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第一节　
简谐运动
第二章　机械振动
[学习目标]
1.知道机械振动是运动的一种重要形式,认识简谐运动,了解弹簧振子做简谐运动的特点,进一步形成运动的物理观念.2.知道回复力、振幅、周期和频率的概念,知道周期和频率的关系.(重点) 3.知道简谐运动的能量特征,会根据回复力的特点判断某振动是否为简谐运动.
知识点一　简谐运动
「情境导学」
教材图中小球和弹簧组成的系统在什么情况下可看成弹簧振子 在可看成弹簧振子的情况下,小球的运动有什么特征 如果小球最终停止运动,请问为什么
提示:一是弹簧的质量和小球相比可忽略,二是忽略小球与杆之间的摩擦阻力及空气阻力.小球在平衡位置两侧做等幅振动,其运动关于平衡位置对称.因为受到阻力的作用最终停止运动.
1.机械振动:物体(或者物体的一部分)在某一中心位置(平衡位置)两侧所做的 运动.
2.弹簧振子
(1)概念:小球和弹簧穿在光滑的水平杆上,使其能在杆上自由滑动,小球和水平杆之间的摩擦可以忽略不计,小球的运动可以看作质点的运动,这样的系统称为 .
「知识整合」
往复
弹簧振子
(2)条件.
①小球可以看作质点,弹簧的质量可以忽略.
②不计摩擦和空气阻力.
说明:弹簧振子是一种理想化模型.
3.回复力
(1)定义:能使振子返回 的力.
(2)大小:在弹性限度内,回复力的大小跟振子偏离平衡位置的位移x的大小成
,即F=-kx.
(3)方向:指向 ,总是跟振子偏离平衡位置的 方向相反.
平衡位置
正比
平衡位置
位移
③效果:将振动的物体拉回平衡位置.
④回复力可以由某一个力提供,也可以是几个力的合力,还可以是某一个力的分力.
4.简谐振动:物体在跟平衡位置的位移大小 ,并且总指向平衡位置的回复力的作用下的振动.
成正比
正误辨析
(1)机械振动是匀变速直线运动.(　 　)
(2)篮球自由落在地面上后的上下运动是一种机械振动.(　 　)
(3)平衡位置即弹簧振子在振动过程中振动方向上合力为零且小球速度最大的位置.(　 　)
(4)光滑斜面上,弹簧振子不可能做简谐运动.(　 　)
(5)回复力的大小与速度的大小无关,速度增大时,回复力可能增大,也可能减小.(　 　)
(6)回复力的方向在某些振动过程中可能与速度的方向相反,也可能与速度的方向相同.(　 　)
×
×
√
×
×
√
[例1] (多选)(2025·广东深圳联考)如图所示,弹簧下端悬挂一钢球,上端固定在天花板上,它们组成一个振动的系统.开始时钢球静止,现用手把钢球向上托起一段距离,然后释放,钢球便上下振动起来.若以竖直向下为正方向,下列说法正确的有(　 　)
[A] 钢球运动轨迹的最低处为平衡位置
[B] 钢球原来静止时的位置为平衡位置
[C] 钢球振动到距原来静止位置下方3 cm处时位移为3 cm
[D] 钢球经过平衡位置后加速度不改变方向
BC
【解析】 钢球的平衡位置为钢球原来静止时的位置,故A错误,B正确;钢球的位移为从平衡位置指向某时刻钢球所在位置的有向线段,以竖直向下为正方向,可知C正确;过平衡位置后,回复力改变方向,加速度也改变方向,故D
错误.
[训练1] (多选)(2025·广东广州联考)如图所示,弹簧振子在光滑水平杆上的A、B两点之间做往复运动,其中O为平衡位置,下列说法正确的有(　　 )
[A] 弹簧振子在运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力的作用
[B] 弹簧振子在O处受重力、支持力、弹簧弹力和回复力的作用
[C] 弹簧振子由A向O运动的过程中,回复力逐渐增大
[D] 弹簧振子由O向B运动的过程中,回复力的方向指向平衡位置
AD
【解析】 回复力是根据力的作用效果命名的,不是做简谐运动的物体受到的具体的力,在此情境中弹簧振子受重力、支持力和弹簧弹力的作用,弹簧弹力提供回复力,且O处为平衡位置,弹簧弹力为零,故A正确,B错误;回复力与振子偏离平衡位置的位移的大小成正比,弹簧振子由A向O运动的过程中位移在减小,则在此过程中回复力逐渐减小,故C错误;回复力的方向总是指向平衡位置,故D正确.
知识点二　简谐运动的振幅、周期和频率
「情境导学」
图甲描述了弹簧振子在9个连续的间隔相等的时刻偏离平衡位置O的位移,将图甲逆时针旋转90°得到图乙,用平滑的曲线把球心的位置连接起来,如图丙所示,便得到振动过程中小球相对平衡位置的位移与时间的关系图像.由此可知,做简谐运动的振子的位移与时间关系满足什么函数关系
提示:振子的位移—时间关系满足余弦函数关系.
1.对简谐运动的理解
(1)函数关系:振子的位移—时间函数是 或 函数.
(2)全振动:振子经历的一个完整振动过程叫作一次全振动.
2.描述简谐运动的物理量
(1)振幅:物体振动时离开平衡位置的 .
(2)周期:物体完成一次 所需要的时间,符号为T.
(3)频率:物体在一段时间内全振动的次数与所用时间之比,符号为f.周期与频率的关系为f= .
「知识整合」
正弦
余弦
最大距离
全振动
「问题探究」
如图,为一个水平弹簧振子,振动周期为T,振幅为A,O点为其平衡位置,B、C点为振动的最大位移处,E点与D点关于O点对称,且tOD=tDC,选取向右为正
方向.
(1)振子向左经过D点开始,用图中字母如何表示一个全振动的过程 该过程的时间是多少 通过的路程是多少 位移是多少
提示:(1)DCDOEBEOD,时间t=T,路程s=4A,位移x=-OD.
(2)振子经历C→O→B过程的时间是多少 通过的路程是多少 在B处的位移是多少
(3)振子经历C→O、O→B两过程的时间分别是多少 通过的路程分别是多少 速度、加速度分别是如何变化的
(4)振子经历D→C→D、D→O→E过程的时间分别是多少 并说明通过的路程与振幅的大小关系.
[例2] (2025·广东广州月考)如图所示,小球在A、B间做简谐运动,O为平衡位置,A、B间距离是20 cm,小球经过A点时开始计时,经过2 s首次到达B点,则
(　　)
[A] 从O→B→O小球做了一次全振动
[B] 振动周期为2 s,振幅是10 cm
[C] 从B开始经过6 s,小球通过的路程是60 cm
[D] 从O开始经过3 s,小球处在平衡位置
C
·方法总结·
(1)全振动的“三个特征”.
①物理量:位移(x)、加速度(a)、速度(v)三者第一次同时与初始状态相同.
②时间:历时一个周期.
③路程:等于振幅的4倍.
(2)简谐运动中振幅与位移、路程、周期的关系.
振幅 与位移 ①振幅等于位移大小的最大值.
②同一简谐运动中振幅是确定的,而位移随时间做周期性变化
·方法总结·
振幅 与路程
振幅 与周期 在简谐运动中,振动系统的周期(或频率)是固定的,与振幅无关
[训练2] (多选)(2025·广东中山联考)如图所示,弹簧振子在B、C间做简谐运动,O为平衡位置,B、C间的距离是10 cm,弹簧振子从B→C的运动时间是1 s,则(　 　)
[A] 振动周期是1 s,振幅是10 cm
[B] 从B→O→C振子做了一次全振动
[C] 经过两次全振动,振子通过的路程是40 cm
[D] 从B开始经过3 s,振子通过的路程是30 cm
CD
[训练3] (2025·广东广州联考)如图所示,将振子从平衡位置下拉一段距离Δx,静止释放后振子在A、B间振动,且AB=20 cm,振子由A首次到B的时间为
0.1 s,求:
(1)振子振动的振幅、周期和频率;
【答案】 (1)10 cm　0.2 s　5 Hz　
(2)振子由A首次到O的时间;
【答案】 (2)0.05 s
(3)振子从A开始计时,在5 s内通过的路程及偏离平衡位置的位移大小.
【答案】 (3)1 000 cm　10 cm
【解析】 (3)设振子振动的振幅为A,A=10 cm.振子在1个周期内通过的路程为4A,故在t=5 s=25T内通过的路程s=25×4×10 cm=1 000 cm.5 s内振子振动了25个周期,5 s末振子仍处在A点,所以振子偏离平衡位置的位移大小为
10 cm.
知识点三　简谐运动的能量特征
「情境导学」
如图,为水平弹簧振子,O点为平衡位置,B、C点为两个最大位移处.
请分析振子经历B→O、O→C的过程中:
(1)振子在振动过程中位移、回复力、速度、加速度、动能、势能都怎样
变化
提示:(1)B→O(即衡位置)的过程中:振子的位移、回复力、加速度、势能均减小,速度、动能均增大;O→C(即远离平衡位置)的过程中:振子的位移、回复力、加速度、势能均增大,速度、动能均减小.
(2)振子在振动过程中能量怎样转化 机械能是否守恒
提示:(2)振子在振动过程中只有弹簧的弹力做功,动能与弹性势能相互转化,系统的机械能守恒.
1.平衡位置的物理量特点:位移、回复力、加速度和弹性势能为 ,速度和动能 .
2.最大振幅处的物理量特点:速度和动能为 ,位移、回复力、加速度和弹性势能 .
3.弹簧振子在振动过程中,系统的机械能 .
「知识整合」
零
最大
零
最大
守恒
[例3] (2025·广东肇庆期末)如图所示,把一个小球套在光滑细杆上,球与轻弹簧相连组成弹簧振子,小球沿杆在水平方向做简谐运动,它围绕平衡位置O在A、B间振动,下列结论正确的是(　 　)
[A] 小球在O位置时,动能最小,势能最大,加速度最小
[B] 小球在A位置时,动能最大,势能最小,加速度最大
[C] 从A经O到B的过程中,回复力先做正功后做负功
[D] 从B到O的过程中,回复力在减小,速度在增大,但振动的能量却不断减少
C
【解析】 振子经过平衡位置时,速度最大,位移为零,所以经过平衡位置时动能最大,势能最小,回复力为零,加速度为零,A错误;在A、B位置时,速度为零,动能为零,势能最大,位移最大,回复力最大,加速度最大,B错误;由于回复力指向平衡位置,所以振子从A经O到B的过程中,回复力先做正功,后做负功,C正确;振子的动能和弹簧的弹性势能相互转化,且总量保持不变,即振动的能量保持不变,D错误.
[思路点拨](1)O点为平衡位置,在平衡位置,加速度为零,速度最大,动能最大,弹性势能为零.
(2)从O到B,位移增大,速度减小,动能减小,弹性势能增大.
·规律总结·
简谐运动中各物理量的变化规律
如图所示,振子以O点为平衡位置在A、B之间做简谐运动,各物理量的变化规律为:
·规律总结·
物理量运动过程 A→O O→B B→O O→A
位移 大小 减小 增大 减小 增大
方向 O→A O→B O→B O→A
回复力、 加速度 大小 减小 增大 减小 增大
方向 A→O B→O B→O A→O
速度 大小 增大 减小 增大 减小
方向 A→O O→B B→O O→A
动能 增大 减小 增大 减小
势能 减小 增大 减小 增大
[训练4] (多选)(2025·广东潮州月考)如图所示为一个竖直放置的弹簧振子,物体沿竖直方向在A、B之间做简谐运动,O点为平衡位置,A点位置恰好为弹簧的原长.物体由C点运动到D点(C、D两点未在图上标出)的过程中,弹簧的弹性势能增加了3.0 J,重力势能减少了2.0 J.对于这段过程说法正确的有
(　 　)
[A] 物体的动能增加了1.0 J
[B] D点的位置在平衡位置以上
[C] D点的位置在平衡位置以下
[D] 物体经过D点时的运动方向可能指向平衡位置
CD
【解析】 由于系统机械能守恒,由弹簧的弹性势能增加了3.0 J,重力势能减少了2.0 J,则可知动能减少了1.0 J,A错误;由于由C点到D点,重力势能和动能都减少,所以D位置是在平衡位置以下,其速度可能减小到零,返回来又经过D位置,故物体经过D点时的运动方向可能向下,也可能指向平衡位置,故B错
误,C、D正确.
感谢观看第一节　简谐运动
[学习目标]　1.知道机械振动是运动的一种重要形式,认识简谐运动,了解弹簧振子做简谐运动的特点,进一步形成运动的物理观念.2.知道回复力、振幅、周期和频率的概念,知道周期和频率的关系.(重点) 3.知道简谐运动的能量特征,会根据回复力的特点判断某振动是否为简谐运动.
知识点一　简谐运动
情境导学
　教材图中小球和弹簧组成的系统在什么情况下可看成弹簧振子 在可看成弹簧振子的情况下,小球的运动有什么特征 如果小球最终停止运动,请问为什么
提示:一是弹簧的质量和小球相比可忽略,二是忽略小球与杆之间的摩擦阻力及空气阻力.小球在平衡位置两侧做等幅振动,其运动关于平衡位置对称.因为受到阻力的作用最终停止运动.
知识整合
1.机械振动:物体(或者物体的一部分)在某一中心位置(平衡位置)两侧所做的往复运动.
2.弹簧振子
(1)概念:小球和弹簧穿在光滑的水平杆上,使其能在杆上自由滑动,小球和水平杆之间的摩擦可以忽略不计,小球的运动可以看作质点的运动,这样的系统称为弹簧振子.
(2)条件.
①小球可以看作质点,弹簧的质量可以忽略.
②不计摩擦和空气阻力.
说明:弹簧振子是一种理想化模型.
3.回复力
(1)定义:能使振子返回平衡位置的力.
(2)大小:在弹性限度内,回复力的大小跟振子偏离平衡位置的位移x的大小成正比,即F=-kx.
(3)方向:指向平衡位置,总是跟振子偏离平衡位置的位移方向相反.
说明:对回复力的理解
①矢量:F=-kx,与位移方向相反.
②加速度:a=-x,加速度大小与位移大小成正比,方向与位移方向相反.
③效果:将振动的物体拉回平衡位置.
④回复力可以由某一个力提供,也可以是几个力的合力,还可以是某一个力的分力.
4.简谐振动:物体在跟平衡位置的位移大小成正比,并且总指向平衡位置的回复力的作用下的振动.
正误辨析
(1)机械振动是匀变速直线运动.(　×　)
(2)篮球自由落在地面上后的上下运动是一种机械振动.(　×　)
(3)平衡位置即弹簧振子在振动过程中振动方向上合力为零且小球速度最大的位置.(　√　)
(4)光滑斜面上,弹簧振子不可能做简谐运动.(　×　)
(5)回复力的大小与速度的大小无关,速度增大时,回复力可能增大,也可能减小.(　×　)
(6)回复力的方向在某些振动过程中可能与速度的方向相反,也可能与速度的方向相同.(　√　)
[例1] (多选)(2025·广东深圳联考)如图所示,弹簧下端悬挂一钢球,上端固定在天花板上,它们组成一个振动的系统.开始时钢球静止,现用手把钢球向上托起一段距离,然后释放,钢球便上下振动起来.若以竖直向下为正方向,下列说法正确的有(　　)
[A] 钢球运动轨迹的最低处为平衡位置
[B] 钢球原来静止时的位置为平衡位置
[C] 钢球振动到距原来静止位置下方3 cm处时位移为3 cm
[D] 钢球经过平衡位置后加速度不改变方向
【答案】 BC
【解析】 钢球的平衡位置为钢球原来静止时的位置,故A错误,B正确;钢球的位移为从平衡位置指向某时刻钢球所在位置的有向线段,以竖直向下为正方向,可知C正确;过平衡位置后,回复力改变方向,加速度也改变方向,故D错误.
[训练1] (多选)(2025·广东广州联考)如图所示,弹簧振子在光滑水平杆上的A、B两点之间做往复运动,其中O为平衡位置,下列说法正确的有(　　)
[A] 弹簧振子在运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力的作用
[B] 弹簧振子在O处受重力、支持力、弹簧弹力和回复力的作用
[C] 弹簧振子由A向O运动的过程中,回复力逐渐增大
[D] 弹簧振子由O向B运动的过程中,回复力的方向指向平衡位置
【答案】 AD
【解析】 回复力是根据力的作用效果命名的,不是做简谐运动的物体受到的具体的力,在此情境中弹簧振子受重力、支持力和弹簧弹力的作用,弹簧弹力提供回复力,且O处为平衡位置,弹簧弹力为零,故A正确,B错误;回复力与振子偏离平衡位置的位移的大小成正比,弹簧振子由A向O运动的过程中位移在减小,则在此过程中回复力逐渐减小,故C错误;回复力的方向总是指向平衡位置,故D正确.
知识点二　简谐运动的振幅、周期和频率
情境导学
　图甲描述了弹簧振子在9个连续的间隔相等的时刻偏离平衡位置O的位移,将图甲逆时针旋转90°得到图乙,用平滑的曲线把球心的位置连接起来,如图丙所示,便得到振动过程中小球相对平衡位置的位移与时间的关系图像.由此可知,做简谐运动的振子的位移与时间关系满足什么函数关系
提示:振子的位移—时间关系满足余弦函数关系.
知识整合
1.对简谐运动的理解
(1)函数关系:振子的位移—时间函数是正弦或余弦函数.
(2)全振动:振子经历的一个完整振动过程叫作一次全振动.
2.描述简谐运动的物理量
(1)振幅:物体振动时离开平衡位置的最大距离.
(2)周期:物体完成一次全振动所需要的时间,符号为T.
(3)频率:物体在一段时间内全振动的次数与所用时间之比,符号为f.周期与频率的关系为f=.
问题探究
如图,为一个水平弹簧振子,振动周期为T,振幅为A,O点为其平衡位置,B、C点为振动的最大位移处,E点与D点关于O点对称,且tOD=tDC,选取向右为正方向.
(1)振子向左经过D点开始,用图中字母如何表示一个全振动的过程 该过程的时间是多少 通过的路程是多少 位移是多少
(2)振子经历C→O→B过程的时间是多少 通过的路程是多少 在B处的位移是多少
(3)振子经历C→O、O→B两过程的时间分别是多少 通过的路程分别是多少 速度、加速度分别是如何变化的
(4)振子经历D→C→D、D→O→E过程的时间分别是多少 并说明通过的路程与振幅的大小关系.
提示:(1)DCDOEBEOD,时间t=T,路程s=4A,位移x=-OD.
(2)时间t=,路程s=2A,位移x=A.
(3)两个过程的时间、路程、位移大小都相同:时间t=;路程s=A;速度方向不变,先变大后变小,到B处时变为零;加速度在C→O的过程中方向向右,大小是由大变小,到O处时变为零,从O→B过程中,加速度方向向左,大小由零变大,到B处时最大.
(4)D→C→D过程:时间t=,路程sD→O→E过程:时间t=,路程s>A.
[例2] (2025·广东广州月考)如图所示,小球在A、B间做简谐运动,O为平衡位置,A、B间距离是20 cm,小球经过A点时开始计时,经过2 s首次到达B点,则(　　)
[A] 从O→B→O小球做了一次全振动
[B] 振动周期为2 s,振幅是10 cm
[C] 从B开始经过6 s,小球通过的路程是60 cm
[D] 从O开始经过3 s,小球处在平衡位置
【答案】 C
【解析】 小球从O→B→O只完成半个全振动,A错误;从A→B是半个全振动,用时2 s,所以振动周期是4 s,振幅A=AB=10 cm,B错误;因为t=6 s=T,所以小球通过的路程为4A+2A=6A=60 cm,C正确;从O开始经过3 s,小球处在最大位移处(A或B),D错误.
(1)全振动的“三个特征”.
①物理量:位移(x)、加速度(a)、速度(v)三者第一次同时与初始状态相同.
②时间:历时一个周期.
③路程:等于振幅的4倍.
(2)简谐运动中振幅与位移、路程、周期的关系.
振幅 与位移 ①振幅等于位移大小的最大值. ②同一简谐运动中振幅是确定的,而位移随时间做周期性变化
振幅 与路程 振动中的路程是随时间不断增大的,不同时间内路程与振幅的对应关系如下: ①t=T时,s=4A(t=nT时,s=n·4A,其中n=1,2,3,…). ②t=T时,s=2A. ③t=T时,可能有s=A、s>A、s振幅 与周期 在简谐运动中,振动系统的周期(或频率)是固定的,与振幅无关
[训练2] (多选)(2025·广东中山联考)如图所示,弹簧振子在B、C间做简谐运动,O为平衡位置,B、C间的距离是10 cm,弹簧振子从B→C的运动时间是1 s,则(　　)
[A] 振动周期是1 s,振幅是10 cm
[B] 从B→O→C振子做了一次全振动
[C] 经过两次全振动,振子通过的路程是40 cm
[D] 从B开始经过3 s,振子通过的路程是30 cm
【答案】 CD
【解析】 振子从B→C是半次全振动,故周期T=2×1 s=2 s,振幅A=OB==5 cm,故A错误;从B→O→C→O→B是一次全振动,故B错误;经过一次全振动,振子通过的路程是4A,经过两次全振动,振子通过的路程是2×4A=40 cm,故C正确;3 s时间内振子做了次全振动,路程是s=×4A=30 cm,故D正确.
[训练3] (2025·广东广州联考)如图所示,将振子从平衡位置下拉一段距离Δx,静止释放后振子在A、B间振动,且AB=20 cm,振子由A首次到B的时间为0.1 s,求:
(1)振子振动的振幅、周期和频率;
(2)振子由A首次到O的时间;
(3)振子从A开始计时,在5 s内通过的路程及偏离平衡位置的位移大小.
【答案】 (1)10 cm　0.2 s　5 Hz　(2)0.05 s
(3)1 000 cm　10 cm
【解析】 (1)由题图可知,振子振动的振幅为10 cm,
t=0.1 s=,所以T=0.2 s,由f=得f=5 Hz.
(2)根据简谐运动的对称性可知,振子由A首次到O的时间与振子由O首次到B的时间相等,均为=0.05 s.
(3)设振子振动的振幅为A,A=10 cm.振子在1个周期内通过的路程为4A,故在t=5 s=25T内通过的路程s=25×4×10 cm=1 000 cm.5 s内振子振动了25个周期,5 s末振子仍处在A点,所以振子偏离平衡位置的位移大小为10 cm.
知识点三　简谐运动的能量特征
情境导学
　如图,为水平弹簧振子,O点为平衡位置,B、C点为两个最大位移处.
请分析振子经历B→O、O→C的过程中:
(1)振子在振动过程中位移、回复力、速度、加速度、动能、势能都怎样变化
(2)振子在振动过程中能量怎样转化 机械能是否守恒
提示:(1)B→O(即衡位置)的过程中:振子的位移、回复力、加速度、势能均减小,速度、动能均增大;O→C(即远离平衡位置)的过程中:振子的位移、回复力、加速度、势能均增大,速度、动能均减小.
(2)振子在振动过程中只有弹簧的弹力做功,动能与弹性势能相互转化,系统的机械能守恒.
知识整合
1.平衡位置的物理量特点:位移、回复力、加速度和弹性势能为零,速度和动能最大.
2.最大振幅处的物理量特点:速度和动能为零,位移、回复力、加速度和弹性势能最大.
3.弹簧振子在振动过程中,系统的机械能守恒.
[例3] (2025·广东肇庆期末)如图所示,把一个小球套在光滑细杆上,球与轻弹簧相连组成弹簧振子,小球沿杆在水平方向做简谐运动,它围绕平衡位置O在A、B间振动,下列结论正确的是(　　)
[A] 小球在O位置时,动能最小,势能最大,加速度最小
[B] 小球在A位置时,动能最大,势能最小,加速度最大
[C] 从A经O到B的过程中,回复力先做正功后做负功
[D] 从B到O的过程中,回复力在减小,速度在增大,但振动的能量却不断减少
[思路点拨](1)O点为平衡位置,在平衡位置,加速度为零,速度最大,动能最大,弹性势能为零.
(2)从O到B,位移增大,速度减小,动能减小,弹性势能增大.
【答案】 C
【解析】 振子经过平衡位置时,速度最大,位移为零,所以经过平衡位置时动能最大,势能最小,回复力为零,加速度为零,A错误;在A、B位置时,速度为零,动能为零,势能最大,位移最大,回复力最大,加速度最大,B错误;由于回复力指向平衡位置,所以振子从A经O到B的过程中,回复力先做正功,后做负功,C正确;振子的动能和弹簧的弹性势能相互转化,且总量保持不变,即振动的能量保持不变,D错误.
简谐运动中各物理量的变化规律
如图所示,振子以O点为平衡位置在A、B之间做简谐运动,各物理量的变化规律为:
物理量运动过程 A→O O→B B→O O→A
位移 大小 减小 增大 减小 增大
方向 O→A O→B O→B O→A
回复力、加速度 大小 减小 增大 减小 增大
方向 A→O B→O B→O A→O
速度 大小 增大 减小 增大 减小
方向 A→O O→B B→O O→A
动能 增大 减小 增大 减小
势能 减小 增大 减小 增大
[训练4] (多选)(2025·广东潮州月考)如图所示为一个竖直放置的弹簧振子,物体沿竖直方向在A、B之间做简谐运动,O点为平衡位置,A点位置恰好为弹簧的原长.物体由C点运动到D点(C、D两点未在图上标出)的过程中,弹簧的弹性势能增加了3.0 J,重力势能减少了2.0 J.对于这段过程说法正确的有(　　)
[A] 物体的动能增加了1.0 J
[B] D点的位置在平衡位置以上
[C] D点的位置在平衡位置以下
[D] 物体经过D点时的运动方向可能指向平衡位置
【答案】 CD
【解析】 由于系统机械能守恒,由弹簧的弹性势能增加了3.0 J,重力势能减少了2.0 J,则可知动能减少了1.0 J,A错误;由于由C点到D点,重力势能和动能都减少,所以D位置是在平衡位置以下,其速度可能减小到零,返回来又经过D位置,故物体经过D点时的运动方向可能向下,也可能指向平衡位置,故B错误,C、D正确.
课时作业
(分值:85分)
(选择题每题6分)
知识点一　简谐运动的判断与理解
1.如图所示,下列四种场景中的运动一定不是简谐运动的是(　　)
[A] 　[B] [C] 　[D]
【答案】 C
【解析】 弹簧振子无论是在水平方向还是竖直方向的振动都是简谐运动,都满足F=-kx关系,选项A、B不符合题意;小球在斜面上做往复运动,回复力总是mgsin θ不变,不满足F=-kx关系,所以不是简谐运动,选项C符合题意;物体在水面上振动时,平衡位置满足mg=x0Sρg,若取x0以上为位移正方向,则当物体在平衡位置以下x位置时受到的回复力为F=-[(x+x0)Sρg-mg]=-ρSgx,满足F=-kx关系,是简谐运动,选项D不符合题意.
2.(多选)(2025·广东佛山校考)如图所示,弹簧振子在a、b两点间做简谐运动,在振子从平衡位置O点向a点运动的过程中(　　)
[A] 回复力在增大 [B] 速度在减小
[C] 位移方向向右 [D] 加速度方向向左
【答案】 AB
【解析】 振子从平衡位置O点向a点运动的过程中,位移由平衡位置指向振子所在位置,方向向左,位移不断增大;由 F=-kx可知振子受到的回复力向右且不断增大,加速度方向向右,速度方向向左且不断减小.故选AB.
3.如图所示,物体A置于物体B上,一轻质弹簧一端固定,另一端与B相连,在弹性限度范围内,A和B一起在光滑水平面上做往复运动(不计空气阻力),两者保持相对静止.下列说法正确的是(　　)
[A] A和B均做简谐运动
[B] 物体A受到重力、支持力和弹簧对它的弹力作用
[C] 物体A受到重力、支持力和物体B对它的恒定摩擦力作用
[D] 作用在A上的静摩擦力的大小与弹簧的形变量成反比
【答案】 A
【解析】 物体A和B一起在光滑的水平面上做往复运动,回复力F=-kx,都做简谐运动,故A正确;物体A受到重力、支持力和物体B对它的静摩擦力作用,设弹簧形变量为x,弹簧的劲度系数为k,物体A、B的质量分别为M、m,对A、B整体,根据牛顿第二定律有F=kx=(M+m)a,对物体A,根据牛顿第二定律有f=Ma=kx,可见,作用在物体A上的静摩擦力的大小与弹簧的形变量成正比,故B、C、D错误.
知识点二　简谐运动的振幅、周期和频率
4.周期为2 s的简谐运动,在半分钟内振子通过的路程是60 cm,则在此时间内振子经过平衡位置的次数和振子的振幅分别为(　　)
[A] 15次,2 cm [B] 30次,1 cm
[C] 15次,1 cm [D] 60次,2 cm
【答案】 B
【解析】 振子完成一次全振动经过轨迹上每点的位置均为两次(除最大位移处),而每次全振动振子通过的路程为4个振幅,则周期为2 s的简谐运动在半分钟内完成15次全振动,振子经过平衡位置的次数为30次,15×4A=60 cm,则振子的振幅为A=1 cm,故B正确.
5.(2025·广东广州期末)如图所示,由小球和弹簧组成的弹簧振子在光滑固定的斜面上做简谐运动,则小球(　　)
[A] 可能做匀变速运动
[B] 所需回复力仅由弹簧的弹力提供
[C] 在平衡位置时的速度最大
[D] 运动周期与振幅有关
【答案】 C
【解析】 简谐运动不是匀变速运动,其加速度是随时间变化的,故A错误;在题图所示情况下的简谐运动的回复力是由弹簧的弹力、支持力以及重力的合力提供的,故B错误;做简谐运动的小球在平衡位置合力为零,加速度为零,速度达到最大值,故C正确;题图中的简谐运动的周期与小球质量、弹簧的劲度系数有关,与振幅无关,故D错误.
6.(多选)(2025·广东广州校考)弹簧振子做简谐运动时,其相对平衡位置的位移随时间变化的频率为f,振幅为A.下列说法正确的有(　　)
[A] 振子的速度大小随时间变化的频率也为f
[B] 弹簧的弹性势能随时间变化的频率为2f
[C] 若振幅为2A,振子的加速度随时间变化的频率也为f
[D] 若振幅为2A,振子的动能随时间变化的频率也为f
【答案】 BC
【解析】 振子速度的大小半个周期改变一次,则速度大小随时间变化的频率为2f,A错误;弹簧的弹性势能半个周期改变一次,则弹性势能随时间变化的频率为2f,B正确;振子的加速度随时间变化的频率与位移随时间变化的频率相同,也为f,与振幅无关,C正确;振子的动能半个周期改变一次,则动能随时间变化的频率为2f,与振幅无关,D错误.
知识点三　简谐运动的能量特征
7.(2025·广东深圳校考)如图,为某鱼漂的示意图,鱼漂上部可视为圆柱体.当鱼漂受到微小扰动而上下振动,某人发现鱼漂向下运动时圆柱体上的M点恰好可以到达水面,向上运动时圆柱体上的N点恰好可以露出水面.忽略水的阻力和水面波动影响,鱼漂的振动为简谐运动,则(　　)
[A] 鱼漂振动过程中机械能守恒
[B] 鱼漂受到重力、浮力、回复力的作用
[C] M点到达水面时,鱼漂的动能最大
[D] N点到达水面时,鱼漂的动能最小,加速度最大
【答案】 D
【解析】 鱼漂振动过程中水的浮力做功,所以鱼漂的机械能不守恒,故A错误;鱼漂受到重力、浮力的作用,重力和浮力的合力为回复力,故B错误;M点到达水面时,鱼漂位于最低点,鱼漂的动能最小,为零,故C错误;N点到达水面时,鱼漂位于最高点,相对于平衡位置的位移最大,动能最小,合力最大,根据牛顿第二定律可知鱼漂的加速度最大,故D正确.
8.(多选)(2025·广东江门校考)如图所示,一轻弹簧上端悬于天花板上,下端悬挂一质量为m的小球,当弹簧处于原长时,将小球由静止释放.假设空气阻力可忽略不计,则下列说法正确的有(　　)
[A] 小球的运动是简谐运动,过程中重力和弹力都做功
[B] 当小球的加速度为零时,小球的动能最大
[C] 在运动过程中,小球的机械能守恒
[D] 小球运动到最低点时,弹簧对小球的弹力大小为2mg
【答案】 ABD
【解析】 小球受弹簧的弹力和重力,以平衡位置为起点,向下为正方向,在平衡位置处有kΔx1=mg,小球的位移x=Δx-Δx1,则其所受合力为F=-k·Δx+mg=-kx,可知小球的运动是简谐运动,且上下运动时,重力和弹簧的弹力都在做功,故A正确;当小球的加速度为零时,小球的速度最大,动能最大,B正确;由于弹簧弹力对小球做功,所以小球的机械能不守恒,C错误;小球到平衡位置时,弹簧的伸长量为Δx1=,根据对称性可知,小球到最低点时,弹簧的伸长量为Δx2=2Δx1=,此时弹簧的弹力大小F′=k·Δx2=2mg,D正确.
(选择题每题9分)
9.(多选)(2025·广东珠海期末)如图所示,一弹簧振子做简谐运动,下列说法正确的有(　　)
[A] 若位移为负值,则加速度一定为正值
[B] 振子通过平衡位置时,速度为零,位移最大
[C] 振子每次经过同一位置时,位移相同,速度也一定相同
[D] 振子每次通过同一位置时,其速度不一定相同,但位移一定相同
【答案】 AD
【解析】 振子受到的力指向平衡位置,振子的位移为负值时,受到的力为正值,振子的加速度为正值,故A正确;当振子通过平衡位置时,位移为零,速度最大,故B错误;振子每次通过同一位置时,速度大小相同,方向不一定相同,但位移一定相同,故C错误,D正确.
10.(多选)(2025·广东深圳期末)一个弹簧振子的振幅是A,若在Δt时间内物体运动的路程是s,则下列关系可能正确的有(包括一定正确的)(　　)
[A] Δt=2T,s=8A [B] Δt=,s=2A
[C] Δt=,s=2A [D] Δt=,s>A
【答案】 ABD
【解析】 因每个周期内所通过的路程为4A,半个周期通过2A,故A、B正确;又因振子在平衡位置附近速度比较大,故在时间内s有可能大于A,但不可能等于2A,故C错误,D正确.
11.(2025·广东广州期末)如图所示,质点在水平弹簧作用下做简谐运动,O点为平衡位置,取向右为正方向.质点在水平方向先后以相同的速度依次通过M、N两点,历时1 s,质点通过N点后再经过2 s第2次通过M点.下列说法正确的是(　　)
[A] 质点的振动周期为2 s
[B] 质点在M点和N点时,动能相同,系统势能也相同
[C] 质点在M、O之间时,偏离平衡位置的位移是负值,加速度为负值
[D] 质点的回复力与位移大小成正比,方向可能相同
【答案】 B
【解析】 由题意可知,质点从M到N用时1 s,则从O点到N点用时0.5 s,质点通过N点后再经过2 s第2次通过M点,可知从N点到右侧最远点需要的时间为0.5 s,则周期为4 s,A错误;由对称性可知,质点在M点和N点时,质点速度大小相等,则动能相同,弹簧的伸长量和压缩量也相等,则系统势能也相同,B正确;取向右为正方向,则质点在MO之间时,偏离平衡位置的位移是负值,加速度为正值,C错误;根据F=-kx可知,质点的回复力与位移大小成正比,方向相反,D错误.
12.(10分)(2025·广东肇庆期末)如图所示,一轻弹簧直立在地面上,其劲度系数为k=
200 N/m,弹簧的上端与小物块A连接在一起,下端固定在地面上.A的质量m=0.8 kg,g取
10 m/s2,不计空气阻力.先将A向上抬高使弹簧伸长4 cm后从静止释放,A在竖直方向做简谐运动.求:
(1)(5分)A的振幅;
(2)(5分)A的最大速率.
【答案】 (1)0.08 m　(2) m/s
【解析】 (1)振子在平衡位置时所受合力为零,设此时弹簧被压缩Δx,则有
kΔx=mg,
解得Δx=0.04 m,
开始释放时振子处在最大位移处,且弹簧伸长4 cm,故振幅A=0.04 m+0.04 m=0.08 m.
(2)振子在平衡位置时速率最大,平衡位置和弹簧伸长 4 cm处弹簧形变量相同,弹性势能相同,由机械能守恒定律得
Ep+mgA=mv2+Ep,
解得v= m/s.

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