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十三中学2025-2026学年第二学期期中考试初二数学试卷
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1．下列二次根式中，是最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
2．下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
3．以下列各组线段为边，不能组成直角三角形的是( )
A. 3，4，5 B. 5，12，13 C. 1，1， D. 2，3，5
4．如图，△ABC中，点D，B分别是边AC，BC的中点，已知DE=6，则AB的长为( )
A.12 B.9 C.6 D.3
5．图1是第七届国际数学教育大会(TCME)的会缴，图2由主体图案中相邻两个直角三角形组合而成.当AB=BC=1，时，OC的长为( )
A. B. 2 C. D.
6．如图，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，则直线CD即为所求；根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是( )
A. 矩形 B.菱形 C.正方形 D.等腰梯形
7．如图，在四边形ABCD中,对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是( )
A. AB∥DC，AD∥BC B. AB=DC，AD=BC C. OA=OC，OB=OD D. AB∥DC，AD=BC
8．如图，数轴上的点A表示的数是1，OB⊥OA，垂足为O，且BO=1，以点A为圆心，AB为半径画弧交数轴于点C，则C点表示的数为( )
A. B. C. D.
9、古希腊儿何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦-秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a、b、c，记，那么三角形的面积s=，如图，在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，若a=5，b=6，c=7，则△ABC的面积为( )
A. B. C. 18 D.
10．如图，点P为平行四边形ABCD内任意一点，连结PA、PB、PC、PD，如果将△PAB、△PBC、△PDC、△PDA的面积分别记为S1、S2、S3、S4，那么以下结论正确的是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分．）
11．若有意义，则x的取值范围是 ；
12．如图，一棵树（树干与地面垂直）在离地面6m处折断，树顶落在离树干底部8m处，则这棵树在折断前（不包括树根）长度是 m.
13．一个多边形的内角和等于1080°，这个多边形是 边形．
14．如图，菱形ABCD的周长为24，，点E是AB的中点，点P是对角线BD上的一个动点，则PA＋PE的最小值是 ；
15．如图，在10×10的正方形网格中，△ABC的顶点在边长为1的小正方形的顶点上．若点C在网格所在的坐标平面内的坐标为（﹣1，1）．请你在图中找出点D，使以A、B、C、D四个点为顶点的四边形是平行四边形，满足条件的D点的坐标是 ；
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分）
16．计算：
17．如图，在 ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点分别作AE⊥BD， CF⊥BD，垂足为E、F.
求证：四边形AFCE是平行四边形.
18．如图，在四边形ABCD中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，
（1）求证：CD⊥AD；
（2）四边形ABCD的面积为 ；
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分．）
19．如图，将矩形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在点C'处，BC交AD于点E，AD=8，AB=4.
（1）求BE的长：
（2）求△BDE的面积．
20. 阅读下列材料：
；；；
请回答下列问题：
（1）计算： ＝ ；
（2）若n为正整数，请你猜想 ＝ ；
（2）请化简：
21．如图，四边形ABCD为平行四边形，对角线AC的垂直平分线EF分别交边AD，BC于点E，F，垂足为O．
（1）求证：四边形AFCE为菱形；
（2）在BC的延长线上取一点G，使CG=OC，连接OG，若F为BC的中点，且, AB=8，求△FOG的面积
五、解答题（三）（本大原2小题，共27分．请将下列各题的答案填写在答题卡相应的位置上）
22．课堂上，老师提问：求的最小值.
【新知探究】
（1）聪明的小明结合将军饮马和勾股定理的相关知识，利用构图法解出了此题，他的做法如下：
①如图，作一条长为16的线段CD；
②过C在线段CD上方作线段CD的垂线AC，使AC=3；过D在线段CD下方作线段CD的垂线BD，使BD=9；
③在线段CD上任取一动点O，设CO=x；
④根据勾段定理计算可得， ；BO= ；（请用含x的代数式表示，不需要化简）
⑤则AO+BO的最小值即为所求代数式的最小值，最小值为 ；
【新知应用】
（2）请结合第（1）问，直接写出的最小值 ；
【类比迁移】
（3）已知a，b均为正数，且a－b=4，求的最大值.
23．已知：正方形ABCD，E是BC的中点，连接AE，过点B作射线BM交正方形的一边于点F，交AE 于点O.
（1）如图1，若BF⊥AE,
①求证：BF=AE;
②请连接OD，写出OD与AB的数量关系，并证明；
（2）如图2，若正方形的边长为4，且BF=AF，求BO的长.

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