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小升初探索规律题 （预测练） -2025-2026学年人教版数学六年级下册
一、选择题
1．将9个数从左到右排成一行，从第3个数开始，每个数恰好等于它前两个数之和，如果第8个数和第9个数分别是76和123，那么第一个数是（ ）。
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图的点阵中，第①个图形3个点，第②个图形7个点，第⑤个图形有（ ）个点。
A．27 B．30 C．31 D．33
3．如图，第1个图形是一个水平摆放的小正方体木块，第2个图形和第3个图形是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律继续叠放下去，第7个图中，从正面看，看不到的木块应有（ ）。
A．91块 B．112块 C．120块 D．140块
4．“？”处的图形是哪一个？（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
5．根据1、2、3、4、6、7、8、9、11、12、13、14、16、17…的规律，51是第___________个数。
6．已知一列数：、、、、、、、、、、（不化简），那么是第______个分数。
7．有一串数、、、、、、、、、、、、、、、、…，这串数从左开始数，第__________个数是。
8．有一列由两个数组成的数组：（1，1），（2，1），（2，2），（3，1），（3，2），（3，3），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（5，1）…
(1)第70组的两个数之和是( )。
(2)在前55组中，“5”这个数出现了( )次。
9．①1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝5×9 ②6＋7＋8＋9＋10＝8×5
③472＋473＋474＋475＋476＋477＋478＝475×7
根据以上三个规律，请你回答下面问题：
101＋102＋103＋104＋105＋106＋107＋108＋109＝105×_____。
你会写出有同样规律的加法算式吗？请你写出一个。_____
10．先阅读，再答题。
因为1－，所以；
因为，所以；
因为，所以。
(1)根据以上材料，请写出：＝( )。
(2)＝( )。
11．例如：a1表示12的个位数字，即：；
a2表示22的个位数字，即：；
a3表示32的个位数字，即a3＝9；
a4表示42的个位数字，即：；
则( )。
12．今年（2025年）的2月3日是星期日，那么今年的3月3日是星期______。
13．今天是星期日，从今天算起第天是星期___________。
14．今年教师节是星期二，再过60天是星期( )，明年元旦是星期( )。
15．节日的学校内挂起一盏盏小电灯，小龙看出每相邻两盏白灯之间有红、黄、绿各一盏彩灯，且第一盏灯是白色的。小龙想，第75盏一定是( )色灯。
16．我国古代采用“干支”纪年法，下表是十天干，十二地支，十二生肖。
十天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸
十二地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥
十二生肖 鼠 牛 虎 兔 龙 蛇 马 羊 猴 鸡 狗 猪
该法是将十天干与十二地支顺次搭配纪年，如1984年是甲子年（鼠年），1985年是乙丑年（牛年）……，1993年为癸酉年（鸡年），1994年为甲戌年（狗年），1995年为乙亥年（猪年），1996年为丙子年（又是鼠年），1997年是丁丑年（牛年），2005年是乙酉年（鸡年）。
(1)今年（2024）用“干支”纪年法表示是_______年。
(2)今年是龙年，上一个龙年是公元_______年，其干支年号是_______。
(3)新中国成立于1949年，这一年出生的孩子属_______。（填生肖）
17．如图，按照这种方式摆下去，第10个图形需要_____个，第个图形需要_____个。
18．按照下面图形的变化规律画下去，第20个图形一共有__________个直角三角形。
19．用五根小棒摆一个等腰梯形，按规律依次摆下去。摆第6个需要________根小棒，摆第n个需要________根小棒。
三、解答题
20．如果一个四位自然数，十位数字是千位数字的2倍与百位数字的差，个位数字是千位数字的2倍与百位数字的和，则我们称这个四位数“依赖数”。例如，自然数2135。其中，，所以2135是“依赖数”。
(1)最小的四位依赖数是___________。
(2)若四位依赖数的后三位表示的数减去百位数字的3倍得到的结果除以7余3，这样的数叫做“特色数”，求所有特色数。
21．观察下面的算式：
32－1＝4×2＝8
42－1＝5×3＝15
72－1＝8×6＝48
92－1＝10×8＝80
（1）根据你发现的规律，再写一道这样的算式。
（2）运用这个规律计算101×99。
22．密码学中的数学规律。
密码学是研究编制密码和破译密码的技术科学。在密码学中，加密前的信息称为“明文”，加密后的信息称为“密文”。
请你根据下面的倍恩回答问题：
字母按规律加密后会得到新字母，如：
明文A→密文D 明文ONE→密文RQH 明文TWO→密文WZR
①观察字母的变化，你能发现加密规律吗？把你的发现写在下面空白处。
②用规律加密和解密。
加密：明文PANDA→密文 ；解密：密文IULHQG→明文 。 　
③你发现了吗？用上面的规律加密时会遇到一个问题，例如明文W加密后会得到密文Z，但是X、Y、Z加密后没有与之对应的字母了，聪明的密码学者想到了一个办法：明文X→密文A，明文Y→密文B。按照这样的加密规律，密文CRR→明文是 。（你可以在上面的字母表中写一写，画一画）
参考答案
题号 1 2 3 4
答案 C C B D
1．C
【分析】每个数恰好等于它前两个数之和，根据第8个数和第9个数分别是76和123，可以倒推第7个、第6个……，直至推出第1个数。
【详解】第7个：123－76＝47
第6个：76－47＝29
第5个：47－29＝18
第4个：29－18＝11
第3个：18－11＝7
第2个：11－7＝4
第1个：7－4＝3
即这9个数为3、4、7、11、18、29、47、76、123。
故答案为：C
2．C
【分析】根据已知信息和图形信息，可知：
第①个图形有3个点，可表示为1＋2＝3；
第②个图形有7个点，可表示为1＋2＋4＝7；
第③个图形有13个点，可表示为1＋2＋4＋6＝13；
可以发现其中1为固定数，第几个图形就再往后按顺序加几个偶数，
因此，第n个图形点的个数为：1＋2＋4＋6＋…＋2n。
【详解】根据规律式，可得
第⑤个图形的点数为：
1＋2＋4＋6＋8＋10
＝（1＋2）＋（4＋6）＋（8＋10）
＝3＋10＋18
＝13＋18
＝31（个）
所以，第⑤个图形有31个点。
故答案为：C
3．B
【分析】这道题的核心分析思路是找规律计算“总木块数”和“正面看得到的木块数”，再求差值（看不到的木块数）。找总木块数的规律：第1个图形小正方体的个数是1，第2个图形小正方体的个数是个，第3个图形小正方体的个数是个，依此类推；找正面可见木块数的规律：从正面看，每个层看得到的木块数是“层数”（第1层1块，第2层2块，…，第层块），第个图的正面可见木块数是；据此解答。
【详解】第7个图形中木块的总数是：
（块）
第7个图形中看得到的块数是：
（块）
第7个图形中看不到的块数是：
（块）
故答案为：B
【点睛】本题核心考查“图形规律探索，立体空间想象，数列运算”的综合能力，需通过观察图形推导数量规律，结合平方数、等差数列求和计算，同时想象立体结构区分可见和不可见木块。
4．D
【分析】先判断外面大直角的方向，依次顺时针旋转90度，可以确定是B或D，里面小直角依次是顺时针旋转45度，据此判断。
【详解】据分析观察接下来外面的大直角顺时针旋转90度，直角的顶点应在右上角，一条直角边在上方，另一条直角边在右边，里面的小直角顺时针旋转45度，则直角的顶点应在右上角，一条直角边在上方，另一条直角边在右边，即。
故答案为：D
5．41
【分析】数列规律是：从自然数里去掉所有5的倍数得到的。要找51是第几个数，得算1到51中有多少个5的倍数，用自然数总数减去5的倍数的个数就能得到结果。
【详解】1到51中5的倍数有：5、10、15、20、25、30、35、40、45、50，一共10个，所以51的位置是51－10＝41
【点睛】关键是发现数列去掉所有5的倍数的规律，通过自然数个数减去5的倍数个数确定目标数的位置。
6．88
【分析】观察数列规律，每个分母为n的分数分子从1递增到n，再递减到1，所以共有2n－1个分数。计算分母1到9的分数总数，再确定分母10中的位置。
【详解】每个分母为n的分数数量为2n 1，因此：
分母为1：1个分数
分母为2：3个分数
分母为3：5个分数
分母为4：7个分数
分母为5：9个分数
分母为6：11个分数
分母为7：13个分数
分母为8：15个分数
分母为9：17个分数
分母为10时，分子从1递增到10，是第7个，
所以（个）
因此，是第88个分数。
7．111
【分析】观察这串数，分母是1的有1个，1＝1×2－1；分母是2的有3个，3＝2×2－1；分母是3的有5个，5＝3×2－1；分母是4的有7个，7＝4×2－1……同分母分数的个数＝分母是几就用几×2－1；分子从1先递增到与分母相同，再递减到1。据此先计算分母1到10的分数总个数，再加上分母11的分数中的位置即可。
【详解】分母是1的分数：1个；
分母是2的分数：3个；
分母是3的分数：5个；
分母是4的分数：7个；
分母是5的分数：5×2－1
＝10－1
＝9（个）
分母是6的分数：6×2－1
＝12－1
＝11（个）
分母是7的分数：7×2－1
＝14－1
＝13（个）
分母是8的分数：8×2－1
＝16－1
＝15（个）
分母是9的分数：9×2－1
＝18－1
＝17（个）
分母是10的分数：10×2－1
＝20－1
＝19（个）
1＋3＋5＋7＋……＋17＋19
＝（1＋19）×10÷2
＝20×10÷2
＝100（个）
100＋11＝111（个）
第111个数是。
【点睛】关键是看懂这一列数的排列规律，先求出分母1到10的分数总个数。
8．(1)16
(2)11
【分析】（1）观察数组的规律，第一个数是1的有1组，第一个数是2的有2组，第一个数是3的有3组，第一个数是4的有4组，……，因为1＋2＋3＋4＋…＋11＝66组，所以从第67组开始，每组的第一个数是12，第67组是（12，1），依此类推，第70组是（12，4），两个数的和是12＋4＝16；
（2）因为1＋2＋3＋…＋10＝55组，所以第55组恰好是（10，10），第一个数是5的有5组，即（5，1）、（5，2）、（5、3）、（5，4）、（5，5）出现了6次。第二个数是5的只能是（6，5）、（7，5）、（8，5）、（9，5）、（10，5）出现了5次，所以“5”这个数出现了11次。据此解答。
【详解】（1）观察数组的规律，可知：
第一个数是1的有1组，
第一个数是2的有2组，
第一个数是3的有3组，
第一个数是4的有4组，
……，
又1＋2＋3＋4＋…＋11＝66组，
所以从第67组开始，每组的第一个数是12，第67组是（12，1），第68组是（12，2），…，第70组是（12，4），两个数的和：12＋4＝16；
第70组的两个数之和是16。
（2）因为1＋2＋3＋…＋10＝55组，所以第55组恰好是（10，10）
第一个数是5的有5组，即（5，1）、（5，2）、（5、3）、（5，4）、（5，5），出现了6次；
第二个数是5的只能是（（6，5）、（7，5）、（8，5）、（9，5）、（10，5）出现了5次；
所以“5”这个数出现：6＋5＝11（次）
在前55组中，“5”这个数出现了11次。
【点睛】通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力。
9． 9 11＋12＋13＋14＋15＝13×5
【分析】通过观察给定的三个例子，发现连续奇数个整数的和等于中间数乘整数的个数。据此数出算式中加数的个数即可解答第一空；第二空写出的是连续奇数个整数的和即可（答案不唯一）。
【详解】101＋102＋103＋104＋105＋106＋107＋108＋109＝105×9
同样规律的加法算式：11＋12＋13＋14＋15＝13×5（答案不唯一）
10．(1)－
(2)
【分析】（1）根据题意可知，＝1－；＝－；＝－，…，由此可知，算式规律是＝－，据此解答。
（2）根据算式规律，算式＋＋＋＋＋＋＋化为：1－＋－＋－＋－＋－＋－＋－＋－；最后化为：1－，进而解答。
【详解】（1）根据分析可知，＝－
（2）＋＋＋＋＋＋＋
＝1－＋－＋－＋－＋－＋－＋－＋－
＝1－
＝
＋＋＋＋＋＋＋＝
11．9059
【分析】12＝1，22＝4，32＝9，42＝16，52＝25，62＝36，72＝49，82＝64，92＝81，102＝100，112＝121，122＝144，132＝169、142＝196、152＝225、162＝256、172＝289、182＝324、192＝361、202＝400……中每10个数字为一组，每组数字的个位数字分别是1、4、9、6、5、6、9、4、1、0，每组个位数字的和是（1＋4＋9＋6＋5＋6＋9＋4＋1＋0＝45）。用2013除以10，算出商和余数，商是几，的和里就有几个45；再看余数，余数是几，就看这一组的前几个数的个位上数字是几，再相加即可。
【详解】1＋4＋9＋6＋5＋6＋9＋4＋1＋0
＝（1＋9）＋（2＋8）＋（3＋7）＋（4＋6）＋5＋0
＝10＋10＋10＋10＋5＋0
＝45
2013÷10＝201……3
45×201＋1＋4＋9
＝9045＋1＋4＋9
＝9046＋4＋9
＝9050＋9
＝9059
9059
【点睛】本题考查周期问题。以10个数为一组，求出每组数个位数字的和是解题关键。
12．日
【分析】首先根据结束日期－起始日期＝经过日期，求出从2月3日到3月3日经过了多少天；然后用经过的天数除以7，根据商和余数的情况，判断出3月3日是星期几即可。今年是2025年，是平年，即2月有28天。从2月3日到2月28日经过25天，从2月28日到3月3日经过3天，总共28天。据此解答。
【详解】2025年是平年，2月有28天。
从2月3日到2月28日经过25天，从2月28日到3月3日经过3天，总共28天。
28÷7＝4（周）
正好经过4周，没有余数
所以今年的2月3日是星期日，那么今年的3月3日也是星期日。
13．四
【分析】一周有7天，星期几按7天一个周期循环。就是看的结果余几，余数表示从今天起需要经过的天数，但是实在太大，无法直接计算，因此需要先找到规律。
观察发现，111111（6个1）能被7整除，因此111111（6个1）的所有倍数都能被7整除；
于是，111111111111（12个1）也能被7整除，因为111111111111（12个1）是111111（6个1）的（1000000＋1）倍，由此可见，如果这个数含有1的个数刚好是6的倍数，那么这个数能被7整除。
【详解】根据分析，2000个1，2000÷6＝333……2，余数为2，
即2000个1组成的数除以7的余数，与2个1组成的数11除以7的余数相同。11÷7＝1……4，余数是4，今天是星期日，往后数4天是星期四。
14． 六 三
【分析】教师节是9月10日，一周有7天，把7天看作一个周期，用60天除以7，如果可以整除，那么60天后也是星期二，如果不能整除，余数是几，就从星期二往后推几天；
先根据1、3、5、7、8、10、12是大月有31天；4、6、9、11是小月有30天，计算9月10日到明年的1月1日有多少天，再根据上述方法列式计算即可。
【详解】60÷7＝8（个）……4（天）
2＋4＝6，所以星期二，再过60天是星期六；
（30－10）＋31＋30＋31＋1
＝20＋31＋30＋31＋1
＝51＋30＋31＋1
＝81＋31＋1
＝112＋1
＝113（天）
113÷7＝16（个）……1（天）
2＋1＝3，明年元旦是星期三。
所以今年教师节是星期二，再过60天是星期六，明年元旦是星期三。
15．黄
【分析】彩灯是按白红黄绿白红黄绿 排列的，每组是4盏，求出75盏灯里面有几组，再看余数。如果没有余数是绿灯，余数是1是白灯，余数是2是红灯，余数是3是黄灯。
【详解】75÷4＝18（组） 3（盏）
余数是3是黄灯。
16．(1)甲辰
(2) 2012 壬辰
(3)牛
【分析】（1）根据天干的计算：将年份减去3，然后除以10，所得的余数即为天干。地支的计算：将年份减去3，然后除以12，所得的余数即为地支。
（2）生肖12年一循环，用今年年份减去12，得到上一龙年的年份，结合天干和地支的计算方法计算年号。
（3）生肖12年一循环，也就是1949年与1961年、1973年、1985年、1997年、2009年2021年的生肖相同，1984年是鼠年，1985年是牛年，因此1949年是牛年。
【详解】（1）（2024－3）÷10
＝2021÷10
＝202…1
天干为甲
（2024－3）÷12
＝2021÷12
＝168……5
地支为辰
2024年为甲辰年。
（2）2024－12＝2012
（2012－3）÷10
＝2009÷10
＝200……9
天干为壬
（2012－3）÷12
＝2009÷12
＝167……5
地支为辰
2012年为壬辰年。
（3）新中国成立于1949年，这一年出生的孩子属牛。
17． 40 4n
【分析】
观察图可知，第1个图形有4个，第2个图形有4×2＝8个，第3个图形有4×3＝12个，由此可得规律：第n个图形有4n个，据此规律解答。
【详解】10×4＝40（个）
n×4＝4n（个）
即第10个图形需要10×4＝40个，第n个图形需要4n个。
18．76
【分析】看图可知，第1个图形一共有0个直角三角形，0＝（1－1）×4；第2个图形一共有4个直角三角形，4＝（2－1）×4；第3个图形一共有8个直角三角形，8＝（3－1）×4……由此可知，直角三角形的个数＝（第几个图形就用几－1）×4，据此列式计算。
【详解】（20－1）×4
＝19×4
＝76（个）
第20个图形一共有76个直角三角形。
19． 25 （4n＋1）
【分析】第一个图形需要（4＋1）根小棒，第二个图形需要（4×2＋1）根小棒，第三个图形需要（4×3＋1）根小棒，所以小棒总个数＝4×第几个图形＋1，据此解答。
【详解】4×6＋1
＝24＋1
＝25（根）
用五根小棒摆一个等腰梯形，按规律依次摆下去。摆第6个需要25根小棒，摆第n个需要（4n＋1）根小棒。
20．(1)1022
(2)2226和3066
【分析】（1）要求最小的四位依赖数，根据数位越高数值影响越大的原则，应使千位数字尽可能小，其次是百位、十位、个位。千位最小为1，百位最小为0，再根据依赖数的定义计算十位和个位，验证是否符合数字要求。
（2）首先根据依赖数的定义，用千位数字和百位数字表示出十位和个位数字。接着表示出后三位组成的数，代入“特色数”的判定条件，化简得到关于和的整除关系。最后结合每位数字0到9的范围限制，通过枚举法确定和的值，从而求出所有特色数。
【详解】（1）设这个四位自然数的千位数字是，为百位数字，为十位数字，为个位数字。
根据“依赖数”的定义可知：
要使这个四位数最小，千位数字应取最小值。因为是四位数，最小为1。
百位数字应取最小值，最小为0。
当，时：
十位数字
个位数字
此时，均为0到9之间的数字，符合要求。
所以最小的四位依赖数是1022。
（2）设这个四位自然数的千位数字是，为百位数字，为十位数字，为个位数字。
后三位表示的数为。
将和代入上面的表达式中：
后三位表示的数为
根据题意，“特色数”需满足：后三位表示的数减去百位数字的3倍得到的结果除以7余3
代入特色数的判定式：
因为是的倍数，，。
所以的余数，等同于的余数。
根据题意，余数为3，即余3。
同时需满足数字限制：
1.是千位数字，。
2.是数位上的数字，。
3.由且，可知，即只能取1，2，3，4。
4.由，可知。
分类讨论的取值：
①当时：
余3，即余2。
在范围内，可取0，1，2。
若，余0；若，余4；若，余1。
均不符合余3的条件，故无解。
②当时：
余3，即余1。
在范围内，可取0，1，2，3。
若，余0；若，余4；若，余1；若，余5。
则取2符合条件，，，即特色数是2226。
③当时：
余3，即余0。
在范围内，可取0， 1， 2， 3。
若，余0；若，余4；若，余1；若，余5。
则取0符合条件，件，，，即特色数是3066。
④当时：由于，则只能是0和1。
当取0时，余4，不符合余3的条件；当取1时，余2，不符合余3的条件。
答：所有的特色数是2226和3066。
21．（1）52－1＝6×4＝24
（2）9999
【分析】（1）观察32－1＝4×2＝8可得：4＝3＋1，2＝3－1，4和2相差2。
可将算式改写成：32－1＝（3＋1）×（3－1）＝4×2＝8
那么42－1＝5×3＝15可改写成：42－1＝（4＋1）×（4－1）＝5×3＝15
72－1＝8×6＝48可改写成：72－1＝（7＋1）×（7－1）＝8×6＝48
92－1＝10×8＝80可改写成：92－1＝（9＋1）×（9－1）＝10×8＝80
可得规律：n2－1＝（n＋1）×（n－1），据此写出这样的算式即可。
（2）101和99相差2，101＝100＋1，99＝100－1，根据算式的规律n2－1＝（n＋1）×（n－1），可得101×99＝（100＋1）×（100－1）＝1002－1，据此求解即可。
【详解】（1）根据分析可得规律：n2－1＝（n＋1）×（n－1）
52－1＝6×4＝24（答案不唯一）
（2）101×99
＝（100＋1）×（100－1）
＝1002－1
＝10000－1
＝9999
22．①密文字母是明文字母向右移动3个位置后对应的字母，明文字母是密文字母向左移动3个位置后对应的字母。
②SDQGD；FRIEND
③ZOO
【分析】（1）首先观察字母变化的规律，总结加密方法。
通过对比明文字母和密文字母的位置关系，发现每个明文字母在字母表中向右移动3个位置得到密文字母。例如：A（第1位）→D（第4位）；O（第15位）→R（第18位）；T（第20位）→W（第23位）。
同理明文字母是密文字母向左移动3个位置后对应的字母，据此写出规律。
（2）应用规律进行加密和解密即可。
（3）解密时，当字母左移3位超出字母表范围时，从字母表末尾Z再开始循环：C（第3位）左移3位→Z（第26位），R（第18位）左移3位→O（第15位），据此解答。
【详解】（1）我发现的加密规律是：密文字母是明文字母向右移动3个位置后对应的字母，明文字母是密文字母向左移动3个位置后对应的字母。
（2）加密：将明文PANDA的每个字母向右移动3个位置：P→S，A→D，N→Q，D→G，A→D，所以明文PANDA→密文SDQGD；
解密：密文IULHQG的每个字母分别向左移动3个位置：I→F，U→R，L→I，H→E，Q→N，G→D，所以密文IULHQG→明文FRIEND。
（3）根据解密规律以及当字母左移3位超出字母表范围时，从字母表末尾Z再开始循环原则，题目密文字母对应明文字母如下：C→Z，R→O ，R→O，所以密文CRR→明文是ZOO。
（写一写，画一画见字母表中）
【点睛】这道题的难点在于需要从有限例子中归纳出“字母向右数3位”的加密规则，同时还要掌握字母表循环逻辑，并完成加密到解密的逆向思维转换。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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