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2025-2026学年黑龙江省哈尔滨市第三十二中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,若b=ccosA，则C=（　　）
A. B. C. D.
2.已知，，则=（　　）
A. B. C. D.
3.已知iz=3-4i,则|z|=（　　）
A. 5 B. C. 25 D. 4
4.已知，则z的共轭复数的虚部为（　　）
A. 1 B. i C. 0 D. -1
5.如图，在△ABC中，D为BC的中点，与BE交于点F，若，则下面对于x、y的描述正确的是（　　）
①2x+3y=-1
②2x-3y=1
③x-y=1
④x+y=-1
A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④
6.已知向量=（-2，6），=（x,x+4），且∥，则|2-3|=（　　）
A. 3 B. C. D.
7.如图，D是△ABC边AC的中点，E在BD上，且，则（　　）
A. B.
C. D.
8.已知非零向量，满足，且向量在向量上的投影向量是，则向量与的夹角是（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共2小题，共12分。
9.已知向量，则（　　）
A. B.
C. 可以作为平面向量的一个基底 D.
10.已知互不相同的两条直线m,n和两个平面α，β，下列命题正确的是（　　）
A. 若m∥α，α∩β=n,则m∥n
B. 若α⊥β，α∩β=n,m β，m⊥n,则m⊥α
C. 若m⊥α，n∥β，且m⊥n,则α∥β
D. 若m⊥α，n∥β，且m∥n,则α⊥β
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
11.已知复数z满足i（2-z）=1，则|z|= .
12.已知a,b,c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且，b=1，A=45°，则B= .
13.已知三棱锥P-ABC中，△PBC为等边三角形，AC⊥AB，PA⊥BC，PA=2，BC=2，则三棱锥的外接球的半径为 .
四、解答题：本题共3小题，共33分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题11分)
计算：
（1）（1+3i）+（-2+i）+（2-3i）；
（2）（4-i）（6+2i）-（7-i）（4+3i）；
（3）.
15.(本小题11分)
如图，已知正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为1．
（1）正方体ABCD-A′B′C′D'中哪些棱所在的直线与直线A′B是异面直线？
（2）若M，N分别是A'B，BC′的中点，求异面直线MN与BC所成角的大小．
16.(本小题11分)
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，平面AA1C1C⊥平面ABC，AB=AC=BC=AA1=2，.
（1）证明：AC⊥A1B；
（2）求二面角A-CB1-B的正弦值.
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】A
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】C
9.【答案】BC
10.【答案】BD
11.【答案】
12.【答案】30°
13.【答案】3
14.【答案】1+i；
-5-15 i；
1- i．
15.【答案】解：（1）正方体ABCD-A′B′C′D′中，
直线A′B是异面直线的棱所在直线有：
AD，B′C′，CD，C′D′，DD′，CC′，共6条．
（2）M，N分别是A'B，BC′的中点，
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD′为z轴，建立空间直角坐标系，
则A′（1，0，1），B（1，1，0），C′（0，1，1），
M（1，，），N（），B（1，1，0），C（0，1，0），
=（-，0），=（-1，0，0），
设异面直线MN与BC所成角的大小为θ，
则cosθ===，
∴θ=45°，
∴异面直线MN与BC所成角的大小为45°．
16.【答案】解：（1）证明：取AC的中点O，则BO⊥AC，且，
因为平面AA1C1C⊥平面ABC，且平面AA1C1C∩平面ABC=AC，BO 平面ABC，
所以BO⊥平面AA1C1C，
因为A1O 平面AA1C1C，
所以BO⊥A1O，
所以，所以，
因为AO=1，AA1=2，所以AO⊥A1O，
又因为AO⊥BO，A1O∩BO=O，A1O，BO 平面A1OB，
所以AC⊥平面A1OB，
又A1B 平面A1OB，
所以AC⊥A1B；
（2）如图所示，以O为原点，OA，OB，OA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O-xyz,
可得，
因为，
设平面ACB1的法向量为，
则，即得
令y=1，则z=-1，
所以，
设平面B1BC的法向量为，
则，即得
令，则n=-1，p=1，
所以，
记二面角A-CB1-B的平面角为α，
因为，
显然sinα＞0，所以，
所以二面角A-CB1-B的正弦值为．
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