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第四节　用单摆测量重力加速度
[学习目标]　
1.学会根据单摆周期公式确定实验思路以及测定重力加速度的方法,培养科学探究能力.(重点)2.会使用刻度尺和游标卡尺测量摆长,会使用秒表测量单摆的周期.3.能设计实验方案,会正确安装实验装置并进行实验操作.4.能正确处理数据并能从多个角度进行实验误差分析.
一、实验思路
1.实验原理
2.物理量的测量
摆长L:摆长是摆线长度和小球半径之和.可用刻度尺直接测量小球球心与悬挂点之间的距离作为摆长的测量值,也可用游标卡尺测量小球的直径,算出它的半径,再测量悬挂点与小球上端之间的距离,以两者之和作为摆长的测量值.
周期T:用秒表测出单摆做多次全振动的时间,然后通过计算求出它的周期.
二、实验装置
1.实验装置如图所示
2.实验器材
带有铁夹的铁架台、金属小球(有孔)、秒表、细丝线(1 m左右)、长约1 m的毫米刻度尺、游标卡尺等.
三、进行实验
1.将细线穿过金属小球上的小孔,在细线的穿出端打一个稍大一些的结,制成一个单摆.
2.将铁夹固定在铁架台上端,铁架台放在实验桌边,铁夹伸出桌面,把单摆上端固定在铁夹上,摆球自由下垂,在单摆平衡位置处做上标记.
4.把摆球从平衡位置拉开一个很小的角度,角度小于5°,由静止释放摆球.摆球经过最低点(平衡位置)时,用秒表开始计时,测出单摆完成30～50次全振动的时间t(设全振动次数为n),计算出平均完成一次全振动所用的时间,即为单摆的振动周期 .
5.改变摆长,反复做几次实验,将一系列的测量值填入表格.
四、数据分析
实验次数 1 2 3 4 5 …
摆线长度L0/m
摆球直径d/m
摆长L/m
全振动次数n
振动时间t/s
振动周期
重力加速度g
重力加速度的 平均值 (g1+g2+…+gn)
五、误差分析
1.来源
本实验系统误差主要来源单摆模型本身是否符合要求.即悬点是否固定,球、线是否符合要求,空气阻力问题,摆动是圆锥摆还是在同一竖直面内的摆动以及测量哪段长度作为摆长等.
本实验偶然误差主要来自时间(即单摆周期)的误差,用刻度尺测量摆线时的读数误差、用游标卡尺测量摆球直径时的读数误差等.
2.分析
(1)测量摆长时引起的误差.
①若测量了摆线长后却误加了直径,会使测量的摆长偏大.
②若悬点未固定好,摆球摆动过程中出现松动,测量了摆线长漏加了摆球半径等,使测量的摆长偏小.
(2)测量周期时引起的误差.
①由于测量全振动次数错误造成误差.
②开始计时或停止计时时过早或过迟按下停表.
③计算单摆的全振动次数时,不从摆球通过最低点(平衡位置)时开始计时,容易产生较大的计时误差.
六、注意事项
1.选择细而不易被拉长的线,长度一般不应短于 1 m;摆球应选用密度较大、直径较小的金属球.
2.单摆悬线的上端应紧夹在铁夹中,不可以随意卷在铁杆上.
3.摆动时摆线偏离竖直方向的角度应很小,不能超过5°.
4.摆球摆动时,要使之保持在同一竖直平面内,不要形成圆锥摆.
5.计算单摆的全振动次数时,应从摆球通过最低位置(平衡位置)时开始计时,要测n次全振动的时间t.
正误辨析
(1)把单摆从平衡位置拉开约5°释放.(　 　)
(2)在摆球经过最低点时启动秒表计时.( 　)
(3)把秒表记录摆球一次全振动的时间作为周期.(　 　)
√
√
×
[例1] (实验原理与操作)(2025·广东云浮联考)某同学在“用单摆测量重力加速度”的实验中进行了如下的操作:
(1)用游标卡尺测量摆球的直径,如图甲所示,读数为　　　　 mm;把摆球用细线悬挂在铁架台上,测量摆线长,通过计算得到摆长L.
20.5
【解析】 (1)由题图甲可得游标卡尺的读数为
20 mm+5×0.1 mm=20.5 mm.
(2)用秒表测量单摆的周期.当单摆摆动稳定且到达最低点时开始计时并记为n=0,单摆每经过最低点记一次数,当数到n=60时秒表的示数如图乙所示,该秒表记录时间为　　　　 s.该单摆的周期是T=　　　　 s(结果保留3位有效数字).
100.2
3.34
(3)测量出多组周期T、摆长L的数值后,画出T2-L图线如图丙所示,此图线斜率的物理意义是　　　　.
C
(4)在(3)中,描点时若误将摆线长当作摆长,那么画出的直线将不通过原点,由图线斜率得到的重力加速度与原来相比,其大小　　　　.
A.偏大 B.偏小
C.不变 D.都有可能
C
【解析】 (4)在(3)中,描点时若误将摆线长当作摆长,那么画出的直线将不通过原点,但是图像的斜率不变,则由图线斜率得到的重力加速度与原来相比其大小不变.故选C.
[例2](实验数据处理与误差分析)(2025·广东东莞期中)如图甲所示,某同学在做“利用单摆测重力加速度”的实验中,测得摆线长为l,摆球直径为d,然后用秒表记录了单摆全振动n次所用的时间为t.则:
(1)下图最合理的装置是　　　　.
C
【解析】 (1)细线要用铁夹固定,防止摆长忽长忽短;摆线要用细丝线,不能用弹性棉绳;摆球要用密度较大的铁球,故选C.
A　 B　 C　 D
(2)用螺旋测微器测量小球直径,示数如图乙所示,读数为　　　　 mm.
9.450
【解析】 (2)由题图乙可知,螺旋测微器测量小球直径的读数为9 mm+45.0
×0.01 mm=9.450 mm.
(3)如果测得的g值偏小,可能的原因是　　　　.(多选)
A.单摆振动时振幅较小
B.将摆线长当成了摆长
C.实验时误将49次全振动记为50次
D.摆线上端悬点未固定,振动中出现松动,使摆线长度增加了
BD
(4)小明选择了合理的实验装置后,测量出几组不同摆长L和周期T的数值,画出如图丙T2-L图像中的实线a.小红也进行了与小明同样的实验,实验中将摆线长作为摆长L,测得多组周期T和L的数据,作出T2-L图像,应是图丙中的图线　　(选填“a”“b”“c”“d”或“e”).(已知c、d两条图线和a平行)
c
[例3](实验创新应用)(2025·广东深圳联考)用单摆测量重力加速度的实验装置如图甲所示,摆球在垂直于纸面的平面内摆动,在摆球运动轨迹的最低点的两侧分别放置激光光源与光敏电阻.光敏电阻(光照增强时,其电阻变小)与自动记录仪相连,记录仪可以显示光敏电阻的阻值R随时间t的变化图线.将摆球拉离平衡位置一个较小角度由静止释放,记录仪显示的R-t图线如图乙所示.
请回答下面的问题:
(1)实验前先用游标卡尺测出摆球直径d,如图丙所示,则摆球的直径d=
　　　　 mm.
11.70
【解析】 (1)由题图丙可知,游标尺是20分度的,游标尺的精确度是0.05 mm,故摆球直径d=11 mm+14×0.05 mm=11.70 mm.
(2)该单摆的振动周期T=　　　　.
2t0
【解析】 (2)在一个周期内摆球经过平衡位置两次,摆球经过平衡位置时激光被摆球挡住,光敏电阻阻值变大,由题图乙所示图像可知,单摆的周期T=2t0.
(3)实验中用米尺测得摆线长为l,则当地的重力加速度g=　　　　 (用测得的物理量符号表示).
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[学习目标]　1.学会根据单摆周期公式确定实验思路以及测定重力加速度的方法,培养科学探究能力.(重点)2.会使用刻度尺和游标卡尺测量摆长,会使用秒表测量单摆的周期.3.能设计实验方案,会正确安装实验装置并进行实验操作.4.能正确处理数据并能从多个角度进行实验误差分析.
一、实验思路
1.实验原理
由T=2π,得g=,测出单摆的摆长L和周期T,即可计算得到当地的重力加速度.
2.物理量的测量
摆长L:摆长是摆线长度和小球半径之和.可用刻度尺直接测量小球球心与悬挂点之间的距离作为摆长的测量值,也可用游标卡尺测量小球的直径,算出它的半径,再测量悬挂点与小球上端之间的距离,以两者之和作为摆长的测量值.
周期T:用秒表测出单摆做多次全振动的时间,然后通过计算求出它的周期.
二、实验装置
1.实验装置如图所示
2.实验器材
带有铁夹的铁架台、金属小球(有孔)、秒表、细丝线(1 m左右)、长约1 m的毫米刻度尺、游标卡尺等.
三、进行实验
1.将细线穿过金属小球上的小孔,在细线的穿出端打一个稍大一些的结,制成一个单摆.
2.将铁夹固定在铁架台上端,铁架台放在实验桌边,铁夹伸出桌面,把单摆上端固定在铁夹上,摆球自由下垂,在单摆平衡位置处做上标记.
3.用刻度尺量出悬线长度L0(精确到1 mm),用游标卡尺测量摆球的直径d,则摆长为L=L0+.
4.把摆球从平衡位置拉开一个很小的角度,角度小于5°,由静止释放摆球.摆球经过最低点(平衡位置)时,用秒表开始计时,测出单摆完成30～50次全振动的时间t(设全振动次数为n),计算出平均完成一次全振动所用的时间,即为单摆的振动周期 T=.
5.改变摆长,反复做几次实验,将一系列的测量值填入表格.
四、数据分析
1.公式法:每改变一次摆长,将相应的L和T代入公式g=中求出g值,最后求出g的平均值.
设计如下表所示的实验表格
实验次数 1 2 3 4 5 …
摆线长度L0/m
摆球直径d/m
摆长L/m
全振动次数n
振动时间t/s
振动周期T=
重力加速度g
重力加速度的 平均值= (g1+g2+…+gn)
2.图像法:由T=2π得T2=L,以T2为纵坐标,以L为横坐标建立坐标系,根据表中的数据作出T2-L图像(如图所示).其斜率k=,由图像的斜率即可求出重力加速度g=.
五、误差分析
1.来源
本实验系统误差主要来源单摆模型本身是否符合要求.即悬点是否固定,球、线是否符合要求,空气阻力问题,摆动是圆锥摆还是在同一竖直面内的摆动以及测量哪段长度作为摆长等.
本实验偶然误差主要来自时间(即单摆周期)的误差,用刻度尺测量摆线时的读数误差、用游标卡尺测量摆球直径时的读数误差等.
2.分析
(1)测量摆长时引起的误差.
①若测量了摆线长后却误加了直径,会使测量的摆长偏大.
②若悬点未固定好,摆球摆动过程中出现松动,测量了摆线长漏加了摆球半径等,使测量的摆长偏小.
(2)测量周期时引起的误差.
①由于测量全振动次数错误造成误差.
②开始计时或停止计时时过早或过迟按下停表.
③计算单摆的全振动次数时,不从摆球通过最低点(平衡位置)时开始计时,容易产生较大的计时误差.
六、注意事项
1.选择细而不易被拉长的线,长度一般不应短于 1 m;摆球应选用密度较大、直径较小的金
属球.
2.单摆悬线的上端应紧夹在铁夹中,不可以随意卷在铁杆上.
3.摆动时摆线偏离竖直方向的角度应很小,不能超过5°.
4.摆球摆动时,要使之保持在同一竖直平面内,不要形成圆锥摆.
5.计算单摆的全振动次数时,应从摆球通过最低位置(平衡位置)时开始计时,要测n次全振动的时间t.
正误辨析
(1)把单摆从平衡位置拉开约5°释放.(　√　)
(2)在摆球经过最低点时启动秒表计时.(　√　)
(3)把秒表记录摆球一次全振动的时间作为周期.(　×　)
[例1] (实验原理与操作)(2025·广东云浮联考)某同学在“用单摆测量重力加速度”的实验中进行了如下的操作:
(1)用游标卡尺测量摆球的直径,如图甲所示,读数为　　　　 mm;把摆球用细线悬挂在铁架台上,测量摆线长,通过计算得到摆长L.
(2)用秒表测量单摆的周期.当单摆摆动稳定且到达最低点时开始计时并记为n=0,单摆每经过最低点记一次数,当数到n=60时秒表的示数如图乙所示,该秒表记录时间为　　　　 s.该单摆的周期是T=　　　　 s(结果保留3位有效数字).
(3)测量出多组周期T、摆长L的数值后,画出T2-L图线如图丙所示,此图线斜率的物理意义是　　　　.
A.g B.
C. D.
(4)在(3)中,描点时若误将摆线长当作摆长,那么画出的直线将不通过原点,由图线斜率得到的重力加速度与原来相比,其大小　　　　.
A.偏大 B.偏小 C.不变 D.都有可能
【答案】 (1)20.5　(2)100.2　3.34　(3)C　(4)C
【解析】 (1)由题图甲可得游标卡尺的读数为
20 mm+5×0.1 mm=20.5 mm.
(2)该秒表记录时间为t=60 s+40.2 s=100.2 s,
该单摆的周期是T= s=3.34 s.
(3)根据T=2π,可得T2=L,则k=,故选C.
(4)在(3)中,描点时若误将摆线长当作摆长,那么画出的直线将不通过原点,但是图像的斜率不变,则由图线斜率得到的重力加速度与原来相比其大小不变.故选C.
[例2](实验数据处理与误差分析)(2025·广东东莞期中)如图甲所示,某同学在做“利用单摆测重力加速度”的实验中,测得摆线长为l,摆球直径为d,然后用秒表记录了单摆全振动n次所用的时间为t.则:
(1)下图最合理的装置是　　　　.
A 　B　 C　 D
(2)用螺旋测微器测量小球直径,示数如图乙所示,读数为　　　　 mm.
(3)如果测得的g值偏小,可能的原因是　　　　.(多选)
A.单摆振动时振幅较小
B.将摆线长当成了摆长
C.实验时误将49次全振动记为50次
D.摆线上端悬点未固定,振动中出现松动,使摆线长度增加了
(4)小明选择了合理的实验装置后,测量出几组不同摆长L和周期T的数值,画出如图丙T2-L图像中的实线a.小红也进行了与小明同样的实验,实验中将摆线长作为摆长L,测得多组周期T和L的数据,作出T2-L图像,应是图丙中的图线　　　(选填“a”“b”“c”“d”或“e”).(已知c、d两条图线和a平行)
【答案】 (1)C　(2)9.450　(3)BD　(4)c
【解析】 (1)细线要用铁夹固定,防止摆长忽长忽短;摆线要用细丝线,不能用弹性棉绳;摆球要用密度较大的铁球,故选C.
(2)由题图乙可知,螺旋测微器测量小球直径的读数为9 mm+45.0×0.01 mm=9.450 mm.
(3)根据单摆周期公式T=2π,可得g=,单摆振动时振幅较小,不影响g的测量,故A错误;将摆线长当成了摆长,导致L变小,可知g值偏小,B正确;实验时误将49次全振动记为50次,导致周期测量值偏小,可知g值偏大,C错误;摆线上端悬点未固定,振动中出现松动,使摆线长度增加,导致摆长测量值偏小,可知g值偏小,D正确.
(4)根据单摆周期公式T=2π,可得T2=;实验中将摆线长作为摆长L,没有加上摆球的半径,所以摆线长为零时,纵轴截距不为零,由于重力加速度不变,则图线的斜率不变,故作出的T2-L图像应为题图丙中的c.
[例3](实验创新应用)(2025·广东深圳联考)用单摆测量重力加速度的实验装置如图甲所示,摆球在垂直于纸面的平面内摆动,在摆球运动轨迹的最低点的两侧分别放置激光光源与光敏电阻.光敏电阻(光照增强时,其电阻变小)与自动记录仪相连,记录仪可以显示光敏电阻的阻值R随时间t的变化图线.将摆球拉离平衡位置一个较小角度由静止释放,记录仪显示的R-t图线如图乙所示.
请回答下面的问题:
(1)实验前先用游标卡尺测出摆球直径d,如图丙所示,则摆球的直径d=　　　　 mm.
(2)该单摆的振动周期T=　　　　.
(3)实验中用米尺测得摆线长为l,则当地的重力加速度g=　　　 　(用测得的物理量符号表示).
【答案】 (1)11.70　(2)2t0　(3)
【解析】 (1)由题图丙可知,游标尺是20分度的,游标尺的精确度是0.05 mm,故摆球直径d=
11 mm+14×0.05 mm=11.70 mm.
(2)在一个周期内摆球经过平衡位置两次,摆球经过平衡位置时激光被摆球挡住,光敏电阻阻值变大,由题图乙所示图像可知,单摆的周期T=2t0.
(3)单摆摆长L=l+,由单摆的周期公式T=2π可知,重力加速度g==.
课时作业
(分值:30分)
1.(12分,每空2分)某同学用单摆测量重力加速度的实验装置如图甲所示.
(1)对测量原理的理解正确的是　　　　.
A.由g=可知,T一定时,g与L成正比
B.由g=可知,L一定时,g与T2成反比
C.单摆的振动周期T和摆长L可用实验测定,由g=可算出当地的重力加速度
(2)为了利用单摆较准确地测出重力加速度,应当选用以下哪些器材　　　　.(多选)
A.长度为10 cm左右的细绳
B.长度为100 cm左右的细绳
C.直径为1.8 cm的钢球
D.直径为1.8 cm的木球
E.最小刻度为1 mm的米尺
F.秒表、铁架台
(3)以下为必要的实验操作,请将横线部分内容补充完整.
①测量单摆的摆长,即测量从摆线的悬点到　　　　的距离;
②把此单摆从平衡位置拉开一个小角度后释放,使摆球在竖直面内摆动,测量单摆全振动30～50次的时间,求出一次全振动的时间,即单摆振动的周期;
③适当改变摆长,测量几次,并记录相应的摆长和周期;
④根据测量数据画出图像,并根据单摆的周期公式,由图像计算重力加速度.
(4)若用秒表测得了40次全振动的时间如图乙所示,则单摆的摆动周期是　　　　s;若实验得到的g值偏大,可能是因为　　　　.
A.组装单摆时,选择的摆球质量偏大
B.测量摆长时,将悬线长作为单摆的摆长
C.测量周期时,把n次全振动误认为是(n+1)次全振动
(5)该同学利用假期分别在北京和广州两地做了此实验,比较准确地探究了“单摆的周期T与摆长L的关系”,然后将这两组实验数据绘制了T2-L图像,如图丙所示,在北京测得的实验结果对应的图线是　　　　(选填“A”或“B”).
【答案】 (1)C　(2)BCEF　(3)①摆球球心
(4)1.88　C　(5)B
【解析】 (1)由T=2π,得g=,测出单摆的摆长L与周期T,可以求出重力加速度,且重力加速度与地理位置有关,与L、T均无关,故选C.
(2)为减小实验误差,应选择适当长些的细绳做摆线,故A错误,B正确;为减小空气阻力对实验的影响,应选择质量大而体积小的球做摆球,故C正确,D错误;实验需要测量摆长,需要用到米尺,实验需要测量单摆的周期,测周期需要秒表,应把单摆固定在铁架台上,故E、F正确.
(3)①摆线长度与摆球半径之和为单摆摆长,测量单摆的摆长,应测量从摆线的悬点到摆球球心的距离.
(4)由题图乙可得时间为t=60 s+15.2 s=75.2 s,
所以周期为T= s=1.88 s,
根据T=2π,
解得g=L,
单摆周期与摆球质量无关,组装单摆时,选择的摆球质量偏大不影响g的测量值,A错误;测量摆长时,将悬线长作为单摆的摆长,所测摆长偏小,g值偏小,B错误;测量周期时,把n次全振动误认为是(n+1)次全振动,所测周期T偏小,g值偏大,C正确.
(5)根据T=2π,解得T2=L,图像的斜率k=,则g=,图像的斜率越小,重力加速度越大,由于北京的重力加速度大于广州的重力加速度,因此在北京所做实验作出的T2-L图像的斜率小于在广州所做实验作出的T2-L图像的斜率,由题图丙可知,图线B的斜率小于图线A的斜率,因此在北京测得的实验结果对应的图线是B.
2.(8分,每空2分,作图2分)如图甲所示,某同学利用双线摆和光电计数器测量当地的重力加速度.已知每根悬线长为d,两悬点间相距s,金属小球半径为r,A、B为光电计数器.现将小球垂直于纸面向外拉动,使悬线偏离竖直方向一个较小的角度并由静止释放,同时,启动光电计数器.当小球第一次经过图中虚线(光束)位置O时,由A射向B的光束被挡住,计数器计数一次,显示为“1”,同时计时器开始计时.然后每当小球经过点O时,计数器都计数一次.当计数器上显示的计数次数刚好为n时,所用时间为t,由此可知:
(1)双线摆的振动周期T=　　　　,双线摆的等效摆长L=　　　　　　.
(2)该同学在实验中,测量了5种不同摆长情况下单摆的振动周期,记录数据如下表所示.
实验次数 1 2 3 4 5
L/m 0.50 0.80 0.90 1.00 1.20
T/s 1.41 1.79 1.90 2.01 2.19
T2/s2 1.99 3.20 3.61 4.04 4.80
以L为横坐标,T2为纵坐标,建立坐标系,在图乙中作出T2-L图像,并利用此图像求得重力加速度g=　　　　 m/s2(结果保留3位有效数字).
【答案】 (1)　r+
(2)图见解析　9.86
【解析】 (1)由题意可知,t时间内,单摆完成全振动的次数为,单摆的周期T==,双线摆的等效摆长为L=r+.
(2)由单摆周期公式T=2π,变形得T2=L,
则T2与L成正比,作出T2-L图像如图所示,
由T2-L图像可知,斜率k==s2·m-1=4 s2·m-1,解得g≈9.86 m/s2.
3.(10分)现代智能手机自带了许多传感器,利用智能手机某软件能够采集传感器记录的数据.某同学在家根据软件界面提示的原始传感器,给出了2种测量重力加速度的方案:
方案1.使用“含(g)的加速度”模块,令手机静置在桌面上20 s,直接读出重力加速度(图甲);
方案2.使用“摆”功能,该同学找到一把量程为30 cm的刻度尺、长度为100 cm左右的细线和一把铁锁,制成一个单摆,于小角度释放.输入摆长后,利用手机读取周期,手机将计算出重力加速度(图乙).
回答下列相关问题:
(1)(2分)根据方案2,可知手机计算重力加速度g的表达式为　　　　　　　(用g、π、T、L表示).
(2)(3分)与方案1测得的重力加速度g相比,方案2测得的重力加速度g结果有一定的误差,产生误差的主要原因为　　　　.(多选)
A.铁锁的重心不方便确定,所以摆长不准
B.铁锁质量过大,导致g测量误差较大
C.测量摆长的刻度尺量程太小,测摆长时多次移动产生了一定的误差
(3)(5分)方案2重力加速度g计算结果误差较大,该同学想到一个修正方案,如图丙:实验时,可以在细线上的A点做一个标记,使得悬点O到A点间的细线长度小于刻度尺量程;保持该标记以下的细线长度不变,通过改变O、A间细线长度以改变摆长,当O、A间细线长度分别为L1、L2时,测得相应单摆的周期为T1、T2,由此可测得重力加速度g的数值,此方案计算g的表达式为g=　 (用本小问所给的字母表示).
【答案】 (1)g=　(2)AC
(3)
【解析】 (1)根据单摆周期公式T=2π,得重力加速度g的表达式为g=.
(2)方案2测得的重力加速度g结果有一定的误差,产生误差的主要原因有铁锁的重心不方便确定,所以摆长不准;方案2是用长度为100厘米左右的细线和一把铁锁,制成一个单摆,而该同学找到一把量程为30 cm的刻度尺,所以测量摆长的刻度尺量程太小,会导致测摆长时多次移动产生了一定的误差.
(3)当O、A间细线长度分别为L1、L2时,测得相应单摆的周期为T1、T2,设A点到铁锁重心的距离为l,根据公式 T=2π,可得T1=2π,T2=2π,解得g=.

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