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江西宜春市十校2026届高三下学期第二次联考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，则( )
A. B. C. D.
2.复数满足为虚数单位，则的最大值是( )
A. B. C. D.
3.已知符号函数，则“”是“”的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
4.葫芦是中华民俗文化的组成部分，是一种文化载体、文化事象，更是中华吉祥文化的象征图为一个清代乾隆釉里红团龙纹葫芦瓶古玩，它近似为两个球融合组成的现模仿该古玩制作了一模型，其轴截面如图所示，已知两球的半径分别为和，且两球心的距离为，记两球心分别为，，为两个球面交线上一点，则( )
A. B. C. D.
5.已知函数，若满足且，都有成立，则实数的取值范围为；若数列满足，且数列是递增数列，则实数的取值范围为那么下列与关系正确的是( )
A. B. C. D.
6.已知随机变量，且，若函数，将向左平移个单位后，所得函数在上单调递增，则( )
A. B. C. D.
7.已知函数，满足，，若恰有个零点，则这个零点之和为( )
A. B. C. D.
8.设为正整数，在平面直角坐标系中，若，且恰好能表示出个不同的椭圆方程，则的取值为( )
A. B. 或 C. 或 D. 或
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题正确的是( )
A. 数据，，，，，，，，，的分位数为
B. 已知变量，的线性回归方程，且，则
C. 已知随机变量，最大，则的取值为或
D. 已知随机变量，，则
10.在棱长为的正方体中，分别为的中点，点是正方体侧面上的一动点含边界，则下列说法正确的是( )
A. 异面直线与所成角的余弦值为
B. 当点为棱的中点时，直线与直线平行
C. 若保持，则点在侧面内运动路径的长度为
D. 过直线的平面截该正方体的内切球所得截面圆的面积的最小值为
11.已知是各项均为正数的等差数列，且公差，是各项均为正数的等比数列，且公比，若项数均为项，下列说法正确的有( )
A. 数据的平均数是
B. 数据的平均数是
C. 若，则数据的中位数大于数据的中位数
D. 若，则数据的平均数大于数据的平均数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的系数是 ．
13.设数列的前项和为，对任意，函数在定义域内有唯一的零点，则数列的通项公式 ．
14.已知函数函数，若函数恰有个零点，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，内角、、的对边分别为、、，是的外接圆半径．
求；
若，的面积为，求的周长．
16.本小题分
在平面直角坐标系中，直线交曲线于点 ， 在第一象限，过点 作轴的垂线，垂足为点如图，将坐标系第一、二象限所在的半平面沿轴向上翻折．
当时，
求点到平面的距离；求平面与平面的夹角的余弦值；
求线段长度的最小值．
17.本小题分
已知函数．
求函数的图象在点处的切线方程：
若在上有解，求的取值范围；
设是函数的导函数，是函数的导函数，若函数的零点为，则点恰好就是该函数的对称中心．试求的值．
18.本小题分
“猜灯谜”是我国独有的民间文娱活动，某地在元宵节举办形式多样的猜灯谜比赛活动，比赛按照双人挑战赛和单人挑战赛两种模式进行．
双人挑战赛规则如下：两位选手为一组，每次一位选手答题，若答对，则获得奖品并继续答题，若答错，则换另一位选手答题甲、乙一组，甲、乙两人第次答题的概率均为，已知甲每题答对的概率为，乙每题答对的概率为．
已知第次答题的是选手乙，求第次答题的是选手甲的概率；
求第次答题的是选手甲的概率．
单人挑战赛的规则为：选手每次答题，若答对，则答题立即结束并获得奖品，若答错，则可继续答题；每位选手最多有次答题机会，第次无论对错都要结束答题丙选手每题答对的概率均为，设为丙选手答题结束时进行答题的次数，的数学期望为，证明：．
19.本小题分
已知点与关于直线对称，点在抛物线上，点是抛物线的焦点．
求抛物线的标准方程；
直线与抛物线的另一个交点为，直线与直线交于点异于、，与抛物线交于点，连接并延长，交抛物线于点，直线与轴相交于点，直线与直线相交于点，线段的中点为，线段的中点为．
(ⅰ)求证：、、三点共线；
(ⅱ)设的面积为，的面积为，若，求的取值范围．
参考答案
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14.
15.解：由正弦定理可知，而，
所以，
又因为，于是或；
当时，因为的面积为，
所以，
又因为，
所以
，
所以的周长为，
当时，因为的面积为，
所以，
又因为，
所以
，
又因为，
所以此时不构成三角形，
综上所述：的周长为．

16.解：当时，由，得，或，
翻折后，建系如图，
则，，，，，，
令平面的一个法向量，
由，得，
令，则，，，
故点到平面的距离；
当时，由可知，，
令平面的法向量，
由，得，
令，则，，
所以，
故平面与平面的夹角的余弦值；
由，得或，
所以，，
所以，
当且仅当，即时，“”成立，
故线段长度的最小值为．
17.解：因为所以所求切线的斜率，又因为切点为，
所以所求的切线方程为．
因为，所以．
因为在上有解，所以不小于在区间上的最小值．
因为时，，
所以的取值范围是．
因为，所以令可得，
所以函数的对称中心为，
所以当时，有，
故，，
所以．

18.； 证明：的所有可能取值为，，，，
，
所以的分布列为：
故，
，
，得
，
所以
19.解：因为点与关于直线对称，设，
所以，解得，即，
又点在抛物线上，所以，即，
则抛物线的标准方程为．
由知，抛物线的标准方程为，则，，
联立，解得或，即，则，
所以直线的方程为，
联立，得，
则，则，故，则，
所以直线的方程为，
联立，解得，即，
因为线段的中点为，所以，即，
又线段的中点为，则，即，而，
则，所以直线的方程为，
令，得，即，
则，
，
所以，因此，
又有公共点，则、、三点共线．
(ⅱ)由题意，，
设，
由(ⅰ)知，，
而
由，得，
则，
即，
则，即，
则，又，则，
因为直线不经过点，故，
所以的取值范围为．

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