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10.3 实际问题与二元一次方程组（第3课时-销售、利润、几何、数字问题） 同步练 2025-2026学年下学期初中数学人教版（2024）七年级下册
一、单选题
1．端午节前夕，某食品加工厂准备将生产的粽子装入A、B两种食品盒中，A种食品盒每盒装8个粽子，B种食品盒每盒装10个粽子，若现将200个粽子分别装入A、B两种食品盒中（两种食品盒均要使用并且装满），则不同的分装方式有（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
2．“一杯山西药茶，中华百草精华”，山西药茶历史悠久、原料地道、功效显著，已逐渐发展为山西省靓丽的新名片．某茶叶经销商购进两批“路丁茶”和“槐米茶”进行销售，已知3千克“路丁茶”与2千克“槐米茶”共需要280元，2千克“路丁茶”与3千克“槐米茶”共需要270元，则1千克“路丁茶”的价格是（ ）
A．50元 B．60元 C．70元 D．80元
3．某学校为了打造“书香校园”，丰富师生的业余文化生活，计划采购，两种图书，已知采购2本种图书和3本种图书共需110元，采购1本种图书和5本种图书共需160元，则，两种图书的单价分别为（ ）
A．10元、30元 B．30元、10元 C．25元、20元 D．60元、20元
4．如图，老师利用两块大小一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按照图①方式放置，再交换两木块的位置，按照图②方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是（ ）
A． B． C． D．
5．如图是7块形状大小相同的长方形墙砖组成的电视墙．若该电视墙的长度为，则该电视墙的周长为（ ）
A． B． C． D．
6．在大正方形中，按图中的虚线裁剪出8块相同的大长方形纸片，4块相同的小长方形纸片和1个小正方形纸片，若大正方形的面积是49，小正方形（阴影部分）的面积是9，则每块大长方形的面积是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．幻方是古老的数字问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和相等．如图是一个未完成的幻方，则的值是（ ）
6 20
22
A．6 B．7 C．8 D．9
8．若两数之和是36，两数之差是12，则这两数之积是（ ）
A．266 B．288 C． D．
9．在大禹治水的时代，有一种神龟背负着一张神秘的图（如图1）浮出洛水，吉祥献瑞，后世称之为“洛书”，当后人将“洛书”上的数填在图2的表中时发现：每行、每列、每条对角线上的三个数字之和相等，像这样的数字方阵，称为“幻方”，如果图3也是一个“幻方”，则的值为（ ）
A．7 B．9 C．13 D．15
二、填空题
10．甲，乙两件服装的成本共500元，商店老板决定将甲服装按的利润率定价，乙服装按的利润率定价．在实际出售时，为吸引顾客，两件服装均按九折出售，这样商店共获得157元的利润．在这个情境中，甲，乙两件服装的成本分别是________元和________元．
11．某水果零售商店分两批次从批发市场共购进杨梅箱，已知第一、二次的进货价分别为每箱元、元，且第二次比第一次多付款元．若商店对这箱杨梅先按每箱元销售了x箱，剩下的按每箱元全部售完，则当x的值为______时，商店才正好不亏本．
12．如图，用块形状和大小均相同的小长方形拼成一个宽是的大长方形，则每个小长方形的面积是______．
13．如图是由7个形状、大小都相同的小长方形和阴影部分无缝隙拼合而成的一个大长方形，则图中阴影部分的面积为_______．
14．如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成一个宽是60厘米的大长方形，则每个小长方形的周长是_______．
15．如图，在长方形中，放入六个形状、大小相同的小长方形，所标尺寸分别为和，如图所示，则图中阴影部分的总面积为 ______ ．
16．已知某首歌曲的歌词的字数是一个两位数，十位数字是个位数字的两倍，且十位数字比个位数字大4，则这首歌的歌词的字数是______．
17．有一个三位数，将最左边的数字移到最右边，则它比原来的数小，又知原来的三位数的百位上的数的倍比十位上的数与个位上的数组成的两位数小，则原来的数是___________．
18．一个分数，如果分子不变，分母加2，那么可以化简为；如果分母不变，分子减1，那么把它化简后是．这个分数是________．
三、解答题
19．北京时间年月日，嫦娥六号返回器准确着陆，标志着我国探月工程嫦娥六号任务取得圆满成功．某超市为了满足广大航天爱好者的需求，计划购进，两种航天飞船模型进行销售，据了解，件种航天飞船模型和件种航天飞船模型的进价共计元；件种航天飞船模型和件种航天飞船模型的进价共计元．
(1)求，两种航天飞船模型每件的进价分别为多少元？
(2)若该超市计划用元购进以上两种航天飞船模型（两种航天飞船模型均有购买），请你求出所有购买方案．
20．如图，在长为，宽为的长方形的绿化带中划出三个形状、大小完全相同的小长方形花坛，其示意图如图所示．求小长方形花坛的长和宽．
21．根据表中的素材，完成下面的任务：
制作无盖长方体纸盒
素材1 裁剪长方形纸板 将某种规格的长方形纸板按图1、图2所示的两种方法裁剪，分别可裁得2块小长方形纸板和3块小正方形纸板．
素材2 制作无盖长方体纸盒 4块相同的小长方形纸板和1块小正方形纸板可做成图3所示的无盖长方体纸盒；3块相同的小长方形纸板和2块小正方形纸板可做成图4所示的无盖长方体纸盒．
问题解决
任务 制作图3、图4规格的纸盒若干个 若有21张长方形纸板，且恰好能够完成制作（纸板无剩余），则能做成图3、图4规格的纸盒各多少个？
22．一个两位数，十位上的数与个位上的数之和是8，个位数字与十位数字交换后所得新数比原数大．求这个两位数．
23．一个两位数，个位上的数字与十位上的数字的和为，若把个位上的数字与十位上的数字对调，则所得的数比原数的倍小，求原来的两位数．
24．算盘起源于中国，算盘是我国的优秀文化遗产.以排列成串的算珠作为计算工具，成串算珠称为档，中间横梁把上珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1，每串算珠从右至左依次代表十进位值制的个位、十位、百位、千位、万位数可以任意选定某档为个位，不拨出空档表示0．
小华在百位拨了一颗上珠和一颗下珠，对小明说：我拨的三位数中，个位数字与十位数字的和等于百位上的数，个位数字与十位数字的差是4，请求出这个三位数，并回答怎样在算盘上拨出十位数和个位数．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 C B A D C C C B C
1．C
【分析】设使用A食品盒x个，使用B食品盒y个，根据题意列出方程，求解即可．
【详解】设使用A食品盒x个，使用B食品盒y个，
根据题意得，8x+10y=200，
∵x、y都为正整数，
∴解得，，，，
∴一共有4种分装方式；
故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程的实际问题，解题的关键是明确题意列出方程．
2．B
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设1千克“路丁茶”和1千克“槐米茶”的价格分别为x元，y元，根据3千克“路丁茶”与2千克“槐米茶”共需要280元，2千克“路丁茶”与3千克“槐米茶”共需要270元，列出方程组求解即可．
【详解】解：设1千克“路丁茶”和1千克“槐米茶”的价格分别为x元，y元，
由题意得，，
解得，
∴1千克“路丁茶”的价格是60元，
故选：B．
3．A
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设，两种图书的单价分别为元，元，根据题意列出方程组，解方程组即可求解．
【详解】解：设，两种图书的单价分别为元，元，根据题意得，
解得：
即，两种图书的单价分别为10元、30元，
故选：A．
4．D
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设桌子的高度是，长方体木块截面的长比宽多 ，观察图形，根据各边之间的关系，即可得出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设桌子的高度是，长方体木块截面的长比宽多，
依题意，得，
解得：，
故桌子的高度是．
故选：D．
5．C
【分析】设一块小长方形的长为，宽为，根据题意，得，解方程组后解答即可．
本题考查了方程组的应用，熟练掌握解方程组是解题的关键．
【详解】解：设一块小长方形的长为，宽为，
根据题意，得，
解方程组，得．
故该电视墙的周长为．
故选：C．
6．C
【分析】本题考查了二元一次方程的应用，解决本题的关键是理解题意，并能从题意中找出等式，设长方形纸片的长为，宽为，由小正方形（阴影部分）的面积是9，可得，即，由大正方形的面积是49，4块相同的小长方形纸片的长为，宽为，可得，即，再求解即可．
【详解】解：设长方形纸片的长为，宽为，
小正方形（阴影部分）的面积是9，
，即，
大正方形的面积是49，4块相同的小长方形纸片的长为，宽为，
，即，
，解得，
大长方形的面积是，
故选：C
7．C
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．理解题意，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据定义补全九宫格，列二元一次方程组求解即可．
【详解】解：∵每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，都是，
补全九宫格如下：
x 6 20
22 y
4 18
∴，
解得，
∴．
故选：C．
8．B
【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用．设这两个数为x和y，由题意得等量关系：两数之和是36，两数之差是12，根据等量关系列出方程组即可．
【详解】解：设这两个数为x和y，
依题意得：，
解得，
∴，
故选：B．
9．C
【分析】根据“幻方”的定义，可得出关于，的二元一次方程组，解之可得出，的值，再将其代入中，即可求出结论．
【详解】解：根据题意得：，
解得：，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
10． 300 200
【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用；设甲服装的成本是x元，乙服装的成本是y元，根据题意列出关于x，y二元一次方程组，解方程组即可得出答案．
【详解】解：设甲服装的成本是x元，乙服装的成本是y元，
根据题意：
解得：
则甲、乙两件服装的成本分别是300元和200元．
故答案为：300，200．
11．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意得出等量关系并列出方程组是解题的关键．
根据题意列方程组求出第一次和第二次分别购进的数量，再根据利润=销售总收入-进货总成本，即可求出恰好不亏本时的值．
【详解】解：设第一次购进a箱，第二次购进箱，根据题意得：
，
解得：，
∴第一次购进箱，第二次购进箱，
∵箱杨梅先按每箱元销售了x箱，剩下的按每箱元全部售完，且商店正好不亏本，
∴，
解得：．
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了二元一次方程组的运用，理解数量关系，正确列出二元一次方程组求解是关键．
设每个小长方形的长为，宽为，由此列方程组得到长和宽，由面积的公式计算即可．
【详解】解：设每个小长方形的长为，宽为，
∴，
解得，，
∴每个小长方形的面积是，
故答案为： ．
13．
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设小长方形的长为x，宽为y，根据题意可知长加上宽的两倍等于15，长为宽的三倍，据此列出方程组求解即可．
【详解】解；设小长方形的长为x，宽为y，
由题意得，，
解得，
∴阴影部分的正方形边长为，
∴阴影部分的面积为：．
故答案为．
14．120厘米
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
设小长方形纸片的长为厘米，宽为厘米，由大长方形的宽为60厘米，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设小长方形纸片的长为厘米，宽为厘米，
根据题意得：，
解得：，
则每个小长方形的周长（厘米），
故答案为：120厘米．
15．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设小长方形的长为，小长方形的宽为，根据图形列出方程组即可求解，根据图形正确列出方程组是解题的关键．
【详解】解：设小长方形的长为，小长方形的宽为，
由题意得，，
解得，
∴阴影部分的总面积为，
故答案为：．
16．84
【分析】设这首歌的歌词的字数的十位数字为x，个位数字为y，由题意：十位数字是个位数字的两倍，且十位数字比个位数字大4，列出二元一次方程组，解方程组即可．
【详解】解：设这首歌的歌词的字数的十位数字为x，个位数字为y，
由题意得：，
解得：，
即这首歌的歌词的字数为84，
故答案为：84．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
17．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解答本题的关键．
设百位数字为，由十位数字和个位数字组成的两位数为，根据“将最左边的数字移到最右边，则它比原来的数小；又知原来的三位数的百位上的数的倍比十位上的数与个位上的数组成的两位数小”，可列出关于、的二元一次方程，解之即可求出结论．
【详解】解：设百位数字为，由十位数字和个位数字组成的两位数为，
根据题意得：，
解得：，
原来的数为，
故答案为：．
18．
【分析】本题考查了二元一次方程的应用，根据题意正确列方程组是解题关键．设这个分数为，
根据题意列方程组，利用加减消元法求解即可．
【详解】解：设这个分数为，
由题意得：，
整理得：，
解得：，
即这个分数为，
故答案为：
19．(1)，两种航天模型飞机的进价分别为元，元．
(2)一共有种方案：种模型买个，种模型买个或种模型买个，种模型买个．
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用、二元一次方程的正整数解的应用，找准等量关系列出二元一次方程或方程组是解题关键．
（1）设，两种航天模型飞机的进价分别为，，根据题意可得、的二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设购买，两种航天模型飞机分别为个，个，根据总价=单价×数量，得到关于、的二元一次方程，结合、是正整数即可得所有购买方案．
【详解】（1）解：设，两种航天模型飞机的进价分别为，，
由题意可知：，
解得：
答：，两种航天模型飞机的进价分别为元，元．
（2）解：设购买，两种航天模型飞机分别为个，个，
由题意可知：，则，
当时，；当时，，
所以一共有2种方案：
种模型买个，种模型买个或种模型买个，种模型买个．
20．小长方形花坛的长为，宽为
【分析】设小长方形花坛的长为，宽为，则长方形的绿化带的长是，宽为．构造方程组解答即可．
本题考查了方程组的应用，熟练掌握解方程组是解题的关键．
【详解】解：设小长方形花坛的长为，宽为，则长方形的绿化带的长是，宽为．
根据题意，得
解得
答：小长方形花坛的长为，宽为．
21．能做成图3规格的纸盒9个，图4规格的纸盒0个
【分析】设需要图1长方形纸板张，图2长方形纸板张，则有小长方形纸板张，小正方形纸板张；再设可制作图3规格的纸盒个，图4规格的纸盒个，则需小长方形纸板张，需小正方形纸板张，根据题意列式再分析代入数值即可得到本题答案．
本题考查二元一次方程组的应用，关键是根据题意找到等量关系式．
【详解】解：设需要图1长方形纸板张，图2长方形纸板张，则有小长方形纸板张，小正方形纸板张；
再设可制作图3规格的纸盒个，图4规格的纸盒个，则需小长方形纸板张，需小正方形纸板张，
由题意得，
解得，
，
，
为整数，
，
由，得，
，
、都是正整数，
能做成图3规格的纸盒9个，图4规格的纸盒0个．
22．这个两位数为
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y.可列方程组求解．
【详解】解：设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y．
依题意，得：
解得：
答：这个两位数为．
23．原来的两位数是．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意，找到合适的等量关系，列出方程组，是解答本题的关键．
根据题意设个位数字为，十位数字为，利用已知条件列出二元一次方程组，由此得到答案．
【详解】解：根据题意设：
个位数字为，十位数字为，
，
解得：，
原来的两位数为：，
答：原来的两位数是．
24．这个三位数是615，小华应当在十位拨一颗下珠，在个位拨一颗上珠
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，由题意得出百位拨的数字是6，再根据个位数字与十位数字的和等于百位上的数，个位数字与十位数字的差是4，设出未知数列方程组并解出即可解决．找出等量关系列方程组是解题关键．
【详解】解：由题意得：小华在百位拨的数字是6，
设个位数字是，十位数字是，
由题意得：，
解这个方程组，得：，
答：这个三位数是615，
小华应当在十位拨一颗下珠，在个位拨一颗上珠．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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