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二元一次方程组 章末测试题 2025-2026学年
下学期初中数学人教版（2024）七年级下册
一、单选题
1．解为的方程组是（　　）
A． B．
C． D．
2．小明去商店买文具，已知铅笔每支元，笔记本每本元，小明买了支铅笔和本笔记本，一共花了元，且笔记本的数量比铅笔数量的倍少本，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
3．下列方程是二元一次方程的是（　　）
A．x+y+z＝1 B．x2＝4 C．x﹣3＝5 D．2x+y＝8
4．如图，10块相同的长方形墙砖拼成一个大长方形，设长方形墙砖的长和宽分别为和，则依题意列方程组正确的是（ ）

A． B．
C． D．
5．已知是方程组的解，则的关系是（ ）
A．B． C． D．
6．已知那么的值是（ ）
A． B． C． D．
7．关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．某车间有100名工人生产木材包装箱，已知1名工人每天可以生产200块侧面或150块底面，4块侧面和2块底面正好可以钉成一个包装箱，应如何分配工人生产侧面或底面，才能使生产成的侧面和底面正好配套？若设安排x名工人生产侧面，y名工人生产底面，则可列方程组（　　）
A． B．
C． D．
9．如图1，小明家餐厅地面是用块大小一样的长方形瓷砖铺设的，细心的小明发现自己家的卫生间也是用相同的块瓷砖铺设的，如图2所示，此时恰好中间留了一个正方形的排水口，已知排水口的边长为，则一块瓷砖的长和宽分别是（ ）
A．，B．， C．， D．，
10．若，则的值为( )
A．-3 B．-2 C．-1 D．1
11．响应国家号召，某区推进新型农村建设，强村富民．村民复兴家准备将一块良田分成三个区域来种植三种畅销型农作物．爸爸计划好三个区域的占地面积后，复兴主动承担起实地划分的任务．划分完毕后，爸爸发现粗心的复兴将A区的面积划分给了B区，而原B区的面积错划分给了A区，C区面积未出错，造成现B区的面积占两区面积和的比例达到了．为了协调三个区域的面积占比，爸爸只好将C区面积的分成两部分划分给现在的区和区．爸爸划分完后，A、B、C三个区域的面积比变为，那么爸爸从区划分给区的面积与区划分前的总面积的比值为（ ）．
A． B． C． D．
12．已知关于的方程组，给出下列说法：
①当时，方程组的解也是的解；
②若，则；
③无论取何值：的值不可能互为相反数；
④都为自然数的解有2对．
以上说法中正确的是（ ）
A．①② B．①②③ C．③④ D．①②④
二、填空题
13．已知二元一次方程，用含x的式子表示y，则________．
14．已知 中，x的系数已经模糊不清（用“□”表示），但已知是这个方程的一个解，则 表示的数为________．
15．若满足方程组的x，y互为相反数，则________．
16．“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”如：从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数x，y的系数与相应的常数项，即可表示方程，则表示的方程组是________．
17．定义运算“*”，规定,其中为常数，且，则=___．
18．若关于x，y的方程组的解满足，则k的值为________．
19．一个长方形的周长是42 cm，宽比长少3 cm，如果设长为x cm，宽为y cm，根据题意，可列方程组为______________．
20．明明和丽丽去书店买书，若已知明明买了A，B两本书共花费100.5元，丽丽买了A，C两本书共花费88.5元，则B书比C书贵________元；若又知B，C两本书的总价钱恰好等于A书的价钱，则A，B，C三本书的总价钱为________．
三、解答题
21．解下列方程组：
(1)；
(2)
22．已知关于x，y的方程组的解满足，求代数式的值．
23．某同学在解关于x，y的方程组时，本应解出由于看错了系数c，而得到求的值．
24．制作一张方桌要用1个桌面和4条桌腿，若木材可制作20个桌面或400条桌腿，现有木材，要使生产出来的桌面和桌腿恰好都配成方桌，求分别应安排多少木材用来制作桌面和桌腿．
25．在CBA季后赛的一场焦点大战中，一位球员在比赛中的技术统计如下表所示：
技术 上场时间（分钟） 出手投篮（次） 投中（次） 罚球得分 篮板（个） 助攻（次） 个人总得分
数据 40 38 13 9 11 8 40
（注：表中出手投篮和投中次数均不包含罚球）
根据以上信息，求本次比赛中该运动员投中2分和投中3分的个数．
26．阅读材料：
善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程②变形：，即．③
把方程①代入③，得，．
把代入①，得，
方程组的解为
请你根据以上方法，解决下列问题：
(1)模仿小军的“整体代换”法解方程组
(2)已知x，y满足方程组求xy的值．
27．“脐橙结硕果，香飘引客来”，赣南脐橙以其“外表光洁美观，肉质脆嫩，风味浓甜芳香”的特点饮誉中外．现欲将一批脐橙运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满脐橙一次可运走10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满脐橙一次可运走11吨．现有脐橙31吨，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满脐橙．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)1辆A型车和1辆B型车都载满脐橙一次可分别运送多少吨？
(2)请你帮该物流公司设计租车方案；
(3)若1辆A型车需租金100元/次，1辆B型车需租金120元/次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少租车费．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A D B C C D C D A
题号 11 12
答案 B A
1．A
【分析】本题考查二元一次方程组的解，将代入各个选项中的二元一次方程组验证等式是否成立即可得到答案，熟记二元一次方程组解的定义是解决问题的关键．
【详解】解：A、将代入，两个方程都成立，符合题意；
B、将代入，其中，不符合题意；
C、将代入，其中，不符合题意；
D、将代入，其中，不符合题意；
故选：A．
2．A
【分析】本题主要考查二元一次方程的运用，重点在于理解实际问题中的数量关系，将其转化为数学语言即方程组．
根据买铅笔和笔记本的总花费以及笔记本数量与铅笔数量的关系列出方程组．
【详解】解：买支铅笔花费元，买本笔记本花费元，一共花10元，
；
又∵笔记本数量比铅笔数量的倍少本，
∴，
∴方程组为，
故选：A．
3．D
【分析】直接利用方程的定义，结合未知数以及次数确定方法得出答案．
【详解】解：A．x+y+z＝1是三元一次方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
B．x2＝4是一元二次方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
C．x﹣3＝5是一元一次方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
D．2x+y＝8是二元一次方程，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程的定义，正确把握相关次数与系数确定方法是解题关键．
4．B
【分析】根据图示可得：矩形的宽可以表示为，宽又是75厘米，故，矩形的长可以表示为，或，故，整理得，联立两个方程即可．此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是看懂图示，分别表示出长方形的长和宽．
【详解】解：根据图示可得，
故选：B．
5．C
【分析】本题考查了方程组的解，加减消元法解方程组，熟练掌握知识点是解题的关键．
先将代入得到，再加减消去p即可．
【详解】解：由题意得，
由得：，
∴，
故选：C．
6．C
【分析】此题考查了解二元一次方程组，方程组两方程相减即可求解，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．
【详解】解：
得：，
∴，
故选：．
7．D
【分析】本题考查同解方程组．将两个方程组中不含参数的两个一次方程组成新的方程组，求出未知数的值，把两个含参方程组成方程组，将未知数的值代入，再解方程组求出参数的值，进而求出代数式的值即可．
【详解】解：∵方程组与有相同的解，
∴与的解相同，
由，解得，
∴，解得，
∴；
故选D．
8．C
【分析】设安排x名工人生产侧面，y名工人生产底面，才能使做成的侧面和底面正好配套，根据2个底面和4个侧面（2大2小）可以做成一个包装箱，列出方程组，即可解答．
【详解】解：设安排x名工人生产侧面，y名工人生产底面，才能使做成的侧面和底面正好配套，可得：
，
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组．
9．D
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用；观察图形，三个长方形的长的和正好等于其余的长方形的宽的和，两个长方形的宽的和比长方形的长多中间小正方形的边长，解方程组，即可求解．
【详解】解：设小长方形的长为，宽为，由图1可知，, 由图2可知，，
联立得
解得：，
故选：D．
10．A
【分析】根据已知等式，利用非负数的性质列出方程组，求出方程组的解得到与的值，即可确定出的值．
【详解】解：∵，
∴，
①-②得：，
把代入①得： ，
则，
故选：A
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
11．B
【分析】本题考查了整式加减的应用，三元依次方程组的应用，找准等量关系，正确列出代数式是解题关键．设三个区域原来的面积分别为，先求出复兴划分后，区的面积与区的面积，从而可得，再设区划分给区的面积为，则区划分给区的面积为，根据爸爸划分完后，、、三个区域的面积比变为可得，据此化简即可得．
【详解】解：设三个区域原来的面积分别为，
由题意得：复兴划分后，区的面积为，区的面积为，
∵复兴划分后，造成现区的面积占两区面积和的比例达到了，
，即，
∴复兴划分后，区的面积为，区的面积为，
设爸爸将区划分给区的面积为，则区划分给区的面积为，
∵爸爸划分完后，、、三个区域的面积比变为，
，
①，②，
由①得：，
将代入②得：，
，
则爸爸从区划分给区的面积与区划分前的总面积的比值为，
故选：B．
12．A
【分析】本题考查了消元法解二元一次方程组，二元一次方程解的定义，二元一次方程的自然数解等知识，理解消元法解二元一次方程组的根据是等式的性质，掌握以上知识是解题关键．
将代入原方程组得，解得，经检验得是的解，故①正确；方程组两方程相加得，根据，解得，故②正确；设，代入解得，故③错误解方程，解得：，当 时，，，当 时，，，当 时，，，因此存在三对自然数解，④错误；
【详解】解：将代入原方程组得，解得：，将其代入，解得：，
∴当时，方程组的解也是的解，①正确；
方程组，得：，当，解得：；故②正确；
设，代入解得，此时，，互为相反数，故③错误；
解方程，解得：，
当 时，，，
当 时，，，
当 时，，，
因此存在三对自然数解，④错误；
综上所述：①②正确，
故选：A；
13．
【解析】略
14．55
【解析】略
15．11
【解析】略
16．
【解析】略
17．10
【详解】解：将两组数据代入代数式可得：，
解得：，
则x*y=+2y，则2*3=4+6=10．
考点：二元一次方程组的应用
18．2024
【解析】略
19．
【解析】略
20． 12 126
【解析】略
21．(1)；
(2)．
【分析】（1）用代入消元法解方程即可
（2）先利用加减消元消去z，再利用加减消元算出x、y的值，最后带入即可求得z的值．
【详解】（1）解：，
①代入②得，
解得，
把代入①得，
解得，
∴方程组的解为；
（2）解：，
③①得：④，
②④得：，
将代入②得，
将，代入①中得：，
∴此方程的解为．
【点睛】本题考查二元一次方程组和三元一次方程组的解法，掌握消元法是解题关键．
22．81
【详解】
①×2-②×3，得．
把代入②，得．
代入，得，
解得，
则．
23．11
【详解】把和分别代入，
得，解得
将，代入，
得，解得，
则．
24．应安排木材生产桌面，安排木材生产桌腿．
【详解】设用木材制作桌面，用木材制作桌腿，
根据题意，得，解得
答：应安排木材用来生产桌面，安排木材用来生产桌腿．
25．本次比赛中该运动员投中2分球8个，3分球5个．
【详解】设本次比赛中该运动员投中2分球x个，3分球y个，
由题意，得解得
答：本次比赛中该运动员投中2分球8个，3分球5个．
26．(1)
(2)
【详解】（1）
由②，得．③
把①代入③，得，
解得．
把代入①，得，
解得，
则方程组的解为
（2）
由①，得．③
把②代入③，得，
解得．
27．(1)1辆A型车一次可运送3吨，1辆B型车一次可运送4吨．
(2)共有3种租车方案，见解析
(3)最省钱的租车方案是方案一，即租A型车1辆，B型车7辆，最少租车费为940元．
【详解】（1）设1辆A型车载满脐橙一次可运送x吨，1辆B型车载满脐橙一次可运送y吨，
根据题意，得，解得
答：1辆A型车载满脐橙一次可运送3吨，1辆B型车载满脐橙一次可运送4吨．
（2）根据题意，得．
a，b均为正整数，
或或
一共有3种租车方案
方案一：租A型车1辆，B型车7辆；
方案二：租A型车5辆，B型车4辆；
方案三：租A型车9辆，B型车1辆．
（3）方案一所需租金为（元）；
方案二所需租金为（元）；
方案三所需租金为（元）．
，
∴最省钱的租车方案是方案一，即租A型车1辆，B型车7辆，最少租车费为940元．
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