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2025-2026学年福建省福州市台江区九校高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知平面向量，，若向量与共线，则x=（　　）
A. -2 B. C. 2 D. 5
2.复数z满足（z+1） i=1-2i（i为虚数单位），则z的共轭复数的虚部是（　　）
A. -3 B. -3i C. 1 D. i
3.圆台的一个底面圆周长是另一个底面圆周长的3倍，母线长为15，圆台的侧面积为420π，则圆台较小底面圆的半径为（　　）
A. 7 B. 6 C. 5 D. 3
4.在△ABC中，D为BC的中点，E为AB上一点，则=（　　）
A. B. C. D.
5.如图，△O′A′B′是一个平面图形的直观图，其中△O′A′B′是直角三角形，∠O′A′B′=90°，O′A′=2，则原图形的面积是（　　）

A. 4 B. C. 8 D.
6.已知向量=（x,1），=（4，x），则“x＞0”是“向量与的夹角为锐角”的（　　）
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
7.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,面积为S.若a=1，且4S=cosB+bcosA，则B=（　　）
A. B. C. D.
8.平行四边形ABCD中，AB=4，AD=2，，点P在边CD上，则的取值范围是（　　）
A. [-1，8] B. C. D. [-2，0]
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知向量=（1，3），，则（　　）
A. =（2，-3） B. 向量，的夹角为
C. =1 D. 在方向上的投影向量是（-1，2）
10.下列说法正确的是（　　）
A. ，z∈C
B. i2025=i
C. 若|z|=1，z∈C，则|z-2|的最小值为2
D. 若-4+3i是关于x的方程x2+px+q=0（p,q∈R）的根，则p=8
11.对于△ABC有如下命题，其中正确的是（　　）
A. 若sin2A+sin2B+cos2C＜1，则△ABC为钝角三角形
B. 若，且△ABC有两解，则b的取值范围是
C. 在△ABC中，若A＞B，则不等式sinA＞sinB恒成立
D. 在△ABC中，若B=60°，b2=ac,则△ABC必是等边三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.一个底面半径为2cm的圆柱形容器内盛有足量的水，能放入一个半径为1cm的实心铁球，沉入水底后，水未溢出容器，则水面升高了 cm.
13.海上一观测站A测得南偏西60°的方向上有一艘停止待维修的商船D，在商船D的正东方有一艘海盗船B正向它靠近，速度为每小时90海里，此时海盗船B距观测站10海里，20分钟后测得海盗船B距观测站20海里的C处，再经 分钟海盗船B到达商船D处.
14.如图，在△ABC中，是BN上的一点，若，则实数m的值为
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数z=（1+i）m2-（2+i）m-2i（m∈R）.
（1）若z是纯虚数，求m的值；
（2）若z在复平面内所对应的点在第四象限，求m的取值范围.
16.(本小题15分)
如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，设，.
（1）用表示；
（2）若AB=2，AD=6，且∠BAD=120°，求.
17.(本小题15分)
如图，在△ABC中，AB=2，cosB=，点D在线段BC上.
（1）若∠ADC=π，求AD的长；
（2）若BD=2DC，△ADC的面积为，求AC的长.
18.(本小题17分)
如图，在高为2的正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2，D是棱AB的中点.
（1）求该正三棱柱的体积；
（2）求三棱锥D-A1B1C的体积；
（3）设E为棱B1C1的中点，F为棱BB1上一点，求AF+EF的最小值.
19.(本小题17分)
“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当△ABC的三个内角均小于120°时，使得∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°的点O即为费马点；当△ABC有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,且设点P为△ABC的费马点.
（1）若，且△ABC面积为.
（i）求角B；
（ii）求；
（2）若，△PCA，△PCB，△PAB的面积为S1，S2，S3，求的最小值.
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】A
8.【答案】C
9.【答案】BD
10.【答案】ABD
11.【答案】ACD
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：（1）由复数，
因为复数是纯虚数，
则满足，解得，
所以实数的值为；
（2）由复数，
若在复平面内所对应的点在第四象限，
则满足，解得，
所以实数的取值范围为.

16.【答案】，，；
-17．
17.【答案】解：（1）在△ABC中，cosB=，所以sinB=，
若∠ADC=π，则∠ADB=，
在△ABD中，由正弦定理得，，
所以AD===．
（2）因为BD=2DC，所以S△ABD=2S△ADC，所以S△ABC=3S△ADC=4，
又S△ABC= AB BC sinB==4，
所以BC=6，
在△ABC中，由余弦定理得，AC2=AB2+BC2-2AB BC cosB=4+36-2×2×6×=32，
所以AC=4．
18.【答案】解：（1）因为在高为2的正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2，
所以，
即．
（2）因为，，
所以．
（3）将侧面BBC1B1绕BB1旋转至与侧面ABB1A1共面，
E为棱B1C1的中点，F为棱BB1上一点，
如图所示．
当A，F，E三点共线时，AF+EF取得最小值，
且最小值为．
19.【答案】（i）；（ii）-；
．
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