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贵阳市 2026 年高三年级适应性考试 (二) 数 学
2026.5
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分，满分 150 分.考试时间为 120 分钟.
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将姓名、报名号用钢笔填写在答题卡相应位置上.
2. 回答第 I 卷时，选出每小题答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.
3. 回答第 II 卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4. 请保持答题卡平整，不能折叠.考试结束后，监考老师将试题卷、答题卡一并收回.
第 I 卷 (选择题 共 58 分)
一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。
1. 已知集合 ，则
A. B. C. D.
2. 若复数 满足 (其中 是虚数单位),则
A.
B.
C. 2
D.
3. 记等差数列 的前 项和为 ,若 ,则
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
4. 某地区发现一种传染病，初期感染人数增长符合指数函数模型 (其中 为感染人数， 为初始感染人数， 为传播系数， 为发现疫情后的天数， 为自然对数的底数). 已知发现疫情第1天感染人数为120人，第3天感染人数为270人. 若感染人数达到1000人时需要启动紧急防控预案，则最迟应在发现疫情后第( )天启动. (参考数据: )
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
5. 在 的展开式中, 项的系数与常数项之比为 4,则实数 的值为
A. B. 1 C. D. 2
6. 已知 是定义在 上的偶函数,且对任意 ,总有 ,则不等式 的解集为
A. B. C. D.
7. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，焦距 ， 点 在椭圆上且满足 . 若 ，则椭圆 的长轴长为
A. ； B. C. 2 D:4
8. 已知函数 ,若对任意 恒成立,则实数 的最小值为
A. B. C. D.
二、多项选择题:本题共3个小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9. 为测试脑机接口设备的信号识别精度, 某科研团队开展高三学生脑机接口操作实验, 实验评分部分满分 10 分. 随机抽取 10 名参与实验的高三学生的操作得分 (单位:分) 如下:6,7,5,8,6,7,6,8,10,7. 下列说法正确的是
A. 该样本的 70% 分位数为 7 分
B. 该样本的极差为 5 分
C. 用样本均值估计总体均值, 其值约为 7 分
D. 用样本方差估计总体方差,其值约为 1.8
10. 已知函数 ,其图像的一个对称中心为 ,下列说法正确的有
A. 的最小正周期为
B. 若函数 在区间 上单调，则 的最大值为
C. 将函数 的图像向右平移 个单位，再向上平移 1 个单位可得到 的图像
D. 若函数 在区间 上有唯一零点，则
11. 已知圆台 的上、下底面半径分别为 ，母线 是下底面 的直径,点 在下底面 圆周上,且 ,点 是上底面 圆周上的动点, 则下列结论正确的有
A. 该圆台存在内切球，且内切球半径为
B. 存在两个点 ；使点 到平面 的距离为
C. 存在点 ，使过点 的母线与平面 平行。
D. 存在点 ，使得平面 平面
第II卷(非选择题 共 92 分)
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若 ，且 ，则 的最小值是_____.
13. 已知平面上两定点 ， ，若动点 满足 ，则 到抛物线 的焦点 的最小距离为_____.
14. 在一个袋子中装有 4 个大小相同的小球,小球上的编号依次为1,2,3,4,现有放回的抽取 次小球,每次只取一个小球,记这 次取到的小球的最大编号为 ,则 _____， _____.
四、解答题:共5个小题，满分77分。解答应写出相应的文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本题满分 13 分)
已知数列 的首项 ，前 项和为 ，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求 的前 项和 .
16.(本题满分 15 分)
某兴趣小组对高二某次数学测试成绩进行随机调查, 将选考物理的学生与选考历史的学生记为 两类,并从中各随机抽取 100 名考生的成绩,整理得数据如下表 (单位:人):
分类 \成绩 [40,60) [60,80) [80,100]
类男生 10 30 20
类男生 20 23 7
类女生 10 22 8
类女生 21 22 7
(1)把成绩在 称为 “及格”，成绩在 称为 “不及格”，在 类男生与 类男生中各抽取一名，估计他们数学成绩都及格的概率；
(2)填写下面 列联表，并根据小概率值 的独立性检验，分析该校 类考生的本次考试成绩及格与否是否和性别有关
及格 不及格
类男生
类女生
(3)把每一类学生是否及格的频率作为概率，如果 类男生， 类女生， 类男生， 类女生占全年级学生的比例分别为 ，从全年级考生中随机抽取一位学生, 求这位学生考试成绩不及格的概率.
附: ,
0.05 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
17.(本题满分 15 分)
已知函数 .
(1)判断函数 的单调性，并求出 的极值;
(2)若 ，不等式 有唯一的整数解，求实数 的取值范围.
18.(本题满分 17 分)
已知双曲线 的方程为 是一个定点.
(1)若点 在双曲线 的渐近线上，求 的离心率；
(2)若点 在双曲线 上， ， 是双曲线 上的另外两个动点， 是坐标原点.
(i) 当 是 的重心且直线 的斜率为 2 时,求双曲线 的方程;
(ii) 当 时,求证: 存在一个定圆与直线 相切.
19. (本题满分 17 分)
如图①，在 中， ，点 是边 上一点，且 .
(1)若 平分 时，求 的大小；
(2)如图②，将 沿 翻折至 ，使平面 平面 .
(i)当三棱锥 的体积最大时，求三棱锥 的外接球的表面积；
(ii) 求直线 与平面 所成角的正弦值的最大值.
图①
图②
贵阳市 2026 年高三年级适应性考试(二) 数学参考答案与评分建议
一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B C B C A D B
二、多项选择题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分, 部分选对得部分分, 有错选的得 0 分)
题号 9 10 11
答案 BCD AC AB
三、填空题(本大题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分)
题号 12 13 14
答案 4
四、解答题(共 77 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分 13 分)
解:(1)由数列 满足 ①，当 时， ②，
①-②得 ，即 ，
又 ,满足 ,
是以 3 为首项,3 为公比的等比数列,即
.7 分
(2) ,
.
.13 分
16. (本小题满分 15 分)
解: (1) 记 “ 类男生考试及格” 的事件为 , “ 类男生考试及格” 的事件为 , 则 “ 类男生与 类男生都考试及格” 的事件为 ,
所以
.4 分
(2)完成 列联表如下:
及格 不及格
类男生 50 10
类女生 30 10
零假设为 类考生的本次考试成绩及格与否与性别无关,
根据表中数据可得, ,
根据小概率值 的 独立性检验,没有充分证据推断 不成立,因此可以认为 成立, 即认为该年级 类考生的本次考试成绩及格与性别没有关系.
10 分
(3)记“这位学生考试成绩不及格”的事件为 ，
则 ,
所以从全校考生中随机抽取一位学生, 这位学生考试成绩不及格的概率为 0.244 .
.15 分
17. (本小题满分 15 分)
(1) 由 ,
,且 时, 时, ,
在 上单调递减,在 上单调递增,
无极大值;
.7 分
( 2 )由 ，即 ，令 ，原不等式等价于 只有唯一整数解，结合 与 的图象可知, 是过定点 的一条直线,
当 时，存在无数个负整数解满足该不等式，不满足题意， 当 时,需 且 ,
.
.15 分
18.(本小题满分 17 分)
解: (1) 双曲线 的渐近线方程为 ,若点 在双曲线 的渐近线上,则 , 所以 ;
.4 分
(2)设 的坐标分别为 ，因为点 在双曲线 上， 所以 ,
(i) 因为 在双曲线 上,所以 ,
作差可得 ,即 ,
因为 是 的重心,所以 ,即 , 又因为直线 的斜率为 2,所以 ,即 ,
代入 解得 ，
所以双曲线 的方程为 ;
.10 分
(3)因为 ，直线 不可能垂直 轴，设直线 的方程为 ， 代入 ,化简得 ,
所以 ,
因为 ,所以 ,即 ,
即 ,
化简得 ,
所以原点到直线 的距离 ,存在定圆 与直线 相切. .17 分
19. (本小题满分 17 分)
解:(1)因为 ，所以 ，
即 ，所以 ，
设 ,则 ,由 得
,解得 ,所以
又 ,所以 ;
.5 分
(2)设 ，作 ，垂足为 ，所以 ，
因为平面 平面 ,所以 平面 ,
所以 ,
当且仅当 时取最大值,此时 ,即 两两垂直,
设三棱锥 的外接球半径为 ，则 ，
所以三棱锥 的外接球的表面积为 ；
10 分
(3)以 所在直线为 轴， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系如图,
设 ，则
, 设平面 的一个法向量为 ,则 ,
因为 ,
所以 ,
令 ,则 ,
所以 ,
设直线 与平面 所成角为 ,则
,
令 ,则 ,
所以 ,当且仅当 时取等号, 所以 ,
故直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为 .
.17 分

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