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江西省2026届高三5月月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，且的元素个数是一个，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.已知双曲线：，顶点到渐近线的距离为，则离心率( )
A. B. C. D.
3.等差数列的前项和为，满足，，则( )
A. B.
C. D. ，均为的最大值
4.为了解某校学生的某次数学测试情况，随机抽取部分学生成绩最低分为分，满分分，得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论不正确的是( )
A. 对应矩形的高度为 B. 样本众数估计值为
C. 样本平均数估计值为 D. 样本成绩的第百分位数落在内
5.已知是定义在上的偶函数，且，当时，，则( )
A. B. C. D.
6.已知点，为圆上两点，且，点在直线上，点为线段中点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.若实数、、满足，则、、的大小关系不可能是( )
A. B. C. D.
8.已知定义在上的函数的图象是一条连续不断的曲线，且，若当时，，则( )
A. B.
C. 存在极大值点 D. 有且只有一个零点
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在量子计算的理论研究中，量子比特的相位演化可以用复指数形式描述．瑞士数学家欧拉于年提出了著名的欧拉公式：为量子态的叠加与演化提供了重要的数学基础．其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联．依据欧拉公式，则下列结论正确的是( )
A. 的虚部为
B. 在复平面内对应的点位于第一象限
C.
D. 若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为
10.下列关于函数的说法正确的是( )
A. 为奇函数 B. 是图象的一条对称轴
C. 为周期函数，且最小正周期为 D. 的值域为
11.如图所示为杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，第行的第个数可以表示为时在欧洲，这个表被认为是帕斯卡首先发现的．我国南宋数学家杨辉年所著的详解九章算法一书中就已经出现了这个表，这是我国数学史上的一个伟大成就．同学们开展了数学探究，则下列命题正确的是( )
A. 第行共有个数
B. 从第行起到第行，每一行的第个数字之和为
C. 第行的所有数字之和被除的余数为
D. 去除所有为的项，依次构成数列，，，，，，，，，，，则此数列前项的和为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知曲线在点处的切线与曲线相切，则 ．
13.如图，在矩形，中，，分别是和的中点，若是矩形内一点含边界，满足且，则的最小值为 ．
14.在正三棱柱中，，，点是平面上的动点，则的最小值是
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在三角形中，内角所对的边分别为，，为的角平分线，且．
若，求的大小；
设为中点，连接，面积取得最小值时，求线段的长度．
16.本小题分
如图，是圆柱的母线，四边形是底面内接正方形．点，是棱，上的动点，不与端点重合，且．
证明：平面；
已知圆柱的体积为，点到直线的距离是求的长度；
17.本小题分
某校兴趣小组为研究本校不同性别的学生对“春节联欢晚会”的喜爱情况，特进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各名作为样本，设事件“喜欢春节联欢晚会”，“学生为女生”，据统计有．
现从这名女生中，按喜欢春节联欢晚会与不喜欢春节联欢晚会的比例，选出人，再从这人中随机选出人，设选出的人中喜欢春节联欢晚会的学生人数为求的概率分布列和期望；
将样本的频率视为概率．现从全校的学生中随机抽取名学生，设其中喜欢春节联欢晚会的学生人数为，且当时，取得最大值，求从全校学生中抽取的学生可能的人数．
18.本小题分
已知抛物线的焦点是椭圆的右焦点，抛物线与椭圆在第一象限的公共点的横坐标为．
求抛物线与椭圆的标准方程；
若分别是椭圆的左、右顶点，，是椭圆上不同于的两点，直线的斜率是直线的斜率的倍，证明：直线过定点，并求出定点的坐标．
19.本小题分
已知函数．
当时，求在点处的切线方程；
当时，证明：对任意，都有；
证明：．
参考答案
1.
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14.
15.解：由正弦定理，结合，得．
因为平分，，所以．
由三角形面积关系：，
即．
代入，，化简得．
将代入上式：，解得，则．
由余弦定理：．
故．
由，根据基本不等式，得，
设，则，解得，即，
当且仅当时，取得最小值，面积最小．
此时，，
因为为中点所以．
两边平方得．
代入，，．
得，故．

16.解：在正方形中，由，得，，
则，，因此，
由是圆柱的母线，得平面，而平面，则，
又平面，所以平面．
设圆柱的底面圆半径为，圆柱的体积为，得，
解得，则，显然直线两两垂直，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，设，则，
，由点到直线的距离是，
得，则，化简得，
即，而，解得，
所以．

17.解：由，所以个女生中喜欢春节联欢晚会和不喜欢春节联欢晚会的人数分别为人和人，
故的取值为，
则，
的分布列为：
故的期望为．
由已知，女生有人，
所以喜欢春节联欢晚会的女生人数为人，
又因为，所以喜欢春节联欢晚会的人数为人，
由于样本的频率视为概率，所以从全校的学生中随机抽取名学生，
他喜欢春节联欢晚会的概率为，
则随机变量，
令，解得，
因为，所以或或．

18.解：由抛物线的定义知，，
抛物线的标准方程为，
．
设椭圆的左焦点为，则，
连接，由椭圆的定义知，
解得，
又，则，
，
椭圆的标准方程为．
由知，
若直线的斜率为，由椭圆的对称性知直线的斜率与直线的斜率互为相反数，不满足题意，故直线的斜率不能为，
设，直线的方程为，
代入并整理，得，
．
由题知，
，
，解得．
将代入得，
直线的方程为，则直线过定点．

19.解：当时，，
则，
所以，，
故当时，在点处的切线方程为．
对任意的，当时，，
故只需证对任意的恒成立，整理得，
构造函数，其中，
则
，
所以函数在上为减函数，故当时，，即，
故对任意的，，
故当时，对任意，都有．
由知，当时，，即，
令，则，
因为，所以，
构造函数，其中，则，
当时，，即函数在上单调递减，
当时，，即函数在上单调递增，
所以，即，当且仅当时，等号成立，
令，得，即，
整理得，
则，即，
所以，，，，，
累加得
，
故，．

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