y=2x+7，代入x=3，则y=13，代入x=4，则y=15，则点A，点B，点C，点D在直线AB上；
（3）根据题意可得，解得 ，x取整数，最大值为11，则最多叠放11个碗。
（1）解：如图所示，点A，B，C，D即为所求．
（2）解：设经过点，点的直线解析式为，得，解得，
直线的解析式为．
把代入中，得：，
点在直线上．
把代入中，得，
点在直线上．
综上所述，点A，B，C，D四点都在同一条直线上．
（3）解：依题意得：，
．
为整数，
的最大值为11．
答：每一摞最多叠放11个碗．
22．【答案】（1）；>；
（2）解：
由题意得，，
∵
∴
∴
∵
∴
（3）尚不足．
【知识点】二次根式的混合运算；不等式的性质
【解析】【解答】解：（1）∵
∴
∵
∴
（2）
由题意得，，
∵
∴
∴
∵
∴
（3）由题意，∵原正方形的面积为10平方米，
∴边长为米，篱笆总长为米．
设两个小正方形的面积分别为x平方米和平方米，
∴小正方形的边长为米和米．
∵，
∴根据（2）的结论可得，．
∴．
∴这些篱笆尚不足围成两个面积和为10平方米的正方形地块．
【分析】（1）依据题意，根据所给算式利用完全平方公式计算，再比较大小；
（2）把与分别求平方，然后作差比较即可，；
（3）先求出篱笆总长为米，设两个小正方形的面积分别为x平方米和平方米，结合（2）的结论，．
23．【答案】（1）证明：四边形是正方形，
．
，即．
，
（SAS）
（2）
（3）解：由（1）得，，
，
在正方形中，，
．
由（2）得，，
．
【知识点】正方形的性质；几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定-SAS；平行线的应用-证明问题
【解析】【解答】（2）解：，且，
，，
；
同理可知，，，
．
故数量关系为：．
【分析】（1）由 根据正方形的性质：对边相等，角为直角，得，等角等量相加得，则 （SAS）．
（2）由平行线之间的距离相等，得三角形ACD与矩形ADMN，同底AD，等高DM，则矩形ADMN面积的是三角形ACD面积的2倍，同理 方形是面积的2倍；
（3）由（1）得，由（2）得，则矩形的面积正方形 是的面积即为b2．
（1）证明：四边形是正方形，
．
，即．
，
．
（2）解：，且，
，，
；
同理可知，，，
．
故数量关系为：．
（3）解：由（1）得，，
，
在正方形中，，
．
由（2）得，，
．
24．【答案】（1）解：①∵四边形是正方形，∴，
由折叠的性质可得，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即；
②∵四边形是正方形，
∴，
点是BC中点，，
．
由折叠的性质可得．
∵，
．
设，则，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴．
．
的长为．
（2）解：如图，连接，过点作交的延长线于点
．
．
，
．
．
又∵，
．
由（1）得，在中，，
．
．
．
．
．
．
在中，，
．
，
即当点在上运动时，点始终在的角平分线上．
当，即时，的值最小．
此时，．
．
在中，，即，
．
的最小值为．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）①由正方形的性质边相等，角为直角，得，由沿直线翻折，得到 根据折叠前后的两个三角形全等，得，则（HL），得，得，即；
②由正方形的性质得，则．由 折叠前后的两个三角形全等 ，得．由全等三角形的性质，得．设，则，，
在中，由勾股定理得，解得x=，即DF=；
（2）如图，连接，过点作交的延长线于点．
证明．得．证明(AAS)，得．则．则，则当点在上运动时，点始终在的角平分线上．故当，即时，的值最小为．
（1）解：①∵四边形是正方形，
∴，
由折叠的性质可得，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即；
②∵四边形是正方形，
∴，
点是BC中点，，
．
由折叠的性质可得．
∵，
．
设，则，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴．
．
的长为．
（2）解：如图，连接，过点作交的延长线于点．
．
．
，
．
．
又∵，
．
由（1）得，在中，，
．
．
．
．
．
．
在中，，
．
，
即当点在上运动时，点始终在的角平分线上．
当，即时，的值最小．
此时，．
．
在中，，即，
．
的最小值为．
25．【答案】（1）解：∵直线与直线交于点，∴，，
解得：，，
（2）解：①联立，解得：，
∴，
如图，∵，矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，到的距离为：，
∴，
同理：，到的距离为：，
∴，
∴，
∴是定值；
；②点在直线上．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；矩形的性质；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】（2）解：①联立，
解得：，
∴，
如图，∵，矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，到的距离为：，
∴，
同理：，到的距离为：，
∴，
∴，
∴是定值；
②由①得：，
∴，
由可得：，
由，
∴，
∴，
整理得：.
【分析】（1）将交点C(1，2)代入两个直线解析式，解得b=3，k=3；
（2）①联立解析式解得，x=1，y=2，即，如图，，
，，由轴，则点D，点F纵坐标相等DE=(3m-1)-(-m+3)=4m-4，3x-1=-m+3， 解得x=，所以
，DF=m-=则，，，则为定值 ；
②由①得：，可得，代入y=3m-1，y=3(4-3x)-1=-9x+11.
（1）解：∵直线与直线交于点，
∴，，
解得：，，
∴直线，直线；
（2）解：①联立，
解得：，
∴，
如图，∵，矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，到的距离为：，
∴，
同理：，到的距离为：，
∴，
∴，
∴是定值；
②由①得：，
∴，
由可得：，
由，
∴，
∴，
整理得：.
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