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泸州市初2026届学业水平模拟预测试题二
数 学
全卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页。全卷满分150分。考试时间共120分钟。
注意事项：
1．答题前，请考生务必在答题卡上正确填写自己的姓名、准考证号和座位号。考试结束，将试卷和答题卡一并交回。
2．选择题每小题选出的答案须用2B铅笔在答题卡上把对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦擦净后，再选涂其它答案。非选择题须用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上对应题号位置作答，在试卷上作答无效。
第Ⅰ卷（选择题 共48分）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．
1．的绝对值是
A． B． C． D．
2．“斗”是我国古代称量粮食的量器，它无盖，其示意图如图所示，下列图形是“斗”的俯视图的是
A. B. C. D.
3．低空经济，活力涌动，某县正乘势而上，打造西部最重要的航空复材研发基地．该县兴宇航先进复合材料智能制造项目将助推解决航空航天领域高端碳纤维“卡脖子”难题，年产值预计可达10亿元．将“1000000000”用科学记数法表示为
A． B． C． D．
4．下列计算正确的是
A． B． C． D．
5．二次函数的图象上有两点和，则此拋物线的对称轴是直线
A． B． C． D．
6．下列说法正确的是
A．“打开电视机，正在播足球赛”是必然事件
B．“掷一枚硬币正面朝上的概率是”表示每抛掷硬币2次就有1次正面朝上
C．甲组数据的方差，乙组数据的方差，则乙组数据比甲组数据稳定
D．一组数据2，4，5，5，3，6的众数和中位数都是5
7．点为数轴上表示的点，当点沿数轴移动3个单位长度可到点，则比点所表示的数小1的数为
A．0 B．1或 C．0或 D．0或
8．如图，在中，，，是的角平分线，则的度数为
A． B． C． D．
9．已知关于的方程有两个正实数根，则的取值范围是
A． B． C．且k≠0 D．
10．如图，分别过反比例函数图象上的点，作轴的垂线，垂足分别为，连结，再以，为一组邻边画一个平行四边形，以，为一组邻边画一个平行四边形……，以此类推，则点的坐标是
A． B． C． D．
11．如图，直角三角形顶点在矩形的对角线上运动，连接．，，，则的最小值为
A． B． C． D．
12．在抛物线中，有．已知点，是平面上两点，连接，若抛物线的图象与线段有交点时，则的取值范围是
A． B． C．或 D．或
第Ⅱ卷（非选择题 共102分）
注意事项：用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上对应题号位置作答，在试卷上作答无效．
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）．
13．若分式在实数范围内有意义，则的取值范围是 ▲ .
14．分解因式： ▲ .
15．如图，，是的切线，A，B是切点，点C是上一点，若，则 ▲ ．
16．关于的不等式组有且只有四个整数解，则的取值范围是 ▲ .
17．如图，正方形的边长为8，点是边的中点，点是边上
一动点，连接，将沿翻折得到，连接．则的
最小值是 ▲ .
三、本大题共2个小题，每小题8分，共16分．
18．计算：．
19．先化简，再求值：，其中．
四、本大题共3个小题，每小题10分，共30分．
20．教育部印发的《2023年全国综合防控儿童青少年近视重点工作计划》明确，要指导地方教育行政部门督促和确保落实学生健康体检制度和每学期视力监测制度，及时把视力监测结果记入儿童青少年视力健康电子档案，并按规定上报全国学生体质健康系统．按照国家视力健康标准，学生视力状况分为：视力正常、轻度视力不良、中度视力不良和重度视力不良四个类别，分别用A，B，C，D表示．某校为了解本校学生的视力健康状况，从全校学生中随机抽取部分学生进行视力状况调查，根据调查结果，绘制了如下尚不完整的统计图．
(1)此次调查的学生总人数为______；扇形统计图中，______；
(2)补全条形统计图．
(3)已知重度视力不良的四名学生中，甲、乙为九年级学生，丙、丁分别为七、八年级学生，现学校要从中随机抽取2名学生调查他们对护眼误区和保护视力习惯的了解程度，请用列表法或画树状图法求这2名学生恰好是同年级的概率．
21．为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批航空、航海模型．已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多35元，用2000元购买航空模型的数量是用1800元购买航海模型数量的．
(1)求航空和航海模型的单价；
(2)学校采购时恰逢该商场“六一儿童节”促销：航空模型八折优惠．若购买航空、航海模型共120个，且航空模型数量不少于航海模型数量的，请问分别购买多少个航空和航海模型，学校花费最少？
22．如图是某种云梯车的示意图，云梯升起时，与底盘夹角为，液压杆与底盘夹角为．已知液压杆米，，当，时．（结果精确到米）（参考数据：，）
(1)求液压杆顶端B到底盘的距离的长；
(2)求的长．
五、本大题共3小题，每小题12分，共36分．
23．如图，一次函数与函数为的图象交于两点．
(1)求这两个函数的解析式；
(2)根据图象，直接写出满足时x的取值范围；
(3)点P在线段上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数的
图象于点Q，若面积为3，求点P的坐标．
24．如图，是的直径，点在上，平分交于点，过点的直线，交的延长线于点，交的延长线于点．
(1)求证：是的切线；
(2)连接并延长，分别交于两点，交于点，若的
半径为，求的值．
25．已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴负半轴交于点A．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)如图，若直线下方的抛物线上有一动点P，过点P作y轴平行线交于点F，过点P作的垂线，垂足为E，求周长的最大值；
(3)将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到一个新的抛物线，问在y轴正半轴上是否存在一点M，使得当经过点M的任意一条直线与新抛物线交于S，T两点时，总有为定值？若存在，直接写出出点M坐标及定值，若不存在，说明理由．泸州市初2026届学业水平模拟预测试题二
数学参考答案
一．选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C B C A C D B A D
题号 11 12
答案 D D
二．填空题
13．x≠-2． 14． 15．55 16． 17．
18．解：原式············································6分
···········································································8分
19．解：
···························································4分
，······································································5分
当时，原式．··············································8分
20．（1）解：
，即，···················································2分
（2）B类人数为：人···········································3分
补全条形统计图如图所示：
··························4分
（3）画树状图如下：
···············7分
可知共有12种等可能的情况，其中这2名学生恰好是同年级的情况有2种，·········8分
故这2名学生恰好是同年级的概率为．·····································10分
21．（1）解：设航空模型的单价为x元，则航海模型的单价为元，
由题意得，，·························································1分
解得，·······································································2分
检验，当时，，·····················································3分
∴是原方程的解，且符合题意，
∴，······································································4分
答：航空模型的单价为125元，则航海模型的单价为元；
（2）解：设购买航空模型m个，花费为y元，则购买航海模型个，
由题意得，，···························································6分
解得，········································································7分
，··············································8分
∵，
∴y随m增大而增大，·······························································9分
∴当时，y有最小值，最小值为，此时有，··········10分
答：当购买航空模型40个，购买航海模型80个时，学校花费最少．
22．（1）解：液压杆与底盘夹角为β．已知液压杆米，，·······1分
在中，∴，···········································3分
∴米，········································································4分
即的长为2.55米；
（2）解：在中，，米，····································6分
∴，∴米，
∵，
∴，
∴米，············································································8分
∴（米），····················································10分
即的长为米．
23．（1）解：将代入，可得，
解得，··············································································1分
反比例函数解析式为；·······················································2分
在图象上，
，，
将，代入，得：，解得，···························4分
一次函数解析式为；··························································5分
（2）解：，理由如下：
由（1）可知，
当时，，
此时直线在反比例函数图象上方，此部分对应的x的取值范围为，
即满足时，x的取值范围为；·············································7分
（3）解：设点P的横坐标为，
将代入，可得，
．
将代入，可得，．
，
，················································9分
整理得，解得，，··············································10分
当时，，
当时，，
点P的坐标为或．····························································12分
24．（1）解：连接，···································································1分
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，·········································································3分
∴
∵，
∴，
∴，
即，
∵是的半径
∴是的切线；···································································5分
（2）解：连接，
∵，
∴在中，，
由勾股定理得：················································6分
∴，
∵在中，，
∴，
∵，
∴，而，
∴，∴，
∴，
∵，
∴，································································8分
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，·············································································10分
∴．··································12分
25．（1）解： 抛物线与x轴交于点和点，
，解得，···························································2分
该抛物线的函数表达式为．···················································3分
（2） 抛物线的函数表达式为，
当，，
，
，又，
，
轴，
，
又，
为等腰直角三角形，····························································4分
，
设直线解析式为，将，代入，则
，解得，·······························································5分
直线解析式为，
设，由于动点P在直线下方的抛物线上，
，
轴，
，
在直线上， ，
，
周长为
，····························6分
当时，周长最大值为．············································7分
（3）解：将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到一个新的抛物线为，即，···················································98分
设直线的解析式为，点，点，则，
联立新抛物线与直线的解析式得：，
， ，，················································9分
，
同理可得，，
，··································10分
为定值， ，解得，······································11分
当时，，
存在点，使得当经过点M的任意一条直线与新
抛物线交于S，T两点时，总有为定值···········································12分

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