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秘密★启用前
2026年第一届“玄符杯”线上联合考试
数 学
考生号： 姓名：
本试卷共 6页，25小题，满分 120 分. 考试用时 120 分钟.
注意事项：1.答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的准考证号、姓名、
考场号和座位号填写在答题卡上，用 2B 铅笔在“考场号”和“座位号”
栏相应位置填涂自己的考场号和座位号，将条形码粘贴在答题卡“条形码
粘贴处”.
2. 作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项
的答案信息点涂黑；如需改动，用皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不
能答在试卷上.
3. 非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题
目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新
的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效.
3. 考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
第一部分 选择题 (共 30分)
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3分，满分 30 分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的. ）
1. 2sin 30 1=（ * ）.
A 1.0 B.
2
C. 3 1 D. 1
2. 2026年是“十五五”开局之年.过去，我国在“十四五”计划中全国财政总支出超 136
万亿元，为中国式现代化注入新动能，将数据 136万亿用科学计数法表示为（ * ）.
A.1.36 1015 B.0.136 1015
C.1.36 1014 D.1.36 1013
3. 下列运算结果正确的是（ * ）.
A. (a 1)2 a2 1 B.3a a2 4a3
2
C a 1 b 1 a b. (a2b )2 a(2b) D. a、b≠0
a b ab
4. 估计 2( 18 3)的值在（ * ）.
A.6和7之间 B.7和8之间
C.8和9之间 D.9和10之间
数学试卷 第 1 页 共 6 页
5. 两圆周长之差为6 ，面积之差为18 ，则小圆的周长为（ * ）.
A.3 B.5
C.7 D.9
6. 如图 1，平面直角坐标系 x O y内， B在 x轴正半轴上，向上作等边△AOB，反比例
函数图像经过OA中点和 AB AC上一点 C，则 =（ * ）. y
OA A
A 2. B 2 2.
2 3
C
C 6 D 3. .
3 2 O B x
图 1
7. 如图 2，湖面上有一横截面为抛物线的拱桥，以其顶点为原点建系其解析式为 y ax2，
若拱桥内水位上涨了 h，水面变窄了Δx，则原水面宽为（ * ）. y
A x ah x 2h. B. O x2 x 2 a x
C x 2h D x ah. .
a x 2 x
图 2
8. 如图 3，菱形 ABCD中，∠A 60 ， AB 8，E为 BD中点，点 M、N分别在线段 AB、
BC上， BN BM 3，则DN EM 的最大值为（ * ）. A D
A.3
B. 13 E
C. 2 3 M
D. 4
B N C
图 3
9. A 3，4 、B 7，1 为平面直角坐标系 x O y内两点，则坐标轴上能使△ABC为直角三
角形的点 C的个数为（ * ）.
A.6 B.5
C.4 D.3
10. 如图 4，已知△ABC， F 是 BC的中点，H在线段 FC上，点 E是 AH上的一点， FE⊥
AH，∠HAC 2∠AFE，∠AFH ∠BAC 180 ， BC 2 5EF 2 5，则 AC =（ * ）.
A. 4 6
B 3 2.
2
C. 5 1
D 2 6 2.
2 图 4
数学试卷 第 2 页 共 6 页
第二部分 非选择题 (共 90分)
二、填空题（本大题共 6小题，每小题 3 分，满分 18 分. ）
11. 从数字 2、 4、8、11、 21中随机抽一个数为质数的概率为 * .
12. 如图 5，△ABC≌△EDA，点D在 AB上，DE交 AC于点 F ， AB 3BC 6，则 EF的
长度为 * .
13 x k. 已知函数 y （ k 0），若 k 1， y≥0，则 x取值范围为 * ；无论 k为何值，
x k
其图像经过定点 * .
14. 如图 6，一薄玻璃片俯视图为长方形 ABCD， BC 2 3， AB 2，一光线从 AB中点出
发经过两次反射到达点 A，则光线路程长为 * .
15. 如图 7， AB 为圆直径， D为弧 BC 中点， AD交 BC 于点 E ， AD AE y BC 2 ，令
sin∠ABC x，则 y关于 x的函数解析式为 * （写出 x的取值范围）.
16. 已知点 A x1，y1 、 B x 22，y2 、C x3，y3 是函数 y mx 4 m x 1图像上的动点，若存在
m＜x1＜m 1＜x2＜m 2＜x3＜m 3，使 y3＜y2＜y1，则m取值范围为 * .
E
A
A D
C
F EB C
A D B B C D
图 5 图 6 图 7
三、解答题（本大题共 9小题，满分 72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）
17.（本小题满分 4分）
x 3y 4， A
解方程组：
2x y 2.
18.（本小题满分 4分）
如图 8，已知△ABC，E为边 BC的中点，过 E作 AC的垂线 D
分别交 AC、AB于 D、F，若 EF DE DC ，求∠A的度数.
B C
E
19 F.（本小题满分 6分） 图 8
x2 1 x2 1
已知曲线 T： y x2
1 x 3x2
.
6x 3
（1）化简曲线 T解析式；
（2）求出曲线 T图像上横、纵坐标都为整数的点.
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20.（本小题满分 6分）
甲老师和乙老师分别在某视频平台开设个人视频频道科普科学知识，平台提供了两位老
师近期五个视频的播放进度和点击率的数据图（图 9和表格）：
（单位：百分比）
甲
乙
图 9：视频观看人数比例（以起始为 100%） （单位：百分比）
视频 一 二 三 四 五
甲 10 15 12 13 15
乙 11 6 14 15 9
表格：视频点击率（单位：百分比）
当前观众人数 用户点击次数
参考公式：观众存留= 100%，点击率= 100%
起始观众人数 平台展示次数
（1）若甲、乙视频各有1000人观看，则视频进度超过50％的共约有 * 人；
（2）分别计算甲、乙视频的平均点击率；
（3）若甲通过优化封面和标题提高视频吸引力（完播率不变），已知他最新的一批视频
完整播放次数和平台展示次数共分别为 200和10 000，请仅从平均点击率的角度判断他的优
化是否成功.
21.（本小题满分 8分）
在学习梯形的课堂中，小明对梯形进行分割再拼接，得到新的几何图形.
（1）现有一等腰梯形 ABCD，上、下底边长分别为 a、b（b＞a），高为 h.
①如图 10，沿梯形高线分割再拼接可得到一矩形，则矩形周长为 * ；
②如图 11，沿梯形对角线分割再拼接可得到一等腰三角形，求该三角形周长；
（2）如图 12，四边形 ABCD为任意梯形，AB∥CD，请仅用一条直线将其分割，再严丝
合缝地拼接成一个三角形（利用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法，画出如图 10、
11示意图）.
F ' A（C '） E D A D（B '） A B
E ' B（D '） F C B C（A）' D ' D C
图 10 图 11 图 12
数学试卷 第 4 页 共 6 页
22.（本小题满分 10 分）
在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台
2
风中心位于城市 O 的东偏南 θ（ cos ）方向
10
300km的海面 P处，并以 20km/h的速度向西偏北 45 方
向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为
60km，并以 10km/h 的速度不断增大，观测点 A 位于
O正东方向，P北偏东 45°方向，其抽象如图 13所示.
（1）求观测点 A当前与风眼 P距离；
（2）求该城市受到台风侵袭的时长. 图 13
23.（本小题满分 10分） A
如图 14，已知△ABC， BC 2AC，D为 BC中点，连
接 AD，将△ADB以 AD为轴翻折，得到△ADE，连接 CE.
（1）判断并证明四边形 ADEC的形状； B G C
（2）延长 DE至点 F，连接 AF 交 CD于点 G，若 CE D
平分四边形 CFEG DE面积，求 的值.
EF
E
图 14 F
数学试卷 第 5 页 共 6 页
24.（本小题满分 12分）
已知抛物线 yn x a
2
n an （ n为正整数，且 0＜a1＜a2＜ ＜an ）与 x轴的交点为
A 2n 1 bn 1，0 和 An bn，0 ，当 n 1时， y1 x a1 a1 与 x轴的交点为 A0 0，0 和 A1 b1，0 ，
其他依此类推．
（1）求 a1、b1的值；
（2）证明：存在过点 2，0 且不与坐标轴垂直的直线与上述所有抛物线相交得到弦的长
度相等，并写出其长度和该直线的解析式；
（3）已知抛物线Gn满足Gn nyn ， Pn为Gn 上位于 x轴下方一点，作△An 1AnPn的外接圆
Tn，过 Pn作 x轴垂线交 Tn于Qn，设△An 1AnQn 1的面积为 Sn，若对于任意的正整数 n，
均有 Sn＜k成立，求 k的最小值.
25.（本小题满分 12分）
A E D
在边长为 4的正方形 ABCD中， E、 F 分别为线段 AD、
CD上的点（不与端点重合）且 AE CF ，连接 AF ，△ABE H
的外接圆与 AF 交于点H . F
（1）如图 15，当 E为 AD中点时，求证:△ABE≌△HBE；
（2）如图 16，连接 BF，线段 BF与△ABE的外接圆交于 B C
点 Q，连接CQ，当∠CQB 135 时，求 AE的长； 图 15
（3）如图 17，将△BEH 绕点 B旋转，使边 BE与 BF重合，得到△BFG，连接CG，求
CG2 BG2的最小值.
A E D
A E D
H
H
Q F F
B C
B C
图 16 G
图 17
数学试卷 第 6 页 共 6 页秘密★启用前
2026年第一届“玄符杯”线上联合考试
数学参考答案及评分细准
一、选择题（本大题共 10小题，每小题 3分，满分 30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C D C A D B B C A
二、填空题（本大题共 6小题，每小题 3分，满分 18分.）
11 2 12 16. . 13. x≥1或 x＜ 1； 0， 1
5 3
14. 57 15 x 7. y 2 （0＜x＜1） 16. ＜m＜0或0＜m
1
＜
1 x 2 2
注：13题第一空 1分，第二空 2分.上述所有填空题目，存在漏写、多写、错写等情况，均不得分.
三、解答题（本大题共 9小题，满分 72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17 .（本小题满分 4分）
10
x 3y 4 x （3分）,, A
∵ （1分）∴ x 3 2x 2 4 7（2分）∴
2x 2 y

. y 6 （4分）.
7
18.（本小题满分 4分）
法一：如图1，过 B作 BG⊥ FD于G，
∵ E为 BC中点， D
∴ BE EC①， B E C
∵ ED⊥ AC， G
∴∠BGE ∠CDE 90 ②， F 图1
又∵∠BEG ∠CED③，
∴由①②③可得△ BGE≌△CDE， （3分） A
∴GB DC，GE DE .
∵ EF DE DC GE GB GE GF，
∴GB GF ，∠F 45 ，
故∠A 90 ∠F 45 . （ 4分）
注：全等条件找出一个得1分，共3分（法二同理）. D Q
法二：如图 2，在 ED的延长线上取一点Q，使得 EQ EF ①， B
C
∵ E为 BC中点， E
∴ BE EC②， F
图 2
数学参考答案及评分细准 第 1 页 共 9 页
又∵∠BEG ∠CED③，
∴由①②③可得△ BFE≌△CQE， （3分）
∴ EF EQ，∠CQE ∠BFE，
∵ EF DE DC ， EQ DE DQ，
∴DC DQ，∠CQE ∠BFE 45 ，
故∠A 90 ∠F 45 . （ 4分）
19.（本小题满分 6分）
2
1 y x
2 1 x2 x 3x2 6x 3 x 1 3 x 1 3
（ ）
x2
（3分）
x x2 1 x x 1 x 1 x 1 x
x2 1 x 1 x2 1 x 1 x 11 注： 2 正确通分得步骤分1分， 能正确因式分解得步x x x2 x 3x2 6x 3 3 x 1 2
骤分1 3分，解析式 y 正确得结果分1分，步骤跳步但解析式正确得3分.
x
（ 2） x为整数，且为3的约数，满足条件的解为 x 1， 3.
由于 x2 1 0， x 1， （ 4分）
∴ x 3，
当 x 3， y 1；
当 x 3， y 1.
故满足条件的点有 3，1 、 3， 1 . （6分）
注：求出一个正确的点得1分;如果由于未考虑到定义域写出不符合条件的点扣除1分，且不重
复扣分;若仅写出一个正确的点，同时又写出其他不符合条件的点，此小问不得分.
20 .（本小题满分 6分）
（1）1100 （ 2分）
由图1分析可得，当视频进度在 50%处，
甲的观众留存约为1000 80% 800人；
乙的观众留存约为1000 30% 300人；
则视频进度超过 50%的约有800 300 1100人；
注：若考生误加单位（人），不扣分.
（ 2）根据图 2信息，可得
10% 15% 12% 13% 15%
甲的平均点击率 13% （3分）
5
11% 6% 14% 15% 9%
乙的平均点击率 11% . （ 4分）
5
（3）由图 1得，甲的完播率为10%，新视频的用户点击次数: 200 10% 2000次 （5分）
2000
平均点击率 100% 20%＞13%，所以他的优化成功. （6分）
10000
21.（本小题满分 8分）
（1） a b 2h； （ 2分） A D（B '）
（ 2）法一：如图 3，
过D作DH⊥ BC于点H，
根据题设，可知DB DD '，
由三线合一得H为 BD '中点，
∵ AD CD ' a，BC b B， H C（A）' D '
图 3
数学参考答案及评分细准 第 2 页 共 9 页
BD ' a b a b∴ ，HD ' ， （3分）
2
2 2
DD ' DB a b h 2 a b
2 2ab
2 h ，
2 4
∴△BDD '的周长为 a b a 2 b2 2ab 4h2 ； （5分）
注：此小问D与 B '，C与A '重合，表述上选择任意一个点均可.
（3）画出以下其中一种，并且作图痕迹清晰，即可得满3分，虚线或实线的不作为判分标准，
不要求写作法；若拼接方式正确，但没有作图痕迹或作图痕迹不清晰，扣 2分；若尺规作图思
路正确，但图形效果严重失真，扣1分或 2分；
A B A B
（8分）
D C D C
图 4 图 5
注：根据图形对称性，此问的作法有很多种，参考答案仅选取具有代表性作法进行展示，也有
一些较为繁琐且不常见的作法，若遇到此类作法，且无法及时验证严谨性，请协助其他阅卷员一起
讨论、评议.
22 .（本小题满分 10分）
（1）过 P作 PB⊥Ox于 B，
由已知条件得：OP 300km，
OB OP cos 300 2 km 30 2km，
10
2
PB OP 2 OB 2 3002 30 2 km 210 2km ，（2分） B
根据题干 A点处的信息，可知△PAB是等腰直角三角形，
故 AP 2PB 420km； （4分）
（2）设 t小时后（ t＞0），台风中心的坐标为 Pt ，
P点的坐标为 30 2， 210 2 ，
由题干给出的台风的移动速度和方向，得 t小时后，
台风向正西、正北方向各平移10 2t km，
得Pt 30 2 10 2t， 210 2 10 2t ， （5分） 图 6
∴OPt 30 2 10 2t
2 2
210 2 10 2t km ，
由题干台风半径的信息，设 t小时后，台风半径为 Rt（单位： km），
∴Rt 60 10t ， （6分）
台风侵袭城市期间，始终有OPt≤Rt，
2
即 30 2 10 2t 2 210 2 10 2t ≤60 10t ， （7分）
将两边平方，得
2 210 2 3 t 2 10 2 21 t 2 ≤10 2 6 t 2 ，
将括号展开，得
200 t 2 6t 9 200 t 2 42t 441 ≤100 t 2 12t 36 ，
两边约分，化简，移项得
数学参考答案及评分细准 第 3 页 共 9 页
t 2 36t 288≤0， （9分）
即 (t 12)(t 24)≤0
解得12≤t≤24，
因此台风侵入、侵出城市的两个时间临界点分别是观测后的12小时、 24小时，
台风侵袭时长为12小时. （10分）
注：本题的第 2小问也可以通过几何计算OPt 的长度，无需求出 Pt 的坐标，本题的核心得分是
在于找出OPt≤Rt的关系，根据该关系列出正确的不等式得7起步，该不等式的计算要求比较大，
只要能正确完成化简不等式9分起步；写出正确解，同时稍加文字总结即可得满10分；
23.（本小题满分 10分）
A
（1）四边形 ADEC为平行四边形，理由如下： （1分）
法一：如图 7，
∵D是 BC中点，且BC 2AC，
∴ AC DC①， （ 2分） B D C
∠DAC ∠ADC，
根据翻折条件，有
DE DB AC ，∠ADE ∠ADB， E
∠ADE+∠DAC=∠ADB+∠DAC=180°-∠ADC+∠DAC=180°， 图 7
∴ AC∥DE②， （3分）
故四边形 ADEC为平行四边形；
法二：如图 7，
先证明 AC∥DE①（证明参考法一）； （ 2分）
设∠ADB ，则∠ADC 180 ，∠ACD 2 180 ，
而∠CDE ∠EDA ∠CDA （180 ） 2 180 ，
∴∠CDE ∠DCA，
CA DC
在△CAD与△DCE 中，有 ∠CDE ∠DCA，

CD DE
∴△CAD≌△DCE，
∴∠ADC ∠DCE， AD∥CE②， （3分）
故四边形 ADEC为平行四边形；
法三：如图 7，
先证明△CAD≌△DCE（证明参考法二），
∴ AD CE①， （ 2分）
AC DE②， （3分）
故四边形 ADEC为平行四边形；
法四：如图 7，
参考前面的方法，找出关系：
AD CE①， （ 2分）
AD∥CE②， （3分）
数学参考答案及评分细准 第 4 页 共 9 页
故四边形 ADEC为平行四边形；
法五： AD∥CE的另一种证明方法，可分别证明 AD⊥BE，CE⊥BE，由于篇幅有限，不过多
赘述；
注：平行的证明有多种方法，步骤正确，过程严谨即可；
（ 2）如图 8，设 AF 与CE交于点H，分别过G、 F 作
CE的垂线，垂足分别为N 、M ，
∵CE平分四边形CGEF的面积，
S 1 1∴ △CEG S△CEF ，即 CE GN CE FM ，2 2
∴GN FM ， （ 4分） A
∠GNH ∠FMH
在△GNH 与△FMH 中，有 GN FM ，
G
∠GHN ∠FHM B D
C
N
∴△GNH≌△FMH ，
H
∴GH FH ， （6分） E
DE
不妨设 k，即DE k EF， M F
EF 图 8
∵ AC∥DF ，∠EHF ∠CHA，∠HFE ∠HAC，
∴△HEF∽△HCA，
AH AC k AH AG GH AG 1 2AG∴ ，同时 1，
HF EF HF HF HF GF
AG k 1
∴ ， （7分）
GF 2
同理有∠GAC ∠GFD，∠DGF ∠CGA，
∴△GAC∽△GFD，
AG AC k EF k
∴ ， （8分）
GF DF k EF EF k 1
k k 1
∴ （9分）
k 1 2
解得 k 2 1（舍去 k 1 2＜0），
DE
故 2 1. （10分）
EF
24 .（本小题满分 12分）
（1）当 n 1时，将 A 0 0 y x a 20 ， 代入 1 1 a1 ，
得 a21 a1 0，
∴ a1 1（ a1 0舍去）， （1分）
∵ b1 1
2 1 b 21 2b1 0，
∴b1 2（b1 0舍去），
∴ a1 1，b1 2； （ 2分）
数学参考答案及评分细准 第 5 页 共 9 页
（ 2）由题意，设直线 l的解析式 y kx b，
代入点 2，0 ，得2k b 0，则有y k x 2 ， （3分）
y (x a )2n a联立 n ，
y k (x 2)
整理得 x2 (k an )x a
2
n an 2k 0 ，
设两交点分别为 x1,kx1 2k ， x2,kx2 2k ，
∴ x 21 x2 2an k， x1x2 an an 2k （ 4分）
d x x 2 (kx 2k ) (kx 2k ) 2弦长 1 2 1 2
1 k 2 x1 x
2
2
1 k 2 x x 21 2 4x1x2
1 k 2 2an k
2 4 a2n an 2k
1 k 2 4a2 2 2n 4kan k 4an 4an 8k
1 k 2 4 1 k a k 2n 8k ， （5分）
∵ d与 an 无关，
∴1 k 0 k 1， d 1 12 1 8 3 2，
故弦长为3 2，直线解析式为 y x 2； （6分）
（3）由题意得， An为yn与x 轴的右交点，yn 1与x 轴的左交点；
y x a 2令 n n an 0，得 x bn 1 an an 或 x bn an an ，
有An 1 an an，0 ,An an an，0
2
令 yn 1 x an 1 an 1 0，得 x bn an 1 an 1 或 x bn 1 an 1 an 1
有An an 1 an 1 ,0 ，An 1 an 1 an 1 ,0
∴ an an an 1 an 1 ， （7分）
∴ an 1 an an an 1 ，
2 2
而 an 1 an an 1 an an 1 an an 1 an ，
∵ an 1 an 0，
∴ an 1 an 1，
∴当 n＞1， an a1 a2 a1 a3 a2 ··· an an 1 1 1 1 1 n ，
∴ an n， an n
2， （8分）
∴b 2n 1 n n，bn n
2 n，
∴ An 1An bn bn 1 2n， （9分）
令 PnQn与 x轴交于M n，
数学参考答案及评分细准 第 6 页 共 9 页
∵ An 1、 An、 Pn、Qn在 Tn上，
∴∠AnPnM n ∠QnAn 1M n ，
tan∠AnPnM n tan∠QnAn 1M
P
n
M n M nAn 1n PnM n M nQn AA M M Q n
M n An 1M n ， （10分）
n n n n
令 Pn的坐标为 x 20， n(x0 an ) nan ，Qn坐标为 x0,y0 ， y
得 n(x 20 an ) nan yn x0 an a n x0 an a n
2 2
得 n x0 an an y0 x 0 an an ，
∵ x0 an
2 an 0，
y 1 1 1∴ 0 ，即M nQn ，同理有M Q （11分） Ann n n 1 n 1 n 1
A M nn 1
∴ S 1 1 1 n△A A Q An 1An M n 1Qn 1 2n 1
1
x， O Q
n 1 n n 1 2 2 n 1 n 1 n 1 n
∵当 n不断增大时，Sn不断接近但总是小于1， Sn＜ k
∴ k的最小值为1. （12分）
25 .（本小题满分 12分） Pn
（1）如图 10，
∵ AE CF且E为 AD 图 9中点，
∴ AE DF ,
AE DF
在△AEB与△DFA ，有 ∠BAE ∠ADF ， A E D

AB DA
∴△AEB≌△DFA， （1分） H
∴∠ABE ∠DAF ∠HBE， F
∵∠BHE ∠BAE 90 ，
∠BAE ∠BHE B C

在△ABE与△HBE，有 BE BE ， 图 10

∠ABE ∠HBE
∴△ABE≌△HBE； （ 2分）
注：本小问解法不唯一，找齐全等条件，推导过程合理，即可得满3分.
（ 2）如图 11，连接 AQ，
AE FC T A E D

∵在△ABE与△CBF，有 AB BC ，

∠BAE ∠BCF
M H
∴∠AQB ∠AEB ∠CFB， Q F
又∵ AB∥CF
∴∠ABQ ∠CFB ∠AQB ， AB AQ 4， B W C
∴点Q在以 A为圆心， 4为半径的 A上， （3分） 图 11
数学参考答案及评分细准 第 7 页 共 9 页
延长DA至点Q ，使得 AD＝AT ，易知，T在 A上，
1
∵∠CQB 135 ，∠TQB ∠TAB 45 ，∠TQB ∠BQC 180°2
∴T、C、Q三点共线，
tan DTC CD 1 5 2 5∴ ∠ ， sin∠DTC ， cos∠DTC ， （ 4分）
TD 2 5 5
TC TD 4 5，
cos∠DTC
过 A作于 AM⊥CT 点M ，
TQ 2TM 2 TA cos DTC 2 4 2 5 16 5∴ ∠ ，
5 5
∴CQ TC TQ 4 5 ， （5分）
5
CW CQ cos DTC 4 5 2 5 8 12 4 5 5 4 ∠ ， BW ，QW CQ sin∠DTC ，
5 5 5 5 5 5 5
∵ tan∠CBF CF QW
BC BW
∴ AE CF BC 4 QW ； （6分）
BW 3
（3）设△ABE的外接圆交 BC于点 K，连接 KE、KH、KD，
如图 12所示.
∵∠AHK 180 ∠ABK 90 ，
∴ AH⊥HK
同理∠AEK 90 ，四边形 ABKE为矩形，
∵ AE BK CF
∴DF CD CF BC BK CK ， （7分）
AD CD
在△ADF与△DCK ，有 DF CK

∠ADF ∠DCK
∴△ADF≌△DCK
∴∠AFD ∠DKC ,
∠KDC ∠AFD ∠KDC ∠DKC 90°
∴DK⊥AF ，K、H、D三点共线， （8分）
分别取 AD、 AB中点N 、R，
连接HN、 BN 、 RG，
∴HN BR 2，
设∠DAF ，∠ABE ，
∴∠GBF ∠HBE ∠HAE ，
∠CBF ∠ABE ， （9分）
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∴∠RBG ∠RBC ∠CBF ∠GBF 90 ，
而∠NHA ∠NAH ，
∠AHE ∠ABE ，
∴∠NHB ∠EHB ∠AHE ∠NHA 90 ，
∴∠RBG ∠NHB，
BR NH

在△RBG与△NHB，有 ∠RBG ∠NHB，

BG HB
∴△RBG≌△NHB， （10分）
∴RG NB AB 2 AN 2 42 22 2 5 ，
取 BC中点 Z，连接 ZG、RZ ， BZ ZC 2， RZ BR 2 BZ 2 2 2 ，
则有 ZG≥RG RZ 2 5 2 2 ， （11分）
过点G作 BC垂线，垂足为 J，
∵BG2 CG2 BJ 2 CJ 2 2GJ 2 BZ 2 ZJ 2 ZC 2 ZJ 2 2GJ 2
BZ 2 ZJ 2 BZ 2 ZJ 2 2GJ 2 2BZ 2 2ZJ 2 2GJ 2 2BZ 2 2ZG2
∴CG2 BG2 2 BZ 2 ZG2 ≥2 32 8 10 64 16 10 ，
故CG2 BG2的最小值为64 16 10 . （12分）
25题相关知识拓展补充：
如图 13，已知△ABC，D为 BC中点，则有 AB2 AC 2 2 AD2 BD2 .
证明：分别过C、B作 AD的垂线交 AD于 E、F ，如图 14所示，
则有△BDF≌△CDE，
设BF CE x，DE DF y，
2 2
所以 AB2 AC 2 BF 2 AF 2 CE 2 AE 2 x2 AD y x2 AD y 2AD2 2x2 2y2 ，
又因为 x2 y2 BD2，
所以 AB2 AC 2 2 AD2 BD2 .
A
A
E
B
D C
B D C F
图 13 图 14
数学参考答案及评分细准 第 9 页 共 9 页

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