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解直角三角形 典型考点冲刺练 2026年初中数学中考复习备考
一、单选题
1．如图，矩形为一个正在倒水的水杯截面图，，杯中水面与交于点，当水杯底面与水平面的夹角为时，则杯中水的最大深度（即的长）为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在量角器的圆心O处下挂一铅锤，制作了一个简易测倾仪．量角器的0刻度线对准楼顶时，铅垂线对应的读数是，则此时观察楼顶的仰角度数是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在菱形中，于点E，，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．
4．如图，某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把坡角由减至，已知原楼梯长为5米，调整后的楼梯会加长（ ）（参考数据：，，）．
A．0.5米 B．1米 C．1.5米 D．2米
5．如图，在中，，，，点D为边上一点，且，以点D为圆心，以为半径作弧，交于点E，连接，再分别以B、E为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点M、N，作直线交于点F，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．
6．如图，在菱形中，，点O是的中点，过点C作交的延长线于点E，连接．若菱形的边长是，则的长是（ ）
A． B． C．4 D．6
7．如图，四边形内接于，是的直径，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，AE交BF于点H，交BF于点G，下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
二、填空题
9．如图，焊接一个钢架，包括底角为的等腰三角形外框和3m高的支柱，则共需钢材约______m（结果取整数）．（参考数据：，，）

10．如图，身高1.6米的小亮站在点测得旗杆的仰角为，小亮向旗杆走了6米到达点，测得旗杆的仰角为，则旗杆的高度为______米．（，，）
11．在天花板上嵌入灯带可以与主灯配合使用，确保整个房间的光线更加均匀．如图，学校要为某会议室的天花板上嵌入灯带，工人师傅将平面镜放置在点A处，使得沿着天花板边缘O射入的光线，经过平面镜反射后恰好落在灯带的左侧端点C处，此时利用测角仪测得天花板边缘O的仰角为，移动平面镜到达点B处，此时沿着天花板边缘O射入的光线，经过平面镜反射恰好落在灯带的右侧端点D处，此时测得天花板边缘O的仰角为，该会议室天花板的高度为，则灯带的长约为________．（结果精确到，参考数据：）
12．如图，在菱形中，，．点E，F分别是，边上的动点，且，以为边向右作等边，连接，，．当时，的值为___________．
13．在等腰中，，点O是的角平分线上的一点，半径为1的经过点B，将沿方向平移，当与的边相切时，平移的距离是___________．
14．如图，点是边长为的正八边形围成的区域（包括各边）内的一点，分别延长边和边相交于点，点分别在射线和上，过点分别作交于点，交于点．设，，令，则的取值范围是______．
三、解答题
15．综合与实践
【问题呈现】
（1）如图①，和都是等腰直角三角形，，连接，，则，之间的数量关系是_______，________．
（2）如图②，在中，，，（不与点，重合）是直线上的一动点，将线段绕点按顺时针方向旋转得到，连接，．
【类比探究】
①如图②，点在线段上时，求证：．
【拓展提升】
②如图③，，在点运动的过程中，当时，请直接写出的长．
16．综合与实践
综合实践课上，同学们探究“特殊四边形背景下的旋转问题”．
问题情境：为四边形的边上一点 (不与端点重合)，作射线，并将射线绕点在平面内旋转，记旋转角为α． ，．
(1)当旋转后的射线交射线于点时．
①如图1，四边形为正方形，则 ；、、之间的数量关系是 ；
②如图2，四边形为矩形， 设 求DF的长；(用含m、n、a的式子表示)
(2)如图3， 四边形为菱形， ，，，在旋转过程中，设点的对应点为，当点落在射线或射线上时，请直接写出线段的长．
17．一副三角板分别记作和，其中，．如图1，作于点于点．
(1)求证：；
(2)在同一平面内，将图1中的两个三角形按如图2所示的方式放置，点与点重合，记为点，点与点重合，将图2中的绕点按顺时针方向旋转后，延长交直线于点．
①当时，如图3，求证：四边形为正方形．
②若，当，且时，请直接写出的长．
18．阅读下面材料：
嘉淇遇到这样一个问题：如图1，是等边三角形，P是三角形内部一点，且，求的度数．
嘉淇是这样思考的：如图2，将绕点A逆时针旋转得到，连接，可以根据边角边证明，进而通过判定得到两个特殊的三角形解决问题．
（1）嘉淇遇到的问题中，的度数是 ．（请直接写出答案）
参考嘉淇同学的思路，解决下列问题：
（2）如图3，在正方形内有一点P，且，，求正方形的边长．
（3）如图4，在中，，点在边上，．若是等腰三角形的腰长，请直接写出的值．
19．一个半圆形桥洞截面如图所示，O为圆心，是半圆弧的中点，直径是河底线，弦是水位线，，在点测得点的仰角为，已知水深（点到河底线的距离）．
(1)连接，求及的长；（参考数据：）
(2)受暴雨影响，水面以平均每小时的速度升高，若不及时进行开闸泄洪，则经过多长时间水面将淹没整个桥洞？
20．综合实践课上，数学兴趣小组以三角形为研究对象进行了数学探究活动．
初步探究：
（1）如图①，在中，，．以为斜边作等腰直角，其中．分别过点，作于点，于点．则与的数量关系为__________．
拓展延伸：
（2）如图②，将图①中的绕点沿顺时针方向旋转得到，射线与直线交于点．
①当时，四边形的形状为__________；
②当时，请你写出，，的数量关系，并证明你的结论．
综合运用：
（3）在旋转的过程中，若，当，时，请直接写出的长度．
21．菱里城又称文王庙，是周易文化发祥地．羑美里城遗址内耷立着一尊花岗岩文王雕像（如图1）．某数学兴趣小组利用测角仪和卷尺测量文王雕像的高度．如图2，在M处用测角仪测得雕像底部B的仰角，沿方向前进到达点N处，又测得雕像顶端A的仰角．已知雕像底部B距离水平地面的高度为，若测角仪和的高度均为，测量点，与点在同一水平线上，求文王雕像的高度．（结果保留整数．参考数据：，，，，，）．
22．无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测中．如图，某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为的处测得试验田右侧边界处俯角为，无人机垂直下降至处，又测得试验田左侧边界处俯角为，求边界之间的距离．（结果保留整数，参考数据：，．）
23．如图，甲，乙两艘巡逻艇在某海域处时，收到指令要分别途经海上观测点和，并最终到达处正北方向200海里的处执行任务．观测点在出发点的西北方向且在目的地的西南方向，观测点在出发点的北偏东方向且在目的地的北偏东方向．（参考数据：）
(1)求AC的距离．（结果保留根号）
(2)在本次任务执行中，甲巡逻艇选择途经观测点，乙巡逻艇选择途经观测点，已知甲巡逻艇的速度为每小时20海里，乙巡逻艇的速度比甲巡逻艇的速度每小时快10海里，请通过计算说明甲、乙巡逻艇谁先到达目的地D．（结果精确到0.1）
24．每年3月20日是“世界口腔健康日”．下图是口腔科用的综合治疗椅，其中灯的灯臂长，与水平线的夹角为 ，连接处和灯柄的长相等，都等于，与水平线的夹角为，根据患者在治疗椅上所躺的位置，医生调节灯，使灯柄与水平线的夹角为 时给患者治疗光线最好，求此时、两点在竖直方向上的距离．(结果精确到．参考：取，取，取，取，取)
25．“复矩尺”是我国唐朝时期张遂研究天文时制作的工具，其构造如图：组成直角的两边一长一短，角的内部有一弧形刻度，角顶点处有一丝线系一铜锤，用来测量北极星方向与水平线的夹角（图中的角）．小亮用自制的复矩尺用来测量濮阳龙碑的高度，将复矩尺的长边瞄准龙碑顶部，测得底座，龙碑底部B到D的距离，．请帮小亮计算出龙碑的高度．（结果精确到，参考数据：，，）
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A B B C A C D
1．B
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，先求出，再解即可．
【详解】解：如图，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴杯中水的最大深度为．
故选：B．
2．A
【分析】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，仰角是向上看的视线与水平线的夹角，解题关键是作出辅助线构造直角三角形求出的度数．过点作于点，根据直角三角形的性质可求的度数，再根据仰角的定义即可求解．
【详解】解：如图，过点作于点，
，
，
此时观察楼顶的仰角度数是．
故选：A．
3．B
【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，菱形的性质，解直角三角形得到，设，则；由菱形的性质可得，，则，，再根据正切的定义求出即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
设，
∴；
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，，
∴，
故选：B．
4．B
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，坡度坡角问题，掌握坡角的概念，熟记三角函数的定义是解题的关键．根据正弦三角函数的定义先求出楼梯的高度，然后因为楼梯的高度不变，再根据正弦三角函数的定义求出调整后楼梯的长度，则可调整后的楼梯的长度变化．
【详解】解：由题意得：，
∴，
∴调整后的楼梯长，
∴调整后的楼梯会加长：．
故选：B．
5．C
【分析】本题考查尺规作图——作线段，作垂直平分线，解直角三角形，等腰三角形的性质．
由作图可知，是的垂直平分线，在中，解直角三角形得到，，．过点D作于点H，设与的交点为G，在中，，由等腰三角形的性质得到，从而，在中，解直角三角形即可．
【详解】解：由作图可知，是的垂直平分线，
∵，，，
∴在中，，
，
．
过点D作于点H，设与的交点为G，
∴在中，，
∵，，
∴，
∴，
∵是的垂直平分线，
∵，
∴在中，．
故选：C
6．A
【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形的应用，等边三角形的判定和性质等知识，掌握相关知识点是解题关键．连接，根据菱形的性质，得到，进而求出，再证明，得到，从而证明是等边三角形，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
四边形是菱形，，边长是，
，，，，
，
，
，
，
，
又，，
，
，
，，
，
，
，
是等边三角形，
，
故选：A．
7．C
【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，根据特殊三角函数值求角度；连接，根据直径所对的圆周角是直角得到，然后根据正弦的定义求出，进而求出，再根据圆内接四边形的性质即可求出的度数．
【详解】解：如图，连接，
是的直径，
，
，，
，
，
，
，
四边形内接于，
，
，
故选：C．
8．D
【分析】①根据正方形的性质求证△BHE是直角三角形即可得到结果； ②由①求证△CGF∽△BCF，利用其对应边成比例即可得到结论； ③由①求证△BHE≌△CGF即可得出结论； ④利用相似三角形对应边成比例即可得出结论．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠BCD=90°，CD=BC=AB，
∵E、F分别是边BC，CD的中点，
∴BE=BC，CF=CD，
∴BE=CF，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠BEA=∠CFB，
∵，
∴∠GCB=∠AEB，
∴∠CFG=∠GCB，
∴∠CFG+∠GCF=90°，即△CGF为直角三角形，
∵，
∴△BHE也是直角三角形，
∴sin∠HBE=cos∠HEB． 故①正确；
由①得，∠CGF=90°，
∴∠CGF=∠BCF=90°，
∵∠CFG=∠BFC，
∴△CGF∽△BCF，
∴ ，
∴CG BF=BC CF=CD CF， 故②正确；
由①得，∠BHE=∠CGF=90°， 由②得，△CGF∽△BCF，
∴∠HBE=∠GCF，
∵BE=CF，
∴△BHE≌△CGF（AAS），
∴BH=CG，而不是BH=FG， 故③错误；
∵
△BCG∽△BFC，
∴ ，
即BC2=BG BF， 同理可得：△BCF∽△CGF，
∴CF：GF=BF：CF，
∴CF2=BF GF，
∴ ， 故④正确；
综上所述，正确的有①②④．
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质及解直角三角形等知识点，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
9．21
【分析】根据解直角三角形及等腰三角形的性质可进行求解．
【详解】解：∵是等腰三角形，且，
∴，
∵，
∴，
∴共需钢材约为；
故答案为21．
【点睛】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数是解题的关键．
10．
【分析】本题主要考查解直角三角形的应用；在中，得到，在中，得到，再根据，计算即可求出．
【详解】解：
在中，
∴
在中，
∴
∵
∴
∴
∴
答：旗杆的高度为米；
故答案为：．
11．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，作垂线构造直角三角形是解题的关键．作于点，作于点，由题意得，，，根据光的反射得到，，推出，，再解和求出的长，得出的长，再利用即可求解．
【详解】解：如图，作于点，作于点，
由题意得，，，，
根据光的反射可得，，
又，，
，
，
同理可得：，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
，
灯带的长约为．
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，含60度角的直角三角形，勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题关键．
在上截取，连接，过点D作的延长线于点N，延长，交于点H，过点G作于点P，设，可得，根据菱形和等边三角形的性质，证明，继而求出，，，从而表示出，证明四边形是矩形，即可得到，在中，利用三角函数求出，列出一元一次方程，即可解答．
【详解】解：在上截取，连接，过点D作的延长线于点N，延长，交于点H，过点G作于点P，如图，
有，，
设，则，，
∵四边形是菱形，，，
，，
∴，
∴，，
是等边三角形，
，，
∴，
，
，，，
∴，
∴，
∴，，，
∴，，
∴，，，
∴，，
∴四边形是矩形，，，
∴，，
∴，即，
解得，
∴．
故答案为：．
13．或
【分析】本题主要考查了切线的性质，解直角三角形，勾股定理，等边对等角和三角形内角和定理，过点B作交延长线于H，则，解直角三角形可得，证明，则可求出；再分当与相切时，当与相切时，两种情况讨论求解即可．
【详解】解：如图所示，过点B作交延长线于H，
∵等腰中，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴；
如图1所示，当与相切时，设切点为G，连接，则，
∴，
∴，
∴此时的平移距离为；
如图2所示，当与相切时，设切点为S，连接，在上取一点R使得，连接，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴此时的平移距离为；
综上所述，与的边相切时，平移的距离是或．
故答案为：或．
14．
【分析】本题主要考查正多边形的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握以上知识，数形结合分析是关键．
根据题意，正八边形的每个内角的度数为，如图所示，连接，过点作于点，过点作于点，延长交于点，过点作，四边形是平行四边形，是等腰直角三角形，分类讨论：当点与点重合时；当点与点重合时；当点与点重合时；由等腰三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵点是边长为的正八边形围成的区域（包括各边）内的一点，
∴正八边形的每个内角的度数为，
如图所示，连接，过点作于点，过点作于点，延长交于点，过点作，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
当点与点重合时，
∴，，
∴；
当点与点重合时，
同理，，，
∴点与点重合，点与点重合，点与点重合，
∴，，
∴；
当点与点重合时，
同理，点与点重合，点与点重合，点与点重合，点与点重合，
∴，
∴；
∴．
15．（1）；；（2）①见解析；②
【分析】本题考查的是相似三角形的性质和判定、勾股定理、直角三角形的性质，勾股定理，以及旋转的性质等知识点．
（1）证明，根据相似三角形的性质可得，；
（2）同理（1）可得可求，，由此求出；
（3）分当在内时，当在外时， 两种情况，结合（1）的结论，利用直角三角形性质和勾股定理解三角形即可求解．
【详解】解：（1）；；
∵和都是等腰直角三角形，，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，，
∴，，
故答案为：；；
（2）①如图②，过点作，垂足为，
∵在中，，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
由旋转可知：是等腰直角三角形，
同理（1）可得：；；
设，，
则，，，
∴，
∴，
②当在内时，如图③-1，过点作，垂足为，
同理可得：，；；
∵在中，，，
∴，
∴，
∴当时，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
当在内时，如图③-2，
同理可求：，，
∴
综上所述：长为
16．(1)①1，；②
(2)或
【分析】本题主要考查了旋转的性质，利用旋转模型证明三角形全等或相似是解题（1）关键，由特殊角构造直角三角形解三角形是解（2）的关键．
（1）根据旋转全等模型容易证明即可得出，进而可得结论；②旋转相似模型容易证明，得，即可得，由即可解题；
（2）分两种情况利用特殊角构造直角三角形，由勾股定理解三角形求解即可．
【详解】（1）①解：∵四边形为正方形，
∴，即，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴ ，
∴，
∵在四边形为正方形中，，
∴，
∴．
②当四边形为矩形，
∴，，
又∵
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴
（2）解：当点落在射线上时，过点作，垂足为，
∵四边形为菱形，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
，
由旋转可知：，
∴，
∴，
当点落在射线上时，过点作，垂足为，
同理可求：，，，
∴，
综上所述：当点落在射线或射线上时，线段长为或
17．(1)见解析
(2)①见解析；②2或4
【分析】（1）利用等腰直角三角形与含30度角的直角三角形的性质可得结论；
（2）①证明，，可得，证明，可得四边形为矩形，结合，即，而，可得，从而可得结论；②如图，当时，连接，证明，可得，结合，可得；如图，当时，连接，同理，结合，可得；再根据，即可求出答案．
【详解】（1）证明：设，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：①∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为矩形，
∵，即，
而，
∴，
∴四边形是正方形；
②如图，当时，连接，
由（1）可得：，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
如图，当时，连接，
由（1）可得：，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴；
综上所述，或．
【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，正方形的判定，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键．
18．（1）；（2）；（3）或
【分析】（1）由旋转的性质可得是等边三角形，得到，，再根据等边三角形的性质，证明，得到，，再结合勾股定理逆定理，得到，即可得出的度数；
（2）把绕点逆时针旋转得到．由旋转的性质得到是等腰直角三角形，再结合勾股定理逆定理，得到，进而推出、、三点共线．过点作于点，根据等腰三角形三线合一的性质，得到，最后利用勾股定理求解即可；
（3）分两种情况求解：当时，将绕点顺时针旋转，得到，连接，过点作于点．根据等腰三角形的判定性质证明全等，再利用锐角三角函数求解；当时，将绕点顺时针旋转，得到，连接，过点作于点．同理可知，再利用等腰三角形三线合一的性质和锐角三角函数求解即可．
【详解】（1）解：如图，将绕点A逆时针旋转得到，连接，
，，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，即，
在和中，
，
，
，，
，，，
，
，
，
故答案为：
（2）解：如图，把绕点逆时针旋转得到．
由旋转的性质，得，，，
是等腰直角三角形，
，，
，
又，
，
，
，
．
、、三点共线．
过点作于点，
则，
．
在中，，
正方形的边长为；
（3）解：的值为或．
当时，如图，将绕点顺时针旋转，得到，连接，过点作于点．
在中，，，
，
，，
，
， ，
由旋转的性质得，，，，，
．
又，
，
，，
．
，
，
．
，
，，
．
在中，，
，
；
当时，如图，将绕点顺时针旋转，得到，连接，过点作于点．同理可知，
，，
，
综上所述，的值为或．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形的应用，全等三角形的判定和性质，利用旋转的性质正确作辅助线是解题关键．
19．(1)，的长约
(2)经过6小时水面将淹没整个桥洞．
【分析】本题主要考查了解直角三角形以及圆周角定理的应用．
（1）根据直角三角形两锐角互余可求出，解和，求出，再由求解即可；
（2）求出的长，即可求出结论．
【详解】（1）解：连接，
∵E是半圆弧的中点，
∴，
∴，
由题意可知，
∴，
∵，
∴，
∵是半圆的直径，
∴，，
∵，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，的长约；
（2）解：∵，
∴
∵，
∴，
∴（小时），
即经过6小时水面将淹没整个桥洞．
20．（1）；（2）①正方形；②，证明见解析；（3）或
【分析】（1）利用等腰直角三角形与含30度角的直角三角形的性质可得结论；
（2）①根据旋转的性质得出，，根据含30度角的直角三角形的性质得出，得出，则，根据，进而得出，即可证明四边形是矩形，根据即可证明四边形是正方形；
②连接，证明，结合，则，，根据，即可得出结论；
（3）根据（2）②的结论，直接可得当，，进而求得当时，，代入数据，即可求解．
【详解】（1）解：∵等腰直角，，
∴，
在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）①∵将图①中的绕点沿顺时针方向旋转得到，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴四边形是矩形，
又∵，
∴，
∴四边形是正方形，
故答案为：正方形．
②连接，
为等腰直角三角形，，
为的中点，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，，
，
．
（3）当，由（2）可得：，
∵，，
∴；
如图，当时，连接，
同（2）可得，
，
，
，，，
，
，
∵，，
∴，
综上所述，的长为或
【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，正方形的判定，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键.
21．文王雕像的高度约为
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，运用解直角三角形求得所需线段的长度成为解题的关键．
由题意得，，，，易得，在中解直角三角形可得，易得；在中，解直角三角形可得，最后根据线段的和差即可解答．
【详解】解：由题意得，，，，
，
在中，，．
∴．
，
在中，，，
，
．
答：文王雕像的高度约为6m．
22．边界C，D之间的距离约为
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题意可利用锐角三角函数的定义求出，的长，再利用线段的和差关系求出的长即可解答．
【详解】解：由题意
在中，，
∵
∴．
在中，，
∵，
∴，
∴，
答：边界C，D之间的距离约为．
23．(1)海里
(2)乙先到，见解析
【分析】本题考查解直角三角形的应用，涉及锐角三角函数，本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可把条件和问题放到直角三角形中，进行解决．有公共直角边的先求这条直角边．
（1）过点作，垂足为，先求得，由，求得，在中，，再求解即可；
（2）先求得，再由，可得，从而得出，可得出甲巡逻艇用时为小时，再求得，得出海里，再比较可得出结论．
【详解】（1）解：如图，过点作，垂足为．
由题意，得，在中，，
．
，
．
在中，．
海里．
（2）解：中，，
．
，
．
．
甲巡逻艇用时为小时．
由（1）知
．
海里．
乙巡逻艇用时为小时．
，
乙巡逻艇先到达目的地．
24．
【分析】本题考查解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键．
利用锐角三角函数，分别求出点、点、点与点在竖直方向上的距离，计算即可．
【详解】解：根据已知可得，
、两点在竖直方向上的距离为，
、两点在竖直方向上的距离为，
、两点在竖直方向上的距离为，
∴、两点在竖直方向上的距离为
答：、两点在竖直方向上的距离为．
25．堠阳龙碑的高度约为
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，过点C作于E，根据正切的定义求出，进而求出．
【详解】解：如图，过点C作于点E，
则四边形为矩形，
，，
由题意可知：，
在中，，，
，
，
解得，
，
答：堠阳龙碑的高度约为．
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