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概率统计 典型考点冲刺练 2026年初中数学中考复习备考
一、单选题
1．为了了解某市参加中考的名学生的身高情况，抽查了其中名学生的身高进行统计分析．下列叙述错误的是（ ）
A．名学生的身高情况是总体的一个样本
B．名学生的身高情况是总体
C．每名学生是总体的一个个体
D．样本容量是
2．为了调查某校同学的体质健康状况，随机抽查了若干名同学每天的锻炼时间，并统计如下：
每天锻炼时间（分钟）
学生数（人）
则关于这些同学的每天锻炼时间，下列说法正确的是（　　）
A．众数是 B．中位数是 C．平均数是 D．抽查了个同学
3．下面的调查中，适宜采用全面调查方式的是（ ）
A．了解居民对废电池的处理情况 B．为了制作校服，了解某班同学的身高情况
C．某种灯的使用寿命 D．某类烟花爆竹燃放的安全性
4．下列各事件中，是必然事件的是（ ）
A．是实数，则 B．掷一枚硬币时，正面朝上
C．三角形内角和是 D．任意买一张电影票，座位号是单号
5．下列事件中，是随机事件的是（ ）
A．任画一个三角形，其内角和是
B．在单词中任选一个字母，字母为“b”
C．某射击运动员射击一次，命中靶心
D．在通常情况下，加热到时，水沸腾
6．李明对七年级名同学关于节约用水方法选择的问题，进行了问卷调查（每人选择一项），其中各项人数统计如水滴图，如果将这个水滴图绘制成扇形统计图，那么表示“巧妙用水”扇形的圆心角度数是（ ）
A． B． C． D．
7．2024年12月5日是第39个国际志愿者日，中国志愿服务联合会正式发布2024年国际志愿者日活动主题--“贡献志愿力量创造美好生活”．某校在这一天开展了志愿服务活动，如图是该校八年级六个班当天志愿服务活动总人次的统计图，则这组数据的平均数为（　　）
八年级“国际志愿者日”志愿服务活动总人次
A．52 B．59 C．62 D．63
8．如图所示电路，随机闭合开关 中的任意一个，能使灯泡发光的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．河南是中华文明的主要发源地，“八大古都”中河南就占了四席，分别是洛阳、开封、安阳和郑州．将这四座城市的名字分别写在四张质地、大小一样的空白卡片上，然后把它们背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，则只有一次抽到安阳的概率是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
10．为了解某校九年级学生开展“综合与实践”活动的情况，抽样调查了该校若干名九年级学生上学期参加“综合与实践”活动的天数，并根据调查所得的数据绘制了如下尚不完整的两幅统计图：
“综合与实践”活动天数条形统计图 “综合与实践”活动天数扇形统计图
若该校九年级有学生1000人，根据上述图表信息，估计该校九年级参加“综合与实践”活动天数达到4天及以上的人数为___________人．
11．某市一月1日至10日最低气温随日期变化的折线统计图如图所示，则这10天最低气温的中位数是______．
12．下面记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：
甲 乙 丙 丁
平均数/ 175 180 180 175
方差 3.2 3.2 5.4 6.1
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择________．
13．学校举行篮球技能大赛，评委从控球技能和投球技能两方面为选手打分，各项成绩均按百分制计，然后再按控球技能占60%，投球技能占40%计算选手的综合成绩，选手李林控球技能得90分，投球技能得80分．李林综合成绩为_______分．
14．将，，，0，，这6个数分别写在6张同样的卡片上，从中随机抽取1张，卡片上的数为有理数的概率是______．
15．造纸术、指南针、火药、印刷术是我国古代四大发明．如图是秦奋同学收集的四大发明的不透明卡片，四张卡片除正面图案外其余完全相同，将这四张卡片背面朝上洗匀放好，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案恰好是“指南针”和“印刷术”的概率是________

16．小聪将不等式组的所有整数解分别写到了卡片正面，每张卡片正面有且仅有1个数字，卡片背面完全相同，把这几张卡片背面朝上后随机抽取一张，记下数字后放回洗匀，再从中随机抽取一张，则第二次抽取的数字大于第一次抽取的数字的概率是________.
三、解答题
17．2025年4月24日是第十个“中国航天日”，主题是“海上生明月，九天揽星河”．在第十个“中国航天日”主题活动期间，学校对八年级学生进行了航天知识测试，测试成绩全部合格．现随机选取了部分学生的成绩，整理并制作成如下不完整的图表：
分数段 频数 频率
6 0.1
12 a
24 c
b 0.3
请根据上述统计图表，解答下列问题：
(1)本次共抽取了______名学生，表中______；
(2)请补全频数分布直方图；
(3)学生成绩的中位数在______分数段；
(4)如果80分以上（含80分）为优秀，若该校八年级学生有800名，请你估算该校八年级学生成绩优秀的人数．
18．每年的月日是中国的全国法制宣传日，也是国家宪法日．某中学为了提高学生对宪法知识的了解，在全校开展了主题为“学宪法知识，做守法公民”的知识竞赛活动．为了解学生竞赛情况，学校从中随机抽取了部分参赛学生的成绩（成绩为整数），将成绩分成六组：组为，组为，组为，组为，组为，组为，整理并绘制出如下两幅不完整的频数分布直方图和扇形统计图．
请根据图表信息解答以下问题：
(1)本次调查随机抽取了 名参赛学生的成绩．在扇形统计图中 组所在扇形的圆心角是 度；
(2)补全频数分布直方图，并直接写出学生竞赛成绩的中位数落在______组；
(3)若取每组成绩的中点值作为该组的平均成绩（例如组的中点值为： ）试求抽取的该部分参赛学生的平均成绩．
19．校园文化艺术节到了，学校打算从4名符合条件的学生（男、女各2名，含男生甲）中，随机选择两名学生担任开幕式主持人．
(1)男生甲被选中的概率是________；
(2)请用列表或画树状图的方法，求恰好选中1名男生和1名女生的概率．
20．小明买了4颗混装风信子种球，颜色分别为红色、紫色、蓝色、白色，种球形状、大小无差别，小明随机将这4颗种球分别用4个玻璃瓶进行水培，其中2个玻璃瓶是彩色的，2个玻璃瓶是无色透明的．
(1)其中1个彩色玻璃瓶装有1颗风信子种球是______事件（填“随机”“必然”或“不可能”）；
(2)请用列表或画树状图的方法，求红色风信子种球刚好培养在彩色玻璃瓶中的概率．
21．将一副扑克牌中点数为“2”、“3”、“4”、“6”的四张牌背面朝上洗匀，先从中抽出1张牌，记录下牌面点数为，再从余下的3张牌中抽出1张牌，记录下牌面点数为．设点的坐标为．
(1)请用列表法或树状图法列出点所有可能的情况．
(2)求点在直线上的概率．
22．为落实“双减”政策，丰富学生课余生活，学校举办了机器人编程竞赛．在竞赛过程中，甲、乙两名学生表现突出，他们在近七场比赛中关于程序运行速度（单位：毫秒）、程序功能完整性得分、程序漏洞数量三个方面的统计结果如下表所示，比赛得分如下图所示：
技术统计表
学生 平均每场程序运行速度 平均每场程序功能完整性得分 平均每场程序漏洞数量
甲 120 9 2
乙 130 8 1
比赛得分统计图
根据以上信息，回答下列问题：
(1)这七场比赛中，得分更稳定的是_____（填“甲”或“乙”）学生；甲学生比赛得分的中位数为_____分，乙学生比赛得分的中位数为_____分；
(2)请从程序运行速度、程序功能完整性得分、程序漏洞数量三个方面分析，这七场比赛中，甲、乙两名学生谁的表现更好；
(3)规定参赛选手的综合得分为：平均每场程序运行速度平均每场程序功能完整性得分平均每场程序漏洞数量，且综合得分越高表现越好．请从综合得分方面，比较这七场比赛中甲、乙两名学生谁的表现更好．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 C D B C C C B C C
1．C
【分析】此题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题的关键是要分清具体问题中的总体、个体与样本，明确考查的对象，总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小，样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
根据总体、个体、样本、样本容量的有关概念逐一排除即可．
【详解】解：、名学生的身高情况是总体的一个样本，原选项叙述正确，不符合题意；
、名学生的身高情况是总体，原选项叙述正确，不符合题意；
、每名学生的身高是总体的一个个体，原选项叙述错误，符合题意；
、样本容量是，原选项叙述正确，不符合题意；
故选：．
2．D
【分析】本题考查了统计表，众数、中位数和加权平均数，根据统计表及众数、中位数和加权平均数的定义解答即可判断求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：、∵每天锻炼时间为分钟的人数最多，
∴众数是，该选项说法错误，不合题意；
、∵共抽取了名同学每天的锻炼时间，
∴中位数是第个同学和第个同学每天锻炼时间的平均数，
∴中位数是，该选项说法错误，不合题意；
、由表可得，平均数，该选项说法错误，不合题意；
、由表可得，抽取的学生数为，该选项说法正确，符合题意；
故选：．
3．B
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．
【详解】A、了解居民对废电池的处理情况适宜采用抽样调查方式；
B、为了制作校服，了解某班同学的身高情况适宜采用全面调查方式；
C、某种LED灯的使用寿命适宜采用抽样调查方式；
D、某类烟花爆竹燃放的安全性适宜采用抽样调查方式；
故选：B．
【点睛】本题考查抽样调查和全面调查，解题的关键是知道对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
4．C
【分析】本题考查了随机事件，绝对值的非负性，三角形内角和定理，熟练掌握这些数学知识是解题的关键．根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点逐一判断即可解答．
【详解】解：、是实数，则，是不可能事件，故不符合题意；
、掷一枚硬币时，正面朝上，是随机事件，故不符合题意；
、三角形内角和是，是必然事件，故符合题意；
、任意买一张电影票，座位号是单号，是随机事件，故不符合题意；
故选：C．
5．C
【分析】本题考查事件的分类，根据一定条件下，一定会发生的事件为必然事件，一定不会发生的事件为不可能事件，可能发生也可能不发生的事件为随机事件，据此进行判断即可．
【详解】解：A、是不可能事件，不符合题意；
B、是不可能事件，不符合题意；
C、是随机事件，符合题意；
D、是必然事件，不符合题意；
故选C．
6．C
【分析】本题考查了扇形统计图，用乘以“巧妙用水”的人数占比即可求解，正确计算是解题的关键．
【详解】解：，
∴表示“巧妙用水”扇形的圆心角度数是，
故选：．
7．B
【分析】此题考查了平均数的计算，根据平均数的计算方法求解即可．
【详解】解：
∴这组数据的平均数为59．
故选：B．
8．C
【分析】本题考查了概率公式，直接用概率公式即可求解，掌握概率公式是解题的关键．
【详解】解：由题意可得，只有闭合开关，能使灯泡发光，
∴随机闭合开关 中的任意一个，能使灯泡发光的概率是，
故选：C．
9．C
【分析】本题考查了列表法与树状图法：先画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出只有一次抽到安阳的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：把洛阳、开封、安阳、郑州分别记作，，，，画树状图为：
共有16种等可能的结果数，其中只有一次抽到安阳的结果数为6，
两次抽到卡片只有一次抽到安阳的概率为．
故选：C．
10．800
【分析】本题主要考查了扇形统计图和条形统计图、用样本估计整体等知识点，正确从统计图上获取信息成为解题的关键．
先2天的学生数除以其所占的百分比求出调查的学生总数，然后求出4天学生所占的百分比，最后用样本估计整体即可解答．
【详解】解：本次调查的学生数为：人，
4天学生所占的百分比为，
所以计该校九年级参加“综合与实践”活动天数达到4天及以上的人数为人．
故答案为：800．
11．2
【分析】本题考查了折线统计图及中位数，要明确定义，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．从图中列出一月1日至10日最低气温，根据数据可以知道中位数是按从小到大排序，第5个与第6个数的平均数．
【详解】解：10天的气温排序为：，
中位数为：，
故答案为：2．
12．乙
【分析】本题考查了平均数和方差，首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加即可．
【详解】解：∵乙、丙成绩的平均数大于甲、丁成绩的平均数，
∴从乙、丙中选择一人参加比赛，
∵，
∴选择乙参赛，
故答案为：乙．
13．
【分析】本题考查了加权平均数的计算，掌握加权平均数的计算方法是解题的关键．
根据题意，运用加权平均数的计算方法计算即可．
【详解】解：（分），
故答案为：．
14．
【分析】此题考查了概率公式，实数，用到的知识点为∶概率=所求情况数与总情况数之比．解题的关键是找到6个数中有理数的情况数． 找出6张卡片中有理数的个数，除以6即可确定出所求事件的概率．
【详解】解：在，，，0，，这6个数中，
有理数为∶，，0，，共4个数，
则P(卡片上的数为有理数)．
故答案为∶ ．
15．
【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．根据题意画出树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，根据概率公式求解可得．
【详解】解：印刷术、造纸术、火药和指南针分别用A、B、C、D表示，
根据题意画图如下：
由图可知，共有 12 种等可能结果，其中恰好是“指南针”和“印刷术”的有 2 种，
则抽到的两张卡片恰好是“指南针”和“印刷术”的概率是．
故答案为：．
16．/
【分析】此题考查求一元一次不等式组的整数解，用树状图或列表法求概率，先解不等式组求出整数解，再画出树状图，用概率公式求出概率即可．
【详解】解：
解不等式①得，
解不等式②得，
∴不等式组的解集为
则不等式组的整数解为,共4个，
画树状图如下；
共有16个可能的结果，第二次抽取的数字大于第一次抽取的数字的结果有6个，
∴第二次抽取的数字大于第一次抽取的数字的概率为．
故答案为：
17．(1)60；
(2)见解析
(3)
(4)该学校八年级学生成绩优秀的人数约为560人．
【分析】本题主要考查频数分布表，频数以及频率的定义，理解样本与总体、频数与频率之间的区别与联系是求解本题的关键．
（1）根据分数段的频数和频率即可计算调查的总人数，然后根据分数段的频数计算频率求得a的值；
（2）先求得b的值，根据表中数据绘制条形图即可；
（3）根据中位数的定义求解即可；
（3）使用样本中的优秀率估计总体学生的优秀人数即可．
【详解】（1）解：参与调查的总人数为：（人），
∴，
故答案为：60；；
（2）解：，
补全的频数分布直方图如图所示，
；
（3）解：中位数在第30和31个数，
，，
∴学生成绩的中位数在分数段；
故答案为：；
（4）解：∵，
∴该学校八年级学生成绩优秀的人数约为560人．
18．(1)，；
(2)补全频数分布直方图见解析，；
(3)抽取的该部分参赛学生的平均成绩为分．
【分析】（）用频数(率) 分布直方图中的人数除以扇形统计图中的百分比可得本次调查随机抽取的学生人数，用乘以本次调查中的人数所占的百分比，即可得出答案；
（）求出组的人数，补全频数分布直方图即可，根据中位数的定义可得答案；
（）根据平均数的定义计算即可；
本题考查频数 (率) 分布直方图、扇形统计图、加权平均数、中位数，能够读懂统计图，掌握加权平均数、中位数的定义是解题的关键．
【详解】（1）本次调查随机抽取了（名）参赛学生的成绩，
在扇形统计图中F组所在扇形的圆心角是，
故答案为：，；
（2）组的人数为(人)，
补全频数分布直方图如图所示.
将名学生的成绩按照从小到大的顺序排列，排在第和位的成绩都落在组，
∴学生竞赛成绩的中位数落在组，
故答案为：；
（3）组的中点值为，
组的中点值为，
组的中点值为，
组的中点值为，
组的中点值为，
组的中点值为，
∴抽取的该部分参赛学生的平均成绩为
．
19．(1)
(2)
【分析】本题考查的是用概率公式求概率及用树状图或表格求概率；
（1）根据概率公式即可求概率；
（2）根据题意，画出树状图，数出所有的情况数和符合条件的情况数，求出概率即可．
【详解】（1）解：从4名符合条件的学生（男、女各2名，含男生甲）中，随机选择两名学生担任开幕式主持人，男生甲被选中的概率是；
（2）解：设男生用A表示，女生用B表示，画树状图如下：
由上可得，共有12种等可能的结果，其中恰好选中1名男生和1名女生的结果有8种，
故P（恰好选中1名男生和1名女生）．
20．(1)必然
(2)
【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，事件的分类，正确理解题意是解题的关键．
（1）根据随机，必然和不可能事件的定义求解即可；
（2）先画树状图得到所有等可能性的结果数，再找到红色风信子种球刚好培养在彩色玻璃瓶中的结果数，最后根据概率计算公式求解即可．
【详解】（1）解：根据题意可知每个玻璃瓶中都会装一颗风信子种球，故其中1个彩色玻璃瓶装有1颗风信子种球是必然事件；
（2）解：根据题意，画树状图如下：
由树状可知，共有12种等可能的结果，其中红色风信子种球刚好培养在彩色玻璃瓶中的结果有6种，故所求概率为．
21．(1)见解析；
(2)．
【分析】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．也考查了一次函数图像上点的坐标特征．
（1）利用画树状图展示所有12种等可能的结果数即可；
（2）先找出点P在抛物线上的情况数，再根据概率公式求解即可．
【详解】（1）解：画树状图为：
共有12种等可能的结果数；
（2）解：只有，在直线上，
∴点在直线上的上的结果数为2，
∴点在直线上的概率是．
22．(1)甲；17 ；18
(2)乙学生的表现更好
(3)乙学生的表现更好
【分析】本题主要考查了折线统计图，中位数，众数和加权平均数，正确理解题意是解题的关键．
（1）由折线统计图可知，甲同学的得分波动更小，即稳定性更好；再由中位数的定义求出两名同学的成绩的中位数即可；
（2）根据甲的漏洞数量多于乙即可得到结论；
（3）根据最后得分的计算方法分别求出两名同学的得分即可得到答案．
【详解】（1）解：由折线统计图可知，甲同学的得分波动更小，即稳定性更好；
按照得分高低，把两人七场比赛成绩按照从低到高排列，甲：15分，15分，16分，17分，17分，17分，18分，乙：13分，15分，17分，18分，18分，19分，19分，
∴甲的中位数为17分，乙的中位数为18分；
（2）解：虽然甲的运行速度比乙的快，且功能完整性得分甲也比乙高，但是甲的漏洞数量多于乙，故乙学生的表现更好；
（3）解：甲的得分为，
乙的得分为，
∵，
∴乙学生的表现更好．
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