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10.4 三元一次方程组的解法 同步练 2025-2026学年
下学期初中数学人教版（2024）七年级下册
一、单选题
1．方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
2．下列方程组中，不是三元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
3．在一个不透明的袋子中装有若干个黑球、白球、红球，它们除颜色外其他都相同．已知黑球和白球共有个，黑球和红球共个，白球和红球共个．若随机摸球摸到黑球的概率（　　）
A． B． C． D．
4．某校开学典礼需要购买一、二、三等奖奖品若干，若购买一等奖奖品件，二等奖奖品件，三等奖奖品件，共需元；若购买一等奖奖品件，二等奖奖品件，三等奖奖品件，共需元．则购买一件二等奖奖品需要的钱数是（ ）
A．20元 B．30元 C．40元 D．50元
5．现有1角、5角、1元硬币各10枚，从中取出15枚，共7元．1角、5角、1元硬币的取法共有（ ）
A．0种 B．1种 C．2种 D．3种
二、填空题
6．方程组的解为________．
7．若三元一次方程组的解使，则的值是_______．
8．“六一儿童节”当天，商场推出铅笔，练习本、圆珠笔三种特价学习用品，若购铅笔2支，练习本1本、圆珠笔3支共需6元；若购铅笔3支、练习本4本、圆珠笔2支共需9元．现购铅笔1支，练习本1本，圆珠笔1支，共需___________元．
9．下列表格是某超市对A、B、C三种品牌商品连续五天的销售记录，第三天的总收入登记时不慎被油墨玷污．已知A、B、C 三种品牌商品这五天的销售单价保持不变，请根据表中数据，补全第三天的总收入为______________元．
品牌 销量(个) 时间 A B C 总收入(元)
第一天 1 5 3 1000
第二天 7 3 0 880
第三天 4 4 2
第四天 3 6 0 660
第五天 4 5 1 900
10．从A地到B地骑车要走上坡、下坡、平路三个路段，全程．某人上坡每小时行，下坡每小时行，平路每小时行．如图，他从地到地用了，从地到地用了，则从A地到B地上坡、下坡、平路的路程分别是_______．
11．甲、乙、丙三人各有糖若干块，甲从乙处取来一些糖，使原有糖的块数增加一倍，乙从丙处取来一些糖，使留下的块数增加一倍，丙再从甲处取来一些糖，也使留下的块数增加一倍．这时三人的糖块一样多．开始时，丙有32块糖，则乙原来有____块糖．
12．某班级组织活动购买小奖品，买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，则购买支铅笔、块橡皮、本日记本共需__________元
三、解答题
13．（1）解方程组；
（2）
（3）解三元一次方程组．
14．某步行街摆放有若干盆甲、乙、丙三种造型的盆景，甲种盆景由朵红花、朵黄花和朵紫花搭配而成，乙种盆景由朵红花和朵黄花搭配而成，丙种盆景由朵红花、朵黄花和朵紫花搭配而成．这些盆景一共用了朵红花、朵紫花，请问黄花一共用了多少朵？
15．甲、乙两人在某环形道路上跑步，假设他们在跑步过程中各自保持一定的速度不变．如果他们同时从同一地点反向而行，那么就会形成每隔10分钟相遇一次的规律；如果他们同时从同一地点同向而行，那么5分钟后甲在乙的前方200米，并且他们的相遇规律变成了每隔100分钟相遇一次．求甲的速度和环形道路的长度．
16．一方有难八方支援，某市政府筹集了抗洪必需物资打算运往灾区．现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载）
车型 甲 乙 丙
汽车运载量/（t/辆） 6 9 10
汽车运费/（元/辆） 500 600 600
(1)若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费10000元，分别需要甲、乙两种车型各几辆？
(2)为了节约运费，该市政府可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送，已知它们的总辆数为16，要求三种车型同时参与运货，请用列方程组的方法求出满足条件的所有运送方案；
(3)在（2）的基础上，哪种方案的运费最省？最省的运费是多少元？
参考答案
题号 1 2 3 4 5
答案 D D A B B
1．D
【分析】根据加减消元法求解即可．
【详解】解：，
由得：，
解得：．
由得：，
解得：．
由得：，
解得：．
故原方程组的解为．
故选D．
【点睛】本题考查解三元一次方程组，掌握解三元一次方程组的方法和步骤是解题关键．
2．D
【分析】根据三元一次方程组的定义，含有三个未知数，每个方程的未知项的次数都是1，并且共有三个方程，这样的方程组叫做三元一次方程组，找不不符合定义的选项即可．
【详解】三元一次方程组要同时满足三个条件：①含有三个未知数；②所含未知数的项的次数都是1；③是整式方程.由定义可得：
A、B、C选项都符合定义，而D选项中的xy，yz项的次数是2，不符合三元一次方程组的定义.
故选：D.
【点睛】考查三元一次方程组的定义，解题关键利用三元一次方程组的定义，即要同时满足三个条件：①含有三个未知数；②所含未知数的项的次数都是1；③是整式方程.
3．A
【分析】设黑球有个，白球有个，红球有个，根据题意列方程组解方程组可知黑球有个，白球有个，红球有个，最后利用概率公式即可解答．本题考查了三元一次方程组与实际问题，概率的公式，审清题意找出数量关系和等量关系是解题的关键．
【详解】解：设黑球有个，白球有个，红球有个，
由题意得：，
解得：，
即黑球有个，白球有个，红球有个，
∴随机摸球摸到黑球的概率为，
故选：．
4．B
【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，设三等奖奖品的单价是x元，二等奖奖品的单价是y元，一等奖奖品的单价是z元，根据“若购买一等奖奖品件，二等奖奖品件，三等奖奖品件，共需元；若购买一等奖奖品件，二等奖奖品件，三等奖奖品件，共需元．”可得出关于的三元一次方程组，得，，即可求出购买一件二等奖所需的费用．
【详解】解：设一等奖奖品的单价是元，二等奖奖品的单价是元，三等奖奖品的单价是元，根据题意得，
得，
解得：
故选：B．
5．B
【分析】本题主要考查了三元一次方程组的实际应用，设1角、5角、1元硬币各取了x枚，y枚，z枚，根据题意可得方程组，求出方程组的非负整数解即可得到答案．
【详解】解：设1角、5角、1元硬币各取了x枚，y枚，z枚，
由题意得，，
∴，
∴，
∵x、y、z都是非负整数，
∴是非负整数，
∴x一定是5的倍数，
当时，，则；
当时，，则，不符合题意；
综上所述，只有一种取法，1角、5角、1元硬币各取了5枚，7枚，3枚，
故选：B．
6．
【分析】根据三元一次方程组的解法求解即可．
【详解】解：
由①得：④，
由③得：⑤，
把④和⑤代入到②得：，解得，
把代入④得：，
把代入⑤得：，
∴方程组的解为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了解三元一次方程组，熟知解三元一次方程组的方法是解题的关键．
7．
【分析】本题考查了解三元一次方程组，学会采用消元法和代入法解三元一次方程组是解题的关键．先解三元一次方程组，求出，，的值，再代入方程 求解．
【详解】解：，
由得，
由得 ，
解得，
将代入得，
将代入得，
将，，代入得，
解得，
故答案为：．
8．
【分析】本题考查了三元一次方程组的应用；设一支铅笔、一本练习本和一支圆珠笔的单价分别为、和元，根据购铅笔支，练习本本，圆珠笔支共需元；购铅笔支，练习本本，圆珠笔支共需元建立三元一次方程组，然后将两个方程联立，即可求得的值．
【详解】解：设一支铅笔、一本练习本和一支圆珠笔的单价分别为、和元，
根据题意得：，
②①得：③，
购铅笔支，练习本本，圆珠笔支，共需元，
故答案为：．
9．
【分析】本题主要考查了三元一次方程组的实际应用，设A、B、C的销售单价分别为x元，y元，z元，根据表格中的数据列出方程组求出x、y、z的值即可得到答案．
【详解】解：设A、B、C的销售单价分别为x元，y元，z元，
由题意得，，
解得，
∴，
∴第三天的总收入为1040元，
故答案为：1040．
10．、、
【分析】本题考查三元一次方程组的应用，设地到地，上坡、下坡、平路分别是千米，千米，千米，根据“全程，地到地用了，从地到地用了”分别列出方程，组成方程组，再求解即可．解题的关键是找出题目中的等量关系，列出方程组，用代入消元法或加减消元法求出方程组的解．
【详解】解：设地到地，上坡、下坡、平路分别是千米，千米，千米，根据题意得：
解得：，
答：从A地到B地上坡、下坡、平路的路程分别是、、．
故答案为：、、．
11．40
【分析】本题考查了三元一次方程组的应用．根据题意列出方程组，解答即可．
【详解】解：设甲、乙二人原来分别有糖块、块糖，乙从丙处取来块糖．
则根据题意知，甲、乙、丙分别有糖块、、．
乙处糖的转换过程得知，，
由三处糖块一样多可得，，
把①代入③，得④；
由得，．
故乙原来有40块糖块．
故答案为：40．
12．30
【分析】本题主要考查了三元一次方程组的实际应用，设每支铅笔x元，每块橡皮y元，每本日记本z元，根据题意可得方程组，利用加减消元法可得，据此可得答案．
【详解】解：设每支铅笔x元，每块橡皮y元，每本日记本z元，
由题意得，
得：，
∴，
∴购买支铅笔、块橡皮、本日记本共需30元，
故答案为：30．
13．（1）；（2）；（3）
【分析】本题主要考查了解方程组，解题的关键是熟练掌握解方程组的方法，准确计算．
（1）将原方程组进行变形，然后用加减消元法解二元一次方程组即可；
（2）将原方程组进行变形，然后用加减消元法解二元一次方程组即可；
（3）得：，把代入得：，即，把代入③得：，即，解关于a、c的方程组即可．
【详解】解：（1）
原方程组可变为：，
得：，
解得：
把代入①得：，
解得：，
∴方程组的解为：；
（2），
原方程组可变为：，
得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
∴原方程组的解为：；
（3），
得：，
把代入得：，即，
把代入③得：，即，
得：，解得：，
把代入④得：，解得：，
∴方程组的解为：．
14．朵．
【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，设甲、乙、丙三种造型的盆景分别有盆、盆、盆，根据题意可得方程组，由①得，由②得，得，据此即可求解，正确解方程组是解题的关键．
【详解】解：设甲、乙、丙三种造型的盆景分别有盆、盆、盆，
根据题意得，，
由①得，，
由②得，，
得，，
∴黄花的数量为朵，
答：黄花一共用了朵．
15．甲的速度为220米分，环形道路的长度为4000米．
【分析】本题主要考查了三元一次方程组的实际应用，设甲的速度为米分，乙的速度为米分，环形道路的长度为米，利用路程速度时间，结合给定条件，即可得出关于，，的三元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设甲的速度为米分，乙的速度为米分，环形道路的长度为米，
依题意得：，
解得：．
答：甲的速度为220米分，环形道路的长度为4000米．
16．(1)需要甲种车型8辆、乙种车型10辆
(2)共有三种方案：①甲种车型3辆，乙种车型10辆，丙种车型3辆；②甲种车型4辆，乙种车型6辆，丙种车型6辆；③甲种车型5辆，乙种车型2辆，丙种车型9辆
(3)甲种车型5辆、乙种车型2辆、丙种车型9辆时运费最省，最省的运费是9100元
【分析】本题考查二元一次方程组和三元一次方程组的实际应用．找准等量关系，正确的列出方程组是解题的关键．
（1）找准等量关系：甲运物资乙运物资，甲运费乙运费，列二元一次方程组求解即可．
（2）找准等量关系：甲运物资乙运物资丙运物资，甲车数量乙车数量丙车数量辆，列三元一次方程组然后消元变成二元一次方程组，注意结合实际情况，甲乙丙车辆数均为非负整数，列出可行的方案．
（3）分别计算各个方案需要的运费，对比得出最省运费．
【详解】（1）解：设需要甲种车型a辆，需要乙种车型b辆．
根据题意，得
解得
故需要甲种车型8辆、乙种车型10辆．
（2）解：设三种车型同时参与时，需要甲种车型x辆，乙种车型y辆，丙种车型z辆．
根据题意，得
，得，即．
均是非负整数，且三种车型共16辆，要求同时参与运货，
，且，
的取值可以为3，4，5，
解得或或
∴共有三种方案：①甲种车型3辆，乙种车型10辆，丙种车型3辆；②甲种车型4辆，乙种车型6辆，丙种车型6辆；③甲种车型5辆，乙种车型2辆，丙种车型9辆．
（3）解：三种方案的运费分别是①（元）；
②（元）；
③（元）．
，
∴第三种方案即甲种车型5辆、乙种车型2辆、丙种车型9辆时运费最省，最省的运费是9100元．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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