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2026年四川省眉山市中考一模考试数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.比小的有理数是（ ）
A. B. C. 4 D. 0
2.年春假期间，许多家长热衷于带孩子参观各地博物馆增长见识．下列博物馆标志，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3.二氧化碳灭火器是一种常用的消防器材．实验课上小文将一根燃着的木条伸入充满二氧化碳的集气瓶中，该木条熄灭是（）
A. 不可能事件 B. 随机事件 C. 必然事件 D. 无法确定
4.将一个三角板如图放置，直线，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
5.下列计算结果正确的是（）
A. B. C. D.
6.《算学宝鉴》中记载了这样一个问题：“门厅一座，高广难知.长竿横进，门狭四尺.竖进过去，竿长二尺，两隅斜进，恰好方齐.”大意为：现有一个门，不知道它的宽度和高度，如果拿支长竹竿横着过，门的宽度比竹竿的长度少四尺，拿竹竿竖着过，竹竿的长度比门的高度多二尺，沿对角线斜着进，恰好通过，问门的高度是（　　）
A. 7尺 B. 8尺 C. 9尺 D. 10尺
7.如图是一款符合国标的可供学生午休的躺椅简化结构示意图，已知椅座平行于地面，支点到地面的距离为米，靠背的长为米．若，则点到地面的距离的长是（ ）
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
8.如图1，2025年首届具身智能机器人运动会在江苏省无锡市举办．某研发公司为了测试某新型智能机器人的竞速跑情况，在一条笔直的跑道上设置了甲、乙、丙三个测试点．该机器人从甲处以1.5m/s的速度匀速跑到乙处，停留一会儿后，再以2m/s的速度匀速跑到丙处，停留15s后，从丙处匀速返回甲处．该机器人离测试点甲的距离y（m）与离开测试点甲的时间x（s）之间的关系如图2所示，下列说法错误的是（ ）
A. 该机器人从测试点甲到测试点乙用了20s
B. 该机器人在测试点乙处停留了10s
C. 测试点乙与测试点丙之间的距离为60m
D. 该机器人从测试点丙返回到测试点甲的速度为2.7m/s
9.已知二次函数的图象与轴交于点，顶点坐标为且．下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C. 当和时，函数的值相等
D. 函数与的图象总有两个不同的交点
10.如图，在正方形中，点、分别在边、上，于点，交于点，于点，交的延长线于点，连接．下列四个结论：①；②；③；④若，则．正确的是（ ）
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.因式分解 ．
12.若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是 ．
13.已知关于的方程的一个根是5，则它的另一个根是
14.如图，是的切线，A，B为切点，是的直径，，则的度数为 ．
15.如图，中，，点为的中点，动点从点出发沿运动到点，设点的运动路程为，的面积为，与的函数图象如图所示，则的长为 ．
三、计算题：本大题共2小题，共20分。
16.计算：
(1) ；
(2)
17.解不等式组：并写出该不等式组的所有整数解．
四、解答题：本题共7小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题10分)
如图，在中，于点，．
(1) 在线段上求作一点，使得（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2) 在（1）的条件下，连接，若，求的长．
19.(本小题15分)
某校举办了以“循迹竞速赛”为主题的编程比赛．为评估不同年级学生的编程与逻辑思维水平，从七、八年级各随机抽取10个小组参赛，记录其机器人完成比赛的时间用（单位：秒，用时越短成绩越好）表示，分为三组：（优秀）； B．（良好）； C．（合格），根据调查结果给出了部分信息：七年级10个小组的完成时间是：7，9，8，10，10，10，11，10，12，12．八年级10个小组的完成时间在B组中的数据是：9，10，9，9．八年级抽取的小组比赛完成时间扇形统计图如下图．根据以上信息，解答下列问题：
年级 平均数 中位数 众数
七年级 9.9 10
八年级 9.9 9
(1) 填空： ， ， ；
(2) 根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生在此次比赛中表现更好？请说明理由．
(3) 若学校要从七、八年级的优秀小组中随机抽取2个小组代表学校参加区级比赛．请你用列表法或画树状图法，求出被选中的两个小组恰好是七、八年级各一个的概率．
20.(本小题10分)
如图，在中，，以为直径作，点为中点（点在的异侧），连接交于点，连接．
(1) 求证：；
(2) 若，求证：．
21.(本小题10分)
如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．
(1) 求反比例函数与一次函数的解析式；
(2) 过点作轴的垂线，将一次函数的图象向上平移，交轴于点，交直线于点，连接．当是以为腰的等腰三角形时，求平移的距离．
22.(本小题10分)
（2022·聊城中考）为了解决雨季时城市内涝的难题，我市决定对部分老街道的地下管网进行改造．在改造一段长3600米的街道地下管网时，每天的施工效率比原计划提高了20%，按这样的进度可以比原计划提前10天完成任务．
(1) 求实际施工时，每天改造管网的长度；
(2) 施工进行20天后，为了减少对交通的影响，施工单位决定再次加快施工进度，以确保总工期不超过40天，那么以后每天改造管网至少还要增加多少米？
23.(本小题15分)
如图，在菱形中，点在边上，将沿翻折得到，连接．
(1) 如图1，当直线时，判断的形状；
(2) 如图2，线段与分别交于点，连接交于点，设，
①当时，求证：；
②当时，用含的代数式表示的长．
24.(本小题15分)
某校九年级数学社团学习小组，为了学习二次函数问题，经历了实践——应用——探究的过程．
(1) 【实践】学习小组对即将开通的某隧道进行了测量，该隧道横截面其轮廓可看作是抛物线的一部分．学习小组成员小皓测得隧道的路面宽为10米，隧道顶部最高处距地面6.25米，按照如图1所示的方式建立了平面直角坐标系，请你求出抛物线的解析式．
(2) 【应用】该隧道设计为单向双车道通行，按相关规定机动车辆通过隧道时，车辆顶部与隧道顶部的竖直安全高度差标准为不少于0.5米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔1米（中心线宽度不计）．学习小组成员小莉说：若两辆宽为2.5米，高为3.5米的大型客车并列行驶是安全的．请你判断小莉的说法是否正确，并说明理由．
(3) 【探究】该课题学习小组为了进一步探究抛物线的有关知识，借助上述抛物线模型，提出以下数学问题，请你予以解决：如图2，过原点作直线，交抛物线于点，点是抛物线对称轴上一动点，点是平面直角坐标系内的一点，是否存在以点为顶点的四边形是矩形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】D
9.【答案】C
10.【答案】B
11.【答案】2x（x－2y）
12.【答案】8
13.【答案】
14.【答案】/60度
15.【答案】10
16.【答案】【小题1】
解：
；
【小题2】
解：
．

17.【答案】解：解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集是，
∴不等式组的整数解是，0，1．

18.【答案】【小题1】
解：如图，点即为所求．
【小题2】
解：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，且，
∴，
∴，
又，
∴．
在中，．

19.【答案】【小题1】
9
10
40
【小题2】
解：八年级学生在此次比赛中表现更好，理由如下：
因为七年级、八年级的平均数一样，七年级、八年级的中位数和众数差不多大，但是七年级优秀的人数有2个，八年级优秀的人数有4个，明显八年级的优秀率高，故八年级学生在此次比赛中表现更好；
【小题3】
解：七年级的优秀小组有2个，记为A、B；八年级的优秀小组有4个，记为C、D、E、F，画树状图为
可知一共有30种等可能性的结果数，其中被选中的两个小组恰好是七、八年级各一个的结果数有16种，
∴被选中的两个小组恰好是七、八年级各一个的概率是．

20.【答案】【小题1】
证明：∵为的直径，
∴，
∴，
又，
∴；
【小题2】
证明：连接、，
设的半径为r，则，
∵，，
∴，
∵点为中点
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．

21.【答案】【小题1】
解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，
∴，，
∴，，
∴反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为；
【小题2】
解：设平移后的函数解析式为（），
当时，；当时，，
∴，
当时，则，
解得；
当时，，
解得或（舍去），
综上，平移的距离5或6．

22.【答案】【小题1】
解：设原计划每天改造管网x米，则实际施工时每天改造管网(1+20%)x米，
由题意，得 ，解得x＝60．
经检验，x＝60是原方程的解，且符合题意，
此时，60×(1+20%)＝72（米）．
故实际施工时，每天改造管网的长度是72米．
【小题2】
解：设以后每天改造管网还要增加m米，
由题意，得(40-20)(72+m)≥3 600-72×20，
解得m≥36．
故以后每天改造管网至少还要增加36米．

23.【答案】【小题1】
解：延长交于点，
，
，
，
，
沿翻折得到，
，，
，
，
四边形是菱形，
，，
，
，
是等腰直角三角形；
【小题2】
解：沿翻折得到，
，
，
，
，
，
四边形是菱形，
，
，
，
，
，
，
，
；
在菱形中，
，，
，，
，
由翻折条件可知：
，，
，，
，，，四点共圆，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
．

24.【答案】【小题1】
解：∵隧道的路面宽为10米，
∴
∴，
∵隧道顶部最高处距地面6.25米，
∴顶点坐标为，
设抛物线解析式为，
把代入，得
，
解得，
∴；
【小题2】
解：如图1，设对称轴与x轴交于点K，矩形表示两辆货车，延长交抛物线于点C，
∵，
∴对称轴为直线，
∵两车至少间隔1米，
∴当时，．
∵车辆宽为2.5米，
∴，
∴，
∴，
当时，，
∴．
∵货车高为3.5米，隧道顶部的竖直安全高度差标准为不少于0.5米，，
∴刚好满足安全要求，因此说法正确
【小题3】
解：设．
解得，，
∴．
∵对称轴为直线，
∴设．
∴，，．
①当为矩形的一边且点Q和点M在直线的上方时，如图，连接，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴把点P先向左移动1个单位，再向上移动1个单位可得点Q，
∴把点O先向左移动1个单位，再向上移动1个单位可得点M，
∴．
②当为矩形的一边且点Q和点M在直线的下方时，如图，连接，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴把点O先向右移动5个单位，再向下移动5个单位可得点Q，
∴把点P先向右移动5个单位，再向下移动5个单位可得点M，
∴．
③当为矩形的对角线时，如图和图，
∵，
∴，
解得，
∴或，
∵的中点坐标为，
∴或即或．
综上可知，点的坐标为或或或．

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