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山东师范大学附属中学2025-2026学年高二下学期4月阶段性检测
数学试题
一、单选题
1．已知函数，则y在上的平均变化率为（ ）
A．0.82 B．8.2 C．0.41 D．4.1
2．下列求导错误的是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
4．如图是函数的导函数的部分图象，则的一个极大值点为（ ）
A． B． C． D．
5．若函数是增函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数在处的切线与函数的图象相切，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知定义在上的函数的导数为，且，若对任意恒成立，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数有两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知函数，则（ ）
A．在上的极大值和最大值相等
B．直线和函数的图象相切
C．若在区间上单调递减，则
D．
10．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，在上单调递减
B．当时，函数没有最值
C．对任意，函数恒有两个极值点
D．对任意，过原点且与相切的直线恒有两条
11．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若恒成立，则
B．当时，的零点只有1个
C．若函数有两个不同的零点，，则
D．当时，若不等式恒成立，则正数的取值范围是
三、填空题
12．已知函数的导函数为，且，则______．
13．若函数在区间有最小值，则实数的取值范围为______．
14．若函数有三个极值点，则的取值范围是_____．
四、解答题
15．已知函数
(1)求曲线在处的切线方程.
(2)若直线过且与曲线相切，求直线的方程.
16．已知函数在及处取得极值．
(1)求a，b的值；
(2)若关于x的方程有三个不同的实根，求c的取值范围．
17．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，．
18．已知，．
(1)若在上单调递减，求的取值范围；
(2)是否存在实数，使在区间的最小值是5，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
19．已知函数．
(1)求函数的极值：
(2)设，，，恒成立，求实数m取值范围；
(3)若（），求证：．
参考答案
1．B
【详解】，，所以．
故选：B．
2．B
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D正确．
故选：B．
3．C
【详解】由可得，，
．
故选：C
4．B
【详解】极大值点处导数为0，且在该点左侧附近导数值为正，在该点右侧附近导数值为负，选项中只有符合.
故选：B.
5．A
【详解】因为函数的定义域为，则，
因为是增函数，所以，即对任意的恒成立，
所以，
又时，，当且仅当时，即当时取等号，
所以，故实数的取值范围是.
故选：A.
6．A
【详解】由，得，则，
又，
函数在处的切线方程为，
设直线与函数的图象相切于，
则，，
联立解得，.
故选：A
7．C
【详解】解：令g（x）＝f（x）lnx﹣1，g（e）＝f（e）lne﹣1＝0，x∈（0，+∞）．
∵xg′（x）＝xf′（x）lnx+f（x）＞0，在x∈（0，+∞）上恒成立．
∴函数g（x）在x∈（0，+∞）上单调递增．
由lnx，可得，即
又
∴g（x）＞0=g（e），
∴x＞e．
即不等式lnx的解集为{x|x＞e}．
故选C．
8．D
【详解】，
令，显然该函数单调递增，，则有两个根，
当时，等式为，不符合题意；
故，等式转化为有两个根，即和有两个交点，
设，求导得，
故当和时，，单调递减；
时，，单调递增；
且当时，，，
故如图所示
由图可得，的取值范围是
故选：D
9．BCD
【详解】选项A：，令，得或，故在，上单调递增：令，得，故在上单调递减．
当时，的极大值为，又，所以在上的最大值为，所以A错误．
选项B：易知直线的斜率为－3，设直线和函数的图象相切的切点为，则，即，解得，故，故切点为，显然切点坐标满足，故B正确．
选项C：结合选项A知：若在区间上单调递减，则，故，故C正确．
选项D：易知，
所以，故D正确．
故选：BCD
10．AC
【详解】对于A选项，当时，，则，当时，恒有，因此在上单调递减，故A正确；
对于选项B，，令，可得，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，当时，，故无最大值，又当时，，且，故有最小值，且最小值在处取得，故B错误；
对于选项C，由题可得，令，因为，所以，，即存在两个不同的根，所以恒有两个极值点，故C正确；
对于选项D，设切点为，则切线方程为，因为该切线过原点，所以，即，即，当时，方程有唯一解，即，所以当时，过原点且与相切的直线只有一条，故D错误．
故选：AC.
11．BCD
【详解】对于A，定义域为，由得：，
令，则，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，
，则，A错误；
对于B，定义域为，，
当时，，在上单调递增，
又，，
，使得，当时，有且仅有一个零点，B正确；
对于C，，，
；
要证，只需证，即证，
不妨令，则只需证，
令，则，
令，
则，
在上单调递增，，，
即恒成立，，C正确；
对于D，当时，由得：，
即，；
令，则，在上单调递增，
由得：，；
令，则，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，，
即，D正确.
故选：BCD
12．
【详解】已知函数，
求导可得，
代入，可得，即.
13．
【详解】，故可得，
故当，，单调递增；当，，单调递减；
当，，单调递增；
故的极小值为，又注意到，
则要使得在开区间有最小值，则，即，
解得；
故实数的取值范围为：.
14．
【详解】由有：，所以函数有三个极值点等价于有三个实根，
即有两个实根且根不为3，所以，令，
所以，令有，由有，有，
所以在上为增函数，在上为减函数，，所以或，所以，
故答案为：.
15．(1)
(2)
【详解】（1）由，
则，，
则所求的切线方程为：，
即
（2）由，设切点为，
则，
切线方程为：
又在切线上，则，得.
所以的方程为：，
即
16．(1)
(2)
【详解】（1）由题意得，
由函数在及处取得极值，得
解得，此时，，
则得或；得，
则在和上单调递增，在上单调递减，
则和分别为的极大值点和极小值点.
故.
（2）由（1）可知， 在处取得极大值，在处取得极小值．
又有三个不同的实根，所以
解得，所以实数c的取值范围是．
17．(1)答案见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）因为函数的定义域为， ．
当时，，所以在上单调递增．
当时，若，则，若，则，
所以在上单调递减，在上单调递增．
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）由（1）可知，当时，．
要证，只需证，
即证．
令，则，要证即证．
令，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
故当时，．
18．(1)
(2)存在,.
【详解】（1）,
,
因为在上单调递减，
所以在恒成立，
即在恒成立，
因为函数在单调递减，
所以，
所以，
所以的取值范围为.
（2），
若，则在恒成立，
则函数在区间单调递减，
所以，解得，不符合题意；
若，由解得，
由解得，
（i）若，即，
则函数在单调递减，单调递增，
所以，解得，满足题意；
（ii）若，即，
则函数在单调递减，
所以，解得，不满足题意；
综上，.
19．(1)极小值为，无极大值
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）因为，所以，
当时，，单调递减；当时，，单调递增；
当时，，取极小值，无极大值.
（2）因为，所以等价于，
设，，问题转为恒成立，只需，
，则，令得，
当时，，单调递增；当时，，单调递减；
的极大值也即最大值为，
由（1）可知的极小值也即最小值为，故有，即.
（3）若，由（1）可知在极值点的两侧，则有，
等价于，考虑，
则，
等号在即时取得，所以单调递增，
因为，则，
即，又因为，即得，
因为且由（1）可知在单调递减，
所以，原不等式得证.

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