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2025-2026学年高二下学期4月份联考数学试卷
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 某学校开设3门球类课程 4门田径类课程和5门体操类课程供学生选修，某位学生任选1门课程学习，则不同的选法共有（ ）
A. 12种 B. 11种 C. 10种 D. 9种
【答案】A
解析：种.
2. 已知是函数的导函数，，则（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】A
解析：由题可得，所以.
3. 根据图中的函数图象，下列数值最小的是（ ）
A. 曲线在点处切线的斜率 B. 曲线在点处切线的斜率
C. 曲线在点处切线的斜率 D. 割线的斜率
【答案】C
解析：通过图象可知，曲线在点处、点处切线的斜率为正，在点处切线的斜率为负，割线的斜率为正，
所以最小值为曲线在点处切线的斜率.
故选：C.
4. 某校从名女生和名男生中选出人参加一项创新大赛，则选出的人中至少有名女生的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
解析：由题意得，“至少有名女生”的对立事件是“选出的人全是男生”，
因此，故B正确.
5. 某电动自行车的耗电量与速度之间的关系式为，为使其耗电量最小，则其速度为（ ）
A. 20 B. 30 C. 40 D. 50
【答案】C
解析：由题意知，
令，解得，令，解得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，取得最小值. 因此为使耗电量最小，则其速度应定为.
故选：C.
6. 若函数的极小值点为1，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
解析：因为，
所以.
若，当时，，当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
此时1是的极大值点，矛盾，故不符合题意；
若，则，等号成立当且仅当，此时在上单调递增，
即此时没有极值点，故不符合题意；
若，当时，，当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
此时1是的极小值点，故符合题意；
综上所述，符合题意的的取值范围是.
故选：B.
7. 用4种不同的颜色给图中6个区域染色，要求边界有重合部分的区域染上不同的颜色，则不同的染色方法有（ ）
A. 384种 B. 168种 C. 108种 D. 192种
【答案】D
解析：先给2，5染色，有种方法，
若1和5同色，则4有2种涂法；若1和5不同色，则4有种涂法．
因为1，4分别与3，6对称，所以不同的染色方法有种．
故选：D.
8. 已知函数在存在单调递增区间，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
解析：考虑问题的否定，函数在上不存在单调递增区间，
则对于，恒成立，
分离参数得在上恒成立，则.
令，求导得，
当，，单调递增，
所以，所以.
所以原命题成立的条件为.
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数的导函数在上的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. 在上单调递减
B. 当时，取得极大值
C. 当时，取得极小值
D. 是在上的最大值
【答案】ABC
解析：对于A，由题图可知时，，单调递减，故A正确；
对于B，C，由题图易知在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取得极大值，
当时，取得极小值，故BC，正确；
对于D，在上的最大值应是与中的较大者，故D错误.
10. 已知，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
解析：根据二项式定理，当我们令展开式中时，此时展开式中除了这一项，其余含有的项都为，
所以，即，可得，故选项A正确；
二项式其展开式的通项公式为，
要求，也就是当时的系数，
将代入通项公式中，
先计算组合数，
则，故选项B错误；
令，则，
即，所以
又因为前面已经求得，那么，故选项C错误；
对两边同时求导。
左边求导为，右边求导为，
即
令，则
即，所以，故选项D正确.
故选：AD.
11. 已知函数在处有极大值，则（ ）
A.
B.
C. 曲线在点处的切线与曲线有且仅有一个公共点
D. 若时，的值域为，则t的取值范围为
【答案】BC
解析：，，
因为函数在处有极大值，所以，
即，解得或3，
当时，，
当时，；当时，；当时，，
此时为极小值点，不符合题意，
当时，，
当时，；当时，；当时，，
此时为极大值点，所以；
对于A，由以上可得，故A错误；
对于B，，
易知函数为奇函数，其图象关于原点对称，
而的图象是由函数的图象向右平移两个单位后，向上平移两个单位得到，
所以的图象关于点成中心对称，即，故B正确；
对于C，由，所以切线方程为，即，
联立可得，解得，
即方程有三重根，所以曲线在点处的切线与曲线有且仅有1个公共点，
故C正确；
对于D，因为，极大值，极小值，，
结合单调性可得当的值域为，则的取值范围为，故D错误.
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数的定义域为，且为的导函数，若，则__________.
【答案】
解析：由导数的定义，可得函数在处的导数满足：，
则，解得.
13. 从0~9这十个数字中选取3个数，能组成无重复数字的三位偶数__________个.（用数字作答）
【答案】
解析：末位是0时：末位有1种选法，十位有种选法，百位有种选法，
故末位是0的三位偶数有；
末位不是0时：个位有种选法，百位有有种选法，十位有种选法，
故末位不是0的三位偶数有；
所以共有个．
故答案为：.
14. 设，且，若能被13整除，则等于______．
【答案】12
解析：∵，且，
∴，
∵能被13整除，
∴能被13整除，
∵，
∴．
故答案为：12．
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明 证明过程及演算步骤.
15. 已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）若，求的最大值与最小值.
解：（1）因为.
令，得或，
当变化时，的变化情况如表所示.
0 2
+ 0 - 0 +
单调递增 0 单调递减 单调递增
所以的单调递增区间为和，单调递减区间为.
（2）由（1）知当时，取得极小值.
当时，取得极大值0.
又由 .
所以.
16. 已知的展开式中，二项式系数的和为64，求：
（1）；
（2）含的项；
（3）各项系数和.
解：（1）因为二项式系数的和为64，
所以，解得.
（2）由（1）知，则二项式变为，
由二项式定理可得展开式的通项为，
令，得，故含的项为.
（3）令，则各项系数和为.
17. 为庆祝校庆，5名同学（3男2女）相约观看《哪吒之魔童降世》，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式并计算结果）
（1）若男生必须坐在一起，女生必须坐在一起，共有多少种不同坐法？
（2）若所有男生互不相邻，且所有女生也互不相邻，共有多少种不同坐法？
（3）同学甲和同学乙必须相邻，且他们都不与同学丙相邻，共有多少种不同坐法？
解：（1）先将3名男生排在一起，有种排法，
再将2名女生排在一起，有种排法，
将排好的男生、女生分别视为一个整体，再进行排列，共有种排法，
由分步乘法计数原理可知，共有种排法．
（2）先将3名男生排好，共有种排法，
再在这3名男生中间的2个空位中插入2名女生，共有种排法，
再由分步乘法计数原理，共有种排法．
（3）先将甲乙丙以外的其余2人排好，共有种排法，
由于甲乙相邻，则有种排法，
最后将排好的甲乙这个整体与丙分别插入原先排好的2人的中间及两边共3个空位中，共有种排法，
由分步计数原理，共有种排法．
18. 已知，曲线在点处的切线方程为.
（1）求实数的值；
（2）若，求曲线过点的切线方程.
解：（1）由函数，其中，可得，
因为曲线在点处的切线方程为，
可得，且，即，
解得.
（2）由（1）知，，可得，
设切点为，则切线的斜率，故切线方程为，
因为切线过点，所以，整理得，
解得或，所以切点为或，
此时，曲线过点的切线方程为或.
19. 已知函数．
（1）当时，判断的单调性；
（2）若有极值点，求的取值范围；
（3）若有三个零点，求的取值范围．
解：（1）当时，，该函数的定义域为，，
令，其中，则，
当时，，即函数在上单调递增，
当时，，即函数在上单调递减，
所以，故函数的减区间为，无增区间.
（2）因为，所以，
由可得，设，其中，
若函数有极值点，则直线与函数有交点（非切点），
，
当时，，即函数在上为增函数，
当时，，即函数在上为减函数，如下图所示：
由图可知，解得，故实数的取值范围是.
（3）由可得，
所以函数有三个零点方程有三个实根，
令，其中，且，
，
①当时，对任意的，，即函数在上为增函数，
此时函数有且只有一个零点，不符合题意；
②当时，令，，
（i）当时，即当时，对任意的时，恒成立，
所以函数在上有且只有一个零点，不符合题意；
（ii）当时，即当时，函数有两个零点、，
由韦达定理可得，，所以，
当时，，所以函数在、上为减函数，
当时，，所以函数在上为增函数，
所以，，
当时，；当时，.
所以函数在区间、、上各有一个零点，
此时函数有三个零点，符合题意.
综上所述，实数的取值范围是.

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