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2025—2026学年度第二学期阶段练习
八年级数学习题
（考试时间：100分钟 满分： 100分）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 请在答题卷的相应区域答题.）
1．下列各组数中，不能构成直角三角形的是
A． B． C． D．
2．若代数式有意义，则实数x的取值范围是
A． B．且
C． D．且
3．已知的整数部分为a，小数部分为b，则的值为
A．30 B． C． D．
4．图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若 ，将四个直角三角形中的边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”则这个风车的外围周长是
A．44 B．51 C．76 D．
5．如图，菱形的对角线交于点O，且，则菱形的高的长是
A． B． C．5 D．以上都不对
6．下列说法中，①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形：②一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；③对角线互相平分的四边形是平行四边形；④两组对角分别相等的四边形是平行四边形．正确的个数是
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
7．如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时(即水平距离)，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳 索的长是
A． B． C． D．
8．如图，在中，，，，垂足为，，则的长为
A． B． C．6 D．
9． 有下列各式：①；②；③；④．
如果，，那么等式成立的是
A．①② B．①④ C．①③ D．①②④
10．如图，在正方形中，对角线与交于点O，点E，F分别为边，的中点，点M，N分别在线段，上移动（不与端点重合），且满足，则下列结论正确的是
A．四边形的面积不变 B．四边形可能为矩形
C．的度数不变 D．线段有最大值
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分. 请在答题卷的相应区域答题.）
11．如图，矩形的对角线相交于点，为上的一点，，，则的周长为__________．
12．如图，在□中，和的平分线交于点，且分别交直线于点、．若，，则的值是__________．
13．如图，在□中，相交于点O，点E，F在对角线上，有下列条件：①；②；③；④．其中一定能判定四边形是平行四边形的是__________．
14．如图，在中，，，，分别以各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为____________．
15．在□中，E，F分别是边，的中点．若，，，则□的面积是__________．
16．如图，在等边中，是的平分线，点E、P分别是上的动点．若，则的最小值是________________ ．
17．若实数x，y满足，则的值为__________．
18．如图所示，________．
三、解答题（本大题共6小题，满分46分. 请在答题卷的相应区域答题.）
19．（本小题6分）
计算：（1） （2）
20．（本小题6分）
如图，在□中，对角线、相交于点，，点是的中点，连接，过点作，交的延长线于点．
求证：四边形是矩形．
21．（本小题8分）
如图，四边形中，，，，，作于点E，交的延长线于点F．
（1）求证：四边形是正方形；
（2）求四边形的面积．
22．（本小题8分）
如图，在□中，对角线、相交于点，点E、F、G分别为线段、、的中点，连接、、．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若，请判断并证明四边形的形状．
23．（本小题8分）
【问题情境】
八年级某班学生学习勾股定理后，该班数学兴趣小组开展了实践活动，测得该学校一个四级台阶每一级的长、宽、高分别为，如图1所示．和是这个四级台阶两个相对的端点，若点处有一只蚂蚁，它想得到点处的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是多少？
（1）数学兴趣小组经过思考得到如下解题方法：如图2，将这个四级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则______________．
【变式探究】
（2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是，高是，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到与点相对的点处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？
【拓展应用】
（3）如图4，在（2）的条件下，在杯子内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，离杯子上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计）
24．（本小题10分）
小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：
；；
【类比归纳】
（1）填空： ， ．
（2）进一步研究发现：形如的化简，只要我们找到两个正数，使，即，那么便有： ．
【拓展提升】
（3）化简：（请写出化简过程）．2025—2026学年度第二学期阶段练习
八年级数学参考答案及评分标准
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D B C A B C A B A
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分.）
11. 12. 64 13. ①④ 14. 6 15.48 16.
17./ 18. 540
三、解答题（本大题共6小题，满分46分.）
19.（1）解：
…………………………………………1分
……………………………………………………2分
…………………………………………………………………3分
（2）解：
………………………4分
………………………………………5分
…………………………………………………………………6分
20.证明：□，
，，
，
，即 …………………………………………2分
点是的中点，，
是的中位线，
，
，
， ……………………………………………………………4分
，
四边形是矩形． ………………………………………………6分
【证明得为矩形也可得分.】
21.（1）证明：∵，，
∴，，
又∵，
∴四边形为矩形， ……………………………………………2分
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴， ………………………………………4分
∴，
∴四边形是正方形； ………………………………………5分
（2）解：由（1）得四边形是正方形，且，
∴四边形的面积等于正方形的面积，， ……6分
∵，，
∴， ………………………………………7分
∴正方形的面积为，
即四边形的面积为144． ……………………………………8分
22. 证明：（1）∵四边形是平行四边形，
∴，， ………………………………………1分
∵点E、F分别为线段、的中点，
∴是的中位线，
∴，， ……………………………………2分
又∵G为线段的中点，
∴， …………………………………………………3分
∴，，
∴ 四边形为平行四边形． ………………………………4分
（2）四边形为菱形. ……………………………………………5分
理由如下：
如图，连接，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴， ……………………………………………………6分
∵为的中点，
∴，
∵为的中点，
∴， ……………………………………………………7分
∵四边形为平行四边形，
∴四边形为菱形． ………………………………………8分
23. 解：（1）台阶平面展开图为长方形，长，宽，则蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长．可设蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程为，由勾股定理得：
，
解得：．
故答案为：25； ………………………………………………………1分
（2）将圆柱体侧面展开，如图：
由题意得：，， ………………3分
，
该蚂蚁爬行的最短路程厘米； ………………………………4分
（3）如图，将杯平面展开，作点纵向的对称点，连接，即为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程， ………………………………5分
，，，， ………………7分
根据勾股定理有：
，
蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程为． ………………8分
24. 解：（1）；； ……………………………（每空2分）4分
（2）； ……………………………………………………………6分
（3）
……………………………………8分
…………………………………………………………………10分

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