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浙江省宁波市余姚市2024-2025学年高一下学期6月期末考试数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．经过不在一条直线上的三个点的平面（　　）
A．有且仅有一个 B．有且仅有三个
C．有无数个 D．不存在
【答案】A
【知识点】平面的基本性质及推论
【解析】【解答】解：经过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面，故A项正确.
故答案为：A.
【分析】本题考查平面的基本公理，即经过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
2．在中，，，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解三角形；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：由，和正弦定理可得，
故，
故答案为：B
【分析】利用正弦定理，结合已知角度和边长，直接求解未知边长。
3．已知向量，它们的夹角为，则（　　）
A．4 B．12 C．2 D．
【答案】C
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为向量，它们的夹角为，所以，
则.
故答案为：C.
【分析】由题意，根据向量的数量积求得，再由化简计算即可.
4．已知圆台的上下底面的半径分别为1和2，母线长为2，则它的体积是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：由图可得，
则圆台的高为，
所以，圆台的体积为.
故答案为：D.
【分析】先根据勾股定理得出圆台的高，再根据圆台的体积公式得出圆台的体积.
5．学校为了解全校1800名学生的身体肥胖情况，随机抽取了100名学生的体检数据，将其BMI值分成以下五组：，，，，，得到相应的频率分布直方图，如图所示.则下列说法错误的是（　　）
A．
B．估计样本的中位数为23
C．估计样本的众数为22
D．估计全校学生BMI值落在区间的人数为36人
【答案】D
【知识点】频率分布直方图；用样本的频率分布估计总体分布
【解析】【解答】解：A，由题意，，解得，故A正确；
B，区间的频率分别为，
因为，，故中位数位于内.
设中位数为，则，解得，故B正确；
C，由直方图可得估计这组数据的众数为，故C正确；
D，由直方图可得的频率为，故估计全校学生BMI值落在区间的人数为，故D错误.
故答案为：D
【分析】A：根据频率分布直方图中所有矩形面积和为1，求解参数a；
B：根据频率分布直方图，结合中位数的定义，计算样本中位数；
C：根据频率分布直方图的众数定义，估计样本众数；
D：先计算区间[28，32]的频率，再结合全校总人数估计对应人数。
6．设，，为两两不重合的直线，，，为两两不重合的平面，则下列命题正确的是（　　）
A．若，，则
B．若，，，则
C．若，，则
D．若，，则
【答案】C
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；空间中平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：A：若，，则可以相交，A错误；
B：若，，，则可以异面，B错误；
C：若，，则，C正确；
D：若，，则或，D错误.
故答案为：C.
【分析】A：垂直于同一平面的两个平面，位置关系可能平行也可能相交；
B：分别在两个平行平面内的两条直线，位置关系可能平行也可能异面；
C：根据平行线的传递性，一条直线与两条平行线中的一条垂直，必与另一条垂直；
D：若，，则或。
7．已知样本数据，，，，的平均数是4，方差是1，则新样本数据，，，，，的（　　）
A．平均数是7 B．平均数是 C．方差是4 D．方差是
【答案】C
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：由题意可得，，
所以新样本的平均数为；
设新样本为，则
.
故答案为：C.
【分析】根据平均数和方差的变换性质：若原数据为 ，平均数为 ，方差为 ，则新数据 的平均数为 ，方差为 。
8．在中，，，分别是，，所对的边，已知，则的最小值为（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；两角和与差的正弦公式；解三角形；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：由余弦定理，即，
由正弦定理知，，
即，即，
在中，且、同号，故，
所以.当且仅当时，等号成立
故，
∵，∴，时，取得最小值.
故答案为：B.
【分析】先利用余弦定理和正弦定理化简条件，得到，再结合基本不等式求的最小值。
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知复数，其中为虚数单位，则（　　）
A．的虚部为
B．在复平面内对应的点位于第二象限
C．
D．
【答案】B,C,D
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】A，复数的虚部为，故A错误；
B，复数在复平面内对应的点为，位于第二象限，故B正确；
C，，故C正确；
D，，故D正确.
故答案为：BCD
【分析】A：根据复数虚部的概念判断；B：根据复数的几何意义，判断对应点所在象限；C：根据复数的模长公式计算；D：根据复数的乘方运算计算。
10．有4个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中不放回的随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是4”，则（　　）
A．甲与乙相互独立 B．甲与丙相互独立
C．乙与丁互斥 D．丙与丁互为对立
【答案】B,C
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件
【解析】【解答】解：由题意可得两次取球所有可能情况为，，，，，，
，，，，，共种情况；
第一次取出的球的数字是1所有可能为，，共3种情况；
第二次取出的球的数字是2所有可能为，，共3种情况；
则两次取出球的数字之和为的所有可能为，，，共种情况；
两次取出球的数字之和为的所有可能为，共种情况；
则，，，；
A：当出现情况时，甲乙同时发生，则，故甲乙不相互独立，故A错误；
B：当出现情况时，甲丙同时发生，则，故甲丙相互独立，故B正确；
C：由上所述可得乙丁不能同时发生，则乙与丁互斥，故C正确；
D：由，故丙与丁不相互对立，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】先列出所有可能的样本点，再根据独立事件、互斥事件、对立事件的定义逐一判断：
独立事件：若 ，则事件A、B相互独立；
互斥事件：若事件A、B不能同时发生，则为互斥事件；
对立事件：若事件A、B不能同时发生，且必有一个发生（并集为样本空间），则为对立事件。
11．已知正方体的棱长为1，点为线段（含端点）上的动点，由点，，确定的平面为，则下列说法正确的是（　　）
A．平面截正方体的截面可能为等腰梯形
B．平面截正方体的截面可能为菱形
C．点运动过程中，三棱锥的体积为定值
D．三棱锥的外接球表面积的最小值为
【答案】A,C,D
【知识点】棱柱的结构特征；球内接多面体；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：AB：截面可能为等腰梯形或矩形，不可能为菱形，故A正确，B错误；
C，因为平面，所以到平面的距离为定值，
所以三棱锥的体积为定值，即三棱锥的体积为定值，C正确；
D，如图，分别取左右侧面的中心，，则三棱锥的外接球的球心在线段上.
设为，则，设，则，
又，外接球的半径.
在与中，由勾股定理得，，
两式相减得：，
所以，
所以三棱锥的外接球表面积，D正确.
故答案为：ACD.
【分析】A：平面截正方体的截面可能为等腰梯形或矩形；
B：截面不可能为菱形；
C：由平面，可知到平面的距离为定值，故三棱锥的体积为定值；
D：通过几何关系推导外接球半径的最小值，进而得到表面积的最小值。
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知复数为方程的根，则　 　.
【答案】
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：设复数，若复数是方程的根，
则，整理得
所以，
若，则，，则在实数范围内无解，
故，从而解得，
所以复数，
故答案为：.
【分析】本题考查复数方程的求解，核心是通过设复数代数形式、利用复数相等条件列方程组求解，或直接用求根公式计算。
13．已知向量，，，若，则　 　.
【答案】
【知识点】平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，∴，得.
故答案为：.
【分析】先求出向量的坐标，再根据平面向量垂直的坐标表示（数量积为0）列方程求解。
14．已知二面角的大小为，棱上有两个不同的点，，，，，，若，则直线与平面所成角的正弦值为　 　.
【答案】
【知识点】平面与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质；直线与平面所成的角；二面角及二面角的平面角
【解析】【解答】解：在平面内过作与平行且相等的线段，
过作于，连接，
则四边形为平行四边形，所以，
因为，所以，
又，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面，
又平面平面，平面，
所以平面，故为直线与平面所成角，
由，
得二面角的平面角即为，
所以，
又，
所以是等腰三角形，可得，，，
因为，所以平面，
又平面，所以，
在中，由勾股定理可得，
在中，，
即直线与平面所成角的正弦值为.
故答案为：.
【分析】本题考查二面角背景下的线面角求解，核心是通过构造辅助线、证明面面垂直，将线面角转化为直角三角形的内角进行计算。
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（用坐标法不给分）如图，直四棱柱中，底面为菱形，，，为中点.
（1）证明：平面；
（2）求点到平面的距离.
【答案】（1）证明：连交于点，∵底面为菱形，∴为线段的中点，
又∵为中点，∴为的中位线，
又∵平面，平面，平面.
（2）解：平面，平面，，
又，，平面，
平面，
又平面，平面平面，
又平面平面，
作，平面，平面，
在中，，，，
∴，即点到平面的距离为.
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的性质
【解析】【分析】(1) 利用菱形的对角线性质和三角形中位线定理，证明线线平行，进而推导线面平行；
(2) 通过面面垂直的性质找到点到平面的垂线，再用等面积法求解距离，或直接计算垂线段长度。
（1）连交于点，∵底面为菱形，∴为线段的中点，
又∵为中点，∴为的中位线，
又∵平面，平面，平面.
（2）法一：平面，平面，
，
又，，平面，
平面，
又平面，平面平面，
又平面平面，
作，平面，平面，
在中，，，，
∴，即点到平面的距离为.
法二：设点到平面的距离为，，
由于，因此为等腰三角形，
∴，，，
由得，即，解得，
∴点到平面的距离为.
16．如图，在中，，为的中点，过点的直线分别与边，交于点，（不含端点）.若，，.
（1）用，表示（请写出具体推理步骤）；
（2）求的值.
【答案】（1）解：
（2）解：，
，，三点共线，，.
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的基本定理
【解析】【分析】(1) 利用向量线性运算，通过的关系，将转化为和的线性组合；
(2) 先表示出，再结合三点共线的性质，求解的值。
（1）
（2），
，，三点共线，，.
17．如图，在平面四边形中，交于点，且为的中点.，，，.
（1）求的长；
（2）求.
【答案】（1）解：在中，用余弦定理，，
得，.
（2）解：由（1）得，，∴，∴，
又∵，∴，.
，
∴，
在中，由余弦定理得，
∴，
∴为等腰三角形，.
又∵，，
.
【知识点】两角和与差的余弦公式；余弦定理的应用
【解析】【分析】(1) 利用余弦定理，在中直接列式求解；
(2) 先通过勾股定理逆定理判断为直角三角形，再结合中点、等腰三角形性质，用余弦定理和和角公式求。
（1）在中，用余弦定理，，
得，.
（2）由（1）得，，
∴，∴，
又∵，∴，.
，
∴，
在中，由余弦定理得，
∴，
∴为等腰三角形，.
又∵，，
.
18．乒乓球被称为中国的“国球”，在2024年巴黎奥运会乒乓球比赛中，中国乒乓球队包揽五块金牌.11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜（比如：比分为，得12分者胜），该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立.在某局双方10：10平后，甲先发球.
（1）若两人又打了2个球比赛结束且甲获胜的概率为，求的值；
（2）若满足（1）中条件取值，记事件“两人又打了4个球该局比赛结束”，事件“两人又打了个球该局比赛结束”.
（i）求；
（ii）直接写出.
【答案】（1）解：记表示打第个球是甲胜，
两人又打了2个球比赛结束且甲获胜即，各球的结果相互独立，
，，，.
（2）（i）解：，为奇数；，为偶数.
.
，，，互斥，各球的结果相互独立.
.
.
.
.
.
（ii）解：，.
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】(1) 利用“甲先发球，两球后甲获胜”的概率，结合独立事件的乘法公式列方程求p；
(2) (i) 列出“4 个球后比赛结束”的所有互斥情形，分别计算概率后求和；(ii) 推导一般情形下的递推关系，得出概率公式。
（1）记表示打第个球是甲胜，
两人又打了2个球比赛结束且甲获胜即，各球的结果相互独立，
，，，.
（2）（i），为奇数；，为偶数.
.
，，，互斥，各球的结果相互独立.
.
.
.
.
.
（ii），.
19．（用坐标法不给分）如图，在矩形中，已知，，为的中点，将沿向上翻折，得到四棱锥.
（1）若，求异面直线与所成角的余弦值；
（2）求证：；
（3）在翻折过程中，记二面角的大小为，求二面角的最大值及此时的值.
【答案】（1）解：因为，
所以即为异面直线与所成角，
在中，由余弦定理，.
（2）证明：连结，交于，连结，
因为，且，所以，
所以，即，所以，，
又平面，所以平面，平面，所以.
（3）解：由（2）知，即为二面角的平面角，即，，
当时，二面角的平面角的大小为0；
当时，作，垂足为，作，垂足为，连结，
由（2）知，平面，所以平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
平面，所以，又因为，平面，
所以平面，
平面，所以，
所以即为二面角的平面角，
在矩形中，，，所以，
又，
所以，
综上，当且仅当，即时，最大为.
【知识点】异面直线所成的角；直线与平面垂直的判定；二面角及二面角的平面角
【解析】【分析】(1) 利用异面直线所成角的定义，结合余弦定理计算；
(2) 通过相似三角形与线面垂直判定定理，证明 ；
(3) 构造二面角的平面角，结合基本不等式求最大值。
（1）因为，
所以即为异面直线与所成角，
在中，由余弦定理，.
（2）连结，交于，连结，
因为，且，所以，
所以，即，所以，，
又平面，所以平面，平面，所以.
（3）由（2）知，即为二面角的平面角，即，，当时，二面角的平面角的大小为0；
当时，作，垂足为，作，垂足为，连结，
由（2）知，平面，所以平面平面，平面平面，平面，所以平面，
平面，所以，又因为，平面，所以平面，
平面，所以，
所以即为二面角的平面角，
在矩形中，，，所以，
又，
所以，
综上，当且仅当，即时，最大为.
1 / 1浙江省宁波市余姚市2024-2025学年高一下学期6月期末考试数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．经过不在一条直线上的三个点的平面（　　）
A．有且仅有一个 B．有且仅有三个
C．有无数个 D．不存在
2．在中，，，，则（　　）
A． B． C． D．
3．已知向量，它们的夹角为，则（　　）
A．4 B．12 C．2 D．
4．已知圆台的上下底面的半径分别为1和2，母线长为2，则它的体积是（　　）
A． B． C． D．
5．学校为了解全校1800名学生的身体肥胖情况，随机抽取了100名学生的体检数据，将其BMI值分成以下五组：，，，，，得到相应的频率分布直方图，如图所示.则下列说法错误的是（　　）
A．
B．估计样本的中位数为23
C．估计样本的众数为22
D．估计全校学生BMI值落在区间的人数为36人
6．设，，为两两不重合的直线，，，为两两不重合的平面，则下列命题正确的是（　　）
A．若，，则
B．若，，，则
C．若，，则
D．若，，则
7．已知样本数据，，，，的平均数是4，方差是1，则新样本数据，，，，，的（　　）
A．平均数是7 B．平均数是 C．方差是4 D．方差是
8．在中，，，分别是，，所对的边，已知，则的最小值为（　　）
A．1 B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知复数，其中为虚数单位，则（　　）
A．的虚部为
B．在复平面内对应的点位于第二象限
C．
D．
10．有4个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中不放回的随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是4”，则（　　）
A．甲与乙相互独立 B．甲与丙相互独立
C．乙与丁互斥 D．丙与丁互为对立
11．已知正方体的棱长为1，点为线段（含端点）上的动点，由点，，确定的平面为，则下列说法正确的是（　　）
A．平面截正方体的截面可能为等腰梯形
B．平面截正方体的截面可能为菱形
C．点运动过程中，三棱锥的体积为定值
D．三棱锥的外接球表面积的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知复数为方程的根，则　 　.
13．已知向量，，，若，则　 　.
14．已知二面角的大小为，棱上有两个不同的点，，，，，，若，则直线与平面所成角的正弦值为　 　.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（用坐标法不给分）如图，直四棱柱中，底面为菱形，，，为中点.
（1）证明：平面；
（2）求点到平面的距离.
16．如图，在中，，为的中点，过点的直线分别与边，交于点，（不含端点）.若，，.
（1）用，表示（请写出具体推理步骤）；
（2）求的值.
17．如图，在平面四边形中，交于点，且为的中点.，，，.
（1）求的长；
（2）求.
18．乒乓球被称为中国的“国球”，在2024年巴黎奥运会乒乓球比赛中，中国乒乓球队包揽五块金牌.11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜（比如：比分为，得12分者胜），该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立.在某局双方10：10平后，甲先发球.
（1）若两人又打了2个球比赛结束且甲获胜的概率为，求的值；
（2）若满足（1）中条件取值，记事件“两人又打了4个球该局比赛结束”，事件“两人又打了个球该局比赛结束”.
（i）求；
（ii）直接写出.
19．（用坐标法不给分）如图，在矩形中，已知，，为的中点，将沿向上翻折，得到四棱锥.
（1）若，求异面直线与所成角的余弦值；
（2）求证：；
（3）在翻折过程中，记二面角的大小为，求二面角的最大值及此时的值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】平面的基本性质及推论
【解析】【解答】解：经过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面，故A项正确.
故答案为：A.
【分析】本题考查平面的基本公理，即经过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
2．【答案】B
【知识点】解三角形；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：由，和正弦定理可得，
故，
故答案为：B
【分析】利用正弦定理，结合已知角度和边长，直接求解未知边长。
3．【答案】C
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为向量，它们的夹角为，所以，
则.
故答案为：C.
【分析】由题意，根据向量的数量积求得，再由化简计算即可.
4．【答案】D
【知识点】台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：由图可得，
则圆台的高为，
所以，圆台的体积为.
故答案为：D.
【分析】先根据勾股定理得出圆台的高，再根据圆台的体积公式得出圆台的体积.
5．【答案】D
【知识点】频率分布直方图；用样本的频率分布估计总体分布
【解析】【解答】解：A，由题意，，解得，故A正确；
B，区间的频率分别为，
因为，，故中位数位于内.
设中位数为，则，解得，故B正确；
C，由直方图可得估计这组数据的众数为，故C正确；
D，由直方图可得的频率为，故估计全校学生BMI值落在区间的人数为，故D错误.
故答案为：D
【分析】A：根据频率分布直方图中所有矩形面积和为1，求解参数a；
B：根据频率分布直方图，结合中位数的定义，计算样本中位数；
C：根据频率分布直方图的众数定义，估计样本众数；
D：先计算区间[28，32]的频率，再结合全校总人数估计对应人数。
6．【答案】C
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；空间中平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：A：若，，则可以相交，A错误；
B：若，，，则可以异面，B错误；
C：若，，则，C正确；
D：若，，则或，D错误.
故答案为：C.
【分析】A：垂直于同一平面的两个平面，位置关系可能平行也可能相交；
B：分别在两个平行平面内的两条直线，位置关系可能平行也可能异面；
C：根据平行线的传递性，一条直线与两条平行线中的一条垂直，必与另一条垂直；
D：若，，则或。
7．【答案】C
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：由题意可得，，
所以新样本的平均数为；
设新样本为，则
.
故答案为：C.
【分析】根据平均数和方差的变换性质：若原数据为 ，平均数为 ，方差为 ，则新数据 的平均数为 ，方差为 。
8．【答案】B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；两角和与差的正弦公式；解三角形；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：由余弦定理，即，
由正弦定理知，，
即，即，
在中，且、同号，故，
所以.当且仅当时，等号成立
故，
∵，∴，时，取得最小值.
故答案为：B.
【分析】先利用余弦定理和正弦定理化简条件，得到，再结合基本不等式求的最小值。
9．【答案】B,C,D
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】A，复数的虚部为，故A错误；
B，复数在复平面内对应的点为，位于第二象限，故B正确；
C，，故C正确；
D，，故D正确.
故答案为：BCD
【分析】A：根据复数虚部的概念判断；B：根据复数的几何意义，判断对应点所在象限；C：根据复数的模长公式计算；D：根据复数的乘方运算计算。
10．【答案】B,C
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件
【解析】【解答】解：由题意可得两次取球所有可能情况为，，，，，，
，，，，，共种情况；
第一次取出的球的数字是1所有可能为，，共3种情况；
第二次取出的球的数字是2所有可能为，，共3种情况；
则两次取出球的数字之和为的所有可能为，，，共种情况；
两次取出球的数字之和为的所有可能为，共种情况；
则，，，；
A：当出现情况时，甲乙同时发生，则，故甲乙不相互独立，故A错误；
B：当出现情况时，甲丙同时发生，则，故甲丙相互独立，故B正确；
C：由上所述可得乙丁不能同时发生，则乙与丁互斥，故C正确；
D：由，故丙与丁不相互对立，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】先列出所有可能的样本点，再根据独立事件、互斥事件、对立事件的定义逐一判断：
独立事件：若 ，则事件A、B相互独立；
互斥事件：若事件A、B不能同时发生，则为互斥事件；
对立事件：若事件A、B不能同时发生，且必有一个发生（并集为样本空间），则为对立事件。
11．【答案】A,C,D
【知识点】棱柱的结构特征；球内接多面体；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：AB：截面可能为等腰梯形或矩形，不可能为菱形，故A正确，B错误；
C，因为平面，所以到平面的距离为定值，
所以三棱锥的体积为定值，即三棱锥的体积为定值，C正确；
D，如图，分别取左右侧面的中心，，则三棱锥的外接球的球心在线段上.
设为，则，设，则，
又，外接球的半径.
在与中，由勾股定理得，，
两式相减得：，
所以，
所以三棱锥的外接球表面积，D正确.
故答案为：ACD.
【分析】A：平面截正方体的截面可能为等腰梯形或矩形；
B：截面不可能为菱形；
C：由平面，可知到平面的距离为定值，故三棱锥的体积为定值；
D：通过几何关系推导外接球半径的最小值，进而得到表面积的最小值。
12．【答案】
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：设复数，若复数是方程的根，
则，整理得
所以，
若，则，，则在实数范围内无解，
故，从而解得，
所以复数，
故答案为：.
【分析】本题考查复数方程的求解，核心是通过设复数代数形式、利用复数相等条件列方程组求解，或直接用求根公式计算。
13．【答案】
【知识点】平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，∴，得.
故答案为：.
【分析】先求出向量的坐标，再根据平面向量垂直的坐标表示（数量积为0）列方程求解。
14．【答案】
【知识点】平面与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质；直线与平面所成的角；二面角及二面角的平面角
【解析】【解答】解：在平面内过作与平行且相等的线段，
过作于，连接，
则四边形为平行四边形，所以，
因为，所以，
又，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面，
又平面平面，平面，
所以平面，故为直线与平面所成角，
由，
得二面角的平面角即为，
所以，
又，
所以是等腰三角形，可得，，，
因为，所以平面，
又平面，所以，
在中，由勾股定理可得，
在中，，
即直线与平面所成角的正弦值为.
故答案为：.
【分析】本题考查二面角背景下的线面角求解，核心是通过构造辅助线、证明面面垂直，将线面角转化为直角三角形的内角进行计算。
15．【答案】（1）证明：连交于点，∵底面为菱形，∴为线段的中点，
又∵为中点，∴为的中位线，
又∵平面，平面，平面.
（2）解：平面，平面，，
又，，平面，
平面，
又平面，平面平面，
又平面平面，
作，平面，平面，
在中，，，，
∴，即点到平面的距离为.
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的性质
【解析】【分析】(1) 利用菱形的对角线性质和三角形中位线定理，证明线线平行，进而推导线面平行；
(2) 通过面面垂直的性质找到点到平面的垂线，再用等面积法求解距离，或直接计算垂线段长度。
（1）连交于点，∵底面为菱形，∴为线段的中点，
又∵为中点，∴为的中位线，
又∵平面，平面，平面.
（2）法一：平面，平面，
，
又，，平面，
平面，
又平面，平面平面，
又平面平面，
作，平面，平面，
在中，，，，
∴，即点到平面的距离为.
法二：设点到平面的距离为，，
由于，因此为等腰三角形，
∴，，，
由得，即，解得，
∴点到平面的距离为.
16．【答案】（1）解：
（2）解：，
，，三点共线，，.
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的基本定理
【解析】【分析】(1) 利用向量线性运算，通过的关系，将转化为和的线性组合；
(2) 先表示出，再结合三点共线的性质，求解的值。
（1）
（2），
，，三点共线，，.
17．【答案】（1）解：在中，用余弦定理，，
得，.
（2）解：由（1）得，，∴，∴，
又∵，∴，.
，
∴，
在中，由余弦定理得，
∴，
∴为等腰三角形，.
又∵，，
.
【知识点】两角和与差的余弦公式；余弦定理的应用
【解析】【分析】(1) 利用余弦定理，在中直接列式求解；
(2) 先通过勾股定理逆定理判断为直角三角形，再结合中点、等腰三角形性质，用余弦定理和和角公式求。
（1）在中，用余弦定理，，
得，.
（2）由（1）得，，
∴，∴，
又∵，∴，.
，
∴，
在中，由余弦定理得，
∴，
∴为等腰三角形，.
又∵，，
.
18．【答案】（1）解：记表示打第个球是甲胜，
两人又打了2个球比赛结束且甲获胜即，各球的结果相互独立，
，，，.
（2）（i）解：，为奇数；，为偶数.
.
，，，互斥，各球的结果相互独立.
.
.
.
.
.
（ii）解：，.
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】(1) 利用“甲先发球，两球后甲获胜”的概率，结合独立事件的乘法公式列方程求p；
(2) (i) 列出“4 个球后比赛结束”的所有互斥情形，分别计算概率后求和；(ii) 推导一般情形下的递推关系，得出概率公式。
（1）记表示打第个球是甲胜，
两人又打了2个球比赛结束且甲获胜即，各球的结果相互独立，
，，，.
（2）（i），为奇数；，为偶数.
.
，，，互斥，各球的结果相互独立.
.
.
.
.
.
（ii），.
19．【答案】（1）解：因为，
所以即为异面直线与所成角，
在中，由余弦定理，.
（2）证明：连结，交于，连结，
因为，且，所以，
所以，即，所以，，
又平面，所以平面，平面，所以.
（3）解：由（2）知，即为二面角的平面角，即，，
当时，二面角的平面角的大小为0；
当时，作，垂足为，作，垂足为，连结，
由（2）知，平面，所以平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
平面，所以，又因为，平面，
所以平面，
平面，所以，
所以即为二面角的平面角，
在矩形中，，，所以，
又，
所以，
综上，当且仅当，即时，最大为.
【知识点】异面直线所成的角；直线与平面垂直的判定；二面角及二面角的平面角
【解析】【分析】(1) 利用异面直线所成角的定义，结合余弦定理计算；
(2) 通过相似三角形与线面垂直判定定理，证明 ；
(3) 构造二面角的平面角，结合基本不等式求最大值。
（1）因为，
所以即为异面直线与所成角，
在中，由余弦定理，.
（2）连结，交于，连结，
因为，且，所以，
所以，即，所以，，
又平面，所以平面，平面，所以.
（3）由（2）知，即为二面角的平面角，即，，当时，二面角的平面角的大小为0；
当时，作，垂足为，作，垂足为，连结，
由（2）知，平面，所以平面平面，平面平面，平面，所以平面，
平面，所以，又因为，平面，所以平面，
平面，所以，
所以即为二面角的平面角，
在矩形中，，，所以，
又，
所以，
综上，当且仅当，即时，最大为.
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