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2025-2026学年度第二学期期中测试九年级数学
一、选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)
1．（3分）为响应“体重管理年”有关倡议，嘉嘉对自己的体重进行了统计，若体重增加2kg记为+2kg，则体重减少1kg应记为（　　）
A．+1kg B．﹣1kg C．+2kg D．﹣2kg
2．（3分）如图的几何图形，是由（　　）旋转形成的．
A． B． C． D．
3．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．2a 3a2＝6a3 B．（3a2）3＝9a6
C．（﹣5）2＝﹣25 D．2x2+x2＝3x4
4．（3分）南梁革命纪念馆位于甘肃省庆阳市华池县南梁镇，是为纪念老一辈无产阶级革命家创建的我国西北第一个红色政权——陕甘边区苏维埃政府而建立的．纪念馆总占地面积约160000平方米，数据160000用科学记数法表示为（　　）
A．1.6×103 B．1.6×104 C．1.6×105 D．1.6×106
5．（3分）如图是梯子两梯腿张开的示意图，AB＝AC＝2米，梯腿与地面的夹角∠ACB＝θ，则梯子顶端离水平地面的高度AD可表示为（　　）
A．2sinθ米 B．2cosθ米 C．米 D．米
6．（3分）已知（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）为直线y＝﹣2x+3上的三个点，且y1＞y2＞y3，则以下判断正确的是（　　）
A．若x1x2＞0，则y1y3＞0 B．若x1x3＜0，则y1y2＞0
C．若x2x3＞0，则y1y3＞0 D．若x2x3＜0，则y1y2＞0
7．（3分）如图，四边形ABCD是矩形，E为BC边上一点，将矩形ABCD沿AE向上折叠，使点B落在DC边的点F处．若△AFD的周长为18，AF＝3EF，则矩形ABCD的周长为（　　）
A．16 B．20 C．24 D．48
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A在反比例函数上，顶点B在反比例函数y＝上，点C在x轴的正半轴上，则平行四边形OABC的面积是（　　）
A． B． C．4 D．6
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．（3分）若﹣xm+3y与2x4yn+3是同类项，则（m+n）2022＝　 　 ．
10．（3分）把多项式4ax2﹣4ay2分解因式的结果是 　 　 ．
11．（3分）已知方程x2﹣10x+21＝0的根为x1＝3，x2＝7，则方程（2x﹣1）2﹣10（2x﹣1）+21＝0的根是 　 　 ．
12．（3分）如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，分别以OA，OB长为半径，圆心角∠O＝120°形成的扇面，若OA＝3m，OB＝1.5m，则阴影部分的面积为 　 　 ．
13．（3分）正五边形绕着它的中心旋转后与它本身完全重合、最小的旋转角度数是 　 　 ．
14．（3分）如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆上两点，且满足∠ADC＝120°，BC＝2，则的长为 　 　 ．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．（6分）先化简，再求值：，其中x＝3．
16．（6分）某校举行班级歌咏比赛，备选歌曲有《我爱你，中国》《歌唱祖国》《我和我的祖国》（分别用字母A，B，C依次表示这三首歌曲）．比赛时，将A，B，C这三个字母分别写在3张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，
（1）若随机从三张卡片中抽取一张，则正面恰巧是字母A的概率是　 　 ；
（2）若九年级（1）班班长先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由九年级（2）班班长从中随机抽取一张卡片，然后进行比赛，用树状图或列表的方法求出九年级（1）班和（2）班抽中不同歌曲的概率．
17．（6分）列方程解应用题
甲、乙两队相约沿相同的路线徒步，甲队步行速度为4km/h，乙队步行速度为6km/h，甲队出发1h后，乙队才出发．问乙队需要多长时间可以追上甲队？
18．（6分）已知：如图，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，AN是△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E．求证：四边形ADCE是矩形．
19．（6分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝AD，对角线AC，BD相交于点O，AC平分∠BAD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）过点C作AB的垂线交AB的延长线于点E．若BD＝6，tan，则CE＝　 　 ．
20．（9分）图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A、B均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按下列要求画图，所画图形的顶点均在格点上．
（1）在图①中以线段AB为边画一个面积为6的平行四边形ABCD；
（2）在图②中以线段AB为边画一个面积为12的菱形ABEF；
（3）在图③中以线段AB为边画一个正方形ABGH．
21．（9分）下面是权威机构公布的一组反映世界人口的数据：
1960年世界人口为30亿，14年后（即1974年）增加了10亿，即达到40亿；又过了13年达到50亿；到1999年全世界人口达到60亿．人口学专家预测到2100年，世界人口将达到103.5亿．
有一位同学根据以上提供的数据制作了三幅统计图，请根据这些统计图回答问题．
（1）从哪幅统计图中最能看出世界人口的总体变化情况？
（2）预计2100年非洲人口大约将达到多少亿？你是从哪幅统计图中得到这个数据的？
（3）预计2100年亚洲人口比拉丁美洲和加勒比地区、欧洲、北美洲、大洋洲的人口总和还要多，从哪幅统计图中可以明显地得到这个结论？
22．（9分）甲、乙两车分别从B，A两地同时出发，甲车匀速前往A地，到达A地后停止；乙车匀速前往B地，到达B地立即以另一速度按原路匀速返回到A地，返回到A地时停止．设甲、乙两车距A地的路程为y（千米）乙车行驶的时间为（时），y与x之间的图象如图所示．
（1）乙车从B地返回A地的速度是　 　 千米/时；
（2）乙车到达B地时甲车距A地的路程是　 　 千米；
（3）求乙车返回前甲、乙两车相距40千米时乙车行驶的时间．
23．（9分）【直接运用】（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是弧CD上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是 　 　 ；
【构造运用】（2）如图2，在平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝6，∠A＝120°，点F、点N分别为CD、AB的中点，点E在边AD上运动，将△EDF沿EF折叠，使得点D落在D′处，连接BD′，点M为BD′中点，求MN的最小值；
【灵活运用】（3）如图3，已知正方形ABCD的边长为6，点M、N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿边BC、CD方向向终点C和D运动，连接AM和BN交于点P，求点P到点C的最短距离，并说明理由．
24．（12分）综合与实践
【问题情境】在校园运动会开幕式中，如图1，运动会火炬手小明需要用火种点燃的箭头，然后射向距离发射点水平距离为70米、距地面的竖直高度为20米处的一个点火台上，已知点火台是一个弓形，其中AB＝4米，且EF垂直平分AB．这支箭（大小忽略不计）飞行的轨迹可以看作是抛物线的一部分．记这支箭飞行的水平距离为d（单位：m），距地面的竖直高度为h（单位：m）获得的数据如表：
【问题解决】
（1）k的值为　 　 ；
d/m 0 10 20 30 40 50 60 70
h/m 1.5 10.5 17.5 22.5 25.5 26.5 25.5 k
（2）在平面直角坐标系中，描点（70，k），并用平滑的曲线将8个点依次连接；
（3）求出h与d的函数解析式；
（4）小明射出的箭的运动轨迹与线段AB有公共点时，说明这支箭就可以射入点火台内了，请判断小明射出的箭是否射入了点火台内？说明理由．
九年级数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D A C A D C C
9．
1．
10．
4a（x+y）（x﹣y）．
11．
x1＝2，x2＝4．
12．
．
13．
72°．
14．
．
15．
解：
＝
＝
＝，
当x＝3时，原式＝．
16．
解：（1）因为有A，B，C，3种等可能结果，所以随机从三张卡片中抽取一张，则正面恰巧是字母A的概率是；
故答案为：．
（2）根据题意，画树状图如图所示，
由树状图可知：九年级（1）班和（2）班抽中不同歌曲的概率为．
17．
解：假设乙队需要x小时可以追上甲队，
可列方程6x＝4（x+1），
解得x＝2，
故乙队需要2h可以追上甲队．
18．
证明：∵AD⊥BC，CE⊥AN，
∴∠ADC＝∠AEC＝90°，
∵AB＝AC，
∴，
∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，
∴，
∴，即∠DAE＝90°，
∴四边形ADCE是矩形．
19．
（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠CAB＝∠DCA，
∵AC为∠DAB的平分线，
∴∠CAB＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴AD＝CD，
∵AB＝AD，
∴AB＝CD，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，BD＝6，
∴OA＝OC，OB＝OD＝BD＝3，BD⊥AC，
∴∠AOB＝90°，
∴tan∠OAB＝，
∴OA＝OB＝×3＝4，
∴AC＝2OA＝8，AB＝＝5，
∵CE⊥AB，
∴S菱形ABCD＝AB CE＝AC BD＝×8×6＝24，
即5CE＝24，
∴CE＝，
即CE的长为，
故答案为：．
20．
解：（1）如图①中，四边形ABCD即为所求；
（2）如图②中，四边形ABEF即为所求；
（3）如图③中，四边形ABGH即为所求．
21．
解：（1）从折线统计图中看出世界人口的总体变化情况；
（2）2100年非洲人口大约为39.2亿，条形统计图中可得到这一数据；
（3）预计2100年亚洲人口比拉丁美洲和加勒比地区、欧洲、北美洲、大洋洲的人口总和还要多，是从扇形统计图中得到这个结论．
22．
解：（1）由图象可得：乙车从A地到B地的速度为：180÷1.5＝120（千米/时），
∴120m＝300，
解得：m＝2.5，
∴乙车从B地返回A地的速度是300÷（5.5﹣2.5）＝300÷3＝100（千米/时），
故答案为：100；
（2）由图象可得：甲车的速度为：（300﹣180）÷1.5＝120÷1.5＝80（千米/时），
∴乙车到达B地时甲车距A地的路程是300﹣2.5×80＝300﹣200＝100（千米），
故答案为：100；
（3）乙车返回前甲、乙两车相距40千米时，
设乙车行驶的时间为t小时，
甲乙两车相遇之前：80t+120t+40＝300，
解得：t＝1.3，
甲乙两车相遇之后：80t+120t﹣40＝300，
解得：t＝1.7，
综上所述，乙车返回前甲、乙两车相距40千米时，乙车行驶的时间为1.3小时或1.7小时．
23．
解：（1）如图，取BC的中点O，连接AO，
，
则当点A、P、O在同一直线上时，AP的值最小，
∵AC＝BC＝2，
∴，
由勾股定理得：，
∴AP的最小值＝，
故答案为：；
（2）如图，连接AD′，AF，
，
∵点N为AB的中点，点M为BD′的中点，
∴MN为△ABD′的中位线，
∴，
∴当AD′最小时，MN最小，
∵F为CD的中点，四边形ABCD为平行四边形，
∴，
由折叠的性质可得：DF＝D′F，
∴点D′在以F为圆心，以DF＝2为半径的圆上运动，且点D′在平行四边形ABCD内部，
∵AD′≥AF﹣D′F，
∴当A、D′、F共线时，AD′最小，即为AF﹣D′F的值，
作FH⊥AD于H，
∵四边形ABCD为平行四边形，∠A＝120°，
∴∠FDH＝60°，
∴，
∴AH＝AD﹣DH＝6﹣1＝5，，
∴，
∴AD′的最小值＝，
∴MN的最小值＝；
（3）如图，取AB的中点O，连接OP、OC、PC，
，
∵点M、N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿边BC、CD方向向终点C和D运动，
∴BM＝CN，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝6，∠ABM＝∠BCN＝90°，
在△ABM和△BCN中，
，
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠BAM＝∠CBN，
∵∠ABN+∠CBN＝90°，
∴∠ABN+∠BAM＝90°，
∴∠APB＝90°，
∴点P在以AB为直径的⊙O上运动，
∵，
∴，
∵PC≥OC﹣OP，
∴PC的最小值为，
∴点P到点C的最短距离为．
24．
解：（1）∵这只箭飞行的轨迹可以看作是抛物线的一部分，
根据表格数据d＝40与d＝60时的函数值相等，
∴对称轴为直线d＝50，
∴d＝70与d＝30时的函数值相等，
∵当d＝30时，h＝22.5，
∴当d＝70时，k＝22.5，
故答案为：22.5；
（2）如图即为所求；
（3）依题意可知，抛物线的顶点坐标为（50，26.5），
∵这支箭（大小忽略不计）飞行的轨迹可以看作是抛物线的一部分，
∴设二次函数的解析式为h＝a（d﹣50）2+26.5，
当d＝40时，h＝25.5，
∴a（40﹣50）2+26.5＝25.5，
解得：a＝﹣0.01，
∴二次函数的解析式为h＝﹣0.01（d﹣50）2+26.5，
（4）小王不能将这支箭射入圣火台；理由如下：
∵水平距离为70米、距地面的竖直高度为20米处的一个点火台上，已知点火台是一个弓形，其中AB＝4米，EF垂直平分AB，
当d＝68时，得：h＝﹣0.01×（68﹣50）2+26.5＝23.26＞20，
当d＝72时，得：h＝﹣0.01×（72﹣50）2+26.5＝21.66＞20，
∵23.26＞21.66＞20，
∴箭的轨迹在点火台的上方，
∴小王不能将这支箭射入圣火台．

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