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山西运城市康杰中学2026届高三冲刺模拟卷（三）数学试题
一、单选题
1．下列命题中，真命题是（ ）
A．
B．
C．的充要条件是
D．是的充分条件
2．定义集合和的运算：，若集合，则的真子集个数为（ ）
A．31 B．32 C．62 D．63
3．某校高一有学生 980 人，在一次模拟考试中这些学生的数学成绩 服从正态分布 ，已知 ，则该校高一学生数学成绩在 110 分以上的人数大约为（ ）
A．784 B．490 C．392 D．294
4．已知，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则使得成立的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
5．已知直线与圆 ，圆 的交点从左到右依次为A，B，C，D，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过作与C的一条渐近线平行的直线，交C的左支于点P，且，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．若某圆台有内切球（与圆台的上下底面及每条母线均相切的球），且母线与底面所成角的余弦值为，则此圆台与其内切球的体积之比为（ ）
A． B．2 C． D．
8．设，函数，若在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知，则（ ）
A． B．
C． D．除以8所得的余数是7
10．已知正项等比数列，等差数列满足：，，，记为前项和，为前项和，则下列正确的有（ ）
A． B．
C．存在，使得 D．对任意，都有
11．记的内角所对边分别为，点为的中点，，，延长到点，使点为线段的中点，则（ ）
A．
B．周长的取值范围为
C．的最大值为
D．的最小值为
三、填空题
12．设，若复数在复平面内对应的点位于虚轴上，则______．
13．从1、3、5、7中任取2个数字，从0、2、4、6中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有________个.（用数字作答）
14．如图，抛物线的方程为，焦点是，圆心在轴上的圆与抛物线在第四象限有且只有一个公共点，且它们在点处的切线是同一条直线.若点的横坐标为，，则实数的值为__________.
四、解答题
15．如图，在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，.
(1)求b.
(2)若D点满足，，求a.
16．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，平面，点，分别在棱，上，且．
(1)求证：；
(2)若，与平面所成的角为60°，点关于平面的对称点为，求点到平面的距离．
17．已知函数．
(1)若函数在点处的切线过，求a的值；
(2)若，证明：恒成立；
(3)试求出正整数a的最小值，使存在唯一的极值点．
18．已知椭圆的长轴长为4，直线与椭圆交于，两点（点在第一象限）．当时，，在轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点．
(1)求的标准方程；
(2)若轴于点，连接并延长交于点，记直线的斜率为．
（ⅰ）证明：为定值；
（ⅱ）设，求的最小值．
19．小明拥有1个电动玩具，厂家配备了一个装电池的盒子，内装满原装4块电池，其中2块为可充电电池，2块为一次性电池、为了保证随时可玩耍，小明又购买了2块可充电电池备用，他每次玩玩具时就随机从装满电池的盒子中取出1块使用，若为一次性电池，则使用完毕后丢弃，并补充1块可充电电池装入盒中；若为可充电电池，则使用完毕后充电，并放入盒中以备下次使用．
(1)记第次使用后一次性电池剩余的块数为，求的数学期望；
(2)记第次使用后一次性电池恰好使用完毕的概率为．
（i）求；
（ii）分析第几次使用后一次性电池恰好使用完的可能性最大．
参考答案
1．D
【详解】因为恒成立，故A错误；
当时，，故B错误；
当时，满足，但因分母为零，从而无意义，故C错误；
利用不等式的性质可知，故D正确.
故选：D
2．D
【详解】由新定义知，，一共6个元素，所以的真子集的个数为.
故选：D.
3．C
【详解】因为，且，
所以，
所以，
又因为高一有学生980人，
所以该校高一学生数学成绩在110分以上的人数大约为．
故选：C．
4．C
【详解】对于A：若，，则或
若，又，则与可能平行、相交（不垂直）、异面（不垂直）、相交垂直、异面垂直，
若，又，则与可能平行、异面（不垂直）、异面垂直，故A错误；
对于B：若，，，则，故B错误；
对于C：若，，则，又，所以，故C错误；
对于D：若，，则与可能平行或相交（不垂直）或垂直或，
又，此时不能保证成立，如，此时与可能平行、异面（不垂直）、异面垂直，故D错误；
故选：C
5．B
【详解】由圆，圆心，半径，

所以圆心到直线的距离，
同理，圆 的圆心为，半径，圆心到直线的距离，
所以，，
.
故选：B.
6．B
【详解】由题意，不妨取双曲线的一条渐近线为，，
设，则直线的方程为，
与双曲线方程 联立得，
解得，即P点横坐标为，
又因为，
所以直线的方程为，
与联立解得，即P点横坐标也为，
所以，即，即，
所以，
故选：B
7．A
【详解】将圆台母线延长交于点S，得圆锥，作圆锥的轴截面，等腰梯形为圆台的轴截面，
截内切球得大圆，并且是梯形的内切圆，令切圆于，如图，
设底面圆直径，依题意，，，，
设内切球半径为，则，，，
，于是，且为的中点，而内切球体积，
圆台的体积,
所以圆台与其内切球的体积比为.
故选：A
8．A
【详解】最多有2个根，所以至少有4个根，
由可得，
由可得，
（1）时，当时，有4个零点，即；
当，有5个零点，即；
当，有6个零点，即；
（2）当时，，
，
当时，，无零点；
当时，，有1个零点；
当时，令，则，此时有2个零点；
所以若时，有1个零点.
综上，要使在区间内恰有6个零点，则应满足
或或，
则可解得a的取值范围是.
9．BCD
【详解】A：二项式的通项公式为，
，所以本选项不成立；
B：在中，
令，得，
令，得，
两式相加，得
，所以本选项成立；
C：对等式两边同时求导，得
，
令，得，所以本选项成立；
D：
，
所以除以8所得的余数是7，因此本选项说法正确.
10．ACD
【详解】因为是正项等比数列，设公比为；为等差数列，设公差为；
因为，，；
则，，
即，；解得：，；
故；；故A正确，B错误；
因为；；
设存在，使得，则，可得；故存在；C正确；
由数学归纳法可证：
当时，，；满足；
当时，，；满足；
假设当时，不等式成立，即；
当时，左边，
因为假设，故；
因为，故；
故
故对任意，都有恒成立，故D正确．
11．ABD
【详解】对于A，已知，由正弦定理得，
即，得，
则有，得，
又由于，所以，故，
而，所以，选项A正确；
对于B，在中，由余弦定理，得，
所以，，所以，即，当且仅当时取等号，
由于，
所以的周长的取值范围为，故选项B正确；
对于C，在中，由正弦定理得，
，，
由AC的中点为M，有，
，
△ABC为锐角三角形，则，得，
当，有，所以，
有，故的最大值为，选项C错误；
对于D，设，所以，在中由余弦定理，
，
，，
故当，即时，
取最小值，所以的最小值为，故D选项正确.
故选：ABD.
12．
【详解】，
由该复数在复平面内对应的点位于虚轴上，
则其实部为，即有，解得.
13．198
【详解】解：①四位数中包含5和0的情况：
．
②四位数中包含5，不含0的情况：
．
③四位数中包含0，不含5的情况：
．
四位数总数为．
故答案为：198．
14．18
【详解】如图，作出抛物线和圆在点处的公共切线，同时过作射线轴，
则有，由抛物线的光学性质，可得，
，
且，
又，代入得，解得.
15．(1)2
(2)
【详解】（1）由及正弦定理得，
即，即，
由得，，
即，进而由正弦定理得；
（2）因为，所以，
设，则由题意，设，则，
则由正弦定理得，消去x得，
所以，又，所以，所以，所以，
由余弦定理得，所以.
16．(1)证明见解析；
(2)
【详解】（1）证明：连，相交于点，连．∵底面为菱形，∴且．
又平面，平面，平面平面，∴，
∴，又，而．
∴平面，又，∴平面，而平面，
∴，，为等腰三角形，即．

（2）若，则，由（1）知，∴平面，
以为原点以，，分别为轴，轴，轴建立直角坐标系，
又，∵，则，，，，
∵，，∴平面，与平面所成的角为60°，
∴，∴，∴．
∴，，．
设平面的法向量为
则取，，，∴，
设，，则，到平面的距离相等，
，
∴．
又，∴，解得
，
设平面的法向量为，∵，．
则取，，，∴，
则点到平面距离为．
17．(1)
(2)证明见解析
(3)最小值为2
【详解】（1）由已知，，
所以，，
则在点处的切线为：，
即，所以，；
（2）若，则，，
所以，
记，则，
易知时，，函数递增；时，。函数递减，
；
（3）设，，
1° 当时，，易知，且时，，
时，，则1为的极大值点，
而，，
则存在，使，即应为另一极值点，知时不成立；
2° 当时，，由
知时，，恒成立，得在上单调递减，
又，，所以在内存在唯一零点，
即在内存在唯一极值点；
当时，，所以，则，单调递减，
无极值；
当时，，则，单调递减，无极值．故符合要求．
综上：正整数a的最小值为2，使存在唯一的极值点．
18．(1)
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）．
【详解】（1）由题意有，所以.
设椭圆焦距为，易知椭圆过点，所以.
又，所以.
所以，即，解得.
所以，，故的标准方程为．
（2）（ⅰ）设，，，则，由题意有．
直线的斜率即的斜率为，所以直线的方程.
所以，又，在椭圆上，
∴，∴.
∴，
∴.
（ⅱ）∵，
而，，
由（ⅰ）知，
∴，又，
∴，
∴.
当且仅当，即时等号成立.
所以．的最小值为．
19．(1)
(2)（i）（ii）第3次
【详解】（1）的可能取值为0，1，2，
所以，
，
所以；
（2）（i）记事件：第一次取到一次性电池，事件：取到可充电电池，事件：第二次取到一次性电池，
由条件，假设第次抽取时，事件发生，概率，第次抽取时，事件发生，概率，
在事件前面每次发生事件的概率为，后面每次发生事件的概率为，则有
抽取次数 1 2 ．．． ．．．
事件 ．．． ．．．
所以
即
（ii）令，
即，所以，
所以第3次使用后一次性电池恰好使用完的可能性最大．

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