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浙江省A9协作体2025-2026学年第二学期高一期中联考数学试题
一、单选题
1．在复平面内，复数所对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．在中，若，则（ ）
A． B． C．或 D．或
3．已知与的夹角为，则（ ）
A．2 B． C． D．3
4．如图，在正方体中，点是的中点，则下列直线中与平面平行的是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
5．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则以下说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
6．如图，用斜二测画法画出的直观图是，直线垂直于轴，，则在中，点到边的距离是（ ）
A．1 B． C．2 D．
7．已知一个圆锥与一个圆柱的底面半径均为3，高均为4，则圆锥的表面积与圆柱的表面积的比值是（ ）
A． B． C． D．
8．已知在所在平面内，满足，若，，则的面积是（ ）
A．2 B．3 C． D．4
二、多选题
9．下列说法中不正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则是一个单位向量
C．若，则
D．若，则与的夹角为钝角
10．在中，角的对边分别为，则下列说法中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则为等边三角形
C．若，则的面积最大值为
D．若，则满足条件的有两个
11．在正四棱台中，，其内切球的半径是2，则下列说法中正确的是（ ）
A．球的表面积是
B．直线与直线是异面直线
C．正四棱台的体积是
D．直线与平面的夹角是
三、填空题
12．已知复数，则__________.
13．在平面直角坐标系中，已知点，点，若点在以为直径的圆上，，则__________.
14．在中，角的对边分别为，若，点满足，则的最大值是__________.
四、解答题
15．设复数.
(1)若是实数，是纯虚数，求；
(2)若互为共轭复数，求.
16．在锐角中，角的对边分别为.
(1)求；
(2)若，求周长的取值范围.
17．如图，在平行四边形中，，点为的中点，将沿直线翻折成（点不在面内），点为的中点.在翻折过程中，
(1)证明：直线平面；
(2)若，求二面角的大小.
18．如图，在梯形中，，点在上，且与相交于点.
(1)求的值；
(2)若，求；
(3)若点在以点为圆心，2为半径的圆上，求的取值范围.
19．如图，在四棱锥中，四边形为矩形，是等边三角形，平面平面，点是的中点.

(1)证明：直线平面；
(2)若直线与平面的夹角的正切值为，
（i）求四棱锥的体积；
（ii）求三棱锥的外接球的半径.
参考答案
1．B
【详解】.
则其在复平面内所对应的点的坐标为，
则对应的点在第二象限.
2．B
【详解】因为在中，，即，
所以由正弦定理，得，解得，
因为，所以，所以.
3．A
【详解】因为与的夹角为，
所以，
所以
4．D
【详解】由，而平面，故A错误；
由，而平面，故B错误；
因为且，
所以四边形是平行四边形，所以，
又平面，故C错误；
如图所示，连接交于，连接，
所以点是的中点，又点是的中点，
所以，而平面，平面，
所以平面，故D正确.
5．C
【详解】对于A，，则，相交或异面，故错误；
对于B，，则与的关系可以是平行，相交或，故错误；
对于C，，则，故正确
对于D，如图，满足，不满足，故D错误.
6．D
【详解】如图，过点作轴，交轴于点，
因为直线垂直于轴，，
所以，即为等腰直角三角形，
因为，所以，
所以在原图形中，，，
所以在中，点到边的距离是
7．C
【详解】由底面半径，高，
圆锥母线长，
圆锥表面积：
圆柱表面积： ，
所以 .
8．B
【详解】因为满足，
所以分别是的外心与重心，即是各边中垂线的交点，是中线的交点，
设的中点为，连接，
因为是的外心，所以
因为，所以三点共线，即是边上的中线，
因为重心在中线上，且，
所以，
因为是中线，，三点共线，
所以，
所以的面积是
9．ACD
【详解】对于A，由于的方向不确定，故A错误；
对于B，若，则的模为1，故B正确；
对于C，当时，此时，但不一定成立，故C错误；
对于D，当与方向相反时，不属于钝角，满足，说明夹角不一定为钝角，故D错误.
10．ABD
【详解】对于A选项，由正弦定理得，
故当时，，又，
所以，故A选项正确；
对于B选项，因为，所以，
所以，且，所以，
所以为等边三角形，故B正确；
对于C选项，因为，，由余弦定理和基本不等式可得
，即，
当且仅当时，等号成立，
故，
所以，的面积的最大值为，故C错误；
对于D选项，因为，，
所以，即满足条件的有2个，如图所示，故D选项正确.
11．AC
【详解】对于A，由于内切球的半径是2，故球的表面积是，故A选项正确；
对于B，正四棱台的内切球心在上下底面中心的连线上（即棱台的高上），如图，他们均在平面中，故B选项错误；
对于C，如图，分别取的中点，
则四边形是等腰梯形，且是侧面梯形的高，
因为正四棱台中存在内切球，
所以等腰梯形存在内切圆且上下底的切点为对应中点，
根据内切圆与梯形各边都相切，结合切线长定理知：腰长等于上下底之和的一半，
设，则，，
所以，即，解得，即.
所以正四棱台的体积是，故C选项正确；
对于D，结合C得正四棱台的侧棱满足，即，
设直线与平面的夹角为，则，故D选项错误.
12．
【详解】
13．3
【详解】因为点，点，点在以为直径的圆上，
所以且，
所以，即，
整理得，解得或，
因为，所以舍去，故
14．
【详解】如图，因为，点满足，
所以,
所以，，
因为，
所以，即，
代入得，
整理得，即
因为，当且仅当时等号成立，
所以，即，
所以的最大值是.
15．(1)
(2)
（1）解：由是实数知，解得
由是纯虚数知，解得
所以，
（2）解：因为，
所以，解得，
故
16．(1)
(2)
（1）解：因为
所以，根据正弦定理边化角得
即，
所以，
又因为，所以，即
又因为，所以
（2）解：因为，，
所以，由得
因为，在锐角中，，所以，
所以，所以
所以周长的取值范围为
17．(1)证明见解析
(2).
【详解】（1）证明：取中点为，连接,
因为点为的中点，所以，
又因为平面，平面，所以平面，
因为在平行四边形中，点为的中点，所以，
所以四边形是平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面
又，平面
所以平面平面，
又平面，
所以直线平面
（2）解：取中点为，连接
因为，中点为
所以，是等边三角形，
所以，即为二面角的平面角.
在中，，由余弦定理有：
，
即，解得，
又在中，，在内，.
所以在中，，即为等边三角形，
所以，即二面角的大小为.
18．(1)6
(2)
(3).
【详解】（1）解：梯形中，，
所以为等腰梯形，
因为点在上，且，
所以，，
所以.
（2）解：设，则
因为三点共线，所以，解得，
所以，即
（3）解：
由（2）可得
又
如图，由向量数量积的几何意义知，，即
所以
所以.
19．(1)证明见解析
(2)（i）；（ii）
【详解】（1）证明：设中点为，则由是等边三角形知
由四边形为矩形得，
又平面平面，平面平面，平面
所以平面，
又平面，所以
又，平面
所以平面.
由点是的中点，得，
所以四点共面，
所以直线平面

（2）解：（i）设中点为，
所以，又因为，
所以，，
所以四边形是平行四边形，所以，
过点作平面，因为平面平面，
所以点在上.
所以是直线与平面所成的角，
因为是等边三角形，，
所以在中，，，
因为直线与平面的夹角的正切值为
所以在中，，所以.
因为四边形为矩形，
所以在中，，即，解得，
所以
因此四棱锥的体积是.

（ii）由（1）知直线平面中点为，
所以，点与点关于平面对称，
所以，三棱锥的外接球与三棱锥的外接球关于平面对称，
接下来求三棱锥的外接球半径.
设中点为中点为中点为，
三棱锥的外接球球心为，半径长为.
则平面，
，
即，
解得，因此.
所以三棱锥的外接球的半径为

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