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江苏省常州高级中学2024-2025学年高一下学期6月期末质量检查数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．复平面内，复数（i为虚数单位）对应的点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：由，则该复数对应的点为，易知该点在第二象限.
故答案为：B.
【分析】本题考查复数的化简与复平面坐标对应，核心是先通过分母实数化将复数化为z=a+bi的标准形式，再根据实部a、虚部b确定复平面对应点的坐标，最后判断所在象限。
2．在正方体中，异面直线与AC所成角为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】异面直线所成的角
【解析】【解答】解：
连接，.
由正方体性质可得：且；.
则四边形为平行四边形，.
所以，
则是异面直线与AC所成角或其补角.
所以异面直线与AC所成角为.
故答案为：C.
【分析】利用正方体中异面直线所成角的求解，核心是利用异面直线所成角的定义与正方体棱长性质，通过平移异面直线，将空间异面直线夹角转化为平面三角形的内角，再结合等边三角形性质求解角度。
3．某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直图，其中自习时间的范围是，样本数据分组为，，，，．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（　　）
A．56 B．60 C．120 D．140
【答案】D
【知识点】频率分布直方图
【解析】【解答】解：由频率分布直方图中的数据可得每周的自习时间不少于22.5小时的频率为，
则200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是.
故答案为：D.
【分析】本题考查频率分布直方图的数值计算，核心是先根据直方图提取对应区间的频率组距数据，利用「频率频率组距组距」累加目标区间总频率，再通过总人数对应频率求解目标人数。
4．已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则角C的值为（　　）
A． B． C．或 D．
【答案】C
【知识点】解三角形；正弦定理
【解析】【解答】解：由正弦定理可得：.
因为，所以.
又因为，所以或.
故答案为：C.
【分析】本题考查正弦定理解三角形，核心是先通过正弦定理求出角C的正弦值，再结合三角形大边对大角的性质、角的范围以及特殊角三角函数值，确定角C的所有可能取值。
5．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题正确的是（　　）
A．若，，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
【答案】D
【知识点】命题的真假判断与应用；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：对于A，若，，，
则与的位置关系是相交、平行、异面直线，故A错误；
对于B，若，，，
则与的位置关系是平行或异面直线，故B错误；
对于C，若，，，
则与平行或相交，相交时也不一定垂直，故C错误；
对于D，由，得存在过的平面与相交，
令交线为，则，
因为，所以，
又因为，所以，
因为，
所以，故D正确.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件和空间中直线与直线的位置关系、平面与平面的位置关系，从而逐项判断找出正确的命题.
6．已知α∈，cos α=，则tan等于(　　)
A．7 B． C．- D．-7
【答案】B
【知识点】两角和与差的正切公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：由已知得tan α=，则tan.
故答案为：B
【分析】本题考查同角三角函数基本关系、两角差的正切公式，核心是先根据角的范围与已知余弦值求出tanα，再代入两角差正切公式计算tan( α)。
7．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则边c的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：因为，
所以，
又因为，
所以.
故答案为：D.
【分析】根据三角形的面积公式得出的值，再根据余弦定理和已知条件，从而得出c的值.
8．设点P是单位圆的内接正六边形的边上任一点，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】向量的模；平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】解：不妨设点在上，则以为x轴，线段的中点为原点，
如图，建立平面直角坐标系，
则，
设，
则，
，
故，
，
，
可得，
∵，则，
∴.
故答案为：B.
【分析】本题考查单位圆内接正六边形的向量模长求和、平面向量坐标运算，核心是利用正六边形对称性建立平面直角坐标系，写出所有顶点坐标与动点P的参数坐标，通过向量模长公式展开求和，转化为二次函数，结合动点范围求值域。
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
9．已知复数，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：因为，所以，
，.
所以；；.
故答案为：ABD.
【分析】本题考查复数的模长、共轭复数、复数乘方运算，核心是熟记复数模长公式、共轭复数性质，依次计算、、、，逐项验证选项正误。
10．PM2.5是衡量空气质量的重要指标.下图是某地4月1日到10日的PM2.5日均值（单位：）的折线图，则下列说法正确的是（　　）
A．这10天中PM2.5日均值的众数为33
B．这10天中PM2.5日均值的第75百分位数是36
C．这10天中PM2.5日均值的中位数大于平均数
D．这10天中PM2.5日均值前4天的方差小于后4天的方差
【答案】A,B
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：由折线图得，这10天中所有数据中出现次数最多的数为33，所以众数为33， A正确；
将数据从小到大排序得：17，23，26，30，31，33，33，36，42，128，
，第75百分位数是从小到大排序第个数36，B正确；
将数据从小到大排序得：17，23，26，30，31，33，33，36，42，128，
则中间两个数为31，33，所以中位数为，
平均数为，
所以平均数大于中位数，C错误；
前4天的平均数为，
后4天的平均数为，
所以前4天的方差为，
后4天的方差为，
因为，所以前4天的方差大于后4天的方差，D错误；
故答案为：AB
【分析】本题考查折线图统计量分析，核心是从折线图提取 10 天原始数据，依次计算众数、百分位数、中位数、平均数、方差，逐项判断选项正误。
11．《九章算术》卷五《商功》中，记载了一种几何体“刍童”，这种几何体是上下底面为互相平行的不相似长方形，两底面的中心连线与底面垂直的六面体．如图，现有一高为的“刍童”，其中，，，，则（　　）
A．该“刍童”的所有侧棱交于一点
B．直线与直线异面
C．该“刍童”的所有侧棱与下底面所成角的正弦值均为
D．该“刍童”外接球的表面积为
【答案】B,C,D
【知识点】棱台的结构特征；球的表面积与体积公式及应用；异面直线的判定
【解析】【解答】A选项，根据“刍童”的概念可知：“刍童”不是棱台，所以“刍童”的所有侧棱的延长线不会交于一点，故A错误；
B，因为上下底面平行，故、无公共点，则、平行或异面，
由题中数据可得，，所以，
若、平行，则四边形为梯形，则、延长后会相交，与A矛盾，故、为异面直线，故B正确；
C，设在平面上的射影为、在直线上的射影为，如图：
易知，该“刍童”的所有侧棱与下底面所成角均相等.
则，，，
所以，
可得，
设，则，故C正确；
D，如图：
若该“刍童”的的外接球的球心在“刍童”外面，设其外接球半径为，，（）
则，
所以该“刍童”的的外接球的表面积为：.
若该“刍童”的的外接球的球心在“刍童”里面，设其外接球半径为，，（）
则，不合题意，舍去.
所以该“刍童”的的外接球的表面积为：，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】A：根据棱台定义，判断“刍童”上下底面不相似是否为棱台，进而判断侧棱是否交于一点。
B：利用上下底面平行的性质，结合上下底面对角线长度，用反证法判断与的位置关系。
C：结合几何体高、底面矩形中心距，计算侧棱长度，求解侧棱与底面所成角的正弦值。
D：根据外接球球心在上下底面中心连线上，列方程求外接球半径，进而计算外接球表面积。
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知平面向量，，若，则实数的值为　 　.
【答案】
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：，，
，.
故答案为：
【分析】本题考查平面向量的线性运算与向量平行的坐标表示，核心是先求出的坐标，再利用两向量平行坐标运算求解。
13．过圆锥的轴作截面，如果截面为正三角形，则称该圆锥为等边圆锥，已知在一等边圆锥中，过顶点P的截面与底面交于CD，若（O为底面圆心），且，则这个等边圆锥的表面积为　 　．
【答案】
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用
【解析】【解答】解：如图，连接，设圆锥的母线长为，
则圆锥的底面圆的半径为，高为.
由已知得，
所以为等腰三角形，设其底边上的高为，
则，
则，解得，
所以圆锥的表面积为.
故答案为：.
【分析】本题考查等边圆锥的性质、圆锥表面积计算，核心是先根据等边圆锥定义确定母线、底面半径、高的比例关系，结合已知三角形面积求出底面半径，最后代入圆锥全面积公式计算。
14．已知，，且，则　 　．
【答案】3
【知识点】两角和与差的正弦公式；任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由题意，，
，
则，
则，
由，则，所以，
所以均为第一象限角，
设，，令终边上一点为，
则，
则，解得或，
由于，则，即.
故答案为：3.
【分析】本题考查两角和与差的正弦公式，核心是利用和差角公式拆分已知条件，联立方程组解出sinαcosβ与cosαsinβ，得到tanα与tanβ的比值，结合角的范围列方程求解tanα。
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧面底面ABCD，且，若E、F分别为PC、BD的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面．
【答案】（1）证明：连接，
因为四边形为正方形，且为的中点，所以为的中点，
又因为为的中点，则，
平面，平面，平面.
（2）证明：因为四边形为正方形，则，
因为平面平面，平面平面，平面，
平面，
平面，，
，所以，则，
，平面，
平面，又平面，
平面平面．
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【分析】(1) 利用三角形中位线定理得到线线平行，再结合线面平行的判定定理，证明线面平行；
(2) 先通过面面垂直的性质定理推导线面垂直，再利用勾股定理证明线线垂直，接着推导另一条线面垂直，最后结合面面垂直的判定定理，证明两个平面互相垂直。
（1）证明：连接，
因为四边形为正方形，且为的中点，所以为的中点，
又因为为的中点，则，
平面，平面，平面.
（2）证明：因为四边形为正方形，则，
因为平面平面，平面平面，平面，
平面，
平面，，
，所以，则，
，平面，
平面，又平面，
平面平面．
16．已知向量，，且．
（1）若，求x的值；
（2）若，求函数的最大值．
【答案】（1）解：由，，
则，
所以，
则，
则，即，
由，则，所以，即.
（2）解：，
则
，
由，则，
则，则，
所以函数的最大值为.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示；简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】(1) 先根据向量坐标求出的坐标，利用向量模长公式展开，结合同角三角函数平方关系、余弦和角公式化简，结合的范围求解的值；
(2) 先由向量数量积公式化简，再代入的表达式，利用三角恒等变换化简为正弦型函数，结合自变量范围求函数最大值。
（1）由，，
则，
所以，
则，
则，即，
由，则，所以，即.
（2），
则
，
由，则，
则，则，
所以函数的最大值为.
17．如图，直四棱柱的底面是边长为2的菱形，，．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正切值．
【答案】（1）证明：连接，设，连接，设，
在菱形中，，
在直四棱柱中，平面，且平面，
所以，又平面，
所以平面，
因为平面，所以.
在菱形中，，则，
则，则，而，
因为，所以，则，
则，故，即，
因为平面，
所以平面.
（2）解：设的中点为，连接，
由于，则，
因为平面，且平面，
所以，
又平面，
所以平面，
则为直线与平面所成角，
因为，
所以在中，，
则直线与平面所成角的正切值为．
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角
【解析】【分析】(1) 利用直四棱柱侧棱垂直底面、菱形对角线互相垂直的性质，先证线面垂直得到一组线线垂直；再结合边长、勾股定理证明另一组线线垂直，最后由线面垂直判定定理，证得平面；
(2) 先找线面角的定义垂线：作底面内的高，结合直棱柱性质证线面垂直，确定直线与平面所成角，再利用边长数据计算直角三角形边长，求解该角的正切值。
（1）连接，设，连接，设，
在菱形中，，
在直四棱柱中，平面，且平面，
所以，又平面，
所以平面，
因为平面，所以.
在菱形中，，则，
则，则，而，
因为，所以，则，
则，故，即，
因为平面，
所以平面.
（2）设的中点为，连接，
由于，则，
因为平面，且平面，
所以，
又平面，
所以平面，
则为直线与平面所成角，
因为，
所以在中，，
则直线与平面所成角的正切值为．
18．中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求证：；
（2）若是锐角三角形，求的取值范围；
（3）若的角平分线交BC于D，且，求．
【答案】（1）证明：因为，由正弦定理有：，
所以，
则，
则，
则，
因为、，所以，
又因为，所以，所以，
所以有或，即或（舍去），
所以得证.
（2）解：因为是锐角三角形，，所以，
所以，解得，
所以
，
由，则，则，
所以，则的取值范围为.
（3）解：因为为的平分线，且，
所以，所以，
在中，，，
由正弦定理有：，即，
则，
则，
则，解得或，
又，则为锐角，即.
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的值域与最值；解三角形；正弦定理的应用
【解析】【分析】(1) 根据已知边角等式，利用正弦定理、三角形内角和与两角和正弦公式化简，结合角的范围，证明；
(2) 根据锐角三角形的内角限制，确定角的取值范围，结合正弦定理、三角恒等变换化简，利用余弦函数单调性求取值范围；
(3) 根据角平分线性质得到角度关系，在小三角形中应用正弦定理，结合三角恒等变换公式解方程，结合角为锐角的条件确定的值。
（1）因为，由正弦定理有：，
所以，
则，
则，
则，
因为、，所以，
又因为，所以，所以，
所以有或，即或（舍去），
所以得证.
（2）因为是锐角三角形，，所以，
所以，解得，
所以
，
由，则，则，
所以，则的取值范围为.
（3）因为为的平分线，且，
所以，所以，
在中，，，
由正弦定理有：，即，
则，
则，
则，解得或，
又，则为锐角，即.
19．如图，在矩形ABCD中，，，点M为线段BC上的动点（不含端点），将沿AM折起，点B翻折至位置，且使二面角的大小为60°．
（1）若N为棱的中点，且满足平面，求的值；
（2）若，求三棱锥的体积；
（3）求二面角的正切值的取值范围．
【答案】（1）解：在线段上截取，由，
可得四边形为平行四边形，则，
又平面，平面，则平面，
因为平面，又，则平面平面，
因为平面，所以平面，
又N为棱的中点，所以为的中点，
则，即.
（2）解：由，，则，
过作平面于点，过作于点，连接，
由平面，平面，则，
又，平面，则平面，
又平面，则为二面角的平面角，，
在中，，
由等面积法可知，，，
而，.
（3）解：设，则，
在中，由等面积法可知，
，
在矩形中，，
过点作于，
易得，，
设二面角的大小为，则，
由于，则，
即二面角的正切值的取值范围为．
【知识点】平面与平面平行的性质；二面角及二面角的平面角；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】(1) 利用面面平行的性质，在线段上构造辅助点，证明平面平面，结合中点条件，推导线段等量关系，求得的值；
(2) 过作底面的垂线，结合已知二面角大小，确定棱锥的高，利用三棱锥体积公式求解体积；
(3) 设参量化出的长度，结合二面角平面角的定义，构造直角三角形得到正切表达式，根据自变量范围求解正切值的取值范围。
（1）在线段上截取，由，
可得四边形为平行四边形，则，
又平面，平面，则平面，
因为平面，又，则平面平面，
因为平面，所以平面，
又N为棱的中点，所以为的中点，
则，即.
（2）由，，则，
过作平面于点，过作于点，连接，
由平面，平面，则，
又，平面，则平面，
又平面，则为二面角的平面角，，
在中，，
由等面积法可知，，，
而，.
（3）设，则，
在中，由等面积法可知，
，
在矩形中，，
过点作于，
易得，，
设二面角的大小为，则，
由于，则，
即二面角的正切值的取值范围为．
1 / 1江苏省常州高级中学2024-2025学年高一下学期6月期末质量检查数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．复平面内，复数（i为虚数单位）对应的点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．在正方体中，异面直线与AC所成角为（　　）
A． B． C． D．
3．某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直图，其中自习时间的范围是，样本数据分组为，，，，．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（　　）
A．56 B．60 C．120 D．140
4．已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则角C的值为（　　）
A． B． C．或 D．
5．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题正确的是（　　）
A．若，，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
6．已知α∈，cos α=，则tan等于(　　)
A．7 B． C．- D．-7
7．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则边c的值为（　　）
A． B． C． D．
8．设点P是单位圆的内接正六边形的边上任一点，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
9．已知复数，则（　　）
A． B． C． D．
10．PM2.5是衡量空气质量的重要指标.下图是某地4月1日到10日的PM2.5日均值（单位：）的折线图，则下列说法正确的是（　　）
A．这10天中PM2.5日均值的众数为33
B．这10天中PM2.5日均值的第75百分位数是36
C．这10天中PM2.5日均值的中位数大于平均数
D．这10天中PM2.5日均值前4天的方差小于后4天的方差
11．《九章算术》卷五《商功》中，记载了一种几何体“刍童”，这种几何体是上下底面为互相平行的不相似长方形，两底面的中心连线与底面垂直的六面体．如图，现有一高为的“刍童”，其中，，，，则（　　）
A．该“刍童”的所有侧棱交于一点
B．直线与直线异面
C．该“刍童”的所有侧棱与下底面所成角的正弦值均为
D．该“刍童”外接球的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知平面向量，，若，则实数的值为　 　.
13．过圆锥的轴作截面，如果截面为正三角形，则称该圆锥为等边圆锥，已知在一等边圆锥中，过顶点P的截面与底面交于CD，若（O为底面圆心），且，则这个等边圆锥的表面积为　 　．
14．已知，，且，则　 　．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧面底面ABCD，且，若E、F分别为PC、BD的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面．
16．已知向量，，且．
（1）若，求x的值；
（2）若，求函数的最大值．
17．如图，直四棱柱的底面是边长为2的菱形，，．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正切值．
18．中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求证：；
（2）若是锐角三角形，求的取值范围；
（3）若的角平分线交BC于D，且，求．
19．如图，在矩形ABCD中，，，点M为线段BC上的动点（不含端点），将沿AM折起，点B翻折至位置，且使二面角的大小为60°．
（1）若N为棱的中点，且满足平面，求的值；
（2）若，求三棱锥的体积；
（3）求二面角的正切值的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：由，则该复数对应的点为，易知该点在第二象限.
故答案为：B.
【分析】本题考查复数的化简与复平面坐标对应，核心是先通过分母实数化将复数化为z=a+bi的标准形式，再根据实部a、虚部b确定复平面对应点的坐标，最后判断所在象限。
2．【答案】C
【知识点】异面直线所成的角
【解析】【解答】解：
连接，.
由正方体性质可得：且；.
则四边形为平行四边形，.
所以，
则是异面直线与AC所成角或其补角.
所以异面直线与AC所成角为.
故答案为：C.
【分析】利用正方体中异面直线所成角的求解，核心是利用异面直线所成角的定义与正方体棱长性质，通过平移异面直线，将空间异面直线夹角转化为平面三角形的内角，再结合等边三角形性质求解角度。
3．【答案】D
【知识点】频率分布直方图
【解析】【解答】解：由频率分布直方图中的数据可得每周的自习时间不少于22.5小时的频率为，
则200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是.
故答案为：D.
【分析】本题考查频率分布直方图的数值计算，核心是先根据直方图提取对应区间的频率组距数据，利用「频率频率组距组距」累加目标区间总频率，再通过总人数对应频率求解目标人数。
4．【答案】C
【知识点】解三角形；正弦定理
【解析】【解答】解：由正弦定理可得：.
因为，所以.
又因为，所以或.
故答案为：C.
【分析】本题考查正弦定理解三角形，核心是先通过正弦定理求出角C的正弦值，再结合三角形大边对大角的性质、角的范围以及特殊角三角函数值，确定角C的所有可能取值。
5．【答案】D
【知识点】命题的真假判断与应用；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：对于A，若，，，
则与的位置关系是相交、平行、异面直线，故A错误；
对于B，若，，，
则与的位置关系是平行或异面直线，故B错误；
对于C，若，，，
则与平行或相交，相交时也不一定垂直，故C错误；
对于D，由，得存在过的平面与相交，
令交线为，则，
因为，所以，
又因为，所以，
因为，
所以，故D正确.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件和空间中直线与直线的位置关系、平面与平面的位置关系，从而逐项判断找出正确的命题.
6．【答案】B
【知识点】两角和与差的正切公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：由已知得tan α=，则tan.
故答案为：B
【分析】本题考查同角三角函数基本关系、两角差的正切公式，核心是先根据角的范围与已知余弦值求出tanα，再代入两角差正切公式计算tan( α)。
7．【答案】D
【知识点】余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：因为，
所以，
又因为，
所以.
故答案为：D.
【分析】根据三角形的面积公式得出的值，再根据余弦定理和已知条件，从而得出c的值.
8．【答案】B
【知识点】向量的模；平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】解：不妨设点在上，则以为x轴，线段的中点为原点，
如图，建立平面直角坐标系，
则，
设，
则，
，
故，
，
，
可得，
∵，则，
∴.
故答案为：B.
【分析】本题考查单位圆内接正六边形的向量模长求和、平面向量坐标运算，核心是利用正六边形对称性建立平面直角坐标系，写出所有顶点坐标与动点P的参数坐标，通过向量模长公式展开求和，转化为二次函数，结合动点范围求值域。
9．【答案】A,B,D
【知识点】复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：因为，所以，
，.
所以；；.
故答案为：ABD.
【分析】本题考查复数的模长、共轭复数、复数乘方运算，核心是熟记复数模长公式、共轭复数性质，依次计算、、、，逐项验证选项正误。
10．【答案】A,B
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：由折线图得，这10天中所有数据中出现次数最多的数为33，所以众数为33， A正确；
将数据从小到大排序得：17，23，26，30，31，33，33，36，42，128，
，第75百分位数是从小到大排序第个数36，B正确；
将数据从小到大排序得：17，23，26，30，31，33，33，36，42，128，
则中间两个数为31，33，所以中位数为，
平均数为，
所以平均数大于中位数，C错误；
前4天的平均数为，
后4天的平均数为，
所以前4天的方差为，
后4天的方差为，
因为，所以前4天的方差大于后4天的方差，D错误；
故答案为：AB
【分析】本题考查折线图统计量分析，核心是从折线图提取 10 天原始数据，依次计算众数、百分位数、中位数、平均数、方差，逐项判断选项正误。
11．【答案】B,C,D
【知识点】棱台的结构特征；球的表面积与体积公式及应用；异面直线的判定
【解析】【解答】A选项，根据“刍童”的概念可知：“刍童”不是棱台，所以“刍童”的所有侧棱的延长线不会交于一点，故A错误；
B，因为上下底面平行，故、无公共点，则、平行或异面，
由题中数据可得，，所以，
若、平行，则四边形为梯形，则、延长后会相交，与A矛盾，故、为异面直线，故B正确；
C，设在平面上的射影为、在直线上的射影为，如图：
易知，该“刍童”的所有侧棱与下底面所成角均相等.
则，，，
所以，
可得，
设，则，故C正确；
D，如图：
若该“刍童”的的外接球的球心在“刍童”外面，设其外接球半径为，，（）
则，
所以该“刍童”的的外接球的表面积为：.
若该“刍童”的的外接球的球心在“刍童”里面，设其外接球半径为，，（）
则，不合题意，舍去.
所以该“刍童”的的外接球的表面积为：，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】A：根据棱台定义，判断“刍童”上下底面不相似是否为棱台，进而判断侧棱是否交于一点。
B：利用上下底面平行的性质，结合上下底面对角线长度，用反证法判断与的位置关系。
C：结合几何体高、底面矩形中心距，计算侧棱长度，求解侧棱与底面所成角的正弦值。
D：根据外接球球心在上下底面中心连线上，列方程求外接球半径，进而计算外接球表面积。
12．【答案】
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：，，
，.
故答案为：
【分析】本题考查平面向量的线性运算与向量平行的坐标表示，核心是先求出的坐标，再利用两向量平行坐标运算求解。
13．【答案】
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用
【解析】【解答】解：如图，连接，设圆锥的母线长为，
则圆锥的底面圆的半径为，高为.
由已知得，
所以为等腰三角形，设其底边上的高为，
则，
则，解得，
所以圆锥的表面积为.
故答案为：.
【分析】本题考查等边圆锥的性质、圆锥表面积计算，核心是先根据等边圆锥定义确定母线、底面半径、高的比例关系，结合已知三角形面积求出底面半径，最后代入圆锥全面积公式计算。
14．【答案】3
【知识点】两角和与差的正弦公式；任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由题意，，
，
则，
则，
由，则，所以，
所以均为第一象限角，
设，，令终边上一点为，
则，
则，解得或，
由于，则，即.
故答案为：3.
【分析】本题考查两角和与差的正弦公式，核心是利用和差角公式拆分已知条件，联立方程组解出sinαcosβ与cosαsinβ，得到tanα与tanβ的比值，结合角的范围列方程求解tanα。
15．【答案】（1）证明：连接，
因为四边形为正方形，且为的中点，所以为的中点，
又因为为的中点，则，
平面，平面，平面.
（2）证明：因为四边形为正方形，则，
因为平面平面，平面平面，平面，
平面，
平面，，
，所以，则，
，平面，
平面，又平面，
平面平面．
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【分析】(1) 利用三角形中位线定理得到线线平行，再结合线面平行的判定定理，证明线面平行；
(2) 先通过面面垂直的性质定理推导线面垂直，再利用勾股定理证明线线垂直，接着推导另一条线面垂直，最后结合面面垂直的判定定理，证明两个平面互相垂直。
（1）证明：连接，
因为四边形为正方形，且为的中点，所以为的中点，
又因为为的中点，则，
平面，平面，平面.
（2）证明：因为四边形为正方形，则，
因为平面平面，平面平面，平面，
平面，
平面，，
，所以，则，
，平面，
平面，又平面，
平面平面．
16．【答案】（1）解：由，，
则，
所以，
则，
则，即，
由，则，所以，即.
（2）解：，
则
，
由，则，
则，则，
所以函数的最大值为.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示；简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】(1) 先根据向量坐标求出的坐标，利用向量模长公式展开，结合同角三角函数平方关系、余弦和角公式化简，结合的范围求解的值；
(2) 先由向量数量积公式化简，再代入的表达式，利用三角恒等变换化简为正弦型函数，结合自变量范围求函数最大值。
（1）由，，
则，
所以，
则，
则，即，
由，则，所以，即.
（2），
则
，
由，则，
则，则，
所以函数的最大值为.
17．【答案】（1）证明：连接，设，连接，设，
在菱形中，，
在直四棱柱中，平面，且平面，
所以，又平面，
所以平面，
因为平面，所以.
在菱形中，，则，
则，则，而，
因为，所以，则，
则，故，即，
因为平面，
所以平面.
（2）解：设的中点为，连接，
由于，则，
因为平面，且平面，
所以，
又平面，
所以平面，
则为直线与平面所成角，
因为，
所以在中，，
则直线与平面所成角的正切值为．
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角
【解析】【分析】(1) 利用直四棱柱侧棱垂直底面、菱形对角线互相垂直的性质，先证线面垂直得到一组线线垂直；再结合边长、勾股定理证明另一组线线垂直，最后由线面垂直判定定理，证得平面；
(2) 先找线面角的定义垂线：作底面内的高，结合直棱柱性质证线面垂直，确定直线与平面所成角，再利用边长数据计算直角三角形边长，求解该角的正切值。
（1）连接，设，连接，设，
在菱形中，，
在直四棱柱中，平面，且平面，
所以，又平面，
所以平面，
因为平面，所以.
在菱形中，，则，
则，则，而，
因为，所以，则，
则，故，即，
因为平面，
所以平面.
（2）设的中点为，连接，
由于，则，
因为平面，且平面，
所以，
又平面，
所以平面，
则为直线与平面所成角，
因为，
所以在中，，
则直线与平面所成角的正切值为．
18．【答案】（1）证明：因为，由正弦定理有：，
所以，
则，
则，
则，
因为、，所以，
又因为，所以，所以，
所以有或，即或（舍去），
所以得证.
（2）解：因为是锐角三角形，，所以，
所以，解得，
所以
，
由，则，则，
所以，则的取值范围为.
（3）解：因为为的平分线，且，
所以，所以，
在中，，，
由正弦定理有：，即，
则，
则，
则，解得或，
又，则为锐角，即.
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的值域与最值；解三角形；正弦定理的应用
【解析】【分析】(1) 根据已知边角等式，利用正弦定理、三角形内角和与两角和正弦公式化简，结合角的范围，证明；
(2) 根据锐角三角形的内角限制，确定角的取值范围，结合正弦定理、三角恒等变换化简，利用余弦函数单调性求取值范围；
(3) 根据角平分线性质得到角度关系，在小三角形中应用正弦定理，结合三角恒等变换公式解方程，结合角为锐角的条件确定的值。
（1）因为，由正弦定理有：，
所以，
则，
则，
则，
因为、，所以，
又因为，所以，所以，
所以有或，即或（舍去），
所以得证.
（2）因为是锐角三角形，，所以，
所以，解得，
所以
，
由，则，则，
所以，则的取值范围为.
（3）因为为的平分线，且，
所以，所以，
在中，，，
由正弦定理有：，即，
则，
则，
则，解得或，
又，则为锐角，即.
19．【答案】（1）解：在线段上截取，由，
可得四边形为平行四边形，则，
又平面，平面，则平面，
因为平面，又，则平面平面，
因为平面，所以平面，
又N为棱的中点，所以为的中点，
则，即.
（2）解：由，，则，
过作平面于点，过作于点，连接，
由平面，平面，则，
又，平面，则平面，
又平面，则为二面角的平面角，，
在中，，
由等面积法可知，，，
而，.
（3）解：设，则，
在中，由等面积法可知，
，
在矩形中，，
过点作于，
易得，，
设二面角的大小为，则，
由于，则，
即二面角的正切值的取值范围为．
【知识点】平面与平面平行的性质；二面角及二面角的平面角；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】(1) 利用面面平行的性质，在线段上构造辅助点，证明平面平面，结合中点条件，推导线段等量关系，求得的值；
(2) 过作底面的垂线，结合已知二面角大小，确定棱锥的高，利用三棱锥体积公式求解体积；
(3) 设参量化出的长度，结合二面角平面角的定义，构造直角三角形得到正切表达式，根据自变量范围求解正切值的取值范围。
（1）在线段上截取，由，
可得四边形为平行四边形，则，
又平面，平面，则平面，
因为平面，又，则平面平面，
因为平面，所以平面，
又N为棱的中点，所以为的中点，
则，即.
（2）由，，则，
过作平面于点，过作于点，连接，
由平面，平面，则，
又，平面，则平面，
又平面，则为二面角的平面角，，
在中，，
由等面积法可知，，，
而，.
（3）设，则，
在中，由等面积法可知，
，
在矩形中，，
过点作于，
易得，，
设二面角的大小为，则，
由于，则，
即二面角的正切值的取值范围为．
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