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浙江省宁波市海曙区宁波荣安实验中学2024-2025学年高一下学期6月期末数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上
1．复数的虚部为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】解：由题意知，复数的虚部为.
故答案为：B.
【分析】根据复数的虚部的定义，从而得出复数z的虚部.
2．化简=（　　）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【知识点】向量加法的三角形法则
【解析】【解答】解：，
故答案为：B
【分析】利用向量加法的三角形法则，通过调整运算顺序进行化简。
3．抛掷一枚质地均匀的骰子一次，出现点数为偶数的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：抛掷一枚质地均匀的骰子一次，点数可能有：，共6种可能；
其中是偶数的有：，共3种可能，所以出现点数为偶数的概率为，
故选：A．
【分析】根据古典概型概率公式计算概率即可.
4．如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（　　）
A．6 B．9 C．12 D．15
【答案】C
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：由的直观图可知原图中，，
所以的面积为.
故答案为：C.
【分析】要根据斜二测画法的规则，将直观图还原为原平面图形，再用直角三角形面积公式计算原三角形面积.“识别直观图特征，还原原图，计算面积”.
5．已知空间3条不同的直线m，n，l和平面，则下列说法正确的是（　　）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】C
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：对于选项A，若，，
则或相交或异面，故A错误；
对于选项B，若，，
则或，故B错误；
对于选项C，若，不妨设，则，
因为，，
所以，
则，故C正确；
对于选项D，若，，
则或相交，故D错误.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件和举反例以及空间中直线与直线的位置关系、直线与平面的位置关系，从而判断出选项A、选项B和选项D；利用线面平行的性质定理和线面垂直的性质定理，则判断出选项C，从而找出说法正确的选项.
6．已知圆锥的底面半径为3，高为4，则该圆锥的表面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用
【解析】【解答】解：圆锥母线，
则圆锥的表面积，
故答案为：D.
【分析】先根据勾股定理求出圆锥母线长，再利用圆锥表面积公式计算。
7．投掷一枚均匀硬币和一个均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件，“骰子向上的点数大于4”为事件，则事件，中至少有一个发生的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：由题意得，
事件，中至少有一个发生的对立事件是事件，都不发生，
又因为事件不发生的概率为，事件不发生的概率为，
所以事件，都不发生的概率为，
故事件，中至少有一个发生的概率是.
故答案为：D.
【分析】将所求事件的概率转化为求对立事件的概率，再利用独立事件乘法求概率公式和对立事件求概率公式，从而得出事件，中至少有一个发生的概率.
8．已知的内角所对的边分别为，若，则的形状一定是（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
【答案】D
【知识点】简单的三角恒等变换；正弦定理的应用；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：因为，
所以由正弦定理边角互化得，
因为，
，
所以，
整理得
所以，
所以或，
因为，
所以或，即的形状一定是等腰或直角三角形
故答案为：D
【分析】利用正弦定理将边化角，再结合三角恒等变换化简，根据乘积为0的条件判断三角形形状。
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9．已知复数，则（　　）
A．为纯虚数
B．复数在复平面内对应的点位于第四象限
C．
D．满足的复数在复平面内对应的点的轨迹为直线
【答案】A,D
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的加减运算；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：A选项：由，所以为纯虚数，所以A选项对；
B选项：由，所以在复平面内对应点为轴正半轴，所以B选项错；
C选项：由，
又，
所以，所以C选项错；
D选项：假设，，
因为，
所以，
解得，
所以复数在复平面内对应的点的轨迹为轴，所以D正确.
故答案为：AD.
【分析】利用复数的加减、乘除法则进行计算，结合复数的几何意义以及共轭复数的概念对每一个选项进行判断即可得到结果.
10．对于事件和事件，，，则下列说法正确的是（　　）
A．若与互斥，则 B．若与互斥，则
C．若，则 D．若与相互独立，则
【答案】B,D
【知识点】概率的基本性质；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件
【解析】【解答】解：AB、若与互斥，则，，
故A错误，B正确；
C、若，则，即，故C错误；
D、若与相互独立，则，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】由互斥事件的定义，代入计算即可判断AB；由，则即可判断C；由相互独立事件的定义即可判断D.
11．如图，在棱长为2的正方体中，为正方体的中心，为的中点，为侧面正方形内一动点，且满足∥平面，则（　　）
A．三棱锥的外接球表面积为
B．动点的轨迹是一条线段
C．三棱锥的体积是随点的运动而变化的
D．若过A，，三点作正方体的截面，为截面上一点，则线段长度的取值范围为
【答案】A,B,D
【知识点】与直线有关的动点轨迹方程；棱柱的结构特征；球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：对于A：由题意可知：三棱锥的外接球即为正方体的外接球，
可知正方体的外接球的半径，
所以三棱锥的外接球表面积为，故A正确；
对于B：如图分别取，的中点H，G，连接，，，．
由正方体的性质可得，且平面，平面，
所以∥平面，同理可得：∥平面，
且，平面，
所以平面平面，又因为平面，
所以平面，所以点F的轨迹为线段GH，故B正确；
对于C：由选项B可知，点F的轨迹为线段GH，
因为平面，则点F到平面的距离为定值，
同时的面积也为定值，则三棱锥的体积为定值，故C不正确；
对于D：如图，设平面与平面交于AN，N在上．
因为截面平面，平面平面，
所以．同理可证，
所以截面为平行四边形，所以点N为的中点．
在四棱锥中，侧棱最长，且．
设棱锥的高为h，因为，
所以四边形为菱形，所以的边上的高为面对角线的一半，即为，
又因为，则，，
所以，解得．
综上所述，可知长度的取值范围是，故D正确．
故答案为：ABD．
【分析】利用三棱锥的外接球即为正方体的外接球结合正方体的外接球分析，则判断出选项A；分别取，的中点H，G，连接，，，，从而证明平面平面，进而得到点F的轨迹为线段GH，则判断出选项B；根据选项B可得平面，从而得到点F到平面的距离为定值，再结合的面积也为定值，从而可得到三棱锥的体积为定值，则判断出选项C；设为的中点，再根据面面平行的性质定理可得截面为面，从而得出线段长度的最大值为线段的长，最小值为四棱锥以为顶点的高，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．数据2，3，3，4，4，5，5，5，5，6的众数为　 　；
【答案】5
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：由题意得，给定数据中5出现次数最多，故众数为5.
故答案为：5
【分析】根据众数的定义，找出数据中出现次数最多的数即可。
13．已知向量，，则在上的投影向量的坐标是　 　．
【答案】
【知识点】平面向量的投影向量
【解析】【解答】解： 向量，，
在方向上的投影向量为.
故答案为：.
【分析】由题意，根据投影向量的坐标公式计算即可.
14．在直角梯形中，已知，，，点是边上的中点，点是边上一个动点．则的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】解：以为原点，，所在的直线为分别为轴建立
如图所示的平面直角坐标系，则，
设，，
，，
所以，
因为，所以.
故答案为：.
【分析】建立平面直角坐标系，用参数表示点E的坐标，将向量数量积转化为二次函数，利用配方法求其在区间上的取值范围。
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．设，，.
（1）若，求.
（2）若与共线，求m的值
【答案】（1）解：当时，，
，
.
（2）解：
又因为与共线，
，
解得：.
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【分析】（1）根据向量加法的坐标表示和向量的模长的坐标表示，从而得出的值.
（2）根据向量减法的坐标运算和向量共线的坐标表示，从而得出实数m的值.
（1）当时，，..
（2）又与共线，
.
解得：.
16．如图，在正方体中.
（1）求证：平面；
（2）求证：.
【答案】（1）证明：在正方体中，
又平面，平面，所以平面；
（2）证明：连接、，在正方体中为正方形，
所以，
又平面，平面，所以，
又，平面，
所以平面，又平面，所以.
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质
【解析】【分析】（1）根据正方体的性质得到，再利用线面平行的判定定理（平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行）即可得证；
（2）根据正方体的性质得到、，即可证明平面，从而得证.
17．某滑雪场开业当天共有600人滑雪，滑雪服务中心根据他们的年龄分成，，，，，六个组，现按照分层抽样的方法选取20人参加有奖活动，这些人的样本数据的频率分布直方图如下图所示，从左往右分别为一组、二组、三组、四组、五组、六组．
（1）求并估计开业当天所有滑雪的人年龄在有多少人？
（2）由频率分布直方图估计样本平均数和中位数；（求得数据四舍五入保留两位小数，同一组的数据用该组区间的中点数值代替）
（3）在选取的这20人样本中，从年龄不低于35岁的人中任选两人参加抽奖活动，求这两个人来自同一组的概率．
【答案】（1）解：由题意可得：，
则，
所以估计开业当天滑雪的人年龄在内有人.
（2）解：由题意可得：
又因为，
可知，则，
解得：.
（3）解：因为中的人数：，
分别记为；
中的人数：，
分别记为
中的人数：，记为，
则任选两人的情况有：
，共种，
其中来自同一组有：

，共种，
所以两个人来自同一组的概率为.
【知识点】众数、中位数、平均数；概率的基本性质；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）根据已知条件和频率和为1，从而求出x的值，再结合频数等于频率乘以样本容量，从而估计出开业当天所有滑雪的人年龄在的人数.
（2）根据频率分布直方图求平均数公式，从而可知，再结合中位数的概念估计出样本中位数的值.
（3）利用已知条件，先求出各层人数，再利用列举法结合古典概率公式，从而得出这两个人来自同一组的概率．
（1）由题意可得：，
则，
所以估计开业当天滑雪的人年龄在内有人.
（2）由题意可得：，
又因为，
可知，则解得：.
（3）中的人数：，分别记为；
中的人数：，分别记为
中的人数：，记为
则任选两人的情况有
，共种，
其中来自同一组有
，共种，
所以两个人来自同一组的概率为.
18．在四棱锥中， 底面是边长为2的正方形，平面.
（1）求证：；
（2）若与底面所成的角为45°；
①求点B到平面的距离；
②求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明：因为底面是正方形，所以，
又因为平面，平面，所以，
因为，平面，平面，所以平面，
又因为平面，所以.
（2）解：①解法1、因为平面，平面，所以，
所以与平面所成的角为，
所以，且，所以，所以，
因为正方形边长为，所以，所以，
又因为平面，平面，所以，所以，
在中，，所以，
记点到平面的距离为，由，所以，
即，解得，
所以点到平面的距离为.
解法2、因为平面，所以点到平面的距离即为点到平面的距离，
因为平面，平面，所以，
又因为，且，平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面，
过点作，由平面平面，且平面，
所以平面，即为点到平面的距离，
所以点到平面的距离即为点到平面的距离，设距离为，
在直角中，，，，
由，可得，即点到平面的距离为.
②如图所示，过点作于点，设交于点，过点作于点，连接，
由①知，因为，且平面，
所以平面，又因为平面，所以，
所以二面角的平面角为，
因为，所以，
因为为的中点，，所以，
在正方形中，，
所以，在直角中，，可得，
所以二面角的余弦值为.
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面所成的角；二面角及二面角的平面角
【解析】【分析】（1）根据题意，先证得和，根据线面垂直判定定理可得到平面，进而利用线面垂直的性质即可证得；
（2）①解法1、记点到平面的距离为，根据，可得，列出方程求出d的值，即可求得点到平面的距离；
解法2、由平面，转化为点到平面的距离，在直角中，结合三角形的面积相等，可得，列式求出d的值，即可求得点到平面的距离；
②过点作过点作，证得，得到二面角的平面角为，在直角中，求得，进而求得二面角的余弦值.
（1）证明：因为底面是正方形，可得，
又因为平面，平面，所以，
因为，平面，平面，所以平面，
又因为平面，所以.
（2）解：①解法1、因为平面，平面，所以，
所以与平面所成的角为，
所以，且，所以，所以，
因为正方形边长为，所以，所以，
又因为平面，平面，所以，所以，
在中，，所以，
记点到平面的距离为，由，可得，
所以点到平面的距离为.
解法2、因为平面，
所以点到平面的距离即为点到平面的距离，
因为平面，平面，所以，
又因为，且，平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面，
过点作，由平面平面，且平面，
所以平面，即为点到平面的距离，
所以点到平面的距离即为点到平面的距离，设距离为，
在直角中，，，，
由，可得，即点到平面的距离为.
②过点作于点，
设交于点，过点作于点，连接，
由①知，因为，且平面，
所以平面，又因为平面，所以，
所以二面角的平面角为，
因为，所以，
因为为的中点，，所以，
在正方形中，，
所以，在直角中，，可得，
所以二面角的余弦值为.
19．三角形中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知，点D 是的中点，点E 在线段上，且，线段与线段交于点M.
（1）求角B的大小；
（2）若，求的值；
（3）若点G是三角形的重心，求的最小值.
【答案】（1）解：因为，
由正弦定理，可得，
整理得，
则，
因为，
所以.
（2）解：如图，
由题意，可得，
因为三点共线，可设
又因三点共线，
所以，
则，
所以.
（3）解：因为
所以
又因为，
所以，
则，
两边平方化简，得：
，当且仅当时取等号，
所以，
则，
所以的最小值为.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；平面向量的共线定理；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件和正弦定理、余弦定理，从而进行边角互化，再利用三角形中角B的取值范围，从而得出角B的值.
（2）利用三点共线列出向量方程，再由平面向量基本定理可得的值，从而得出的值.
（3）结合图形和已知条件，则将化简成，再通过两边取平方，则将化为，再结合基本不等式求最值的方法，从而得出的最小值.
（1）因为，
所以由正弦定理可得，整理得，
故，
因为，所以.
（2）如图，
由题意可得，
因为三点共线，故可设 ，
又因三点共线，故，
所以，故.
（3）因为
所以，
因为，所以，
于是，两边平方化简得：
，当且仅当时取等号，
所以，即.
所以的最小值为.
1 / 1浙江省宁波市海曙区宁波荣安实验中学2024-2025学年高一下学期6月期末数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上
1．复数的虚部为（　　）
A． B． C． D．
2．化简=（　　）
A．0 B． C． D．
3．抛掷一枚质地均匀的骰子一次，出现点数为偶数的概率为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（　　）
A．6 B．9 C．12 D．15
5．已知空间3条不同的直线m，n，l和平面，则下列说法正确的是（　　）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
6．已知圆锥的底面半径为3，高为4，则该圆锥的表面积为（　　）
A． B． C． D．
7．投掷一枚均匀硬币和一个均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件，“骰子向上的点数大于4”为事件，则事件，中至少有一个发生的概率是（　　）
A． B． C． D．
8．已知的内角所对的边分别为，若，则的形状一定是（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9．已知复数，则（　　）
A．为纯虚数
B．复数在复平面内对应的点位于第四象限
C．
D．满足的复数在复平面内对应的点的轨迹为直线
10．对于事件和事件，，，则下列说法正确的是（　　）
A．若与互斥，则 B．若与互斥，则
C．若，则 D．若与相互独立，则
11．如图，在棱长为2的正方体中，为正方体的中心，为的中点，为侧面正方形内一动点，且满足∥平面，则（　　）
A．三棱锥的外接球表面积为
B．动点的轨迹是一条线段
C．三棱锥的体积是随点的运动而变化的
D．若过A，，三点作正方体的截面，为截面上一点，则线段长度的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．数据2，3，3，4，4，5，5，5，5，6的众数为　 　；
13．已知向量，，则在上的投影向量的坐标是　 　．
14．在直角梯形中，已知，，，点是边上的中点，点是边上一个动点．则的取值范围是　 　．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．设，，.
（1）若，求.
（2）若与共线，求m的值
16．如图，在正方体中.
（1）求证：平面；
（2）求证：.
17．某滑雪场开业当天共有600人滑雪，滑雪服务中心根据他们的年龄分成，，，，，六个组，现按照分层抽样的方法选取20人参加有奖活动，这些人的样本数据的频率分布直方图如下图所示，从左往右分别为一组、二组、三组、四组、五组、六组．
（1）求并估计开业当天所有滑雪的人年龄在有多少人？
（2）由频率分布直方图估计样本平均数和中位数；（求得数据四舍五入保留两位小数，同一组的数据用该组区间的中点数值代替）
（3）在选取的这20人样本中，从年龄不低于35岁的人中任选两人参加抽奖活动，求这两个人来自同一组的概率．
18．在四棱锥中， 底面是边长为2的正方形，平面.
（1）求证：；
（2）若与底面所成的角为45°；
①求点B到平面的距离；
②求二面角的余弦值.
19．三角形中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知，点D 是的中点，点E 在线段上，且，线段与线段交于点M.
（1）求角B的大小；
（2）若，求的值；
（3）若点G是三角形的重心，求的最小值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】解：由题意知，复数的虚部为.
故答案为：B.
【分析】根据复数的虚部的定义，从而得出复数z的虚部.
2．【答案】B
【知识点】向量加法的三角形法则
【解析】【解答】解：，
故答案为：B
【分析】利用向量加法的三角形法则，通过调整运算顺序进行化简。
3．【答案】A
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：抛掷一枚质地均匀的骰子一次，点数可能有：，共6种可能；
其中是偶数的有：，共3种可能，所以出现点数为偶数的概率为，
故选：A．
【分析】根据古典概型概率公式计算概率即可.
4．【答案】C
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：由的直观图可知原图中，，
所以的面积为.
故答案为：C.
【分析】要根据斜二测画法的规则，将直观图还原为原平面图形，再用直角三角形面积公式计算原三角形面积.“识别直观图特征，还原原图，计算面积”.
5．【答案】C
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：对于选项A，若，，
则或相交或异面，故A错误；
对于选项B，若，，
则或，故B错误；
对于选项C，若，不妨设，则，
因为，，
所以，
则，故C正确；
对于选项D，若，，
则或相交，故D错误.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件和举反例以及空间中直线与直线的位置关系、直线与平面的位置关系，从而判断出选项A、选项B和选项D；利用线面平行的性质定理和线面垂直的性质定理，则判断出选项C，从而找出说法正确的选项.
6．【答案】D
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用
【解析】【解答】解：圆锥母线，
则圆锥的表面积，
故答案为：D.
【分析】先根据勾股定理求出圆锥母线长，再利用圆锥表面积公式计算。
7．【答案】D
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：由题意得，
事件，中至少有一个发生的对立事件是事件，都不发生，
又因为事件不发生的概率为，事件不发生的概率为，
所以事件，都不发生的概率为，
故事件，中至少有一个发生的概率是.
故答案为：D.
【分析】将所求事件的概率转化为求对立事件的概率，再利用独立事件乘法求概率公式和对立事件求概率公式，从而得出事件，中至少有一个发生的概率.
8．【答案】D
【知识点】简单的三角恒等变换；正弦定理的应用；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：因为，
所以由正弦定理边角互化得，
因为，
，
所以，
整理得
所以，
所以或，
因为，
所以或，即的形状一定是等腰或直角三角形
故答案为：D
【分析】利用正弦定理将边化角，再结合三角恒等变换化简，根据乘积为0的条件判断三角形形状。
9．【答案】A,D
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的加减运算；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：A选项：由，所以为纯虚数，所以A选项对；
B选项：由，所以在复平面内对应点为轴正半轴，所以B选项错；
C选项：由，
又，
所以，所以C选项错；
D选项：假设，，
因为，
所以，
解得，
所以复数在复平面内对应的点的轨迹为轴，所以D正确.
故答案为：AD.
【分析】利用复数的加减、乘除法则进行计算，结合复数的几何意义以及共轭复数的概念对每一个选项进行判断即可得到结果.
10．【答案】B,D
【知识点】概率的基本性质；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件
【解析】【解答】解：AB、若与互斥，则，，
故A错误，B正确；
C、若，则，即，故C错误；
D、若与相互独立，则，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】由互斥事件的定义，代入计算即可判断AB；由，则即可判断C；由相互独立事件的定义即可判断D.
11．【答案】A,B,D
【知识点】与直线有关的动点轨迹方程；棱柱的结构特征；球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：对于A：由题意可知：三棱锥的外接球即为正方体的外接球，
可知正方体的外接球的半径，
所以三棱锥的外接球表面积为，故A正确；
对于B：如图分别取，的中点H，G，连接，，，．
由正方体的性质可得，且平面，平面，
所以∥平面，同理可得：∥平面，
且，平面，
所以平面平面，又因为平面，
所以平面，所以点F的轨迹为线段GH，故B正确；
对于C：由选项B可知，点F的轨迹为线段GH，
因为平面，则点F到平面的距离为定值，
同时的面积也为定值，则三棱锥的体积为定值，故C不正确；
对于D：如图，设平面与平面交于AN，N在上．
因为截面平面，平面平面，
所以．同理可证，
所以截面为平行四边形，所以点N为的中点．
在四棱锥中，侧棱最长，且．
设棱锥的高为h，因为，
所以四边形为菱形，所以的边上的高为面对角线的一半，即为，
又因为，则，，
所以，解得．
综上所述，可知长度的取值范围是，故D正确．
故答案为：ABD．
【分析】利用三棱锥的外接球即为正方体的外接球结合正方体的外接球分析，则判断出选项A；分别取，的中点H，G，连接，，，，从而证明平面平面，进而得到点F的轨迹为线段GH，则判断出选项B；根据选项B可得平面，从而得到点F到平面的距离为定值，再结合的面积也为定值，从而可得到三棱锥的体积为定值，则判断出选项C；设为的中点，再根据面面平行的性质定理可得截面为面，从而得出线段长度的最大值为线段的长，最小值为四棱锥以为顶点的高，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
12．【答案】5
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：由题意得，给定数据中5出现次数最多，故众数为5.
故答案为：5
【分析】根据众数的定义，找出数据中出现次数最多的数即可。
13．【答案】
【知识点】平面向量的投影向量
【解析】【解答】解： 向量，，
在方向上的投影向量为.
故答案为：.
【分析】由题意，根据投影向量的坐标公式计算即可.
14．【答案】
【知识点】平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】解：以为原点，，所在的直线为分别为轴建立
如图所示的平面直角坐标系，则，
设，，
，，
所以，
因为，所以.
故答案为：.
【分析】建立平面直角坐标系，用参数表示点E的坐标，将向量数量积转化为二次函数，利用配方法求其在区间上的取值范围。
15．【答案】（1）解：当时，，
，
.
（2）解：
又因为与共线，
，
解得：.
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【分析】（1）根据向量加法的坐标表示和向量的模长的坐标表示，从而得出的值.
（2）根据向量减法的坐标运算和向量共线的坐标表示，从而得出实数m的值.
（1）当时，，..
（2）又与共线，
.
解得：.
16．【答案】（1）证明：在正方体中，
又平面，平面，所以平面；
（2）证明：连接、，在正方体中为正方形，
所以，
又平面，平面，所以，
又，平面，
所以平面，又平面，所以.
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质
【解析】【分析】（1）根据正方体的性质得到，再利用线面平行的判定定理（平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行）即可得证；
（2）根据正方体的性质得到、，即可证明平面，从而得证.
17．【答案】（1）解：由题意可得：，
则，
所以估计开业当天滑雪的人年龄在内有人.
（2）解：由题意可得：
又因为，
可知，则，
解得：.
（3）解：因为中的人数：，
分别记为；
中的人数：，
分别记为
中的人数：，记为，
则任选两人的情况有：
，共种，
其中来自同一组有：

，共种，
所以两个人来自同一组的概率为.
【知识点】众数、中位数、平均数；概率的基本性质；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）根据已知条件和频率和为1，从而求出x的值，再结合频数等于频率乘以样本容量，从而估计出开业当天所有滑雪的人年龄在的人数.
（2）根据频率分布直方图求平均数公式，从而可知，再结合中位数的概念估计出样本中位数的值.
（3）利用已知条件，先求出各层人数，再利用列举法结合古典概率公式，从而得出这两个人来自同一组的概率．
（1）由题意可得：，
则，
所以估计开业当天滑雪的人年龄在内有人.
（2）由题意可得：，
又因为，
可知，则解得：.
（3）中的人数：，分别记为；
中的人数：，分别记为
中的人数：，记为
则任选两人的情况有
，共种，
其中来自同一组有
，共种，
所以两个人来自同一组的概率为.
18．【答案】（1）证明：因为底面是正方形，所以，
又因为平面，平面，所以，
因为，平面，平面，所以平面，
又因为平面，所以.
（2）解：①解法1、因为平面，平面，所以，
所以与平面所成的角为，
所以，且，所以，所以，
因为正方形边长为，所以，所以，
又因为平面，平面，所以，所以，
在中，，所以，
记点到平面的距离为，由，所以，
即，解得，
所以点到平面的距离为.
解法2、因为平面，所以点到平面的距离即为点到平面的距离，
因为平面，平面，所以，
又因为，且，平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面，
过点作，由平面平面，且平面，
所以平面，即为点到平面的距离，
所以点到平面的距离即为点到平面的距离，设距离为，
在直角中，，，，
由，可得，即点到平面的距离为.
②如图所示，过点作于点，设交于点，过点作于点，连接，
由①知，因为，且平面，
所以平面，又因为平面，所以，
所以二面角的平面角为，
因为，所以，
因为为的中点，，所以，
在正方形中，，
所以，在直角中，，可得，
所以二面角的余弦值为.
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面所成的角；二面角及二面角的平面角
【解析】【分析】（1）根据题意，先证得和，根据线面垂直判定定理可得到平面，进而利用线面垂直的性质即可证得；
（2）①解法1、记点到平面的距离为，根据，可得，列出方程求出d的值，即可求得点到平面的距离；
解法2、由平面，转化为点到平面的距离，在直角中，结合三角形的面积相等，可得，列式求出d的值，即可求得点到平面的距离；
②过点作过点作，证得，得到二面角的平面角为，在直角中，求得，进而求得二面角的余弦值.
（1）证明：因为底面是正方形，可得，
又因为平面，平面，所以，
因为，平面，平面，所以平面，
又因为平面，所以.
（2）解：①解法1、因为平面，平面，所以，
所以与平面所成的角为，
所以，且，所以，所以，
因为正方形边长为，所以，所以，
又因为平面，平面，所以，所以，
在中，，所以，
记点到平面的距离为，由，可得，
所以点到平面的距离为.
解法2、因为平面，
所以点到平面的距离即为点到平面的距离，
因为平面，平面，所以，
又因为，且，平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面，
过点作，由平面平面，且平面，
所以平面，即为点到平面的距离，
所以点到平面的距离即为点到平面的距离，设距离为，
在直角中，，，，
由，可得，即点到平面的距离为.
②过点作于点，
设交于点，过点作于点，连接，
由①知，因为，且平面，
所以平面，又因为平面，所以，
所以二面角的平面角为，
因为，所以，
因为为的中点，，所以，
在正方形中，，
所以，在直角中，，可得，
所以二面角的余弦值为.
19．【答案】（1）解：因为，
由正弦定理，可得，
整理得，
则，
因为，
所以.
（2）解：如图，
由题意，可得，
因为三点共线，可设
又因三点共线，
所以，
则，
所以.
（3）解：因为
所以
又因为，
所以，
则，
两边平方化简，得：
，当且仅当时取等号，
所以，
则，
所以的最小值为.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；平面向量的共线定理；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件和正弦定理、余弦定理，从而进行边角互化，再利用三角形中角B的取值范围，从而得出角B的值.
（2）利用三点共线列出向量方程，再由平面向量基本定理可得的值，从而得出的值.
（3）结合图形和已知条件，则将化简成，再通过两边取平方，则将化为，再结合基本不等式求最值的方法，从而得出的最小值.
（1）因为，
所以由正弦定理可得，整理得，
故，
因为，所以.
（2）如图，
由题意可得，
因为三点共线，故可设 ，
又因三点共线，故，
所以，故.
（3）因为
所以，
因为，所以，
于是，两边平方化简得：
，当且仅当时取等号，
所以，即.
所以的最小值为.
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