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江苏扬州市邗江区2025-2026学年高一下学期期中调研数学试题
一、单选题
1．的值为（ ）
A． B． C． D．
2．在中，，则（ ）
A．1 B． C． D．2
3．已知，且为第二象限角，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
4．若，，且，则与的夹角是
A． B． C． D．
5．设，，，则有（ ）
A． B． C． D．
6．已知，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知、是关于的方程的两根，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，，，为上一点，且满足，若，则的最小值是（ ）
A．2 B．4 C． D．
二、多选题
9．已知向量，则（ ）
A．
B．若，则
C．若，则
D．若与的夹角为钝角，则的取值范围是
10．已知的内角的对边分别为，以下判断正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则是钝角三角形
C．若，则符合条件的有两个
D．若，则为等腰直角三角形
11．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则（ ）．
A． B．
C．bc的最大值为 D．为钝角三角形
三、填空题
12．______．
13．记的内角的对边分别为，已知，则面积为______．
14．如图，在平面四边形ABCD中，，，，．若点E为边CD上的动点，则的最小值为________．

四、解答题
15．如图，在平行四边形中，，点是的中点，连接，记它们的交点为，设．
(1)用表示；
(2)求与的夹角的余弦值．
16．已知，．
(1)求的值；
(2)若，，求角的大小．
17．的内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若，求周长的最大值．
18．已知函数．
(1)的最小正周期和单调递增区间；
(2)求不等式在上的解集；
(3)对于任意的，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
19．如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，是扇形弧上的动点，记，

(1)请用来表示平行四边形的面积；
(2)若.
①求平行四边形面积的最大值，以及面积最大时角的值；
②记（其中），求的取值范围.
参考答案
1．B
【详解】
2．A
【详解】由余弦定理可得.
故选：A.
3．B
【详解】因为，且为第二象限角，所以，
所以．
4．D
【详解】由，
即（其中为与的夹角），
则，
因为，所以.
5．B
【详解】因为，
，
，
且函数在上为增函数，且，
所以，，即.
故选：B.
6．B
【详解】易知，
所以
.
故选：B
7．A
【详解】由是方程的两根，得，，
则，所以.
故选：A
8．A
【详解】设，则
，
所以，，解得.
，，
，
当且仅当时，即当时，等号成立.
所以，的最小值为.
故选：A.
9．BC
【详解】选项A： ，A错误；
若，则，解得 ，B正确，
若，则，解得，C正确，
若与夹角为钝角，，得；
当，则，得，此时，夹角为不是钝角，舍去，
因此的范围是，D错误.
10．ABC
【详解】对A，由和正弦定理可得，由大边对大角可知，正确；
对B，由和正弦定理可得，
所以，又，所以，正确；
对C，若，则，
即，所以符合条件的有两个，正确；
对D，若，则，即，
因为，所以或，
即或，
当时，，此时为直角三角形；
当时，为等腰三角形.
所以为直角三角形或等腰三角形，错误.
故选：ABC
11．ABD
【详解】对于A，因为，结合余弦定理推论可得，
，化简得，解得（舍）或，A正确；
对于B，因为，
所以，又，
所以，B正确；
对于C，解得，
根据余弦定理可得，代入得
利用基本不等式，
当且仅当时取等号；
所以，C错误；
对于D，是钝角，D正确；
故选：ABD.
12．
【详解】将非特殊角化为特殊角的和与差，是求三角函数值的一个有效方法.
考点：两角和的正弦
13．3
【详解】因为，
根据正弦定理得，
因为，则，
又因为，则，
由于，得，即，
所以.
14．/
【详解】连接AC，因为，，，
所以，
又，所以，
所以.
过点B作AD的垂线BF，垂足为F，
易知，在中，，
所以，
以D为原点，的方向分别为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，
则
设，
则，
，
当时，有最小值.
故答案为：

15．(1)，．
(2)
【详解】（1）因为，所以，
在平行四边形中，点是的中点，
所以，且，
所以，所以，
则，即．
（2）已知，
则，，
又已知，
则，
因为，
所以，
又，
设与的夹角为，
则．
16．(1)
(2)
【详解】（1）因为，
又，所以．
又，得，所以．
（2）由（1）可知，
因为，，所以，
所以．
17．(1)
(2)12
【详解】（1），由正弦定理得，即，得；
又，∴，得；
，，得；
，；
（2），，由余弦定理得，即 ；
，，，当且仅当时等号成立；
，解得，当且仅当时等号成立；
又为的边长，，，即；
，得；
周长的最大值是12.
18．(1)；；
(2)；
(3).
【详解】（1）
．
所以的最小正周期．
由，
可得，
所以的单调递增区间为；
（2）由可得，
整理可得．因为，所以．
根据正弦函数的性质可知，要使，应满足，
解得．
所以不等式在上的解集为．
（3）因为，所以，
得到，所以
又因为不等式恒成立，
得到，
因为，当且仅当，即时取等号
所以，所以实数的取值范围是.
19．(1)
(2)①，；②
【详解】（1）过点作的垂线，垂足为，在中，，
在中，，则，

所以，
所以
（2）①若，由题意可得，
由（1）知：
故平行四边形的面积
由于，故，
故当时，即时，取得最大值为.
②根据题意，建立如图所示的坐标系，则，即

又，则
因，即，
则，，
解得：，，
，
由点是弧上一动点，则，则，
所以即.
则的取值范围为.

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