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2025-2026学年福建省永春第一中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知复数，则z的虚部为（　　）
A. B. C. D.
2.正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星ABCDE中，AB=8，O是该正五角星的中心，则=（　　）
A. -32
B. 32
C. -64
D. 64
3.如图，△ABO的斜二测直观图是△A′B′O′，其中，则△ABO的面积是（　　）
A. 1
B. 2
C. 4
D. 8
4.已知圆锥的底面半径为，侧面展开图的圆心角为，则圆锥的表面积是（　　）
A. B. C. 8π D. 12π
5.已知正三棱台ABC-A1B1C1上下底面边长分别为、，高为1，则正三棱台ABC-A1B1C1外接球的体积为（　　）
A. 20π B. C. D.
6.某中学数学兴趣小组为测量学校附近某建筑物的高度，在学校操场选择了同一条直线上的A，B，C三点进行测量.如图，AC=20（单位：米），点B为AC中点，兴趣小组组长小王在A，B，C三点正上方2米处的A1，B1，C1观察建筑物最高点E的仰角分别为α，β，γ，其中，tanβ=2，，点D为点E在地面上的正投影，点D1为DE上与A1，B1，C1位于同一高度的点，则建筑物的高度DE为（　　）米.
A. 20 B. 22 C. 40 D. 42
7.如图，矩形LMNK，LM=6，，⊙E半径为1，且E为线段NK的中点，P为圆E上动点，设，则λ+μ的最小值是（　　）
A. 1
B.
C.
D. 5
8.已知△ABC中，a,b,c分别是角A，B，C的对边，△ABC的面积，角C的平分线交AB于D点，且a=6，CD=5，则BD=（　　）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.如图，△ABC是边长为的等边三角形，O是△ABC的外接圆圆心，延长AO与BC交于点D，P是外接圆上一点，则（　　）
A. 的最大值为4
B.
C.
D. 当取最大值时，A，D，P三点共线
10.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,则（　　）
A. 若bcosA=acosB，则△ABC为等腰三角形
B. 若a＞b,则cosA＞cosB
C. 在锐角△ABC中，不等式sinA＞cosB恒成立
D. 若，，且△ABC有两解，则b的取值范围是
11.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点F，G分别是CB，CD的中点，E在棱CC1上，满足CE=kCC1，k∈[0，1]，P为线段AD1上的一个动点，平面α∥平面EFG，则下列命题中正确的是（　　）
A. 当时，AD1∥平面EFG
B. 当时，过点A，F，E的平面截该正方体所得的截面为五边形
C. 当时，平面α截该正方体所得截面面积的最大值为
D. PF+PG的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知圆台的体积为，上底面半径为1，高与母线的比值为，则该圆台的下底面半径为 .
13.若正四面体的表面积为，则①该正四面体的棱长为1；②该正四面体的高为③该正四面体的体积为④该正四面体的外接球表面积为正确的序号有 .
14.在复平面上，复数2和2i所对应的点分别A、B，复数z1所对应的点在线段AB上移动，若|z1-z2|=1，则复数z2对应点所构成图形的面积为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知i为虚数单位，z1，z2是x2+mx+n=0（m,n∈R，Δ=m2-4n＜0）的两个根.
（1）设z1，z2满足方程z1+（1-i）z2=9+6i,求m,n的值；
（2）设z1=1+2i,复数z1，z2所对的向量分别是与，若向量与的夹角为钝角，求实数t的取值范围.
16.(本小题15分)
已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AA1=4，点E，F分别是棱AA1，B1C1的中点，过D1，E，F三点的截面为α.
（1）作出截面α（保留作图痕迹）；
（2）设截面α与平面BB1C1C交于直线l,且截面α把该正四棱柱分割成两部分，记体积分别为V1，V2（V1＜V2）.
（ⅰ）求证：D1E∥l；
（ⅱ）求的值.
17.(本小题15分)
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点G，E，F，P分别为棱AB，D1C1，B1C1，AA1的中点，点M是棱A1D1上的一点，且.
（1）求证：D1G∥平面DBFE；
（2）棱A1B1上是否存在一点N使平面PMN∥平面DBFE？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
18.(本小题17分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,a=1，.
（1）求角A；
（2）若D是线段BC的中点，且AD=1，求S△ABC；
（3）若△ABC为锐角三角形，求△ABC的周长的取值范围.
19.(本小题17分)
定义：对于非零向量=（m,n），若函数f（x）=msinx+ncosx,则称f（x）为向量的“伴生函数”，向量为函数f（x）的“源向量”.
（1）若函数g（x）=sin（x+α）的“源向量”为，且以O为圆心，||为半径的圆内切于正△ABC（顶点C恰好在y轴的正半轴上），求证：为定值；
（2）已知向量=（2，0）为函数h（x）的“源向量”，若方程h（x）=k+1-2|cosx|在[0，2π]上有且仅有四个不相等的实数根，求实数k的取值范围；
（3）已知向量=（0，1）为函数F（x）的“源向量”，F（x）在x=t时的取值为，设P是△ABC外心，若cosA=F（t），且，求实数λ的值.
1.【答案】A
2.【答案】A
3.【答案】D
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】ABC
10.【答案】ACD
11.【答案】ABD
12.【答案】2
13.【答案】①③④
14.【答案】
15.【答案】m=12，n=477
16.【答案】解：（1）在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，
连接D1F并延长交A1B1的延长线于点O，连接EO交BB1于G，连接FG，
则四边形D1EGF是过D1，E，F三点的平面截正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的截面α，如图：
（2）（ⅰ）证明：在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，平面ADD1A1∥平面BCC1B1，
平面D1EGF∩平面ADD1A1=D1E，平面D1EGF∩平面BCC1B1=l,
所以D1E∥l.
（ⅱ）由（1）及已知，OA1⊥平面ADD1A1，OB1⊥平面BCC1B1，
由F是B1C1中点，B1C1∥A1D1，得B1是OA的中点，又B1G∥A1E，
则，
V1=-=××2×2×4-××1×1×2=，
，
所以．
17.【答案】证明：连接BE，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，G分别是D1C1，AB中点，
∴D1E∥GB且D1E=GB，
则四边形D1GBE是平行四边形，
∴D1G∥EB，EB 平面DBFE，D1G 平面DBFE，
∴D1G∥平面DBFE 存在，
18.【答案】解：（1）a=1，，
根据正弦定理得：，化简得sinAcosC=2sinBcosA-sinCcosA，
∴sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=2sinBcosA，
又A+B+C=π，∴sinB=sin（A+C），∴sinB=2sinBcosA，
∵sinB＞0，∴，
∵A∈（0，π），∴；
（2）由（1）及余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA，即1=b2+c2-bc,①
又∵，∴，
∴，②
由②×4-①得：，
∴．
（3）由（1）得，则，即，
由正弦定理可知，，
∴．
∵△ABC为锐角三角形，∴，，
∴，，∴，∴，
∴，则△ABC的周长的取值范围为．
19.【答案】证明见解析；
；
．
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