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江苏扬州市第一中学2025-2026学年度第二学期高一数学期中考试试卷
一、单选题
1．下列物理量中不是向量的是（ ）
A．重力 B．时间 C．加速度 D．位移
2．在中，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量，为单位向量，，则，的夹角为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．120°
4．在中，内角的对边分别为，且，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等腰直角三角形
C．直角三角形 D．非特殊三角形
5．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在圆中，是圆上不同的两点，若，则（ ）
A．12 B．15 C．16 D．18
7．已知向量满足与的夹角为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．内角 的对边分别为，满足，且，以下说法正确的是（ ）
A．是锐角 B．
C． D．
二、多选题
9．已知向量，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．在上的投影向量为
10．下列表达式中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．在锐角中，角，，对应的边分别为，，，若，则（ ）
A．的最小值为 B．
C．中线的长度为 D．
三、填空题
12．在中，若，则________．
13．已知，，且，则与的夹角为___________．
14．如图，单位圆与轴的正半轴的交点为，点，在圆上，且点位于第一象限，点的坐标为，，为正三角形.则__________.
四、解答题
15．设，已知是平面内两个不共线的向量，，，，且，，三点共线.
(1)求的值；
(2)若，求向量与的夹角的余弦值
16．在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，，．
(1)求角的大小；
(2)求的值．
(3)求面积的值．
17．已知函数.
(1)求函数的最小正周期，以及在区间上的最小值；
(2)在中，角所对的边分别为.若，，，求的长.
18．在中，角、、的对边分别为、、，已知.
(1)求的值；
(2)若，求
（i）的值；
（ii）的值.
19．盐城中学某数学兴趣小组在学习三角函数的过程中发现一个规律：
，
，
，
据此规律提出猜想：，并用两角和与差的余弦公式对猜想进行了证明．当、、有相同的始边时，其终边三等分圆周，类似于风力发电机叶片之间的关系，因此该兴趣小组的同学称这个恒等式为“发电叶片恒等式”．同时，小组同学也提出疑问：对于更多“叶片”的“风力发电机”，这样的“发电叶片恒等式”的结论能否得到推广呢？根据以上信息，回答下列问题：
(1)证明：；
(2)解关于的方程：，其中；
(3)求的值，其中，且．
参考答案
1．B
【详解】向量既有大小又有方向.时间只有大小，没有方向.故选B.
2．C
【详解】∵，由正弦定理得，
设，
则，又是三角形内角，
∴．
故选：C．
3．C
【详解】因为，所以
，
由于，
所以.
4．A
【详解】在中，，根据余弦定理得：，
化简整理，即,得，故.
因为有两条边相等，因此是等腰三角形，无法推出一定是直角三角形.
所以只有A正确.
5．D
【详解】因为，因此，由同角三角函数基本关系式，
且，得，
根据正弦和角公式.
6．D
【详解】由圆的几何性质，，
由数量积的定义可得.
故选：D.
7．D
【详解】由已知得，
所以
，
当时，取得最小值48，
所以的取值范围是.
8．D
【详解】因为，根据余弦定理：
代入条件得，，
即，
又因为，所以（当且仅当时等号成立），
所以，得，又因为已知，
所以且.
，
选项A：因为，，故是钝角，A错误.
选项B：，，
函数在单调递减，故，B错误.
选项C：由得，又，故，
由半角公式： ，
因为为锐角，且函数在单调递增，故，C错误.
选项D：由，且由C选项分析知，所以，D正确.
9．BCD
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，因为，所以，故C正确；
对于D，在上的投影向量为，故D正确.
故选：BCD.
10．AB
【详解】选项 A，，选项A正确.
选项 B，，选项B正确.
选项 C，，选项C错误.
选项 D，
(
，选项D错误.
故选：AB
11．ABD
【详解】对于A：由，即，
当，即时，等号成立，故A正确；
对于B：由余弦定理有：，解得，
由
，
由正弦定理得：，
又由余弦定理得，
所以
，故B正确；
对于C：由，所以
，所以，故C错误；
对于D：由选项B有①，
又，所以，
又②，
由①②有：，又由选项A有，且为锐角，
所以，所以，
所以，又为锐角三角形，所以，
所以，
所以，当时，等号成立，故D正确.
12．//
【详解】由余弦定理得到：
故答案为：.
13．
【详解】，
则，则，故.
14．/0.4
【详解】
，
由图知：角对应的终边为，因为点的坐标为，
且圆为单位圆，由三角函数定义得．
15．(1)
(2)
【详解】（1）因为，，所以
因为三点共线，且，故与共线.
根据共线向量性质，存在实数使得，即：.
因为 是不共线向量，由平面向量基本定理得： ，解得.
因此的值
（2）因为，所以，
，
所以，，.
根据向量夹角公式.
16．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为 ，
由余弦定理可得 ，
因为 ，所以 .
（2）在 中,由正弦定理得 ，
又因为 ，所以 ，解得 .
（3）因为 ，
所以 .
17．(1)，
(2)
【详解】（1）
，
，即，
最小正周期为，
当时，，
当时，即时取得最小值，
.
（2），，
，即，
，解得：，
又，故，
，
，
，
，
由余弦定理得：
,
故.
18．(1)
(2)（i）；（ii）.
【详解】（1）因为，可得，即，
由余弦定理可得.
（2）（i）因为，故为锐角，所以，
因为，由正弦定理可得，故；
（ii）因为，则，即，故为锐角，
所以，
所以，
，
因此，.
19．(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）因为，，
所以
，
即；
（2）由（1）知，
即，
又，
所以
，
所以，
所以
或，
当时，解得，
又，所以；
当时，无解，
综上，方程的解为；
（3）设，
则
，
由积化和差公式得，
，
，，，
将上面个式子相加得
，
所以.
又，且，所以，所以，所以，
即.

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