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安徽合肥市2026届高三第三次教学质量检测数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，集合，则( )
A. B. C. D.
2.已知单位向量满足，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
3.已知等差数列的前项和为，，则( )
A. B. C. D.
4.已知抛物线：的焦点到其准线的距离为，是上一点，是坐标原点，则( )
A. B. C. D.
5.函数的最小正周期是( )
A. B. C. D.
6.已知函数的图象是连续不间断的，有如下对应表：
那函数在区间上的零点个数是( )
A. 只有个 B. 至多个 C. 只有个 D. 至少个
7.一个底面半径为的圆柱形水槽中装有适量的水，现放入一个木球后，水面上升且无溢出，若木球体积的三分之二在水中，三分之一在水上，那么木球的半径为 ．
A. B. C. D.
8.已知定义在上的函数，是的导函数，且恒有成立，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数满足，则( )
A. 为纯虚数 B. 对应的点在第四象限
C. D. 和是方程的两个根
10.从甲口袋内摸出个白球的概率是，从乙口袋内摸出个白球的概率是，如果从两个口袋内各摸出一个球，那么下列说法正确的是( )
A. 个球都是白球的概率为 B. 个球都不是白球的概率为
C. 个球不都是白球的概率为 D. 个球恰好有一个球是白球的概率为
11.已知棱长为的正四面体，为的中心，为平面内的动点，为棱上一动点，则下列说法正确的是( )
A. 若平面，且，则的最小值为
B. 若，且，则的最小值为
C. 若，则的最小值为
D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.多项式的展开式的各二项式系数的和等于 ．
13.已知为坐标原点，过点的直线与抛物线交于两点，若，则 ．
14.已知实数，满足，，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，且．
求；
若，的面积为，求的周长．
16.本小题分
已知函数，曲线在点处的切线方程为．
求；
若函数在区间上单调递增，求的取值范围．
17.本小题分
已知双曲线的左右焦点分别为，点为双曲线上一动点．
若斜率为的直线过点，且与双曲线交于两点，求的面积；
设直线过原点，且与双曲线交于两点若直线的斜率分别为，求证：为定值．
18.本小题分
在直三棱柱中，底面为正三角形，，点为线段的中点，动点满足．
当时，证明：；
当时，四点在同一球面上，该球的球心为点，表面积为，求球表面积；
动点在所在平面内，和均为锐角，且，设平面和平面的夹角为，求的最大值．
19.本小题分
在平面直角坐标系中，动点从原点出发，每秒向左、向右、向上或向下移动一个单位长度，且向四个方向移动的概率均为例如在秒末，点会等可能地出现在，，，四点处．
已知点在第秒末没有回到原点，求此时点位于坐标轴上的概率；
记第秒末点回到原点的概率为．
求，并利用公式求；
令，记为数列的前项和，若对任意实数，存在，使得，则称点是常返的利用公式：，证明：点是常返的．
参考答案
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14.
15.解：由，
有，即，
，，
，；
由的结论有，
又，，
由三角形面积公式有
，，
在中，由余弦定理有
，，
的周长．

16.解：已知，求导得．
曲线在点处的切线方程为，切线斜率，且．
代入计算：，．
故，．
由得，则．
求导得．
因为在上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立．
令，，求导得．
因为时，，所以，即在上单调递增．
因此．
故，即的取值范围为．

17.解：
如图所示，由题可知：，，所以，所以，，
不妨设，则联立方程：，解得：，所以，，
则，所以
由弦长公式可得：，
点到直线距离为：
则．
如图所示，不妨设，，，则，
则，，所以，
点和均在双曲线上，所以，，
解得：，，
所以，即：为定值．

18.解：当时，取的中点为，连接，
由已知可知，，
又因为平面，
所以平面，
因为平面，
所以；
设的中心分别为，连接，
由已知可知球心在线段上，
设，则，
所以，
所以，又因为时，，即，
故，
所以球的表面积；
如图，取的中点，连接，则．
以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则．
设，由，得
化简得，
由和均为锐角，得．
设平面的法向量为，
由
得取，得，
故平面的一个法向量为．
设平面的法向量为．
得，取，得，
故平面的一个法向量为．
则
，
令，则，
所以．
由函数单调递增，
所以当时，取最大值，最大值为．

19.解记事件：点在第秒末没有回到原点，事件：点位于坐标轴上，
由于在第秒末点回到原点的情况有种，则事件包含的情况共有种，
其中点没有回到原点且在坐标轴上的情况有种，即点这四种情况．
则，
故点在第秒末没有回到原点，且此时点位于坐标轴上的概率为．
点在第秒末回到原点，有以下三种情况：四个方向各移动一次的情况有种，
左右方向各移动两次的情况有种，上下方向各移动两次的情况有种，
所以；
若点在第秒末回到原点，则需左右移动次数相等，且上下移动次数也相等，
设左右各移动次，则上下各移动次，
所以
，
由可知：
，
则，
所以，
令，则，
即函数在上单调递减，
所以，即，则，
所以，，
记为不超过的最大整数，
则对任意的实数，当时，，即，
综上，当时，成立，所以点是常返的．

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