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2025-2026学年福建省福州市台江区九校高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.曲线y=f（x）在x=1处的切线如图所示，则f′（1）-f（1）=（　　）
A. 0 B. 2 C. -2 D. -1
2.某班级图书角有5种课外书，甲、乙两名同学从5种课外书中各自选2种，则两人选的课外书没有相同种类的选法有（　　）
A. 20种 B. 30种 C. 40种 D. 60种
3.若将整个样本空间想象成一个1×1的正方形，任何事件都对应样本空间的一个子集，且事件发生的概率对应子集的面积．则如图所示的涂色部分的面积表示（　　）
A. 事件A发生的概率
B. 事件B发生的概率
C. 事件B不发生条件下事件A发生的概率
D. 事件A、B同时发生的概率
4.已知随机变量X的分布列如下表，且Y=aX+3.
X 1 2 3
P
若E（Y）=-2，则a=（　　）
A. -3 B. -2 C. D. 1
5.已知，则a2=（　　）
A. -2 B. 2 C. 4 D. 12
6.若圆柱的侧面的展开图的周长为4，则该圆柱体积最大为（　　）
A. B. C. D.
7.若m,n均为非负整数，在做m+n的加法时各位均不进位（例如：134+3802=3936），则称（m,n）为“简单的”有序对，而m+n称为有序数对（m,n）的值，那么值为1942的“简单的”有序对的个数是（　　）
A. 20 B. 16 C. 150 D. 300
8.若函数是区间（m-1，m+4）上的单调函数，则实数m的值一定不是（　　）
A. -5 B. -3 C. 3 D. 4
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列说法正确的是（　　）
A. 设一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为2，则数据2x1-3，2x2-3，…，2xn-3的方差为8
B. 将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，有53种不同的放法
C. 用0～9这10个数字，可以组成648个没有重复数字的三位数
D. 已知随机变量X的概率分布为，则实数a的值为
10.甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有2个红球，8个白球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球.A1表示事件“从甲罐取出的球是红球”，A2表示事件“从甲罐取出的球是白球”，B表示事件“从乙罐取出的球是红球”.则下列结论正确的是（　　）
A. A1，A2为对立事件 B.
C. D.
11.已知函数f（x）=xlnx,则（　　）
A. 函数f（x）在（0，e）上单调递减，在（e,+∞）上单调递增
B.
C. 若a＜xf（x），则实数a的取值范围是
D. 当时，若方程有且只有一个根，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，则正整数x的值为 .
13.若函数f（x）=x（x-c）2在x=-1处有极小值，则f（3）等于 .
14.将4个相同的小球摆放在3×3的方格中，要求每一个方格中只能摆放一个小球，且任意两个小球所在的方格不能恰好共用一个方格顶点，则所有摆放种数为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在的展开式中，求：
（1）求常数项、及此项的二项式系数；
（2）求系数绝对值最大的项.
16.(本小题15分)
已知函数f（x）=ax+ex，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线与直线x+y+1=0平行.
（1）求a的值；
（2）求f（x）的极值.
17.(本小题15分)
对联，又称对偶、对子、楹联等，是以两组形式相对、内容相关的语句为表现形式的应用性文学样式，具有上下联字数相等、平仄相对、对仗工整等文学特点.从甲、乙、丙、丁4副不同的对联（上联和下联共8联）中随机取出4联（上联或下联）.
（1）求这4联可以凑成甲对联的概率；
（2）记这4联可以凑成X副对联，求X的数学期望.
18.(本小题17分)
现有外表相同，编号依次为1，2，3，…，n（n≥3）的袋子，里面均装有n个除颜色外其他无区别的小球，第k（k=1，2，3，…，n）个袋中有k个红球，n-k个白球.随机选择其中一个袋子，并从中依次不放回取出三个球.
（1）当n=4时，
①假设已知选中的恰为2号袋子，求第三次取出的是白球的概率；
②求在第三次取出的是白球的条件下，恰好选的是3号袋子的概率；
（2）记第三次取到白球的概率为p,证明：.
19.(本小题17分)
已知函数.
（1）讨论f（x）的单调区间；
（2）若，求a与k的数量关系；
（3）设x1，x2（x1＜x2）是f（x）的两个极值点，证明：.
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】A
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】ACD
10.【答案】ABD
11.【答案】BC
12.【答案】5或7
13.【答案】108
14.【答案】29
15.【答案】常数项为-160，此项的二项式系数为20 T3=240x
16.【答案】a=-2；
f（x）的极小值为2（1-ln2），无极大值．
17.【答案】
18.【答案】解：（1）①n=4时，第二个袋中有2白2红，共4个球，
从中连续取出三个球（每个取后不放回），
第三次取出为白球的情况有：红红白，红白白，白红白，
所以第三次取出为白球的概率为；
②设选出的是第k（k=1，2，3，4）个袋，连续三次取球的方法数为4×3×2=24，
第三次取出的是白球的三次取球颜色有如下四种情形：（白，白，白），
若k=1，则取法数为（4-k）（3-k）（2-k），
若k=2或k=3或k=4，取法数为0，也满足关系（4-k）（3-k）（2-k），
故取（白，白，白）的取法可表示为（4-k）（3-k）（2-k），
同理（白，红，白），取法数为k（4-k）（3-k），
（红，白，白），取法数为k（4-k）（3-k），
（红，红，白），取法数为k（k-1）（4-k），
从而第三次取出的是白球的种数为：（4-k）（3-k）（2-k）+k（4-k）（3-k）+k（4-k）（3-k）+k（k-1）（4-k）=3×2（4-k），
则在第k个袋子中第三次取出的是白球的概率，
则在第3个袋子中第三次取出的是白球的概率，
而选到第k个袋子的概率为，故所求概率为：
，
所以在第三次取出的是白球的条件下，恰好选的是3号袋子的概率为．
（2）设选出的是第k个袋，连续三次取球的方法数为n（n-1）（n-2），
第三次取出的是白球的三次取球颜色有如下四种情形：
（白，白，白），取法数为（n-k）（n-k-1）（n-k-2），
（白，红，白），取法数为k（n-k）（n-k-1），
（红，白，白），取法数为k（n-k）（n-k-1），
（红，红，白），取法数为k（k-1）（n-k），
从而第三次取出的是白球的种数为：
（n-k）（n-k-1）（n-k-2）+k（n-k）（n-k-1）+k（n-k）（n-k-1）+k（k-1）（n-k）
=（n-1）（n-2）（n-k），
则在第k个袋子中第三次取出的是白球的概率，
而选到第k个袋子的概率为，
所以．
19.【答案】当a≤0时，f（x）在上单调递减，在上单调递增；当时，f（x）在上单调递减，在和上单调递增；当时，f（x）在（0，+∞）上单调递增 a=k 证明：结合（1）可得，当f（x）有两个极值点时，，
且x1+x2=1，x1x2=a，，
=
=
=
=，
令t=，由于，则0＜t＜1，则，
则，
设，0＜t＜1，
则，
因为0＜t＜1，则1-t＞0，lnt＜0，（1+t）3＞0，则h'（t）＜0恒成立，
所以h（t）在（0，1）上单调递减，
则t→0时，且小于，所以，
所以
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