资源简介

(共33张PPT)
第二节　
简谐运动的描述
[学习目标]
1.能从简谐运动的函数表达式分析简谐运动的振幅、周期、频率等.(重点) 2.掌握简谐运动图像的物理意义和应用,会根据图像分析各物理量的变化,学习处理图像问题的科学方法.(重点) 3.知道简谐运动的数学描述,了解相位的概念.会利用简谐运动的表达式分析和解决实际问题.(难点)
知识点一　简谐运动的函数描述
「情境导学」
如图所示,弹簧和小球分别套在光滑横杆上,在小球底部固定一毛笔头,笔头下放一纸板.使小球偏离平衡位置并释放,其振动可视为简谐运动.
(1)若纸板不动,画出的轨迹是怎样的
提示:(1)是一条直线.
(2)匀速拉动纸板时,画出的轨迹又是怎样的
提示:(2)轨迹是正弦曲线或余弦曲线.
提示:(3)能.
(3)把虚线当作时间轴,此轨迹能否表示振子位移与时间的关系图像
1.振动曲线:物体做简谐运动时 与 关系的曲线.
2.简谐运动的函数表达式:x= ,式中A为简谐运动的 ,ω为简谐运动的 .
3.角频率与周期或频率的关系:ω= = .
「知识整合」
位移
时间
Acos(ωt+φ)
振幅
角频率
2πf
「问题探究」
若简谐运动的函数表达式为x=Acos(ωt+φ),根据余弦函数规律,(ωt+φ)在每增加2π的过程中,函数值循环变化一次.这一变化过程所需要的时间便是简谐运动的周期T.于是有[ω(t+T)+φ]-(ωt+φ)=2π,请据此推导角频率ω和周期T的关系.
正误辨析
(1)振动的位移方向与速度总是相同的.(　 　)
(2)简谐运动的位移是指物体相对平衡位置的位移.(　 　)
(3)角频率ω描述的是振子振动的快慢.(　 　)
(4)弹簧振子的位移—时间(正弦或余弦)图像就是该振子实际运动的轨迹.
(　 　)
×
√
√
×
[例1] (多选)(2025·广东广州月考)如图所示,水平弹簧振子沿x轴在M、N间做简谐运动,坐标原点O为振子的平衡位置,其振动方程为x=5cos 10πt cm.下列说法正确的有(　　 )
[A] M、N间距离为5 cm
[B] 振子的振动周期是0.2 s
[C] t=0时,振子位于N点
[D] t=0.05 s时,振子具有最大加速度
BC
·方法总结·
简谐运动位移表达式x=Acos(ωt+φ)的应用
(1)由表达式可以直接读出振幅A、角频率ω和初相位φ.
(3)可以求某一时刻质点的位移x,进而可以判断其他物理量的情况.
[训练1] (多选)(2025·广东广州月考)一弹簧振子中小球A的位移x随时间t变化的关系式为x=0.1 cos 2.5πt,位移x的单位为m,时间t的单位为s,则(　　 )
[A] 小球的振幅为0.2 m
[B] 小球的周期为1.25 s
[C] 在t=0.2 s时,小球的运动速度最大
[D] 若另一小球B的位移x随时间t变化的关系式为x=0.2cos 5πt m,则B振动的频率比A高
CD
知识点二　简谐运动的图像描述
「情境导学」
一竖直悬挂的弹簧振子,下端装有一记录笔,在竖直面内放置有一记录纸.当振子上下振动时,以速率v水平向左匀速拉动记录纸,记录笔在纸上留下如图所示的图像.y1、y2、x0、2x0为纸上印迹的位置坐标.请思考以下问题:
(1)振动的周期是多少
(2)振动的振幅是多少
1.简谐运动的图像(x-t图像)
意义:表示简谐运动的位移与时间的关系.
2.表达式和图像的关系
「知识整合」
3.相位与相位差
(1)相位:简谐运动表达式x=Acos(ωt+φ)中的 叫作相位.描述的是物体在各个不同时刻所处的状态,它随时间变化而变化,反映了不同振动的振动步调。
(2)初相位:t= 时的相位φ叫作初相位,简称 .
(3)相位差:两个频率相同的振子相位的差值叫作相位差,即Δφ= ,表示这两个频率相同的简谐运动的振动先后关系.
(4)理解:相位是一个相对概念,与所取的时间零点有关.两个振动的相位差是个绝对概念,与所取的时间零点无关.
ωt+φ
0
初相
φ1-φ2
正误辨析
(1)简谐运动的图像都是正弦或余弦曲线.(　 　)
(2)利用简谐运动的图像可知道其振动周期和振幅.(　 　)
(3)相位反映了振动物体的振动步调,因此如果两个振动物体的相位相同,则其振动步调相反.(　 　)
(4)两个频率相同、相位不同的振动,它们的相位差随振动时间的增加而增大.(　 　)
√
√
×
×
√
[例2] (2025·广东广州月考)如图甲所示,一小球在A、B之间做简谐运动,O点为小球静止的位置,其振动图像如图乙所示,规定向右的方向为正方向,试根据图像分析以下问题:
(1)在t=0时刻,小球所处的位置为　　　　点,正在向　　 　　(选填“左”或
“右”)运动.
O
右
【解析】 (1)由振动图像知,t=0时,x=0,表示小球位于平衡位置,即O点.在0～
1 s内,振动位移x>0,且逐渐增大,表示t=0时,小球正在向正方向运动,即向右
运动.
(2)该简谐运动的周期为　 　　 s,振幅为　　 　 cm.
4
3
【解析】 (2)由题图乙知,小球的周期为4 s,振幅为3 cm.
(3)在图乙中,小球在t=1 s、t=2 s和t=3 s时所处的位置依次是　　　、　 　.
和　　　　.
B点
O点
A点
【解析】 (3)t=1 s时,x=3 cm,小球位于B点;t=2 s时,x=0,小球位于平衡位置O点;t=3 s时,x=-3 cm,小球位于A点.
(4)在t=2 s时,小球速度的方向与t=0时速度的方向　 　　　(选填“相同”或
“相反”).
相反　
【解析】 (4)在t=2 s时,x-t图像的斜率为负,表示向负方向运动,即向左运动,与t=0时速度的方向相反.
(5)小球在前4 s内的位移等于　　　　 cm,其路程为　　　　 cm.
0　
12　
【解析】 (5)在t=4 s时,小球又回到了平衡位置,故位移Δx=0,其路程为s=
3 cm×4=12 cm.
(6)该小球的位移—时间函数表达式为　　　　　　　　　　.
[训练2] 如图甲所示为竖直方向处于静止状态的一个弹簧振子,图乙是该振子完成一次全振动时其位移随时间的变化规律图线,取竖直向上为正方向,则下列说法正确的是(　　 )
[A] 振子的振幅为5 cm
[B] t=1 s时,振子弹性势能最大
[C] 1～2 s内,振子从最高点向下运动,且速度和加速度都正在增大
[D] 在任意1 s时间内,振子通过的路程都是5 cm
A
[训练3] (2025·广东广州期末)扬声器是语音和音乐的播放装置,在生活中无处不在.如图甲、乙所示是扬声器和扬声器纸盆中心做简谐运动的振动图
像,下列判断正确的是(　 　)
[A] t=1×10-3 s时刻纸盆中心的位移最大
[B] t=2×10-3 s时刻纸盆中心的加速度最大
[C] 在0～2×10-3 s之间纸盆中心的速度方向不变
[D] 纸盆中心做简谐运动的方程为x=1.0×10-4 cos 50πt m
A
知识点三　简谐运动的周期性与对称性
「知识整合」
简谐运动是一种周期性的运动,简谐运动的物理量随时间周期性变化,如图所示,物体在A、B两点间做简谐运动,O点为平衡位置,OC=OD.
(1)时间的对称.
①物体来回通过相同两点间的时间相等,即tDB=tBD.
②物体经过关于平衡位置对称的等长的两段距离的时间相等,图中tDB=tBD=
tCA=tAC,tOD=tDO=tOC=tCO.
(2)速度的对称.
①物体连续两次经过同一点(如D点)的速度大小相等,方向相反.
②物体经过关于O点对称的两点(如C点与D点)时,速度大小相等,方向可能相同,也可能相反.
(3)位移的对称.
①物体经过同一点(如C点)时,位移相同.
②物体经过关于O点对称的两点(如C点与D点)时,位移大小相等、方向相反.
[例3] (简谐运动的对称性分析)(2025·广东广州段考)如图所示,弹簧振子中的小球在振动过程中,小球从a到b历时0.2 s,小球经a、b两点时速度相同,若它从b再回到a的最短时间为0.4 s,则该小球的振动频率为( 　　)
[A] 1 Hz [B] 1.25 Hz
[C] 2 Hz [D] 2.5 Hz
B
[例4] (周期性造成的多解问题)(多选)一个质点在平衡位置O点附近做简谐运动,若从O点开始计时,经过2 s质点第一次经过M点,再继续运动,又经过1 s它第二次经过M点,则该质点第三次经过M点还需要的时间可能有(　　 )
BD
感谢观看第二节　简谐运动的描述
[学习目标]　1.能从简谐运动的函数表达式分析简谐运动的振幅、周期、频率等.(重点) 2.掌握简谐运动图像的物理意义和应用,会根据图像分析各物理量的变化,学习处理图像问题的科学方法.(重点) 3.知道简谐运动的数学描述,了解相位的概念.会利用简谐运动的表达式分析和解决实际问题.(难点)
知识点一　简谐运动的函数描述
情境导学
如图所示,弹簧和小球分别套在光滑横杆上,在小球底部固定一毛笔头,笔头下放一纸板.使小球偏离平衡位置并释放,其振动可视为简谐运动.
(1)若纸板不动,画出的轨迹是怎样的
(2)匀速拉动纸板时,画出的轨迹又是怎样的
(3)把虚线当作时间轴,此轨迹能否表示振子位移与时间的关系图像
提示:(1)是一条直线.
(2)轨迹是正弦曲线或余弦曲线.
(3)能.
知识整合
1.振动曲线:物体做简谐运动时位移与时间关系的曲线.
2.简谐运动的函数表达式:x=Acos(ωt+φ),式中A为简谐运动的振幅,ω为简谐运动的角频率.
3.角频率与周期或频率的关系:ω==2πf.
问题探究
　若简谐运动的函数表达式为x=Acos(ωt+φ),根据余弦函数规律,(ωt+φ)在每增加2π的过程中,函数值循环变化一次.这一变化过程所需要的时间便是简谐运动的周期T.于是有[ω(t+T)+φ]-(ωt+φ)=2π,请据此推导角频率ω和周期T的关系.
【答案】 ω=.
正误辨析
(1)振动的位移方向与速度总是相同的.(　×　)
(2)简谐运动的位移是指物体相对平衡位置的位移.(　√　)
(3)角频率ω描述的是振子振动的快慢.(　√　)
(4)弹簧振子的位移-时间(正弦或余弦)图像就是该振子实际运动的轨迹.(　×　)
[例1] (多选)(2025·广东广州月考)如图所示,水平弹簧振子沿x轴在M、N间做简谐运动,坐标原点O为振子的平衡位置,其振动方程为x=5cos 10πt cm.下列说法正确的有(　　)
[A] M、N间距离为5 cm
[B] 振子的振动周期是0.2 s
[C] t=0时,振子位于N点
[D] t=0.05 s时,振子具有最大加速度
【答案】 BC
【解析】 M、N间距离为2A=10 cm,选项A错误;因为ω=10π rad/s,可知振子的振动周期T== s=0.2 s,选项B正确;由x=5cos 10πt cm可知,t=0时x=5 cm,即振子位于N点,选项C正确;t=0.05 s时x=0,此时振子在O点,振子的加速度为零,选项D错误.
简谐运动位移表达式x=Acos(ωt+φ)的应用
(1)由表达式可以直接读出振幅A、角频率ω和初相位φ.
(2)由ω=或ω=2πf可求周期T或频率f.
(3)可以求某一时刻质点的位移x,进而可以判断其他物理量的情况.
[训练1] (多选)(2025·广东广州月考)一弹簧振子中小球A的位移x随时间t变化的关系式为x=0.1 cos 2.5πt,位移x的单位为m,时间t的单位为s,则(　　)
[A] 小球的振幅为0.2 m
[B] 小球的周期为1.25 s
[C] 在t=0.2 s时,小球的运动速度最大
[D] 若另一小球B的位移x随时间t变化的关系式为x=0.2cos 5πt m,则B振动的频率比A高
【答案】 CD
【解析】 由振动方程可知振幅A=0.1 m,A错误;由振动方程可知ω=2.5π rad/s,则T== s=0.8 s,B错误;在t=0.2 s时,小球的位移为零,速度最大,C正确;由小球B的振动方程x=
0.2cos 5πt m可知,ω′为5π rad/s,可求出周期T′= s=0.4 s,又f=,可求f= Hz=1.25 Hz,f′=
Hz=2.5 Hz,故B振动的频率比A高,D正确.
知识点二　简谐运动的图像描述
情境导学
　一竖直悬挂的弹簧振子,下端装有一记录笔,在竖直面内放置有一记录纸.当振子上下振动时,以速率v水平向左匀速拉动记录纸,记录笔在纸上留下如图所示的图像.y1、y2、x0、2x0为纸上印迹的位置坐标.请思考以下问题:
(1)振动的周期是多少
(2)振动的振幅是多少
提示:(1)　(2)
知识整合
1.简谐运动的图像(x-t图像)
意义:表示简谐运动的位移与时间的关系.
2.表达式和图像的关系
函数表达式和图像两者对同一个简谐运动的描述应该是一致的,x=Acos(ωt+φ)=Acos (t+
φ)与对应图像间的关系如图所示.
3.相位与相位差
(1)相位:简谐运动表达式x=Acos(ωt+φ)中的ωt+φ叫作相位.描述的是物体在各个不同时刻所处的状态,它随时间变化而变化,反映了不同振动的振动步调。
(2)初相位:t=0时的相位φ叫作初相位,简称初相.
(3)相位差:两个频率相同的振子相位的差值叫作相位差,即Δφ=φ1-φ2,表示这两个频率相同的简谐运动的振动先后关系.
(4)理解:相位是一个相对概念,与所取的时间零点有关.两个振动的相位差是个绝对概念,与所取的时间零点无关.
正误辨析
(1)简谐运动的图像都是正弦或余弦曲线.(　√　)
(2)利用简谐运动的图像可知道其振动周期和振幅.(　√　)
(3)相位反映了振动物体的振动步调,因此如果两个振动物体的相位相同,则其振动步调相反.(　×　)
(4)两个频率相同、相位不同的振动,它们的相位差随振动时间的增加而增大.(　×　)
(5)某简谐运动的位移表达式为x=10 sin(2πt+) m,0.5 s末的相位是φ=π.(　√　)
[例2] (2025·广东广州月考)如图甲所示,一小球在A、B之间做简谐运动,O点为小球静止的位置,其振动图像如图乙所示,规定向右的方向为正方向,试根据图像分析以下问题:
(1)在t=0时刻,小球所处的位置为　　　　点,正在向　　　　(选填“左”或“右”)运动.
(2)该简谐运动的周期为　　　　　　s,振幅为　　　　 cm.
(3)在图乙中,小球在t=1 s、t=2 s和t=3 s时所处的位置依次是　　　　、　　　　和　　　　.
(4)在t=2 s时,小球速度的方向与t=0时速度的方向　　　　(选填“相同”或“相反”).
(5)小球在前4 s内的位移等于　　　　 cm,其路程为　　　　 cm.
(6)该小球的位移—时间函数表达式为　　　　　　　　　　.
【答案】 (1)O　右　(2)4　3
(3)B点　O点　A点　(4)相反　(5)0　12　
(6)x=3cos(t-) cm
【解析】 (1)由振动图像知,t=0时,x=0,表示小球位于平衡位置,即O点.在0～1 s内,振动位移x>0,且逐渐增大,表示t=0时,小球正在向正方向运动,即向右运动.
(2)由题图乙知,小球的周期为4 s,振幅为3 cm.
(3)t=1 s时,x=3 cm,小球位于B点;t=2 s时,x=0,小球位于平衡位置O点;t=3 s时,x=-3 cm,小球位于A点.
(4)在t=2 s时,x-t图像的斜率为负,表示向负方向运动,即向左运动,与t=0时速度的方向相反.
(5)在t=4 s时,小球又回到了平衡位置,故位移Δx=0,其路程为s=3 cm×4=12 cm.
(6)由题图乙可知小球的位移-时间表达式满足x=Acos(t-),代入数据得x=3cos(t-) cm.
[训练2] 如图甲所示为竖直方向处于静止状态的一个弹簧振子,图乙是该振子完成一次全振动时其位移随时间的变化规律图线,取竖直向上为正方向,则下列说法正确的是(　　)
[A] 振子的振幅为5 cm
[B] t=1 s时,振子弹性势能最大
[C] 1～2 s内,振子从最高点向下运动,且速度和加速度都正在增大
[D] 在任意1 s时间内,振子通过的路程都是5 cm
【答案】 A
【解析】 由题图可知,振子的振幅为5 cm,A正确;t=1 s时,振子的位移最大,回复力和加速度最大,弹性势能不是最大,B错误;1～2 s内,振子从最高点向平衡位置运动,速度增大,位移减小,回复力减小,加速度减小,C错误;由图像可知振子的周期为4 s,在1 s(即个周期)内通过的路程不一定等于一个振幅,故D错误.
[训练3] (2025·广东广州期末)扬声器是语音和音乐的播放装置,在生活中无处不在.如图甲、乙所示是扬声器和扬声器纸盆中心做简谐运动的振动图像,下列判断正确的是(　　)
[A] t=1×10-3 s时刻纸盆中心的位移最大
[B] t=2×10-3 s时刻纸盆中心的加速度最大
[C] 在0～2×10-3 s之间纸盆中心的速度方向不变
[D] 纸盆中心做简谐运动的方程为x=1.0×10-4 cos 50πt m
【答案】 A
【解析】 t=1×10-3 s时刻纸盆中心处于正向最大位移处,A正确;t=2×10-3 s时刻纸盆中心位于平衡位置,加速度为零,B错误;在0～2×10-3 s之间纸盆中心的速度方向先沿正方向再沿负方向,C错误;纸盆中心做简谐运动的方程为x=Acos(-) m=1.0×10-4cos(500πt-) m,故D错误.
知识点三　简谐运动的周期性与对称性
知识整合
　简谐运动是一种周期性的运动,简谐运动的物理量随时间周期性变化,如图所示,物体在A、B两点间做简谐运动,O点为平衡位置,OC=OD.
(1)时间的对称.
①物体来回通过相同两点间的时间相等,即tDB=tBD.
②物体经过关于平衡位置对称的等长的两段距离的时间相等,图中tDB=tBD=tCA=tAC,tOD=tDO=tOC=tCO.
(2)速度的对称.
①物体连续两次经过同一点(如D点)的速度大小相等,方向相反.
②物体经过关于O点对称的两点(如C点与D点)时,速度大小相等,方向可能相同,也可能相反.
(3)位移的对称.
①物体经过同一点(如C点)时,位移相同.
②物体经过关于O点对称的两点(如C点与D点)时,位移大小相等、方向相反.
[例3] (简谐运动的对称性分析)(2025·广东广州段考)如图所示,弹簧振子中的小球在振动过程中,小球从a到b历时0.2 s,小球经a、b两点时速度相同,若它从b再回到a的最短时间为0.4 s,则该小球的振动频率为(　　)
[A] 1 Hz [B] 1.25 Hz
[C] 2 Hz [D] 2.5 Hz
【答案】 B
【解析】 由于小球在a、b两点的速度相同,则a、b两点关于O点对称,所以O到b点的时间为0.1 s;而从b再回到a的最短时间为0.4 s,则从b再回到b的最短时间为0.2 s,所以从b到最大位移处的最短时间为0.1 s,因此小球的振动周期为T=0.8 s,由f=,得f= Hz=1.25 Hz,故选B.
[例4] (周期性造成的多解问题)(多选)一个质点在平衡位置O点附近做简谐运动,若从O点开始计时,经过2 s质点第一次经过M点,再继续运动,又经过1 s它第二次经过M点,则该质点第三次经过M点还需要的时间可能有(　　)
[A] s [B] s [C] 7 s [D] 9 s
【答案】 BD
【解析】 若振子开始运动的方向先向左,再向M点运动,运动路线如图甲所示,设振动的周期为T,则+-0.5 s=2 s,即T= s,振子第三次通过M点还需要经过的时间为t=T-1 s= s;若振子开始运动的方向向右,即直接向M点运动,运动路线如图乙所示,可得振动的周期为T=(2 s+×1 s)×4=10 s,振子第三次通过M点还需要经过的时间为 t=T-1 s=9 s,故B、D正确.
课时作业
(分值:90分)
(选择题每题6分)
知识点一　简谐运动的函数描述
1.(2025·广东揭阳期中)一弹簧振子的位移y随时间t变化的关系式为y=0.1 sin 2.5πt m.则(　　)
[A] 弹簧振子的振幅为0.2 m
[B] 弹簧振子的周期为1.25 s
[C] t=0.2 s时,振子运动的加速度最大
[D] 在任意0.2 s时间内,振子的位移均为0.1 m
【答案】 C
【解析】 由简谐运动的振动方程可知,弹簧振子的振幅为0.1 m,A错误;ω==2.5π rad/s,解得T=0.8 s,B错误;由振动方程可知,在t=0.2 s时,y=0.1 m,位于振动的最大位移处,此时加速度最大,C正确;根据周期性,振子在一个周期内通过的路程为4A,但是振子在周期内通过的路程不一定是A,D错误.
2.(2025·广东江门期末)如图所示,弹簧振子的平衡位置为O点,在B、C两点之间做简谐运动,以O为坐标原点,沿CB方向建立x轴,已知振子的位移随时间的变化关系为x=10sin 2πt cm,则下列判断正确的是(　　)
[A] 振子的振动周期T=2 s
[B] B、C间的距离为10 cm
[C] 2 s内振子通过的路程为80 cm
[D] t=0时刻振子沿x轴的负方向运动
【答案】 C
【解析】 振子的振动周期T== s=1 s,故A错误;B、C间的距离为xBC=2A=20 cm,故B错误;2 s 内振子通过的路程为s=2×4A=80 cm,故C正确;t=0时刻,振子处于平衡位置且沿x轴的正方向运动,故D错误.
3.(多选)(2025·广东湛江月考)有两个简谐运动,其表达式分别是x1=4 sin(100πt+)cm,x2=
5 sin(100πt+) cm,下列说法正确的有(　　)
[A] 它们的振幅相同
[B] 它们的周期相同
[C] 它们的相位差恒定
[D] 它们的振动步调一致
【答案】 BC
【解析】 它们的振幅分别是4 cm、5 cm,振幅不同,选项A错误;它们的角频率均为ω=
100π rad/s,所以周期均为T== s,选项B正确;由Δφ=(100πt+)-(100πt+)=知,相位差恒定,选项C正确;Δφ≠0,即振动步调不一致,选项D错误.
知识点二　简谐运动的图像(x-t图像)
4.(2025·广东深圳期末)如图甲所示,在光滑杆下面铺一张白纸,一带有铅笔的弹簧振子受到外力控制,在A、B两点间做简谐运动,当白纸垂直于杆方向以2 cm/s的速度匀速移动时,白纸上留下如图乙所示的痕迹.下列说法正确的是(　　)
[A] 弹簧振子的振动周期为4 s
[B] 弹簧振子的振幅为8 cm
[C] 从x=3 cm到x=5 cm,振子动能变大
[D] x=4 cm时,振子向负方向运动
【答案】 A
【解析】 弹簧振子的振动周期T==4 s,A正确;弹簧振子的振幅为4 cm,B错误;从x=3 cm到x=5 cm,振子远离平衡位置,振子动能变小,C错误;x=4 cm时,振子向正方向运动,D错误.
5.(多选)(2025·广东东莞联考)某简谐运动的位移—时间图像如图所示,下列说法正确的有(　　)
[A] 简谐运动的振幅为2 cm
[B] 简谐运动的周期为0.4 s
[C] 位移—时间图像就是振动质点的运动轨迹
[D] A点的速度方向沿t轴负方向
【答案】 AB
【解析】 由题图可得,简谐运动的振幅为2 cm,故A正确;由题图可得,简谐运动的周期为0.4 s,故B正确;题图表示质点的位移随时间变化的规律,不是质点的运动轨迹,故C错误;由题图可知A点的速度方向为x轴正方向,故D错误.
6.(2025·广东珠海月考)一个弹簧振子沿x轴做简谐运动,取平衡位置O为x轴坐标原点.从某时刻开始计时,经过四分之一个周期,振子具有沿x轴正方向的最大加速度.能正确反映振子位移与时间关系的图像是(　　)
[A] [B] [C] [D]
【答案】 A
【解析】 经周期振子具有沿x轴正方向的最大加速度,故此时振子有负方向的最大位移,A符合,故A正确;B中,经周期振子位移为零,故B错误;C中,经周期振子位移为正向最大,故C错误;D中,经周期振子位移为零,故D错误.
知识点三　简谐运动的周期性与对称性
7.(多选)某弹簧振子做简谐运动,其位移随时间变化的关系式为x=Asin t,单位为 cm,则弹簧振子(　　)
[A] 第1 s末与第3 s末的位移方向相同
[B] 第1 s末与第3 s末的速度方向相同
[C] 第3 s末至第5 s末的位移方向都相同
[D] 第3 s末至第5 s末的速度方向都相同
【答案】 AD
【解析】 将t=1 s和t=3 s代入关系式,可求得两时刻位移相同,A正确;速度可通过位移图像求解,根据位移关系式画出x-t图像如图甲所示,将该图像与弹簧振子振动过程对比,可得如图乙所示的对应图像,第1 s末弹簧振子向正方向运动,远离平衡位置,而第3 s末弹簧振子向负方向运动,衡位置,两个时刻的速度方向相反,B错误;第3 s末至第5 s末的速度方向一直为负,D正确;从x-t图像还可看出,第3 s末至第4 s末的位移方向为正,第4 s末至第5 s末的位移方向为负,C错误.
8.如图所示,一轻质弹簧上端固定,下端悬挂一物块,取物块静止时所处位置为坐标原点O,向下为正方向,建立Ox坐标轴.现将物块竖直向下拉到A位置后由静止释放,不计空气阻力.已知物块的质量为m,弹簧的劲度系数为k,A位置的坐标为x1,重力加速度为g.下列说法正确的是(　　)
[A] 该简谐运动的振幅为2x1
[B] 物块在A位置时的回复力大小为kx1-mg
[C] 在任意周期内物块通过的路程一定等于2x1
[D] 物块到O位置时的动能为k-mgx1
【答案】 C
【解析】 根据振幅的定义,可知该简谐运动的振幅为x1,故A错误;物块在O位置时受力平衡,有kx0=mg,x0为弹簧伸长量,在A位置时的回复力大小为F=k(x0+x1)-mg=kx1,故B错误;根据简谐运动的特点可知,物块运动过程中,周期内物块通过的路程一定等于2x1,故C正确;物块从A位置回到O位置时,根据能量守恒得k(x1+x0)2=mgx1+mv2+k,解得mv2=
k(x1+x0)2-mgx1-k,故D错误.
(选择题每题9分)
9.(2025·广东湛江月考)图甲为以O点为平衡位置,在A、B两点间做简谐运动的弹簧振子,图乙为这个弹簧振子的振动图像,以向右为x的正方向,由图可知下列说法正确的是(　　)
[A] 此振动的振幅为10 cm,振动周期为0.8 s
[B] 从t=0到t=0.2 s时间内,弹簧振子做加速度减小的减速运动
[C] 在t=0.2 s与t=0.6 s两个时刻,振子的动能都为零
[D] 在t=0.6 s时,弹簧振子的弹性势能最小
【答案】 C
【解析】 此振动的振幅为5 cm,振动周期为0.8 s,A错误;从t=0到t=0.2 s时间内,弹簧振子的位移增大,加速度增大,速度减小,所以弹簧振子做加速度增大的减速运动,B错误;在t=0.2 s与t=0.6 s两个时刻,振子的速度为零,则动能都为零,C正确;在t=0.6 s时,弹簧振子的位移最大,速度最小,由机械能守恒知,弹簧振子有最大的弹性势能,D错误.
10.(2025·湖北黄冈期末)一名游客在栈桥边欲乘坐游船,当日风浪较大,游船上下浮动.可把游船浮动简化成竖直方向的简谐运动,振幅为30 cm,周期为3.6 s.当船上升到最高点时,甲板刚好与码头地面平齐.地面与甲板的高度差不超过15 cm时,游客能舒服地登船.在一个周期内,游客能舒服登船的时间是(　　)
[A] 0.6 s [B] 0.9 s [C] 1.2 s [D] 1.8 s
【答案】 C
【解析】 把船浮动简化成竖直方向的简谐运动,从船上升到最高点时开始计时,其振动方程为y=Acos t,代入数据得y=30cos t cm,当y=15 cm时,在一个周期内对应的时间点分别为t1=0.6 s,t2=3 s,所以在一个周期内,游客能舒服登船的时间是1.2 s,C正确.
11.(12分)(2025·广东广州统考)如图,为甲、乙两个弹簧振子做简谐运动的振动图像,试根据图像回答下列问题.
(1)(6分)写出甲、乙两振子位移随时间变化的关系式;
(2)(6分)求5 s内甲振子通过的路程及5 s末乙振子的位移.
【答案】 (1)x甲=10cos πt cm
x乙=7cos(πt+) cm　(2)100 cm　0
【解析】 (1)由题图可知,甲的振幅A甲=10 cm,
乙的振幅A乙=7 cm,周期T甲=T乙=2.0 s,
根据x=Acos(t+φ),
又t=0时,x甲=10 cm,x乙=0,
t=0.5 s时,x甲′=0,x乙′=-7 cm,
可得φ甲=0,φ乙=,
所以x甲=10cos πt cm,
x乙=7cos(πt+) cm.
(2)5 s内甲振子通过的路程
s甲=·4A甲=100 cm,
5 s末乙振子的位移x乙=7cos(π·5+) cm=0.
12.(12分)(2025·广东广州月考)如图所示,振动物体以O点为平衡位置,在B、C两点间做简谐运动.在t=0时刻,振动物体从O、B间的P点以速度v向B点运动;在t=0.2 s时,振动物体的速度第一次变为-v;在t=0.5 s时,振动物体的速度第二次变为-v.
(1)(4分)求振动物体的振动周期T.
(2)(4分)若B、C之间的距离为25 cm,求振动物体在4.0 s内通过的路程.
(3)(4分)若B、C之间的距离为25 cm,从振动物体经过平衡位置向B点运动开始计时,写出振动物体的位移表达式,并画出振动图像.
【答案】 (1)1.0 s　(2)200 cm　(3)见解析
【解析】 (1)根据简谐运动的对称性和题意可知,振动物体完成半个全振动所用时间为
0.5 s,则
T=0.5×2 s=1.0 s.
(2)若B、C之间的距离为25 cm,则振幅
A=×25 cm=12.5 cm,
振动物体在4.0 s内通过的路程
s=×4×12.5 cm=200 cm.
(3)根据物体做简谐运动的表达式
x=Acos(ωt+φ),
A=12.5 cm,ω==2π rad/s,φ=-,
得x=12.5cos(2πt-) cm,
振动图像如图所示.

展开更多......

收起↑