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图形的折叠 典型考点冲刺练 2026年初中数学中考复习备考
一、单选题
1．如图，把一块含角的直角三角板沿边翻折得到，然后再沿边翻折得到，则可以由绕点旋转得到，那么的值为（ ）
A．30 B．60 C．90 D．120
2．如图，内接于，将沿弦翻折到内，点D是翻折后所得弧上一点，若，则的大小为（ 　）
A． B． C． D．
3．如图，AB为⊙O的一条弦，C为⊙O上一点，OC∥AB．将劣弧AB沿弦AB翻折，交翻折后的弧AB交AC于点D．若D为翻折后弧AB的中点，则∠ABC＝（　　）
A．110° B．112.5° C．115° D．117.5°
4．如图，矩形中，点分别为边上两动点，且，．沿翻折矩形，使得点恰好落在边（含端点）上，记作点，翻折后点对应点为点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．2
5．如图，已知BD是矩形ABCD的对角线，AB＝6，BC＝8，点E，F分别在边AD，BC上，连结BE，DF．将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，若翻折后，点A，C分别落在对角线BD上的点G，H处，连结GF．则下列结论不正确的是（ ）
A．BD＝10 B．HG＝2 C． D．GF⊥BC
6．如图，为的直径，将弧沿翻折，翻折后的弧交于点，若，，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C．8 D．10
7．如图，在边长为4的正方形中，是上一动点（不含两点），将沿直线翻折，点落在点处；在上有一点．使得将沿直线翻折后，点落在直线上的点处，直线交于点，连接．则以下结论中错误的是（ ）
A．线段长度的最小值为
B．四边形的面积最大值为10
C．当时，
D．当为中点时，是线段的垂直平分线
8．把函数的图象在直线下方的部分沿直线翻折后，再把翻折前后的图象中在直线上方部分叫做新函数图象T．当直线与图象T有四个交点时，n的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在平面直角坐标系中，将抛物线沿x轴翻折，并向右平移2个单位长度，得到抛物线，再将抛物线沿x轴翻折，并向右平移2个单位长度，得到抛物线…直线l从与y轴重合的位置出发，沿x轴正方向向右平移，每秒平移个单位长度．设抛物线，，，…组成的曲线与直线l交于点P，则第205秒结束时，点P的纵坐标为（ ）
A．1 B． C． D．
10．王同学用长方形纸片折纸飞机，前三步分别如图①、②、③．第一步：将长方形纸片沿对称轴对折后展开，折出折痕；第二步：将和分别沿翻折，重合于折痕上；第三步：将和分别沿翻折，重合于折痕上．已知，，则的长是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．在平面直角坐标系中，直线先向右平移2个单位长度得到直线m，再将直线m沿y轴翻折得到直线n，直线n恰好经过原点，则__________．
12．如图，在中，，点D为的中点，点E为上一点，把沿翻折得到，若与的直角边垂直，则的长为______．
13．如图，正方形的边长为2，为边的中点，为边上的一个动点，连接、、，将沿所在直线翻折，若点的对应点恰好落在的边上，则线段的长为______．
14．如图1，将正方形纸片对折，使与重合，折痕为．如图2，展开后再折叠一次，使点与点重合，折痕为，点的对应点为点，交于点，则___________．
15．如图，在中，，，，将边沿翻折，使点落在上的点处，再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点，，则线段的长为______．
16．如图，四边形为矩形纸带，将四边形沿折叠，则、两点的对应点分别为、，若，则的度数为________________．
17．如图，菱形中，点分别在边上．将菱形沿折叠，点恰好落在边上的点处．若，，，则的长为___________．
18．如图，已知正方形的边长为6，E是正方形的边上的一点，沿将折叠，点A落在点F处，连接，，若，则的长为________．
三、解答题
19．在正方形中，E为边上一点（不与点A，D重合），将线段沿直线翻折，得到线段，连接并延长，与线段的延长线相交于点G，连接．
(1)依题意补全图形；
(2)求的度数；
(3)用等式表示线段与的数量关系，并证明．
20．在直角三角形纸片中，，，，将三角形纸片进行以下操作：
第一步：折叠三角形纸片使点C与点A重合，然后展开铺平，得到折痕，如图1；
第二步：将沿折痕剪开，然后将绕点D逆时针方向旋转得到，点E，C的对应点分别是点F，G，与边交于点M（点M不与点A重合），如图2．
在绕点D旋转的过程中，探究下列问题：
(1)如图2，在绕点D旋转的过程中，试判断与的数量关系，并证明你的结论；
(2)如图3，当经过点B时，求的长；
(3)如图4，当时，求的长．
21．折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“正方形的折叠”为主题开展了数学活动．
在正方形中，点在射线上，将正方形纸片沿所在直线折叠，使点A落在点处，连接，直线交所在直线于点，连接．
【观察猜想】
（1）如图1，当时，_____．
【类比探究】
（2）如图2，正方形的边长为4，，连接，取的中点，连接，求的度数及线段的长度．
【拓展应用】
（3）在（2）的条件下，当被线段分成一个等边三角形和一个等腰三角形时，请直接写出线段的长度．
22．（1）如图1，在矩形中，，点为边上一点，沿直线将矩形折叠，使点落在边上的点处．求及的长；
（2）如图2，展开后，将沿线段向右平移，使点的对应点与点重合，得到，与交于点，求线段的长；
（3）在图1中，将绕点旋转至三点共线时，请直接写出的长．
23．综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展教学探究活动．在矩形中，已知，，点P是边上的一个动点．
(1)【操作判断】如图1，甲同学先将矩形对折，使得与重合，展开得到折痕．将矩形沿折叠，使恰好落在上的处，则线段与线段的位置关系为 　　 ；的度数为 　　 ．
(2)【迁移探究】如图2，乙同学将矩形沿折叠，使恰好落在矩形的对角线上，请补全图形并求此时的长；
(3)【综合应用】如图3，点Q在边上运动，始终满足，且，将沿折叠，求折叠后与重叠部分面积的最大值，并求出此时的长．
24．折纸之术，源远流长，古称“折矩 ”“叠方 ”，其中暗含几何之理．今鹿鸣数学兴趣小组取一四边形，沿某线翻折，进行探究活动：
【探究一】如图 1，在矩形 中，点 M，点 N 分别是边 的中点，连接 ，点 P 为边 上的一点，将 沿 翻折得到，恰好使得点 C 的对称点 E 落在 上． 已知，．①直接写出的长度；②求的值．
【探究二】在正方形中，点 N 是边的中点，将沿着直线翻折得到，点 B 的对称点落在点 F 处，连接，与 交于点 P，已知正方形的边长是 20，请在图 2 中补全图形，并求的长．
【探究三】如图 3，在菱形 中，，，点 M 为边上的一个动点，连接，将沿着直线翻折得到，点 D 的对称点为点 N．直线 与直线相交于点 G，直线与直线 相交于点 H．作 于点 P，已知 ，请直接写出的值．
25．“综合与实践”课上，老师让同学们以“矩形的翻折”为主题开展数学活动．
第1步：有一张矩形纸片，在边上取一点沿翻折，使点落在矩形内部处；
第2步：再次翻折矩形，使与所在直线重合，点落在直线上的点处，折痕为．
翻折后的纸片如图所示
(1)求的度数；
(2)若，，求的最大值．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A B C D C D B D D
1．D
【分析】本题考查图形的翻折与旋转，根据翻折得到，进而得到，即旋转角为120度，判断即可．
【详解】解：由题意，得：，
∵翻折，
∴，
∴，
∴可以由绕点旋转得到；
故选D．
2．A
【分析】本题考查了折叠的性质，圆内接四边形的性质．利用圆内接四边形对角互补的性质求得，再由折叠的性质即可求解．
【详解】解：如图，四边形内接于，
∵，
∴，
由折叠的性质知，
故选：A．
3．B
【分析】如图，取 中点，连接，连接，由题意知，且在一条直线上，，，知，根据圆周角定理，等边对等角，三角形内角和定理等可求，，，，，的值，进而求解的值．
【详解】解：如图，取 中点，连接，连接
由题意知，且在一条直线上，，
∴
∴
∵，
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
故选B．
【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角，等边对等角，三角形内角和定理，折叠性质等知识．解题的关键在于对知识的灵活运用．
4．C
【分析】本题主要考查折叠问题、勾股定理，连接，由翻折可得，则，要求的最小值，即求的最小值，以此得出当点G与点B重合时，最小，设则根据勾股定理即可求解．
【详解】解：连接，
∵以翻折后，点D与点G重合，
∴，
∴，
∵四边形为矩形，，
当的最小时，最小，
当点G与点B重合时，最长，最小，
设则
在中，，
∴，
解得，
∴的最小值为．
故选：C．
5．D
【分析】根据矩形的性质以及勾股定理即可判断A，根据折叠的性质即可求得，进而判断B，根据折叠的性质可得，进而判断C选项，根据勾股定理求得的长，根据平行线线段成比例，可判断D选项
【详解】BD是矩形ABCD的对角线，AB＝6，BC＝8，
故A选项正确，
将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，
，
,
故B选项正确，
,
∴EG∥HF，
故C正确
设，则，
，
即
，同理可得
若
则
，
，
不平行，
即不垂直，
故D不正确．
故选D
【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，掌握以上知识是解题的关键．
6．C
【分析】本题主要考查圆的综合及三角函数，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键；连接，过点C作于H，然后根据圆的基本性质可得，则有，进而根据三角函数及割补法可进行求解．
【详解】解：如图，连接，过点C作于H，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴设，
根据勾股定理，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
7．D
【分析】设，则，由翻折的性质可知，，则，证明，则，即，解得，由二次函数的图象与性质求的最大值，进而可求此时最小，利用勾股定理求，进而可判断A的正误；由，可知当最大时，四边形的面积最大，计算求解可判断B的正误；由折叠的性质可知，，证明，则，，，由勾股定理得，，求出满足要求的解，进而可判断C的正误；当P为中点时，则，由③可知，，设，则，，由勾股定理得，，可求得，，由，即不是的中点，可判断D的正误．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
设，则，
由翻折的性质可知，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
解得，，
∵，，
∴当时，最大，最大值为1，此时最小，最小值为3，
由勾股定理得，，
∴线段长度的最小值为5，A正确，故不符合题意；
∵，
∴当最大时，四边形的面积最大，最大值为，B正确，故不符合题意；
由折叠的性质可知，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
由勾股定理得，，即，
解得，或（舍去），
∴，C正确，故不符合题意；
当P为中点时，则，
由③可知，，，
设，则，，
由勾股定理得，，即，
解得，，
∴，即不是的中点，
∴不是线段的垂直平分线，D错误，故符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，二次函数的最值，勾股定理等知识．熟练掌握正方形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，二次函数的最值，勾股定理是解题的关键．
8．B
【分析】本题考查了一次函数的图象与不等式的结合，熟练运用数形结合是解题的关键．画出大致图象，由函数的解析式求得最低点为，点关于直线的对称点为，由题意可知，解不等式即可．
【详解】解：函数的图象如图，
可知函数的最低点为，
点关于直线的对称点为，
当直线与图象有四个交点时，可得，
解得，
故选：B．
9．D
【分析】本题主要考查了二次函数的平移，坐标规律探索，先求出抛物线的解析式为：，抛物线的解析式为：，抛物线的解析式为：，然后根据直线平移速度，得出第1秒结束时，，第2秒结束时，，第3秒结束时，，第4秒结束时，，第5秒结束时，，第6秒结束时，，第7秒结束时，，第8秒结束时，，第9秒结束时，，总结得出一般规律，得出答案即可．
【详解】解：的顶点坐标为：，
根据题意得：抛物线的顶点坐标为，
则抛物线的解析式为：，
同理得：则抛物线的解析式为：，
则抛物线的解析式为：，
第1秒结束时，，
第2秒结束时，，
第3秒结束时，，
第4秒结束时，，
第5秒结束时，，
第6秒结束时，，
第7秒结束时，，
第8秒结束时，，
第9秒结束时，，
……
∴点P的纵坐标每8秒循环一次，
∵，
∴第205秒结束时，点P的纵坐标与第5秒结束时相同，即第205秒结束时，点P的纵坐标为．
故选：D．
10．D
【分析】根据第一、二步折叠易得四边形为正方形，，以此得出，根据勾股定理求出，根据第三步折叠可得，进而得到，则，于是，即可求解．
【详解】解：∵四边形为矩形，，
∴，
由第一步折叠可得，，，
由第一步折叠可得，，，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵，，
∴平行四边形为正方形，
∴，
∴，
在中，，
根据第三步折叠可得，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题主要考查折叠的性质、矩形的性质、正方形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握折叠的性质是解题关键．
11．
【分析】此题考查了一次函数的平移和坐标系中的轴对称等知识，先根据平移和轴对称得到直线n的解析式，再把原点的坐标代入求解即可．
【详解】解：直线先向右平移2个单位长度得到直线m：，再将直线m沿y轴翻折得到直线n：，
∵直线n恰好经过原点，
∴，
解得
故答案为：
12．或3或
【分析】分三种情况讨论：若，且点F与点C在直线异侧；若；若，且点F与点C在直线同侧，即可求解．
【详解】解：如图1，若，且点F与点C在直线异侧，设交于点G，
∵，点D为的中点，
∴，
∴，
∴，
由翻折得：，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
如图2，若，
∵，
，
∴，
，
∴，
；
如图3，若，且点F与点C在直线同侧，设交于点H，
∵，
，
∴，
，
∵，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上所述，BE的长为或3或，
故答案为：或3或．
【点睛】此题重点考查翻折变换的性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、垂直于同一条直线的两条直线平行、等腰三角形的判定、勾股定理、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地进行分类讨论并且画出相应的图形是解题的关键．
13．或
【分析】本题考查了正方形与折叠问题，勾股定理，三角函数的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键．分的对应点落在和上，分别画出图形，根据折叠的性质，勾股定理分别求解，即可．
【详解】解：正方形的边长为2，为边的中点，
∴，，
∴
如图，当的对应点落在上时，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
当落在上时，如图，，
∴，
∴
设，则，
在中，
在中，
∴
解得：
即
综上所述，的长为或
故答案为：或．
14．/0.6
【分析】本题考查了正方形与折叠问题，勾股定理，三角函数，解题的关键是掌握相关知识．由折叠可得：，，，设正方形的边长为，，则，，在中，由勾股定理得：，即，推出，得到，证明，即可求解．
【详解】解：由折叠可得：，，，
设正方形的边长为，，则，，
在中，由勾股定理得：，即，
，
，
，，
，，
，
，
故答案为：．
15．
【分析】本题主要考查的是翻折的性质、含的直角三角形的性质，解直角三角形，先根据正切求出长，然后根据的直角三角形的性质求出长，再证明是等腰直角三角形解答即可．
【详解】解：，，
∴，，
∵边沿翻折，使点落在上的点处，
∴，
，
由折叠可得：且
且 ，
，
故答案为：．
16．/36度
【分析】本题主要考查了矩形的性质，图形的折叠问题．根据折叠的性质，可得，根据平行线的性质得出，根据，得出，即可求解．
【详解】解：由折叠的性质得：，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：．
故答案为：
17．
【分析】本题考查了翻折变换的性质、菱形的性质、解直角三角形、勾股定理等知识，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
过作于，交延长线于，作于，则，，，由折叠的性质得：，，可得四边形为平行四边形，解和求出，在中，由勾股定理求出，得出，设，则，，在中，由勾股定理得出方程，解方程求出，据此计算即可得出结果．
【详解】解：过作于，交延长线于，作于，则，如图所示：
∵菱形，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，，
由折叠的性质得：，，
∵，
，
∴，同理，
，
在中，由勾股定理得：，
解得：（负值舍去），
，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
，
故答案为：．
18．4
【分析】本题主要考查了正方形的折叠问题，勾股定理，全等三角形的判定和性质．延长交于点，连接．设，则．由折叠的性质得，，，可证明，可得，从而得到．再证得，可得，从而得到，进而得到然后在中，由勾股定理求出，即可求解．
【详解】解：如图，延长交于点，连接．
四边形为正方形，且边长为6，
，．
设，则．
由折叠的性质得，，，
，．
在和中，
，
，
，
．
，
，，
，
，
，
，
在中，，，，
由勾股定理得，
，
解得，
．
故答案为：4．
19．(1)见解析
(2)
(3)，证明见解析
【分析】本题考查了正方形的性质、翻折的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）依题意补全图形即可；
（2）设，利用正方形和翻折的性质得到，，再利用等腰三角形的性质即可求出的度数；
（3）作，交的延长线于点H，连接，利用正方形和翻折的性质证明，得到，，推出是等腰直角三角形，则有，等量代换即可得出结论．
【详解】（1）解：补全图形如图1所示：
（2）解：设．
四边形是正方形，
，，
，
将线段沿直线翻折，得到线段，
，，
，
，
．
（3）解：，证明如下：
如图2，作，交的延长线于点H，连接．
，
，
四边形是正方形，
，，
，即，
将线段沿直线翻折，得到线段，
，，
，，
，
，
，，
是等腰直角三角形，，
，
，
．
20．(1)，证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）连接，由旋转知，，再证，即可得出结论；
（2）由旋转的性质和等腰三角形的性质得，则，设， 在中，由勾股定理求出的值，即可解决问题；
（3）由折叠可知再证是的中位线，即可得出结论，过作于，交于，则四边形是矩形，得，再由三角形面积求出，然后证，得，即可得出结论．
【详解】（1）解：，证明如下：
如图， 连接，
由旋转的性质得，，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：由折叠的性质得，
，
，
∴，
由旋转的性质得，，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，
在中，，
，
解得，
；
（3）解：由折叠的性质得，
，
，
，
∴是的中位线，
，
如图，过作于， 交于，
则四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即 ，
解得．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质、折叠的性质、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握旋转的性质和折叠的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键．
21．（1）45（2），（3）或
【分析】（1）利用正方形性质和折叠性质，先由推出 ，进而得 ，再根据算出等角度，然后依据判定，从而得出 ．
（2）根据折叠性质得出角和边的关系，通过计算推出，结合角的等量关系得到，由折叠性质知，进而得 ．再利用正方形性质求，依据直角三角形斜边中线性质求出 ．
（3）对被分成一个等边三角形和一个等腰三角形的情况进行分类讨论：
当为等边三角形时，先得出，通过角的运算求出和，再在中利用正切函数求出的长度．
当为等边三角形时，得出，通过角的关系得到，进而求出，最后在中根据正切函数求出的长度 ．
【详解】在正方形中，．
∵，
由折叠性质可知，且．
∴，
∴
∵，
∴．
∴．
∴．
∴
因为，，，
∴．
∴，
故答案为：45；
（2）由折叠可知，，
．
四边形为正方形，
．
又，
，
．
又，
．
由折叠的性质可得，
．
点为的中点，
，
在正方形中，，
，
．
（3）情况一： 当是等边三角形，是等腰三角形时，如图：
此时，因为，所以．
已知，在中，，解得．
情况二：当是等边三角形，是等腰三角形时：
此时，则．
在中，，
解得．
综上所述：段的长度为或．
【点睛】本题考查了正方形的性质、图形折叠的性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线性质以及三角函数的应用；解题关键是熟练运用上述性质和定理，通过分析折叠前后图形的角与边的关系，结合特殊三角形的性质进行推理计算．
22．（1）；（2）1；（3）或
【分析】（1）根据矩形的性质，折叠的性质，结合勾股定理进行求解即可；
（2）求出的长，平移的性质求出，进而求出，证明，列出比例式求出的长，再根据线段的和差关系求出的长即可；
（3）分旋转到左侧和旋转到右侧两种情况，进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：为矩形，，折叠，
，，
；
设长为则：，
，解得：，
的长为3，的长为．
（2）解：由（1）知
由题意得：平移距离为2，故，
．
为平移后的图形
，
，
，
；
（3）或．
解：将绕点旋转至三点共线，
分以下两种情况：①当旋转到左侧时，如图所示：
作，交的延长线于点，由（2）可知，
由旋转性质可知，，
，
，
，
四边形为矩形，
，
，
②当旋转到右侧时，如图所示：作，交的延长线于点，
由（2）可知，由旋转性质可知，，
，
，
四边形为矩形，
，
，
．
【点睛】本题考查矩形的判定和性质，折叠的性质，平移的性质，旋转的性质，勾股定理和相似三角形的判定和性质，熟练掌握掌握相关知识点，是解题的关键．
23．(1)，
(2)见解析
(3)6，4
【分析】（1）由折叠得，，再根据线段垂直平分线的判定定理即可得证；证明△是等边三角形即可求出角度；
（2）当点落在对角线上点时，设，分别出、、，用勾股定理即可求解即可；
（3）设，求出与重叠部分面积所满足的函数关系式，并在的取值范围内求出各自的最大值．
【详解】（1）解：线段与线段的位置关系为，理由如下：
如图1，连接，
由折叠得：，，
、都在的垂直平分线上，
是的垂直平分线，
；
，理由如下：
将矩形对折，使得与重合，展开得到折痕，
垂直平分，
，
，
是等边三角形，
，
；
（2）解：如图2，点落在对角线上点时，
在矩形中，
，，，
，
设，由折叠得：，，
，，，
，
，
解得：，
；
（3）解：，
，
设，
，
解得，
翻折后的三角形为，
，，
①当点在与之间或在对角线上时，如图4，图5，
，
，
此时折后与重叠部分面积，
，
在，当时，即，的最大值；
②当点在对角线的右侧时，交于，交于，如图6，
此时，不合题意，舍去；
综上所述，折叠后与重叠部分面积的最大值为，此时．
24．【探究一】①；②【探究二】【探究三】的值为或
【分析】【探究一】①利用勾股定理求出的长，再利用翻折得出，进而即可得解；②连，利用勾股定理得到，求出，进而即可得解；
【探究二】延长交于点，连，由得出，由勾股定理得出，由得，进而即可得解；
【探究三】分当点在之间和当点在之间时两种情况讨论即可得解．
【详解】【探究一】解：①∵点 N 是边 的中点，，
∴，
∵在矩形 中，，
∴，，，
∴，
∵将 沿 翻折得到，恰好使得点 C 的对称点 E 落在 上．
∴，
∴；
②如图，连，
∵将 沿 翻折得到，恰好使得点 C 的对称点 E 落在 上，
∴，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
【探究二】解：如图，延长交于点，连，
∵正方形的边长是 20，点 N 是边的中点，
∴，，
∵将沿着直线翻折得到，点 B 的对称点落在点 F 处，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
【探究三】解：∵在菱形 中，，，
∴，，，
∴都为等边三角形，
∴，
∵ 于点 P，
∴，
当点在之间时，设交于点，如图，
∵ ，
∴，
∵将沿着直线翻折得到，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
当点在之间时，如图，
∵ ，
∴，
∵将沿着直线翻折得到，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
25．(1)
(2)
【分析】（1）由折叠性质得出，结合平角定义，化简得，即可作答．
（2）设，则，设，由矩形、折叠性质得，证明，即，代入数值进行计算，得，结合二次函数的图象性质，即可作答．
【详解】（1）解：如图：
∵点沿翻折，使点落在矩形内部处，与所在直线重合，点落在直线上的点处，
∴，
∵，
∴，
即的度数为；
（2）解：设，则，设，
∵折叠，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∵点落在矩形内部处；
∴，
∵，
∴开口向下，在时，有最大值，
把代入，得出；
∴的最大值为．
【点睛】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，二次函数的实际应用，相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
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