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海南华侨中学 2025-2026 学年九年级下学期第一次月考试题
数 学
（全卷满分 120 分，考试时间 100 分钟）
一、单选题（本大题满分 36 分，每小题 3分）
1．中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若收入 10元记作 10元，则支出 5
元可记作（ ）
A． 5元 B．5元 C． 10元 D．10元
2．当 x 1时，代数式 2x 2的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．科技创新型企业的不断涌现，促进了我国新质生产力的快速发展．以下四个科技创新型企业
的品牌图标中，为中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．2025年 5月，我国在西昌卫星发射中心成功将行星探测工程天问二号探测器发射升空，天
问二号探测器将对小行星 2016HO3和主带彗星 311P开启科学探测，其中一个目标所在轨道与
太阳间距将达到 3.74亿公里． 3.74亿 374000000，将 374000000用科学记数法表示为（ ）
A．0.374 109 B．3.74 108 C．3.74 107 D．374 106
5．下列计算正确的是（ ）
A． 2a 3a 5a2 B． 2x2 3 6x6
C 2．a2 a3 a5 D． x 2 x 2 x 2
6．图 1是通过平面图形的镶嵌所呈现的图案，图 2是其局部放大示意图，由正六边形、正方形
和正三角形构成，它的轮廓为正十二边形，则图 2中
ABC的大小是（ ）
A．90 B．120
C．135 D．150
7．如图 3是某动物园的平面地图，若海洋馆的位置用有序数对 5,6 表示，则数对 2,4 表示的
位置是（ ）
A．熊猫馆 B．孔雀馆 C．鸵鸟馆 D．金丝猴馆
试卷第 1页，共 7页
图 3 图 4
8．某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．如图 4是某品牌共享单车在水平地面上
的示意图，其中 AB，CD都与地面 l平行， BCD 60 ， BAC 54 ，AM 与CB平行，则 MAC
的度数为( )
A．114 B．66 C．60 D．16
9．李伟同学购买两张高铁车票，从如图 5所示的 5个座位中随机选择两个，则“李伟购买的车
票座位刚好都靠近窗户”的概率是（ ）
图 5
1 1 2 2
A． B． C． D．
10 20 25 5
10．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压 P（kPa）是气体体积
V（m3）的反比例函数，其图象如图 6所示，当气球内的气压大于 100kPa时气球将爆炸，为了
安全起见，气体的体积V （m3）应满足（ ）
V 5 0 V 5 6 6A． B． C．V D．0 V
6 6 5 5
11．飞速发展的高铁已成为现代化建设的重要标志，如图 7是高铁线路在转向处的圆弧，列车
在转弯时起点为 A，终点为 B，过点 A、B的两条切线相交于点 C，转角 为60 ．若圆的半径
OA 1.5km，则 AB长为（ ） km．
π π 3π 3π
A． B． C． D．
4 2 4 8
图 6 图 7
试卷第 2页，共 7页
12. 如图 8，某同学按如下步骤作四边形 ABCD：（1）画 MAN；（2）以点A为圆心，13cm长
为半径画弧，分别交 AM ， AN于点 B，D；（3）分别以点 B，D为圆心，13cm长为半径画弧，
两弧交于点C；（4）连接 BC，CD， BD．若 BD 10cm，则四边形 ABCD的面积为（ ）
A．65cm2 B．60cm2 C． 240cm2 D．120cm2
二、填空题（本大题满分 12 分，每小题 3 分）
13．请写出一个比 1小的无理数： ．
14．分解因式： x2 12x 36 ．
15．如图 9，O为△ ABC内角平分线的交点，过点 O作OM AB于点M．若 ACB 60 ，OM 2 ，
则OC的长为_________
16．如图 10，点 E在边长为 2的正方形 ABCD内，且 AE BE，点 F是边 AD的中点，点 G
是边 CD上的一动点，连接 EG，FG．
（1）当 AE BE，且DG GC时，四边形 AEGF的面积为 ；
（2）EG FG的最小值为 ．
图 8 图 9 图 10
三、解答题（本大题满分 72 分）
17．（满分 12分，每小题 6分）
1
2
（1）计算： 2 2 1 1 3 π 2028 0 （2）化简： a a b (a b)(a b)
5
18．（满分 10分）河南省自 2025年 1月 20日起实施家电以旧换新补贴．根据《实施细则》，一
级能效补贴比例为 20%，二级补贴15%，单件补贴不超过 2000元．小明家购买了一台一级能效
冰箱和一台二级能效电视机，共获补贴 1100元．电视机售价比冰箱低 2000元，且两件家电的
补贴均未达上限．求冰箱和电视机的售价．
试卷第 3页，共 7页
19．（满分 10分）在某校的“校园科技文化节”活动中，学校组织评委对七、八年级的所有参
与科技小制作活动的作品进行了评分．现从七、八年级的参赛作品得分中分别随机抽取了
20个得分（百分制且得分用 x表示），然后对抽取的数据进行整理和分析，共分为四组：
A : 60 x 70,B : 70 x 80,C : 80 x 90,D : 90 x 100，下面给出了部分信息．
抽取的七年级科技小制作的所有评分数据：
65，72，73，76，78，79，84，85，85，85，86，88，89，89，94，96，98，99，99，100．
抽取的八年级科技小制作的评分数据中 C组包含的所有数据：
86，87，87，87，88，88，89，89．
抽取的七、八年级科技小制作的评分统计表如图 11所示
图 11
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：a _________，b _________，m _________；
(2)根据以上数据，你认为哪个年级的科技小制作的水平更高一些？请说明理由；（写出一条
理由即可）
(3)若此次七年级参与科技小制作并进行评分的同学有 700名，八年级参与科技小制作并进
行了评分的同学有 800名，估计两个年级评分为优秀（D : 90 x 100）的学生总人数．
试卷第 4页，共 7页
20. （满分 10分）如图 12是一款手推婴儿车，图 13是该款婴儿车的车架示意图，M ，N
为半径均为10cm的圆形轮胎的圆心，后轮支架杆 BM 与地面所成的角为 45 ，主支架杆 BC与
BM 所成的角度为90 ，推手支架 AD的支点D恰好为BC的中点．已知 BM BC 40cm．
图 12 图 13
(1)求主支架杆C点距地面的高度．（结果精确到0.1cm）
(2)手推婴儿车的车把高度合适范围一般在85 95cm左右，即握把 A距地面的高度范围是
85 95cm．若推手支架 AD的长为60cm， ADB 82 ，则此手推婴儿车的车把是否符合要
求，请说明理由．（参考数据： 2 1.414，sin82 0.99， cos82 0.14， tan82 7.12，
sin37 0.60，cos37 0.80，tan37 0.75．）
试卷第 5页，共 7页
21．（满分 15分）如图 14，已知抛物线 y x 2 px q 与 x轴交于点 A 1,0 、B 3,0 与 y
轴交于点C．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点D的坐标为 1,0 ，点 P为第一象限内抛物线上的一点，其横坐标为 t，设四边形 BDCP
的面积为S，若S与 t之间的函数关系式为 S at 2 bt c，求 a、b、 c的值；
(3)在（2）条件下，函数 S at 2 bt c (t ≥0)的图象记为G1，函数 S at2 bt c (t 0)的
图象记为G2 ，图象G1、G2 合起来得到的图象记为G．
①当 5 t 3时，求图象G所表示的函数的最大值；
②已知线段MN的两个端点坐标分别为M m,n 、N m 1,n ．若 3 m 3．当图象G能
够与线段MN有两个公共点时，直接写出 n的取值范围．
图 14
试卷第 6页，共 7页
22．（满分 15分）四边形 ABCD是正方形，E、F 分别是CD，BC边上两点，且满足DE CF，
连接 AE和DF交于G，连接 BG．
图 15-1 图 15-2 图 15-3
(1)【探究发现】如图 15-1，数学兴趣小组探究发现，无论点 E在何处，总有 AE DF，且
AE DF，请证明这个结论．
(2)【探究发现】当 E是CD边中点，经过度量后发现BG AB，兴趣小组的同学经过自主探
究后，小明和小雅各给出了一种方法．
小明思路：延长DF和 AB交于 P，可证得 PBF≌ DCF，可得 B是 AP中点，即GB是
Rt△AGP斜边中线，所以BG AB．
小雅思路：过 B作BH AE于 H ，延长 BH 交 AD于K，可证得 AK DK，可得 H 是 AG中
点，得到 BH 是 AG的垂直平分线，所以 BG AB．
请你在小明和小雅的方法中选择其中一种写出证明过程.
CE BF 1 BM 1
(3)【类比应用】如图 15-2，若 ，M 是 AB边上一点，且 ，连接MG，
DE CF 2 AB 4
请类比上面的其中一种方法证明 AM GM ．
CE BF BM
(4)【拓展应用】如图 15-3，若 n(n 1)，M 是 AB延长线上一点，当 ______
DE CF AB
时 (用含 n的式子表示 )， AM GM ．（无需证明）
试卷第 7页，共 7页《2025-2026 学年九年级第一次月考测试卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C D B C D A B A C
题号 11 12
答案 B D
13 2． （答案不唯一）
2
14． x 6 2 / 6 2 x
15．4
16． 1 ; 10 1 / 1 10
【详解】解：（1）取 AB的中点 H，连接 EH，
∵AE⊥EB，AE=EB，
∴EH垂直平分 AB，E为正方形 ABCD的中心，
又 DG=GC，
∴G，E，H三点共线，
∴GH⊥AB，
∵AD⊥AB，
∴AD∥EG，
∵F，E分别是 AD，GH的中点，
∴GE=AF，
∴四边形 AFGE为平行四边形，
∴四边形 AEGF的面积为 1×1=1．
故答案为：1；
（2）由 AE BE，可知点 E在以 AB为直径的圆 O上运动，作点 F关于 CD的对称点 F ，
连接 F O，
∵ F G FG，
∴FG+GE= F G+GE≥ F E，
当 F ，G，E三点共线时，FG+GE有最小值，
在 Rt AOF 中，
OF AO2 AF 2 12 32 10，
∴ F E = 10 1，
即 FG+GE最小值为 10 1．
故答案为： 10 1．
17．(1) 2 2 (2) ab- 2
18．冰箱售价为 4000元，电视机售价为 2000元
解：设冰箱售价为 x元，电视机售价为 x 2000 元；
根据购买冰箱和电视机，共获补贴 1100元，列得方程：
x 20% x 2000 15% 1100，
解方程得： x 4000，
x 2000 2000，
答：冰箱售价为 4000元，电视机售价为 2000元．
19．(1)87，85，20
(2)八年级的科技小制作的水平更高一些，见解析
(3)两个年级评分为优秀的学生总人数约为370名
20．(1)66.6cm
(2)符合要求，理由见解析
（1）解：连接CM，
BC BM，BM BC 40cm，
BMC 45 ，MC 40 2cm
由题意得 BMN 45 ，
CM MN，
点C到地面的距离为： 40 2 10 66.6cm；
（2）解：过点D作PQ∥MN交CM于点Q，作 AE DP于点 E，
CBM 90 ， BMN 45 ，
PDB 45 ，
ADB 82 ，
ADP 37 ．
sin37 AE AE 0.60，
AD 60
AE 36.0，
D是CB的中点，
CD 20，
CQ 10 2，
点 P到地面的距离为：36 40 2 10 2 10 88.4cm ，符合要求．
21．(1) y x2 2x 3
3 9
(2)a= ，b= ，c=3
2 2
51 51
(3)①当 5 t 3时，图象G所表示的函数的最大值为12；② n 6或6 n
8 8
（1）解：∵抛物线 y x 2 px q 与 x轴交于点 A 1,0 、 B 3,0 ，
1 p q 0
∴
9
，
3p q 0
p 2
解得 q 3 ，
∴该抛物线的解析式为 y x2 2x 3．
故答案为： y x2 2x 3；
（2）解：如图，连接 BC，过点 P作 PH x轴于点 H ，交 BC于点G，
∵抛物线 y x2 2x 3与 y轴交于点C，
∴点C的坐标为（0,3），OC 3，
又∵点 B的坐标为 3,0 ，
∴直线 BC的解析式为 y x 3，
∵ PH x轴于点H ，交 BC于点G，点 P为第一象限内抛物线上的一点，其横坐标为 t，
∴H t,0 ，G t, t 3 ， P t, t 2 2t 3 ，
∴OH t，OB 3，
PG t2 2t 3 t 3 t2 3t，
S 1 PG OB 3∴ BCP t 2 3t ，2 2
又∵四边形 BDCP S S S
1 1
的面积 BCD BCP ， S BCD BD OC 3 1 3 3，2 2
∴ S 3
3
t 2 3t 3 t 2 9 t 3，2 2 2
又∵S与 t之间的函数关系式为 S at 2 bt c，
a 3 9∴ ，b ， c 3；
2 2
（3）解：①由 2 知a 3 9 ，b ， c 3，
2 2
3 9 2
∴G1的解析式为 S t 2 t 3
3 3 51
t (t ≥0)；G2 的解析式为
2 2 2 2 8
S 3
2
t 2 9 3 3 51 t 3 t

(t 0)；2 2 2 2 8
∴G1的对称轴为 x 3，G2 的对称轴为 x 3，
∴当 t
3 51
5时，G1取最小值为 S 57，当 t 时，G1取最大值为 S ；2 8
t 3 51当 5时，G2 取最大值为 S 12，当 t 时，G2 2
取最小值为 S ；
8
∵图象G1、G2 合起来得到的图象记为G，
∴当 5 t 3时，图象G所表示的函数的最大值为12；
②∵线段MN的两个端点坐标分别为M m,n 、 N m 1,n ，
∴MN 1且MN x轴，
3
∵G1的对称轴为 x ，2
∴由抛物线的对称性可知m
3 1
1时，MN与G
2 2 1
恰好有两个交点，此时
n 3 22 9 2 3 6，
2 2
51
∴当6 n 时，MN与G1恰好有两个交点；8
x 3∵G2 的对称轴为 ，2
3 1
∴由抛物线的对称性可知m 2时，MN与G2 恰好有两个交点，此时2 2
n 3 2 2 9 2 3 6，
2 2
51
∴当 - n 6时，MN与G2 恰好有两个交点；8
MN n 51综上所述，当图象G能够与线段 有两个公共点时， 的取值范围是 - n 6或
8
51
6 n ．
8
22．(1)(2)(3)见解析
n 1
(4)
2
（1）证明：∵四边形 ABCD为正方形，
∴ AD CD， ADE DCF 90 ，
∵在Rt ADE和Rt DCF中，
AD CD

ADE DCF 90 ，

DE CF
∴Rt ADE≌Rt DCF SAS ，
故 AE DF ， DEA CFD，
CDF CFD 90 ，
CDF DEA 90 ，
即 DGE 90 ，
即无论点 E在何处，总有 AE DF，且 AE DF．
（2）思路 1：延长DF和 AB交于 P，可证得 PBF≌ DCF，可得 B是 AP中点，即GB是
Rt△AGP斜边中线，所以BG AB．
思路 2：过 B作BH AE于 H ，延长 BH 交 AD于K，可证得 AK DK，可得 H 是 AG中点，
得到 BH 是 AG的垂直平分线，所以 BG AB．
（3）证明：法①：
如图 2所示，延长DG、 AB交于点 N，
CD∥BN，
CDF∽ BNF，
BN BF 1
，
CD CF 2
设 BF a，CF 2a，则CD AB BC 3a ，
BM 1 ，
AB 4
BM 1 3 3 9 1 3 AB a， AM 3a a， BN CD a，
4 4 4 4 2 2
故MN BM BN
9
a AM ，即M 为 AN的中点，
4
又 AGN 90 ，
GM 为Rt AGN 的中线，
AM GM ．
法②：
作MQ AG于点Q，交 AD于点 P，反向延长 PM 交CB的延长线于
点 N，如图 2a所示，
则 PN∥DF，DP FN ，
∴四边形DPNF为平行四边形，
∴ PD NF．
BM 1 ，
AB 4
设 BM a， AB 4a， AM = 3a ．
1 4
BF BC a．
3 3
AP∥BN ，
PAM∽ NBM ，
AP AM
3，设 BN x，
BN BM
4
故 AP 3BN 3x， NF BN BF x a．
3
PD NF，
AD AP PD 3x x 4 a 4a，
3
2
解得 x a ，
3
故 PD
4
x a 2a， AP 4a 2a 2a，
3
即 PD AP，
∵ PQ DG，
AQ AP
∴ 1QG PD ，
即 AQ QG，
∴点Q为 AG的中点，
∴MQ为线段 AG的中垂线，
AM GM ．
（4）解：如图3所示，作MQ AE于点Q，交 AD于点 P，交 BC于点 R，
CE BF n n 1 ，
DE CF
AB CD BC AD n 1 DE 1，即DE AB．
n 1
RB∥PA，
BM
RBM∽ PAM ，设 m，
AB
BM RB m m 1
， AP RB ．
AM AP m 1 m
AM GM ，
Q为 AG的中点，从而 P为 AD的中点，
1 m 1
AP DP AB RB ．
2 m
RB m故 AB2 m 1 ，
则 FR BC CF RB
n 1 DE m DE AB
2 m 1
n
AB m AB
n 1 2 m 1 ，
∵MQ AE， AE DF，
∴DF∥PR，
RB∥PA，
∴四边形DPRF为平行四边形，
∴DP FR，
1
AB n m AB AB
2 n 1 2 m 1 ，
1 n m
即 2 n 1 2 m 1 ，
n 1 m
整理可得 ，
n 1 m 1
m n 1解得 2 ．
n 1
故答案为： ．
2

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