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2025-2026学年度下期九年级第二次模拟考试
数学参考答案
一、选择题（本大题有 10 个小题，每小题 4 分，满分 40 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C B C C C D A B D
二．填空题（本大题有 5 个小题，每小题 4 分，满分 20 分）
11． x 3； 12．丙 ； 13．4 2 ； 14．99； 15．②④.
三．解答题（本大题有 7 个小题，满分 90 分）
16.（1）（7分）解：（1）原 式
（7 分）
3 x 1 2x 4①

（2）（7分）解：（2）
x 5 x 3 ② 2
由①，得： x 1；
由②，得： x 7；
∴ 7 x 1． （7 分）
17．（11分）
（1）解：a = 85 ，b = 95.2 （3分）
2 3（ ）解：300× =90人； （5分）
10
（3）解：七年级 95分以上学生有 2人，分别记为A1，A2，八年级 95分以上学生有 2
人，分别记为B1，B2，画树状图如下：
总共有 12种可能的结果，每种结果出现的可
能性相同，其中所选两名学生恰好都是八年级学生
的结果有 2种，
P 2 1∴ （所选两名学生恰好都是八年级学生） ． （11分）
12 6
18．（12分）
（1）解：∵B 0,4 ，四边形 AOBC为正方形，
答案第 1页，共 9页
∴OB 4，
∴正方形 AOBC的边长为 4，
∵正方形 AOBC的顶点O为原点，点 A在 x轴的负半轴上，
∴ A 4,0 ，C 4,4 ，
∵点D是 AC的中点，点 F是 AO的中点，
∴D 4,2 、F 2,0 ，
y m∵双曲线 过点D，
x
∴m 4 2 8，
8
∴双曲线的解析式为 y ；
x
∵直线 y kx b过点D 4,2 、F 2,0 ，
4k b 2 k 1
∴
2k b 0
，解得：
b 2
，
∴直线的解析式为y x 2； （6分）
（2）解：设M x, y ，
∵△MOF的面积为3，
3 S 1 1∴ MOF OF y 2 y ，2 2
解得： y 3，
将 y 3代入y x 2，得： x 5，
此时点M 的坐标为 5,3 ；
将 y 3代入y x 2，得： x 1，
此时点M 的坐标为 1, 3 ；
综上所述，点M 的坐标为 5,3 或 1, 3 ． （12分）
19．（12分）
（1）解：根据题意，点 P运动到点C需要：20 2 10（秒），点Q运动到点 A需要：15 1 15
（秒），
∵其中一个动点到达端点时运动停止，
第 2页，共 9页
∴ t的取值范围是0 t 10，
由题可知：BP 2t，DQ t，则 AQ AD DQ 15 t ，
∵ A 90 ，
∴ AB AD
∵ AD∥BC，
∴点 P到 AD的距离等于 AB的长，
S 1 1∴ AQ AB 15 t 8 60 4 t2 2 ； (4分)
（2）解：∵ AD∥BC，点Q在 AD上，点 P在 BC上，
∴ AQ∥BP，
若要使四边形 ABPQ为平行四边形，只需 AQ BP，
即：15 t 2t
解得： t 5
经检验， t 5在0 t 10范围内，符合题意，
∴当 t 5时，四边形 ABPQ是平行四边形； (8分)
（3）解：过点 P作 PE AD于点 E，则 PEQ 90
∵ A 90 ，
∴ BA AD，
∴ PE AB
又 AQ∥BP
∴四边形 ABPE为平行四边形，
∴ PE AB 8， AE BP 2t，
在Rt△PEQ中，由勾股定理得： PQ2 PE 2 EQ2
其中 PQ 10，PE 8，EQ AE AQ 2 t 15 t 3 t 15，
∴102 82 3t 15 2
3t 15 2∴ 36
由此可得两种情况：
①当3t 15 6时，解得 t 7
②当3t 15 6时：解得 t 3
答案第 3页，共 9页
经检验， t 3和 t 7均在0 t 10范围内，均符合题意，
∴当 t 3或 t 7时， PQ的长度为10． （12分）
20．（12分）
（1）解：设此玩具的进价是 m元，
36000 48000
根据题意，得 50 m 60 m，
解得m 20，
经检验，m 20是所列方程的解，
答：此玩具的进价是 20元； （4分）
（2）解：通过分析表中数据可以看出，该益智玩具日销售量与销售单价之间成一次函
数关系，
设该益智玩具的日销售量 y（个）与销售单价 x（元）之间的函数关系式为
y kx b，将 60,20 ， 59,22 代入，得：
60k b 20 k 2
59k b 22，解得： b 140
，
答：该益智玩具的日销售量 y（个）与销售单价 x（元）之间的函数关系式为
y 2 x 140； （8分）
（3）解：该益智玩具的销售单价定为 x元，
根据题意，得： 2x 140 x 20 200 600，
解得： x1 30， x2 60，
当销售单价为 60元时，日销售量为 2 60 140 20个，
当销售单价为 30元时，日销售量为 2 30 140 80个，
20 80，且要尽量减少库存，
应选择日销售量较大的方案，
x 30．
答：该益智玩具的销售单价定为 30元． （12分）
21．（14分）
（1）证明：连接OD，
∵DF是切线，
第 4页，共 9页
∴ ODF 90 ，
∴ F DOF 90 ，
又 F COE 90 ，
∴ COE DOF ，
又OC OD，
∴OE CD，CE DE； （4分）
（2）证明：∵ F COE 90 ，
∴ F 90 COE，
又2 F GOB COE，
∴2 90 COE GOB COE，
∴180 2 COE GOB COE，即180 COE GOB COE COE，
∴ COG COE COE，
∴ COG 2 COE，
又 COD COE DOF 2 COE，
∴ COD COG，
∴C G C D，
∴CG CD，
∵CE DE，
∴CD CE DE 2CE，
∴CG 2CE； （8分）
（3）解：∵OM :OF 5:14，
∴设OM 5x，则OF 14x，
取OF的中点 N，连接DN，OD，DP，过 D作DQ CP于 Q，
由（1）知： ODF 90 ，
FN DN ON 1∴ OF 7x2 ，
∴ F FDN，
∴ DNO F FDN 2 F ，
∵OC OG，
∴ G OCG，
答案第 5页，共 9页
又 COG G OCG 180 ， COG 2 COE，
∴ G COE 90 ，
又 F COE 90 ，
∴ F G，
∵ EMC 2 G， DNO 2 F，
∴ DNO EMC，
又 CEM DEN ，CE DE 6，
∴ CEM≌ DEN AAS ，
∴EN EM ，
又MN ON OM 2x ，
∴ EN EM x，
在Rt△DNE中，DN 2 EN 2 DE 2，
2
∴ 7x x2 62，
3
解得 x （负值舍去），
2
∴OE OM ME 6 x 3 3，
∴ tan COE
CE 2 3
OE 3 ，
1
∵ P COD COE2 ，
∴ tan P
2 3
3 ，
在Rt△CEH 中，CE 6，CH CG CD 2CE 12，
cos ECH CE 1∴ CH 2，
CQ 1
在Rt△CDQ中， cos DCQ CD 2，
CQ 1
∴ 12 2 ，
∴CQ 6，
∴HQ CH CQ
DQ 2
6，DQ CD2 CQ2 6 3，在Rt△DPQ中， tan P 3PQ 3 ，
∴ PQ 9，
∴ PH PQ HQ 3． （14分）
第 6页，共 9页
22．（15分）
1 C 0,3 y x 2 2mx m 2（ ）解：由题意得，将点 代入 4 m 0 ，
则 m 2 4 3
解得m 1
∵m 0
∴m 1，
∴解析式为： y x2 2x 3
令 y 0，则 x2 2x 3 0
解得 x1 3， x2 1
∴ B 3,0 ； （3分）
（2）解：设直线 BC : y kx b，
3k b 0 k 1
则代入点B,C得，
b 3
，解得
b 3
∴直线 BC : y x 3
∵ B 3,0 ,C 0,3
∴OB OC 3
∴△OBC为等腰直角三角形，
∴ OCB 45
∵MF∥ y轴，
∴ MFC OCB 45
∵ME BC
∴ MEF为等腰直角三角形，
∴ EF 2 MF EM
2
C EF 2 2∴ △MEF EM MF MF MF MF 2 1 MF，2 2
∴当MF取得最大值时，C△MEF取得最大值，
设M m, m2 2m 3 ，则F m, m 3
答案第 7页，共 9页
∴MF m 2 2m 3 m 3 m 2 3m
∵ 1 0
m 3 3
2
∴当 2 1 2时，MF
3 3 9
的最大值为 3
2 2 4
9
∴ MEF周长的最大值为 ( 2 +1)； （8分）4
（3）解：对于 y x2 2x 3，令 y 0，则 x2 2x 3 0
解得 x1 3， x2 1
∴ A 1,0 ；
∵ y x2 2x 3 x 1 2 4，
∴D 1,4 ，
当点 P在 AD右侧抛物线上时，过点D作DT x轴于点T ，设 AP与DT交点为点 E，
在射线DT上取点H，使得TH 3AT，连接 AH
∵ AT 1 1 2，DT 4，
∴TH 6
AT 1
∴ tanH TH 3，
∵ tan tan DAP
1

3
∴ H DAP
∵ ADE HDA，
∴△ADE∽△HDA
AD DE
∴
HD AD
2 5 DE
∴
4 6 2 5
解得DE 2
∴TE DT DE 2，
∴ E 1, 2
设直线 AP : y mx n ，
第 8页，共 9页
m n 0
则代入 A,E得，
m n 2
m 1
解得
n 1
∴直线 AP : y x 1，
与抛物线 y x2 2x 3联立可得， x2 2x 3 x 1，
解得 x 2或 x 1
∴ P 2,3
PD 2 1 2 3 4 2∴ 2；
当点 P在 AD左侧抛物线上时，过点D作DQ AD交直线 l于点Q，过点Q作
QF DT于点 F，
则 ADQ QFD ATD 90
∴ DQF ADT 90 QDF
∴△DQF∽△ADT
DF QF DQ
∴ tan
1

AT DT AD 3
DF QF 1
∴ ，
2 4 3
2
∴DF ,QF
4
，
3 3
Q 1 ,14 ∴
3 3
，

则同理可求 l : y 7x 7
与抛物线 y x2 2x 3联立可得， x2 2x 3 7x 7，
解得 x 4或 x 1
∴P 4, 21
∴PD 4 1 2 21 4 2 5 26，
综上： PD的长为 2或5 26． （15分）
答案第 9页，共 9页2025-2026学年度下期九年级第二次模拟考试
数学试卷
试卷说明：1，本试卷分为第1卷和第Ⅱ卷，第I卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择通.全卷共6页。考生作答时，须
将答策答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效，考试结桌后，将试卷及答题卡交回，
2.本试卷参满分150分，答题时间120分钟.
第1卷（选择题，共40分）
一、选择题（本大题有10个小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上)
1.下列各数中比一1小的数是()
A.-2
B.0
C.1
D.1
2
2.下列说法正确的是()
A,为了解一批灯泡的使用寿命，适合用全面调查
B.从2,4,4,4,6中去掉一个4，平均数发生变化
C.数据“3,5,4,1,5”的众数是5
D.海底捞月是必然事件
3.下列运算正确的是()
A.2x2+3x3=5x
B.x2÷x3=x
C.(yy=x2y
D.(x-y)=x2-y2
4.如图，在野外探险中，有两条东西方向的平行步道m,,徒步者甲在步道m上，
徒步者乙在步道n上，若某一时刻，甲看乙的方向是北偏东50°，则∠1的度数为
()
A.120
B.130
C.140°
509
71
D.150
5.已知x1,2是方程x2-5x-6=0的两个实数根，则x1+x2=()
A.-5
B.-6
C.5
D.6
九年级数学试卷第1页共6页
6.某班同学在抛掷正六面体骰子试验中，统计某一结果
频数
出现的频率随抛掷次数变化趋势图如图所示，则符合60%
50%
这一结果的试验可能是()
40%
A.朝上的点数大于5的概率
30%
B.朝上的点数是2的概率
20%
10%
C.朝上的点数是偶数的概率
0%
200400600800次数
D.朝上的点数是3的倍数的概率
,7.若ab<0,则正比例函数y=ax与反比例函数y=2在同一坐标系中的大致图象
可能是(
为
8.把半径为2的半圆做成圆锥的侧面，则圆锥的高是(
A.√5
B.2
C.2
D.1
9.·如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=2,将矩形沿AC折叠，点D落在点D
处，则重叠部分△AFC的面积为()
A.2
B2
C.3
D.4
10.己知y是x的函数，x，x2(x≠x2)是自变量取值范围内的任意两数，其对应的
函数值分别为乃，y2·若存在常数k>0),使得以一2≤k-x,则称此函数
为“k利普希兹条件函数”·下列四个结论：
①函数y=-3x+1是“3-利普希兹条件函数”：
②函数y=5x2是“5-利普希兹条件函数”：
③若函数y=mx+n是“2026-利普希兹条件函数”，则m的最大值为2026：
④已知函数y=2x2+3x+1,当1≤x≤2时，此函数是“k-利普希兹条件函数”恒成
立，则k的最小值为11.
其中正确的是()
A.①②③
B.①③
C.②④
D.①③④
九年级数学试卷第2页共6页

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