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河南开封市五县联考2025-2026学年高三下学期5月阶段检测
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.双曲线的实轴长为( )
A. B. C. D.
3.已知递增的等比数列满足，，则的公比( )
A. B. C. D.
4.在某足球联赛的常规赛中，甲队进球个数的平均数为，标准差为乙队进球个数的平均数为，标准差为，则( )
A. 甲队进攻能力比乙队强，甲队进球数波动较大
B. 乙队进攻能力比甲队强，乙队进球数波动较大
C. 甲队进攻能力比乙队强，乙队进球数波动较大
D. 乙队进攻能力比甲队强，甲队进球数波动较大
5.已知连续型随机变量服从正态分布，记函数，则的图象( )
A. 关于直线对称 B. 关于直线对称
C. 关于点成中心对称 D. 关于点成中心对称
6.设，若为函数的极大值点，则( )
A. B. C. D.
7.已知为的外心，且满足，则的值为( )
A. B. C. D.
8.定义在上的偶函数满足，且当时，，若关于的方程至少有个实数解，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知一组数据，，，，的平均数为，将这组数据分别加上它们的平均数，得到一组新数据，，，，，则新数据与原数据相比( )
A. 极差相同 B. 平均数不同 C. 方差不同 D. 中位数相同
10.已知数列满足，，且，则下列结论正确的是( )
A.
B. 设数列满足，则的最大项为
C. 设数列的前项和为，则
D. 设数列的前项和为，若，则正整数的最小值为
11.已知数列满足是自然对数的底数，且，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某地有名学生参加考试，考试后数学成绩近似服从正态分布，若，则估计该地学生数学成绩在分以上的人数为 ．
13.已知直线与圆：相交于，两点，且，则实数 ．
14.设关于的方程为自然对数底数有个不相等的实数解，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在棱长为的正方体中，、分别是棱、的中点，为棱上的动点．
若点为中点，证明：平面；
若直线与平面所成的角为，求平面与平面夹角的余弦值．
16.本小题分
为传承中华优秀传统文化，丰富校园文化生活，哈三中举办“非遗文化进校园”主题活动，现有来自剪纸、皮影、刺绣、泥塑个非遗项目的传承人各名，安排到剪纸、皮影、刺绣、泥塑个非遗体验工坊进行授课，要求每个工坊安排名传承人，每名传承人仅在一个工坊授课．
求在剪纸项目的传承人在剪纸工坊授课的条件下，皮影项目的传承人不在皮影工坊授课的概率；
在概率论和统计学中，常用协方差来描述两个随机变量之间的线性相关程度，给定离散型随机变量，，定义协方差为如果协方差为正，说明两个随机变量具有正相关关系；如果协方差为负，说明两个随机变量具有负相关关系；如果协方差为零，说明两个随机变量在线性关系上不相关在参与授课的名传承人中，记在对应项目工坊授课的传承人数为，不在对应项目工坊授课的传承人数为．
(ⅰ)求随机变量的分布列；
(ⅱ)求，并说明，之间的线性相关关系．
17.本小题分
已知，函数．
若是函数的极小值点，求；
若函数存在两个极值点，．
求的取值范围；
设点，，证明：存在，且，使得曲线在和处的切线都与直线平行．
18.本小题分
已知双曲线：，点在上，为常数，按照如下方式依次构造点，，：过作斜率为的直线与的左支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为，
若，求，；
证明：数列是公比为的等比数列；
设为的面积，证明：对任意正整数，．
19.本小题分
为椭圆上异于顶点的动点，且的离心率为，分别为的左、右焦点，为的左顶点，记．
求的方程；
求证：；
设点，过点作一条不与坐标轴垂直的直线，交椭圆于，两点，再过点作一条垂直于轴的直线分别交直线于点问是否存在，使得点四点共圆为坐标原点？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
参考答案
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15.解：正方体中，、分别是棱、的中点，点为中点，
连接，
，且，四边形为平行四边形，
，
，分别是，的中点，，
，
又平面，平面，
平面．
以点为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，，，，
设，，，，
设平面的一个法向量是，
则，取，得，
因为直线与平面所成的角的正弦值为，
所以，，
解得负值舍去，
故G，则平面的一个法向量是，，，
设平面的一个法向量是，
则
取，得，
所以，，
故平面与平面夹角的余弦值为．
16.解：设“剪纸项目的传承人在剪纸工坊授课”为事件，
“皮影项目的传承人不在皮影工坊授课”为事件，
剪纸项目的传承人在剪纸工坊，剩下人全排列，即，
皮影项目的传承人只能在除剪纸项目与皮影项目剩下的个项目中选个，即，
剩下人全排列，即，所以，
所以．
由题意得总分配方案数为，设人为，，，，对应的工坊为，
当时，人都在自己对应的工坊，只有种情况，
即，
当时，从人中选人在对应工坊，有种选法，
剩下两人都不在对应工坊，只有种排法，共有种排法，
即，
当时，从个人中选人在对应工坊，有种选法，
剩下三人必须不在对应的工坊，不妨设剩下的人为，
不在，只能在中选，有种选法，
只能调换位置，有种排法，共种排法，
即，
则，
随机变量的分布列如下：
(ⅱ)由题意得，
由上可得，
，
则，
，
则
因为协方差为负数，由题意得随机变量与之间具有负相关关系．

17.解：依题意，．
因为是的极小值点，所以，得．
此时，当时，；当时，，
所以是函数的极小值点，所以．
因为，是的两个极值点，
所以的判别式，
解得或，故的取值范围是．
由可得，，
依题意，
，
令，设函数，
此时，对称轴，
而，故，
又，，
故在存在两个不同的零点，且，
综上，存在，且，
使得曲线在和处的切线都与直线平行．

18.解：点在双曲线：上，
，
直线的方程为，即
联立，解得或舍，
则点，点，
．
关于轴的对称点是，
而，而，都在同一条斜率为的直线上，
，，
，都在双曲线上．
，
而，，
，，
即数列是公比为的等比数列．
要证，即证，等价于，
记，
而，，
而
故，即，
即对任意的正整数，．
19.解：由椭圆方程可知：，
因为，解得，
所以椭圆的标准方程为．
因为，
由正弦定理可得，
即，整理可得．
假设存在，可设直线，，，且，
联立方程，消去可得，
则，可得，
则，，
由题意可知：，则直线，
令，可得，即，
同理可得，
若四点共圆，则，
可得，
且，则，可得，
且，，，
则，
整理可得，
即，
则，
整理可得，解得或舍去，
所以存在，使得点四点共圆，此时．

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