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榆树市教育联盟2026年中考第一次模拟考试数学试题
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．（3分）实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（　　）
A．a＜﹣2 B．b＜2 C．a＜b D．﹣a＞b
2．（3分）在图中增加1个大小相同的正方形，使所得的新图形经过折叠能够围成一个正方体，那么有（　　）种不同的添加方法．
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（3分）如图，由4个全等的小长方形与1个小正方形密铺成正方形图案，该图案的面积为64，小正方形的面积为9，若分别用x，y（x＞y）表示小长方形的长和宽，则下列关系式中不正确的是（　　）
A．x2+2xy+y2＝64 B．x2﹣2xy+y2＝9
C．x2+y2＝36 D．x2﹣y2＝24
4．（3分）方程|2﹣x|＝1的解是（　　）
A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝3 D．x＝3和x＝1
5．（3分）如图，已知a∥b，点A，B，C分别在直线a，b上，CA⊥CB，若∠1＝β，则∠2＝（　　）
A．180°﹣β B．β C． D．90°﹣β
6．（3分）小明和小丽家在同一幢楼，小明住8楼，小丽住9楼．小明在家里看对面一幢楼的顶部A处的仰角为α1，看底部B处的俯角为β1；而小丽在家里看对面这幢楼的顶部A处的仰角为α2，看底部B处的俯角为β2，那么下列结论中，正确的是（　　）
A．α1＞α2且β1＞β2 B．α1＞α2且β1＜β2
C．α1＜α2且β1＞β2 D．α1＜α2且β1＜β2
7．（3分）用三角板画点A到BC所在直线的垂线段，下列三角板的摆放位置正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（3分）点A（0，2）向右平移3个单位长度后，恰好在反比例函数的图象上，则k的值为（　　）
A．3 B．﹣3 C．6 D．﹣6
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．（3分）计算： 　 　 ．
10．（3分）请写出一个大于且小于的整数为 　 　 ．
11．（3分）刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正六边形ABCDEF，连接AC，若该正六边形的半径为2，则AC的长为　 　 ．
12．（3分）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B两点，对称轴是直线x＝1，顶点为C，对称轴与x轴交于点D，则CD的长为 　 　 ．
13．（3分）如图，在菱形ABCD中，点E为边AD的中点，以点B为圆心、BE长为半径画圆弧交边CD于点F．若∠ABC＝120°，BE＝2，则劣弧EF的长为　 　 ．
14．（3分）如图，等边△ABC中，D、E分别为AC、BC边上的点，AD＝CE，连接AE、BD交于点F，∠CBD、∠ABC的平分线交于AC边上的点G，BG与AE交于点H，连接FG．下列说法：①△ABD≌△CAE；②∠BGE＝30°；③∠ABG＝∠BGF；④AB＝AH+FG；⑤S△AGE：S△BGC＝DG：GC，其中正确的说法是　 　 ．
三、解答题（共78分）
15．（5分）计算：．
16．（5分）将一枚质地均匀硬币掷三次，用画树状图的方法，求落地后出现两个正面和一个反面朝上的概率．
17．（6分）A，B两点分别位于一个池塘的两端，由于受条件限制无法直接测量A，B间的距离，小明利用学过的知识，设计了如下两种测量方法，如图①②所示（图中a，b，c表示长度）．
（1）请你写出小明设计的两种测量方法中AB的长度：图①中AB＝　 　 ，图②中AB＝　 　 ．
（2）请你再设计一种不同于以上两种的测量方法，画出示意图（不要求写画法），用字母标注需测量的边或角，并写出AB的长度．
18．（5分）列方程或方程组解应用题．
如图1，正方形ABCD是一块边长为30cm的灰色地砖，在A，B，C，D四个顶点处截去四个全等的等腰直角三角形后，得到一块八边形地砖．用四块相同的该八边形地砖和一块黑色正方形地砖拼成如图2所示的图案，该图案的面积为3000cm2（不考虑接缝），求一块八边形地砖和黑色正方形地砖的面积．
19．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，CE垂直于AB边的延长线于点E，CF垂直于AD边的延长线于点F，且CE＝CF，求证：四边形ABCD是菱形．
20．（6分）2025年1月20日，我国某公司，发布并开源了DeepSeek﹣R1模型，推动AI技术普及和应用，某校为了激发学生对人工智能的兴趣，增强文化自信．随机组织了男生队和女生队各200人，参加“AI就在我身边”的主题知识竞赛，赛后调查小组对竞赛成绩进行了抽样分析，请将下面过程补充完整．
（1）收集数据
调查小组在男女生竞赛成绩中各随机抽取了20名同学的成绩，其中抽取男生队的成绩如下：
66、88、84、79、92、83、95、89、100、91、91、97、74、77、99、98、89、94、100、100．
（2）整理、描述数据
按如下分数段整理、描述样本数据，其中男生队的成绩统计如下：
成绩x 65≤x＜80 80≤x＜85 85≤x＜90 90≤x＜95 95≤x≤100
男生 　 　 2 3 　 　 7
（3）分析数据
男女生队样本数据的平均数、中位数、方差如表所示：
平均数 中位数 方差
女生队 89.3 88.5 42.6
男生队 89.3 87.2
（4）得出结论
a．分析抽取的学生竞赛成绩，成绩中高于本队平均分的人数更多的是　 　 生队，成绩更稳定的是　 　 生队（填“男”或“女”）；
b．经过对抽查的40人竞赛成绩分析，发现有30%的学生竞赛成绩不低于95分，请估计被调查的400人中，女生成绩不低于95分的有　 　 人．
21．（10分）倡导无人送餐，共享智能生活．自动送外卖机器人，搭配智能货柜，实现货柜物品无人配送，提高效率，节省人力．某机器人公司研发出M型和N型两款外卖配送机器人，已知2台M型机器人和5台N型机器人同时工作2h共配送外卖3.6万元，3台M型机器人和2台N型机器人同时工作5h，共配送外卖8万元．
（1）1台M型机器人和1台N型机器人每小时各配送外卖多少万元？
（2）某外卖企业计划向机器人公司购进一批M型和N型外卖配送机器人，这批机器人每小时一共能配送外卖20万元．设购买M型机器人n台（10≤n≤45），N型机器人b台，请用含n的代数式表示b；
（3）机器人公司的报价如下表：
型号 原价 购买量少于30台 购买量不少于30台
M型 20万元/台 原价购买 打九折
N型 12万元/台 原价购买 打八折
在（2）的条件下，设购买总费用为w万元，问如何购买使得总费用w最少？请说明理由．
22．（12分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣10，0），以OA为半径在x轴的上方作半圆O，交x轴正半轴于点B，点C是该半圆周上一动点，连接AC、BC，并延长BC至点D，使DC＝BC．
（1）连接OD，直接写出OD的最大值为 　 　 ；
（2）如图2，过点D作x轴的垂线，分别交x轴、直线AC于点E、F，点E为垂足．
①若点C的横坐标为8，求线段EF的长；
②当点C在运动过程中，是否存在以点E、O、F为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请直接写出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．
23．（12分）综合与实践
【模型探索】如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，若AF⊥BE，则AF与BE的数量关系为 　 　 ；
【模型应用】如图2，将边长为2的正方形ABCD折叠，使点B落在CD边的中点E处，点A落在点F处，折痕交AD于点M，交BC于点N，求折痕MN的长度；
【迁移应用】如图3，正方形ABCD的边长为12，点F是BC上一点，将△ABF沿AF折叠，使点B落在点B'处，连接BB'；并延长交CD于点E．若CE＝5，求EB′的长度．
24．（12分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）交x轴于O，A（4，0）两点，顶点为点B（2，2），点C为OB的中点．点D为线段OA上一动点（O点除外），在OC右侧作平行四边形OCFD．
①如图2，当点F落在抛物线上时，求点F的坐标；
②如图3，连接BD，BF，直接写出BD+BF的最小值．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C C D D B A C
9．
．
10．
2．
11．．
12．
4．
13．
．
14．①②③④⑤．
15．
解：
＝11+4
＝4．
16．
解：树状图如下：
由上可得，一共有8种等可能性，其中落地后出现两个正面和一个反面朝上的可能性有3种，
∴落地后出现两个正面和一个反面朝上的概率是，
即落地后出现两个正面和一个反面朝上的概率是．
17．
解：（1）①∵，∠A＝∠A，
∴△ABC∽△DEC，
∴，
∴AB＝2c；
②∵∠A＝∠B＝∠C＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝b；
故答案为：2c，b；
（2）如图：∵AO＝OC，OB＝OD，∠AOB＝∠COD，
∴△AOB≌△COD（SAS），
∴AB＝CD＝c．
18．
解：设一块黑色正方形地砖的面积为y cm2，
一块八边形地砖的面积为xcm2，
得'
解得，
答：一块黑色正方形地砖的面积为200 cm2，一块八边形地砖的面积为700 cm2．
19．
证明：∵CE⊥AE，CF⊥AF，CE＝CF，
∴AC是∠DAB的平分线，
∴∠FAC＝∠EAC，
在平行四边形ABCD中，CD∥AB，
∴∠DCA＝∠EAC，
∴∠DCA＝∠FAC，
∴AD＝CD，
∴平行四边形ABCD是菱形．
20．
解：（2）男生队成绩在65≤x＜80的人数有4人，成绩在90≤x＜95的人数有4人．
故答案为：4；4；
（3）男生队的成绩按从不到大的顺序排列，排在中间的两位数是91和91，
∴中位数为：．
故答案为：91；
（4）a、由题意可得：
∴成绩不低于95分的人数有：40×30%＝12（人），
抽查的男生成绩不低于95分的人数有7人，
∴抽查的女生成绩不低于95分的人数有：12﹣7＝5（人），
∴女生成绩不低于95分的有：（人），
故答案为：男；50．
21．
解：（1）设1台M型机器人和1台N型机器人每小时各配送外卖x万元和y万元，
由题意可知：，
解得：，
所以1台M型机器人和1台N型机器人每小时各配送外卖0.4万元和0.2万元；
（2）由题意可知：0.4n+0.2b＝20，
∴b＝100﹣2n（10≤n≤45）；
（3）当10≤n＜30时，40＜b≤80，
∴w最小＝20n+0.8×12（100﹣2n）＝0.8n+960，
当n＝10时，w最小值为968，
当30≤n≤35时，30≤b≤40，
∴w最小＝0.9×20n+0.8×12（100﹣2n）＝﹣1.2n+960，
当n＝35时，w最小＝918，
当35＜n≤45时，10≤b＜30，
∴w最小＝﹣6n+1200，
当n＝45时，w最小＝930，
∵918＜930＜968，
所以选购M型机器人35台，N型机器人30台时，总费用w最少，此时需要918万元．
22．
解：（1）如图1，连接AD，
∵点A（﹣10，0），
∴OA＝10，
∵以OA为半径在x轴的上方作半圆O，交x轴正半轴于点B，
∴OB＝OA＝10，
∴AB＝2OA＝20，
∵OD≤OA+AD，点C是该半圆周上一动点，
∴当点C与点A重合时，DC＝AD＝BC＝BA＝20，如图1﹣1，
此时OD取得最大值＝OA+AD＝10+20＝30，
故答案为：30；
（2）如图2，连接AD，过点C作CG⊥x轴于点G，
∵DE⊥x轴，
∴CG∥DE，
∵DC＝BC，
∴EG＝BG，
∵点C的横坐标为8，
∴OG＝8，
∵OB＝10，
∴EG＝BG＝OB﹣OG＝10﹣8＝2，
∴BE＝2BG＝4，
∴OE＝OB﹣BE＝10﹣4＝6，
∴AE＝OA+OE＝10+6＝16，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AC⊥BD，
∵DC＝BC，
∴AD＝AB＝20，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：DE12，
∵∠DFC+∠D＝∠DBE+∠D＝90°，
∴∠DFC＝∠DBE，
∵∠DFC＝∠AFE，
∴∠AFE＝∠DBE，
∵∠AEF＝∠DEB＝90°，
∴△AEF∽△DEB，
∴，
即，
解得：EF，
即线段EF的长为；
（3）存在以点E、O、F为顶点的三角形与△ABC相似，理由如下：
当的度数为60°时，点E恰好与原点O重合，不符合题意；
分两种情况：
①如图3，连接EC，0°的度数＜60°时，点E在O、B之间，
设E（x，0），
∵∠EOF＞∠BAC＝∠D，
∴当∠EOF＝∠EBD时，△EOF∽△CBA，
∵∠FEO＝∠DEB＝90°，
∴△EOF∽△EBD，
∴，
∵EC是Rt△BDE斜边的中线，
∴CE＝CBBD，
∴∠CEB＝∠EBD，
∴∠EOF＝∠CEB，
∴OF∥CE，
∴△AOF∽△AEC，
∴，
∴，
即，
解得：x，
经检验，x是原方程的解，
∵x＞0，
∴x，
∴点E的坐标为（，0）；
②60°的度数≤90°时，点E在O点的左侧，
如图4，若∠EOF＝∠CAB，
则△EOF∽△CAB，
∴，
∵∠AEF＝∠ACB＝90°，∠EAF＝∠CAB，
∴△AEF∽△ACB，
∴，
∴，
∴OE＝AE，
∴OEOA＝5，
∴点E的坐标为（﹣5，0）；
如图5，若∠EOF＝∠ABC，
则△FEO∽△ACB，
∵∠EOF＝∠ABC，
∴OF∥BC，
∴△AOF∽△ABC，
∴，
∵BD＝2BC，
∴，
∵OF∥BC，
∴△EOF∽△EBD，
∴，
∴，
解得：OE，
∴点E的坐标为（，0）；
③90°时，点E在点A的左侧，如图6，
设AE＝x，
∵∠BAC＝∠EAF＞∠EOF，
∴只能△EOF∽△CBA，
∴∠EOF＝∠CBA，
连接CE，
则CEBD＝BC，
∴∠CEB＝∠CBE，
∴∠CEB＝∠EOF，
∴CE∥OF，
∴△EAC∽△OAF，
∴，
∵∠ECF＝∠DBE，∠FEO＝∠DEB＝90°，
∴△OEF∽△BED，
∴，
∵BD＝2CE，
∴，
即，
解得：x1，x2（不合题意，舍去），
∴OE＝OA+AE＝10，
∴E（，0）；
则CE综上所述，存在以点E、O、F为顶点的三角形与△ABC相似，点E的坐标为（，0）或（﹣5，0）或（，0）或（，0）．
23．
解：【模型探索】AF＝BE；理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，
∵AF⊥BE，
∴∠BAF+∠ABE＝∠CBE+∠ABE＝90°，
∴∠BAF＝∠CBE，
∴△ABF≌△BCE（AAS），
∴AF＝BE，
故答案为：AF＝BE；
【模型应用】如图2，过C作CP∥MN交AD于P，
∵将边长为2的正方形ABCD折叠，使点B落在CD边的中点E处，
∴点B与点E关于MN对称，
∴BE⊥MN，
∴CP⊥BE，
∵点E是CD边的中点，
∴CECD＝1，
∴BE，
由【模型探索】知CP＝BE，
∵AD∥BC，CP∥MN，
∴四边形CPMN是平行四边形，
∴MN＝CP；
【迁移应用】∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C＝90°，
∵BC＝12，CE＝5，
∴BE13，
∵将△ABF沿AF折叠，使点B落在点B'处，
∴点B与点B′关于AF对称，
∴BE⊥AF于H，BB′＝2BH，
由【模型探索】知，AF＝BE＝13，BF＝CE＝5，
∵S△ABF，
∴BH，
∴BB′，
∴EB′＝13．
24．
解：（1）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）交x轴于O，A（4，0）两点，顶点为点B（2，2），
设抛物线的解析式为，将点A的坐标代入得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为，
即；
∵四边形OCFD是平行四边形，
∴CF∥OD，
∵点，
当时，得：，
解得：，（不合题意，舍去），
∴点；
（2）BD+BF最小值为．理由如下：
设点D（m，0），则点，
如图3，过点B作直线l⊥y轴，
作点F关于直线l的对称点，连接BF，
则BD+BF＝BD+BF≥DF′，
当D，B，F′三点共线时，BD+BF＝DF′为最小，
由定点F′，D的坐标得，直线DF′的表达式为：，
将点B的坐标代入上式得：，
解得，
则点，点，
则BD+BF最小值为：．
即BD+BF最小值为．

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